Ch3-94
§ 3.3 随机变量的独立性
—— 将事件独立性推广到 r.v.
设 (X,Y )为二维 r.v,若对任何
)()(),( yYPxXPyYxXP
则称 r.v,X 和 Y 相互独立两个 r.v,的相互独立性实数 x,y 都有定义
Ch3-95由定义知二维 r.v,( X,Y ) 相互独立
)()(),( yFxFyxF YX?
)()(
),(
,
dYcPbXaP
dYcbXaP
dcba



)()(),(
,
cYPaXPcYaXP
Rca


Ch3-96
X与 Y 独立
)()(),( jiji yYPxXPyYxXP即
jiij ppp
连续型
)()(),( yfxfyxf YX?
二维随机变量 ( X,Y ) 相互独立,
则边缘分布完全确定联合分布对一切 i,j 有离散型
X与 Y 独立 对任何 x,y 有
.).( ea
Ch3-97
二维连续 r.v,( X,Y ) 相互独立
)0)(()()( yfyxfxf YYXX
)0)(()()( xfxyfyf XXYY
Ch3-98
0
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
21
21
2
1
2
1
2
2
)(
2
2
)(
1
)())((
2
)(
)1(2
1
2
21
2
1
2
1
12
1






yx
yyxx
ee
e
证 对任何 x,y 有
21, yx取
);,;,(~),( 222211NYX 相互独立命题
Ch3-99
21
2
21 2
1
2
1
12
1

故 0
将 0 代入 ),( yxf 即得
)()(),( yfxfyxf YX?
Ch3-100
例 1 已知 ( X,Y ) 的联合 d.f.为

其他,0
10,10,4
),(1
yxxy
yxf(1)

其他,0
10,0,8
),(2
yyxxy
yxf(2)
讨论 X,Y 是否独立？
Ch3-101
解
(1) 由图知边缘 d.f,为
1
1

其他,0
,10,2
)(
xx
xf X

其他,0
,10,2
)(
yy
yf Y
显然,)()(),(
1 yfxfyxf YX?
故 X,Y 相互独立
Ch3-102
(2) 由图知边缘 d.f,为

其他,0
,10),1(4
)(
2 xxx
xf X

其他,0
,10,4
)(
3 yy
yf Y
显然，
)()(),(2 yfxfyxf YX?
故 X,Y 不独立
1
1
Ch3-103
判连续型 r.v,相互独立的有关命题设 f (x,y)是连续二维 r.v,(X,Y )的联合
d.f,r (x),g(y) 为非负可积函数,且
.).()()(),( eaygxryxf?
则 X,Y 相互独立且
.).(
)(
)()( ea
dxxr
xrxf
X


.).(
)(
)(
)( ea
dyyg
yg
yf Y


Ch3-104
利用此结果,不需计算即可得出 (1)中的 r.v.
X 与 Y 是相互独立的,
再如,服从矩形域 {(x,y)| a<x<b,c<y<d}上均匀分布的二维 r.v.( X,Y ),



其他0
,
))((
1
),(
dycbxa
cdabyxf
X,Y 是独立,且其边缘分布也是均匀分布



其他,0
,
1
)(
bxa
abxf X



其他,0
,
1
)(
dyc
cdyf Y
Ch3-105
若


其他0
0,06
),(
32 yxe
yxf
yx
则 X,Y 是相互独立的,且其边缘分布为

其他,0
0,2
)(
2 xe
xf
x
X

其他,0
0,3
)(
3 ye
yf
y
Y
Ch3-106
若

其他0
0,21
),(
3 yxe
yxf
y
则 X,Y 是相互独立的,且其边缘分布为


其他,0
21,
3
1
)(
x
xf X

其他,0
0,3
)(
3 ye
yf
y
Y
Ch3-107
对于分布函数也有类似结果设 F (x,y)是二维连续 r.v,(X,Y )的联合分布函数,则 (X,Y )相互独立的充要条件为
)()(),( yGxRyxF?
且 )(
)(
)(

R
xR
xF X
)(
)(
)(

G
yG
yF Y
Ch3-108
判独立的一 个重要命题设 X,Y 为相互独立的 r.v,u(x),v(y)
为连续函数,则 U=u ( X ),V=v (Y ) 也相互独立,即独立 r.v.的连续函数仍独立,
下面予以证明,
Ch3-109
设 X 与 Y 的 d.f,分别为 f X(x),f Y (y),则
)()(),( yfxfyxf YX?
因此,),(),( vVuUPvuF UV
))(,)(( vYvuXuP

vyv
uxu
YX d x d yyfxf
)(
)(
)()(?
))(())(( vYvPuXuP )()( vFuF VU?
事实上,

vyv
Y
uxu
X dyyfdxxf
)()(
)()(?
Ch3-110
若 X,Y 为相互独立的 r.v.
则 aX + b,cY + d 也相互独立；
X 2,Y 2 也相互独立；
随机变量相互独立的概念可以推广到 n 维随机变量
)()()( 2211 nn xXPxXPxXP
),,,( 2211 nn xXxXxXP
若则称 r.v,X 1,X 2,,X n 相互独立?
由命题知
Ch3-111
若两随机变量相互独立,且又有相同的分布,不能说这两个随机变量相等,如
X
P
-1 1
0.5 0.5
Y
P
-1 1
0.5 0.5
X,Y 相互独立，则
X
-1
1
-1 1
0.25 0.25
Y
pij
0.25 0.25 故不能说 X = Y,
注意由左表易得,
)1,1( YXP
)( YXP
)1,1( YXP
5.0?
Ch3-112
作业 P.133 习题三
12
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15
18