Ch2-48
§ 2.3 连续型随机变量定义 设 X 是随机变量,若存在一个非负可积函数 f ( x ),使得
xttfxF x d)()(
其中 F ( x )是它的分布函数则称 X 是 连续型 r.v.,f ( x )是它的 概率密度函数 ( p.d.f,),简记为 d.f.
连续型 r.v.的概念
Ch2-49
-10 -5 5
0.02
0.04
0.06
0.08
x
f ( x)
x
F ( x )
分布函数与密度函数几何意义
)( xfy?
Ch2-50
p.d.f,f ( x )的性质
0)(?xf
1)(d)( Fxxf
常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性 r.v.的 d.f.
在 f ( x ) 的连续点处，
)()( xFxf
f ( x ) 描述了 X 在 x 附近单位长度的区间内取值的概率
Ch2-51
x
xFxxFxF
x?
)()(lim)( 00
00
x
xxXxP
x?
)(lim 00
0
)( 0xf?
xttfxF x d)()(积分不是 Cauchy 积分，而是 Lesbesgue 意义下的积分，所得的变上限的函数是绝对连续的，因此几乎处处可导
)()( 000 xxXxPxxf
线段质量长度密度
Ch2-52
注意,对于连续型 r.v.X,P(X = a) = 0
其中 a 是随机变量 X 的一个可能的取值
)()(0 aXxaPaXP a xa xxf? d)(
a xax xxfaXP d)(lim)(0 00?
0)( aXP
命题 连续 r.v.取任一常数的概率为零强调 概率为 0 (1) 的事件未必不发生 (发生 )
)( aX? )( aXxa0?x?事实上
Ch2-53
对于连续型 r.v,X
)( bXaP )( bXaP
)( bXaP
)( bXaP
)()( aFbF
b x
f ( x)
-10 -5 5
0.02
0.04
0.06
0.08
a
ba xxf d)(
Ch2-54
)()()( bFbXPbXP
)(1)()( aFaXPaXP
x
f ( x)
-10 -5 5
0.02
0.04
0.06
0.08
a
Ch2-55
例 1 已知某型号电子管的使用寿命 X 为连续 r.v.,其 d.f.为
其他,0
1000,
)(
2
x
x
c
xf
(1) 求常数 c
(3) 已知一设备装有 3个这样的电子管,每个电子管能否正常工作相互独立,求在使用的最初 1500小时只有一个损坏的概率,
)2 0 0 01 5 0 01 7 0 0( XXP(2) 计算
Ch2-56
解 (1) 令 1dd)(
1 0 0 0 2
x
x
cxxf
c = 1000
)2 0 0 01 5 0 01 7 0 0( XXP(2)
)20001500,1700( XXP )2 0 0 01 5 0 0( XP
)2 0 0 01 5 0 0( XP )1 7 0 01 5 0 0( XP
1 7 0 0
1 5 0 0 2
d10 00 x
x?
2000
1500 2
d1000 x
x
51
4?
6
1,4706.0
51
24
Ch2-57
(3)
设 A 表示一个电子管的寿命小于 1500小时
)1 5 0 00()( XPAP 3
1d10001500
1000 2
xx
设在使用的最初 1500小时三个电子管中损坏的个数为 Y
3
1,3~ B
9
4
3
2
3
1
)1()1(
2
1
33
CPYP
Ch2-58
例 2 设为使 f (x) 成为某 r.v,X 在解 由 0)(0)( 2 cbxaxxhxf
),(
d.f.系数 a,b,c 必须且只需满足何条件？
12 )()( cbxaxxf
axhbaxxh 2)(,2)(
当 )(02)(0 xhaxha 有最小值
abcxh 4/)( 2m i n
上的
Ch2-59
另外由
04/2 abc当且仅当 时
0)( 2 cbxaxxh
1
4
2
)()(
2
1
2?
bac
dxcbxaxdxxf
得,44 22 bac
所以系数 a,b,c 必须且只需满足下列条件
,0?a,04/2 abc,44 22 bac
可省略
Ch2-60
作业 P83 习题二
16 18
Ch2-61
(1) 均匀分布常见的连续性随机变量的分布若 X 的 d.f,为
其他,0
,
1
)(
bxa
abxf
则称 X 服从区间 ( a,b)上的 均匀分布 或称
),(~ baUX
X 服从参数为 a,b的 均匀分布,记作
Ch2-62
X 的分布函数为
1
,
,0
ab
ax
bx
bxa
ax
,
,
x ttfxF d)()(
Ch2-63
x
f ( x)
a b
x
F( x)
ba
Ch2-64
,),(),( badc x
ab
dXcP d1)(
d
c
ab
cd
即 X 落在 (a,b)内任何长为 d – c 的小区间的概率与小区间的位置无关,只与其长度成正比,这正是几何概型的情形,
进行大量数值计算时,若在小数点后第
k 位进行四舍五入,则产生的误差可以看作服从 的 r.v,随机变量
kkU 10
2
1,10
2
1
应用场合
Ch2-65
例 3 秒表最小刻度值为 0.01秒,若计时精度是取最近的刻度值,求使用该表计时产生的随机误差 X 的 d.f,并计算误差的绝对值不超过 0.004秒的概率,
005.0005.0~?UX
解 X 等可能地取得区间0 0 5.00 0 5.0?
其他,0
0 0 5.0,1 0 0
)(
x
xf
8.01 0 0)0 0 4.0(
004.0
004.0
dxXP所以上的任一值，则
Ch2-66(2) 指数分布若 X 的 d.f,为
其他,0
0,
)(
xe
xf
x
则称 X 服从 参数为? 的 指数分布
)(~?EX记作
X 的分布函数为
0,1
0,0
)(
xe
x
xF x?
> 0 为常数
Ch2-67
1
x
F( x)
0
x
f ( x)
0
Ch2-68对于任意的 0 < a < b,
ba
b
a
x
ee
aFbF
xebXaP
)()(
d)(
应用场合 用指数分布描述的实例有：
随机服务系统中的服务时间电话问题中的通话时间无线电元件的寿命动物的寿命指数分布常作为各种“寿命”
分布的近似
Ch2-69
若 X ~Ｅ (?),则故又把指数分布称为“永远年轻”的分布
)()( tXPsXtsXP
指数分布的,无记忆性,
事实上
)(
)(
)(
),()(
sXP
tsXP
sXP
sXtsXPsXtsXP
)(
)(1
)(1
)(1
)(1 )(
tXPe
e
e
sF
tsF
sXP
tsXP t
s
ts
命题
Ch2-70
解 (1) )()( tTPtF T
0),(1
0,0
ttTP
t
)0)(()( tNPtTP
t
t
eet?
!0
)( 0
例 4 假定一大型设备在任何长为 t 的时间内发生故障的次数 N( t ) ~ (?t),求?
(1)相继两次故障的时间间隔 T 的概率分布 ;
(2)设备已正常运行８小时的情况下,再正常运行 10 小时的概率,
Ch2-71
0,1
0,0
)(
te
t
tF t?
0,
0,0
)(
te
t
tf t?
即 )(~?ET
)8108()818( TTPTTP
10)10( eTP
(2) 由指数分布的“无记忆性”
Ch2-72
(3) 正态分布若 X 的 d.f,为
xexf
x
2
2
2
)(
2
1)(
则称 X 服从参数为?,? 2 的 正态分布记作 X ~ N (?,? 2 )
,为常数,0 亦称高斯(Gauss)分布
Ch2-73
N (-3,1.2 )
-6 -5 -4 -3 -2 -1
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
3
Ch2-74
f (x) 的性质,
图形关于直线 x =?对称,即在 x =?时,f (x) 取得最大值2
1
在 x =?±? 时,曲线 y = f (x) 在对应的点处有拐点曲线 y = f (x) 以 x 轴为渐近线曲线 y = f (x) 的图形呈单峰状
f (? + x) = f (? - x)
Ch2-75
2
1
)()(1
)()(
XPF
FXP
-6 -5 -4 -3 -2 -1
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
Ch2-76? f ( x) 的两个参数：
— 位置参数即固定?,对于不同的?,对应的 f (x)
的形状不变化，只是位置不同
— 形状参数固定?,对于不同的?,f ( x) 的形状不同,
若?1<?2 则 21 2
1
2
1
比 x=2 所对应的拐点更靠近直线 x=?
附近值的概率更大,x =1 所对应的 拐点前者取?
Ch2-77
Show[fn1,fn3]
大
小
-6 -5 -4 -3 -2 -1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
几何意义? 大小与曲线陡峭程度成反比数据意义? 大小与数据分散程度成正比
Ch2-78
正态变量的条件若 r.v,X
① 受众多相互独立的随机因素影响
② 每一因素的影响都是微小的
③ 且这些正、负影响可以叠加则称 X 为正态 r.v.
Ch2-79
可用正态变量描述的实例极多：
各种测量的误差； 人体的生理特征；
工厂产品的尺寸； 农作物的收获量；
海洋波浪的高度； 金属线抗拉强度；
热噪声电流强度； 学生的考试成绩；
一种重要的正态分布
xex
x
2
2
2
1)(
是偶函数,分布函数记为
xtex
x
t
d
2
1
)( 2
2
其值有专门的表供查,
—— 标准正态分布 N (0,1)
密度函数
Ch2-81
5.0)0(
-3 -2 -1 1 2 3
0.1
0.2
0.3
0.4
)(1)( xx
1)(2)|(| aaXP?
Ch2-82
-x x
)(1)( xx
1)(2)|(| aaXP?
-3 -2 -1 1 2 3
0.1
0.2
0.3
0.4
Ch2-83
对一般的正态分布,X ~ N (?,? 2)
其分布函数
x
t
texF d2 1)( 2
2
2
)(
作变量代换 ts
xxF )(
ab
aFbFbXaP )()()(
a
aFaXP
1
)(1)(
Ch2-84
例 5设 X ~ N(1,4),求 P (0? X? 1.6)
解
2
10
2
16.1)6.10(XP
5.03.0
]5.01[3.0
]6 9 1 5.01[6 1 7 9.0
3094.0?
P380 附表 3
Ch2-85
例 6 已知 ),2(~ 2?NX 且 P( 2 < X < 4 ) = 0.3,
求 P ( X < 0 ).
解一
20)0( XP?
21
2224)42( XP
)0(2?
3.0?
8.02
2.0)0(XP
Ch2-86
解二 图解法
0.2
2.0)0(XP
由图
-2 2 4 6
0.05
0.1
0.15
0.2
0.3
Ch2-87例 3? 原理设 X ~ N (?,? 2),求 )3|(|XP
解 )33()3|(| XPXP
33
33
132 19 98 7.02 9974.0?
一次试验中,X 落入区间 (? - 3?,? +3? )
的概率为 0.9974,而超出此区间可能性很小由 3?原理知,
1)(3,0)(3 bbaa 时时当
Ch2-88标准正态分布的 上? 分位数 z
设 X ~ N (0,1),0 <? < 1,称满足
)( zXP
的点 z?为 X 的 上? 分位数
z?
常用数据
645.105.0?z
96.10 2 5.0?z
-3 -2 -1 1 2 3
0.1
0.2
0.3
0.4
Ch2-89
例 7设测量的误差 X ~ N(7.5,100)(单位,米 )
问要进行多少次独立测量，才能使至少有一次误差的绝对值不超过 10米的概率大于 0.9?
解?
10
5.710
10
5.710)10|(|XP
75.125.0
]75.11[25.0
5586.0?
Ch2-90
设 A 表示进行 n 次独立测量至少有一次误差的绝对值不超过 10米
9.0)5 5 8 6.01(1)( nAP
n > 3
故至少要进行 4 次独立测量才能满足要求,
Ch2-91
作业 P 84 习题二
22 24
26 27
Ch2-92
X,求其密度函数 f (x).
A B
C
h.M
问 题第 6 周在高为 h 的 ABC 中任取一点
M,点 M 到 AB 的距离为随机变量
X,求其密度函数 f (x).
问 题
A B
C
h.M
Ch2-93
第 7 周问 题上海某年有 9万名高中毕业生参加高考,结果有 5.4万名被各类高校录取,考试满分为 600分,540分以上有 2025人,360分以下有 13500
人,试估计高校录取最低分,
Ch2-94
在高为 h 的 ABC 中任取一点
M,点 M 到 AB 的距离为随机变量
X,如何求其密度函数 f (x)？
A B
C
h.M
思考 题附录
Ch2-95
§ 2.3 连续型随机变量定义 设 X 是随机变量,若存在一个非负可积函数 f ( x ),使得
xttfxF x d)()(
其中 F ( x )是它的分布函数则称 X 是 连续型 r.v.,f ( x )是它的 概率密度函数 ( p.d.f,),简记为 d.f.
连续型 r.v.的概念
Ch2-49
-10 -5 5
0.02
0.04
0.06
0.08
x
f ( x)
x
F ( x )
分布函数与密度函数几何意义
)( xfy?
Ch2-50
p.d.f,f ( x )的性质
0)(?xf
1)(d)( Fxxf
常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性 r.v.的 d.f.
在 f ( x ) 的连续点处，
)()( xFxf
f ( x ) 描述了 X 在 x 附近单位长度的区间内取值的概率
Ch2-51
x
xFxxFxF
x?
)()(lim)( 00
00
x
xxXxP
x?
)(lim 00
0
)( 0xf?
xttfxF x d)()(积分不是 Cauchy 积分，而是 Lesbesgue 意义下的积分，所得的变上限的函数是绝对连续的，因此几乎处处可导
)()( 000 xxXxPxxf
线段质量长度密度
Ch2-52
注意,对于连续型 r.v.X,P(X = a) = 0
其中 a 是随机变量 X 的一个可能的取值
)()(0 aXxaPaXP a xa xxf? d)(
a xax xxfaXP d)(lim)(0 00?
0)( aXP
命题 连续 r.v.取任一常数的概率为零强调 概率为 0 (1) 的事件未必不发生 (发生 )
)( aX? )( aXxa0?x?事实上
Ch2-53
对于连续型 r.v,X
)( bXaP )( bXaP
)( bXaP
)( bXaP
)()( aFbF
b x
f ( x)
-10 -5 5
0.02
0.04
0.06
0.08
a
ba xxf d)(
Ch2-54
)()()( bFbXPbXP
)(1)()( aFaXPaXP
x
f ( x)
-10 -5 5
0.02
0.04
0.06
0.08
a
Ch2-55
例 1 已知某型号电子管的使用寿命 X 为连续 r.v.,其 d.f.为
其他,0
1000,
)(
2
x
x
c
xf
(1) 求常数 c
(3) 已知一设备装有 3个这样的电子管,每个电子管能否正常工作相互独立,求在使用的最初 1500小时只有一个损坏的概率,
)2 0 0 01 5 0 01 7 0 0( XXP(2) 计算
Ch2-56
解 (1) 令 1dd)(
1 0 0 0 2
x
x
cxxf
c = 1000
)2 0 0 01 5 0 01 7 0 0( XXP(2)
)20001500,1700( XXP )2 0 0 01 5 0 0( XP
)2 0 0 01 5 0 0( XP )1 7 0 01 5 0 0( XP
1 7 0 0
1 5 0 0 2
d10 00 x
x?
2000
1500 2
d1000 x
x
51
4?
6
1,4706.0
51
24
Ch2-57
(3)
设 A 表示一个电子管的寿命小于 1500小时
)1 5 0 00()( XPAP 3
1d10001500
1000 2
xx
设在使用的最初 1500小时三个电子管中损坏的个数为 Y
3
1,3~ B
9
4
3
2
3
1
)1()1(
2
1
33
CPYP
Ch2-58
例 2 设为使 f (x) 成为某 r.v,X 在解 由 0)(0)( 2 cbxaxxhxf
),(
d.f.系数 a,b,c 必须且只需满足何条件？
12 )()( cbxaxxf
axhbaxxh 2)(,2)(
当 )(02)(0 xhaxha 有最小值
abcxh 4/)( 2m i n
上的
Ch2-59
另外由
04/2 abc当且仅当 时
0)( 2 cbxaxxh
1
4
2
)()(
2
1
2?
bac
dxcbxaxdxxf
得,44 22 bac
所以系数 a,b,c 必须且只需满足下列条件
,0?a,04/2 abc,44 22 bac
可省略
Ch2-60
作业 P83 习题二
16 18
Ch2-61
(1) 均匀分布常见的连续性随机变量的分布若 X 的 d.f,为
其他,0
,
1
)(
bxa
abxf
则称 X 服从区间 ( a,b)上的 均匀分布 或称
),(~ baUX
X 服从参数为 a,b的 均匀分布,记作
Ch2-62
X 的分布函数为
1
,
,0
ab
ax
bx
bxa
ax
,
,
x ttfxF d)()(
Ch2-63
x
f ( x)
a b
x
F( x)
ba
Ch2-64
,),(),( badc x
ab
dXcP d1)(
d
c
ab
cd
即 X 落在 (a,b)内任何长为 d – c 的小区间的概率与小区间的位置无关,只与其长度成正比,这正是几何概型的情形,
进行大量数值计算时,若在小数点后第
k 位进行四舍五入,则产生的误差可以看作服从 的 r.v,随机变量
kkU 10
2
1,10
2
1
应用场合
Ch2-65
例 3 秒表最小刻度值为 0.01秒,若计时精度是取最近的刻度值,求使用该表计时产生的随机误差 X 的 d.f,并计算误差的绝对值不超过 0.004秒的概率,
005.0005.0~?UX
解 X 等可能地取得区间0 0 5.00 0 5.0?
其他,0
0 0 5.0,1 0 0
)(
x
xf
8.01 0 0)0 0 4.0(
004.0
004.0
dxXP所以上的任一值，则
Ch2-66(2) 指数分布若 X 的 d.f,为
其他,0
0,
)(
xe
xf
x
则称 X 服从 参数为? 的 指数分布
)(~?EX记作
X 的分布函数为
0,1
0,0
)(
xe
x
xF x?
> 0 为常数
Ch2-67
1
x
F( x)
0
x
f ( x)
0
Ch2-68对于任意的 0 < a < b,
ba
b
a
x
ee
aFbF
xebXaP
)()(
d)(
应用场合 用指数分布描述的实例有：
随机服务系统中的服务时间电话问题中的通话时间无线电元件的寿命动物的寿命指数分布常作为各种“寿命”
分布的近似
Ch2-69
若 X ~Ｅ (?),则故又把指数分布称为“永远年轻”的分布
)()( tXPsXtsXP
指数分布的,无记忆性,
事实上
)(
)(
)(
),()(
sXP
tsXP
sXP
sXtsXPsXtsXP
)(
)(1
)(1
)(1
)(1 )(
tXPe
e
e
sF
tsF
sXP
tsXP t
s
ts
命题
Ch2-70
解 (1) )()( tTPtF T
0),(1
0,0
ttTP
t
)0)(()( tNPtTP
t
t
eet?
!0
)( 0
例 4 假定一大型设备在任何长为 t 的时间内发生故障的次数 N( t ) ~ (?t),求?
(1)相继两次故障的时间间隔 T 的概率分布 ;
(2)设备已正常运行８小时的情况下,再正常运行 10 小时的概率,
Ch2-71
0,1
0,0
)(
te
t
tF t?
0,
0,0
)(
te
t
tf t?
即 )(~?ET
)8108()818( TTPTTP
10)10( eTP
(2) 由指数分布的“无记忆性”
Ch2-72
(3) 正态分布若 X 的 d.f,为
xexf
x
2
2
2
)(
2
1)(
则称 X 服从参数为?,? 2 的 正态分布记作 X ~ N (?,? 2 )
,为常数,0 亦称高斯(Gauss)分布
Ch2-73
N (-3,1.2 )
-6 -5 -4 -3 -2 -1
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
3
Ch2-74
f (x) 的性质,
图形关于直线 x =?对称,即在 x =?时,f (x) 取得最大值2
1
在 x =?±? 时,曲线 y = f (x) 在对应的点处有拐点曲线 y = f (x) 以 x 轴为渐近线曲线 y = f (x) 的图形呈单峰状
f (? + x) = f (? - x)
Ch2-75
2
1
)()(1
)()(
XPF
FXP
-6 -5 -4 -3 -2 -1
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
Ch2-76? f ( x) 的两个参数：
— 位置参数即固定?,对于不同的?,对应的 f (x)
的形状不变化，只是位置不同
— 形状参数固定?,对于不同的?,f ( x) 的形状不同,
若?1<?2 则 21 2
1
2
1
比 x=2 所对应的拐点更靠近直线 x=?
附近值的概率更大,x =1 所对应的 拐点前者取?
Ch2-77
Show[fn1,fn3]
大
小
-6 -5 -4 -3 -2 -1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
几何意义? 大小与曲线陡峭程度成反比数据意义? 大小与数据分散程度成正比
Ch2-78
正态变量的条件若 r.v,X
① 受众多相互独立的随机因素影响
② 每一因素的影响都是微小的
③ 且这些正、负影响可以叠加则称 X 为正态 r.v.
Ch2-79
可用正态变量描述的实例极多：
各种测量的误差； 人体的生理特征；
工厂产品的尺寸； 农作物的收获量；
海洋波浪的高度； 金属线抗拉强度；
热噪声电流强度； 学生的考试成绩；
一种重要的正态分布
xex
x
2
2
2
1)(
是偶函数,分布函数记为
xtex
x
t
d
2
1
)( 2
2
其值有专门的表供查,
—— 标准正态分布 N (0,1)
密度函数
Ch2-81
5.0)0(
-3 -2 -1 1 2 3
0.1
0.2
0.3
0.4
)(1)( xx
1)(2)|(| aaXP?
Ch2-82
-x x
)(1)( xx
1)(2)|(| aaXP?
-3 -2 -1 1 2 3
0.1
0.2
0.3
0.4
Ch2-83
对一般的正态分布,X ~ N (?,? 2)
其分布函数
x
t
texF d2 1)( 2
2
2
)(
作变量代换 ts
xxF )(
ab
aFbFbXaP )()()(
a
aFaXP
1
)(1)(
Ch2-84
例 5设 X ~ N(1,4),求 P (0? X? 1.6)
解
2
10
2
16.1)6.10(XP
5.03.0
]5.01[3.0
]6 9 1 5.01[6 1 7 9.0
3094.0?
P380 附表 3
Ch2-85
例 6 已知 ),2(~ 2?NX 且 P( 2 < X < 4 ) = 0.3,
求 P ( X < 0 ).
解一
20)0( XP?
21
2224)42( XP
)0(2?
3.0?
8.02
2.0)0(XP
Ch2-86
解二 图解法
0.2
2.0)0(XP
由图
-2 2 4 6
0.05
0.1
0.15
0.2
0.3
Ch2-87例 3? 原理设 X ~ N (?,? 2),求 )3|(|XP
解 )33()3|(| XPXP
33
33
132 19 98 7.02 9974.0?
一次试验中,X 落入区间 (? - 3?,? +3? )
的概率为 0.9974,而超出此区间可能性很小由 3?原理知,
1)(3,0)(3 bbaa 时时当
Ch2-88标准正态分布的 上? 分位数 z
设 X ~ N (0,1),0 <? < 1,称满足
)( zXP
的点 z?为 X 的 上? 分位数
z?
常用数据
645.105.0?z
96.10 2 5.0?z
-3 -2 -1 1 2 3
0.1
0.2
0.3
0.4
Ch2-89
例 7设测量的误差 X ~ N(7.5,100)(单位,米 )
问要进行多少次独立测量，才能使至少有一次误差的绝对值不超过 10米的概率大于 0.9?
解?
10
5.710
10
5.710)10|(|XP
75.125.0
]75.11[25.0
5586.0?
Ch2-90
设 A 表示进行 n 次独立测量至少有一次误差的绝对值不超过 10米
9.0)5 5 8 6.01(1)( nAP
n > 3
故至少要进行 4 次独立测量才能满足要求,
Ch2-91
作业 P 84 习题二
22 24
26 27
Ch2-92
X,求其密度函数 f (x).
A B
C
h.M
问 题第 6 周在高为 h 的 ABC 中任取一点
M,点 M 到 AB 的距离为随机变量
X,求其密度函数 f (x).
问 题
A B
C
h.M
Ch2-93
第 7 周问 题上海某年有 9万名高中毕业生参加高考,结果有 5.4万名被各类高校录取,考试满分为 600分,540分以上有 2025人,360分以下有 13500
人,试估计高校录取最低分,
Ch2-94
在高为 h 的 ABC 中任取一点
M,点 M 到 AB 的距离为随机变量
X,如何求其密度函数 f (x)？
A B
C
h.M
思考 题附录
Ch2-95
