Ch3-110
§ 3.4 二维 r.v.函数的分布已知 r.v.( X,Y )的概率分布,
g(x,y) 为已知的二元函数,
转化为 ( X,Y )的事件问题方法求 Z = g( X,Y )的概率分布
Ch3-111
当 ( X,Y )为离散 r.v.时,Z 也离散
),( kk jik yxgzZ
kkjki
kk
zyxg
jik yYxXPzZP
),(
),()(?,2,1?k
当 ( X,Y )为连续 r.v.时，
)()( zZPzF Z )),(( zYXgP
zD
d x d yyxf ),(
}),(|),{(,zyxgyxD z?其中
Ch3-112
-1
- 0,5
0
0,5
1
-1
- 0,5
0
0,5
1
0
0,2 5
0,5
0,7 5
1
}),(|),{(,zyxgyxD z?的几何意义：
Dz
Ch3-113
例 1设二维 r.v.( X,Y )的概率分布为
X
Y
pij -1 1 2
-1
0
41 61
41 81 121
81
求 XYXYYXYX,,, 的概率分布离散型二维 r.v.的函数
Ch3-114
解 根据 ( X,Y )的联合分布可得如下表格：
P 41 41 61 8181 121
X +Y
X -Y
X Y
Y / X
( X,Y ) (-1,-1) (-1,0)(1,-1) (1,0) (2,-1) (2,0)
-2 -1 0 1 1 2
0 -1 2 1 3 2
1 0 -1 0 -2 0
1 0 -1 0 -1/2 0
Ch3-115
故得
P
X+Y -2 -1 0 1 2
41 41 4161 121
P
X - Y -1 0 1 2 3
41 41 4181 81
Ch3-116
P
X Y -2 -1 0 1
61 4181 2411
P
Y /X -1 -1/2 0 1
4181 241161
Ch3-117
设 X ~B (n1,p),Y ~B (n2,p),且独立，
具有可加性的两个离散分布
设 X ~ P (?1),Y ~ P (?2),且独立，
则 X + Y ~ B ( n1+n2,p)
则 X + Y ~ P(?1+?2)
Ch3-118
X ~ P(?1),Y ~ P(?2),则
Z = X + Y 的可能取值为 0,1,2,?,,),()(
0
k
i
ikYiXPkZP
k
i
iki
ik
e
i
e
0
21
)!(!
21
k
i
iki
iki
k
k
e
0
21)!(!
!
!
21
!
)( 2121
k
ek
,2,1,0?k
Poisson分布可加性的证明
Ch3-119
问题 已知 r.v.( X,Y )的 d.f.数，
g(x,y)为已知的二元函数，
求 Z= g( X,Y ) 的 d.f.
方法
从求 Z 的分布函数出发,将 Z 的分布函数转化为 ( X,Y )的事件
建立新的二维 r.v.(Z,X )或 (Z,Y ),
求其边缘分布得 Z 的 d.f.
二维连续 r.v.函数的分布
Ch3-120(1) 和的分布,Z = X + Y
设 ( X,Y )的联合 d.f.为 f (x,y),则
z
z
)()( zZPzF Z
)( zYXP
zyx
d xd yyxf ),(
xz dyyxfdx ),(
或
yz dxyxfdy ),( z
Ch3-121
特别地，若 X,Y 相互独立，则
dxxzxfzf Z ),()(
)3( z
dyyyzfzf Z ),()(或
dxxzfxfzf YXZ )()()(
dyyfyzfzf YXZ )()()(或
)()( zfzf YX
记作
)()( zfzf YX
记作
)1( z
)2( z
)4( z
称之为函数 f X ( z) 与 f Y ( z)的 卷积
Ch3-122
例 2 已知 ( X,Y ) 的联合 d.f.为
其他,0
10,10,1
),(
yx
yxf
Z = X + Y,求 f Z (z)
解法一 （ 图形定限法 ）
其他,0
10,1
)(
x
xf X
其他,0
10,1
)(
y
yf Y
显然 X,Y 相互独立,且
Ch3-123
dxxzfxfzf YXZ )()()(
10 )( dxxzf Y
其他,0
1,1
)(
zxz
xzf Y
z
1
z = x
1
0
)( dxxzf Y,20,0 zz 或,10,1
0 zdx
z
,21,11 1 zdxz
x
2
1
Ch3-124
21,2
10,
20,0
)(
zz
zz
zz
zf Z
或解法二 从分布函数出发
)()( zYXPzF Z
zyx
d xd yyxf ),(
当 z < 0 时，
0)(?zF Z
1
y
x
1
Ch3-125
当 0? z < 1 时，
xzzZ dydxzF 00 1)(
z dxxz0 )(
2/2z?
zzf Z?)(
y
x
1
1
z
z
Ch3-126
当 1? z < 2 时，
xz
z
dydx
0
1
1
1
1 1 )(1 z dxxzz
12/2 2 zz
zzf Z 2)(
z-1
1
y
x
1?z
z
)1()( zzF Z
Ch3-127
1
y
x
1
2
2当 2? z 时，
1)(?zF Z
0)(?zf Z
21,2
10,
20,0
)(
zz
zz
zz
zf
Z
或
Ch3-128
例 3 已知 ( X,Y ) 的联合 d.f.为
其他,0
0,10,3
),(
xyxx
yxf
Z = X + Y,求 f Z (z)
解法一 （ 图形定限法 ）
dxxzxfzf Z ),()(由公式（ 1）
Ch3-129
z
x
x = 1
1
2
当 z < 0 或 z > 2,
z
z
z
z
当 0 ≤ z < 1,2
2/ 8
93)( zx d xzf z
zZ
当 1 ≤ z < 2,
)
4
1(
2
33)( 21
2/
zx d xzf
zZ
f Z (z) = 0
其他,0
2,10,3
),(
xzxxx
xzxf
Ch3-130
其他,0
21),
4
1(
2
3
10,
8
9
)(
2
2
z
z
zz
zf
Z
这比用分布函数做简便
Ch3-131解法二 （ 不等式组定限法 ）
dxxzxfzf Z ),()(
考虑被积函数取非零值的区域
xxz
x
0
10
)(
10
2
zx
x
z
令不等式边边相等,解得 z 轴上的三个分界点 0,1,2
当 或 时不等式组 无解20 zz )(?
10 z当 时不等式组 解为)(? zxz
2
当 时不等式组 解为21 z )(? 1
2 xz
Ch3-132
其他0
21)1(3
103
)(
1
42
3
2
8
9
2
2
2
zx dx
zzx dx
zf
z
z
z
z
Z
Ch3-133
正态随机变量的结论
若 X,Y 相互独立,),(~),,(~ 222211 NYNX
则 ),(~ 222121 NYX
若 (X,Y ) );,;,(~ 222211N
则 )2,(~ 22212121 NYX
niNX iii,,2,1),,(~ 2
若 nXXX,,,21?相互独立则 ),(~
1
2
11
n
i
i
n
i
i
n
i
i NX
推广
Ch3-134
已知 ( X,Y )的联合 d.f,f (x,y)
求 Z = aX +bY + c 的 d.f.,
其中 a,b,c为常数,a,b? 0
.).(,
||
1
)( eazdx
b
caxz
xf
b
zf Z
.).(,
||
1
)( eazdyy
a
cbyz
f
a
zf Z
（证明见后面附录）
补充作业
Ch3-135
另一种计算 f Z (z) 的方法
构造一个新的二维 r.v,(Z,V ),
求 ( Z,V ) 的联合 d.f,f ( z,v )
求边缘密度 f Z (z)
),(
),(
YXrV
YXgZ其中随机变量代换法
Ch3-136
设
),(
),(
yxrv
yxgz 存在 唯一 的反函数：
h,s 有连续的偏导数,v
s
z
s
v
h
z
h
J
),(
),(
vzsy
vzhx
则已知 ( X,Y )的联合 d.f,f XY ( x,y )
求 (Z,V ) 的 p.d.f,f ZV(z,v) 的公式记
||)],(),,([),( Jvzsvzhfvzf XYZV?
Ch3-137
证 ),(),( vVzZPvzF
ZV
)),(,),(( vYXrzYXgP
d x d yyxf
vyxr
zyxg
XY
),(
),(
),(
z v
XY d v d zJvzsvzhf ||)],(),,([
||)],(),,([),( Jvzsvzhfvzf XYZV?
Ch3-138
例如 已知 (X,Y )的联合 d.f,f (x,y)，
Z = X / Y,求 f Z (z)令
YV
YXZ /
VY
ZVX
|||
10
||| v
zv
J
||,),( vvzvfvzf ZV?
dvvzfzf ZVZ ),()(
dvvvzuf ||),(
(2) 商的分布,Z = X / Y
Ch3-139
例 4已知 ( X,Y ) 的联合分布函数为
其他,0
0,0,1
),(
)( yxeee
yxF
yxyx
求 Z = X / Y 的 p.d.f.
解
其他,0
0,0,
),(
)( yxe
yxf
yx
dvvvzvfzf Z ||),()(
他其,0
0,0,
),(
)( vze
vzvf
vzv
Ch3-140
(3) 平方和的分布,Z = X 2+Y 2
设 (X,Y )的联合 d.f,为 f (x,y),则
)()( 22 zYXPzF Z
,0),(
,0,0
22
zd xd yyxf
z
zyx
,0,)s in,c o s(
,0,0
0
2
0
zr d rrrfd
z
z
Ch3-141
例如,X ~ N(0,1),Y ~ N(0,1),X,Y 相互独立,Z = X 2+Y 2,则
,0,
2
1
2
1
2
1
,0,0
)( 2
0
2
s i n
2
c o s 22
zdee
z
zf zzZ
,0,
2
1
,0,0
)(
2 ze
z
zf zZ
自由度为 2
的? 2分布称为
,0,)s in,c o s(2
1
,0,0
)( 2
0
zdzzf
z
zf Z?
Ch3-142
(4) 极值分布：即极大 (小 )值的分布离散随机变量的极值分布可直接计算仅就独立情形讨论极值分布
Ch3-143
max{X,Y }
P
1 0
0.75 0.25
例 5 X,Y 相互独立,都服从参数为 0.5 的
0-1分布,求 M = max{X,Y }的概率分布解 Y Xpij 1 0
1
0
0.25 0.25
0.25 0.25
Ch3-144设连续随机变量 X,Y 相互独立,X ~ F
X (x),
Y ~ FY (y),M = max{X,Y },N = min{X,Y },
求 M,N 的分布函数,
)},( m a x {)( uYXPuF M
),( uYuXP
)()( uYPuXP
)()( uFuF YX?
Ch3-145
)},( m i n {)( vYXPvF N
)},( m in {1 vYXP
),(1 vYvXP
)()(1 vYPvXP
.)](1)][(1[1 vFvF YX
Ch3-146推广
nXXX,,,21?相互独立，且
nixFX iii,,2,1),(~
设
},,,m in {
},,,m a x {
21
21
n
n
XXXN
XXXM
则?
n
i
iN
n
i
iM
vFvF
uFuF
1
1
))(1(1)(
)()(
Ch3-147
例 6 系统 L 由相互独立的 n 个元件组
(4) L 为 n 个取 k 个的表决系统 ( 即 n
个元件中有 k 个或 k 个以上的元件正常工作时，系统 L 才正常工作 ).
(3) 冷贮备 ( 起初由一个元件工作,其它
n – 1 个元件做冷贮备,当工作元件失效时,贮备的元件逐个地自动替换 )；
成,其连接方式为 (1)串联 ; (2)并联；
Ch3-148
若 n 个元件寿命分别为 nXXX,,,21?
niEX i,,2,1),(~
且求在以上 4 种组成方式下,系统 L 的寿命 X 的 d.f.
解
其它,0
0,
)( i
x
iX
xe
xf
i
i
其它,0
0,1
)( i
x
iX
xe
xF
i
i
Ch3-149
(1) },,,m i n { 21 nXXXX
n
i
XX xFxF i
1
))(1(1)(
0,0
0,
)(
x
xen
xf
xn
X
0,1
,0,
)(1
x
xe
xF
x
X i
Ch3-150
(2) },,,m a x { 21 nXXXX
n
i
XX xFxF i
1
)()(
0,0
0,)1(
)(
1
x
xeen
xf
nxx
X
0,0
,0,)1(
x
xe nx?
Ch3-151
(3) nXXXX21
dttxftfxf XXXX )()()( 2121
n = 2 时，
0,0
0,
0
)(
x
xdtee
x txt
0,0
0,
x
xxe x?
t
x
Ch3-152
dttxftfxf XXXXXX )()()( 321321
0,0
0,
0
)(
x
xdtete
x txt
0,0
0,
!2
2
x
xe
x x?
可证,X 1+ X 2 与 X 3 也相互独立,故
Ch3-153
0,0
0,
)!1()(
1
x
xe
n
x
xf
x
n
X
归纳地可以证明，
Ch3-154
(4) )()( xXPxF X
0,0
,0),(1
x
xxP
xkXXPxXP n 个大于中至少有,,)( 1
n
kj
jnjj
n xXPxXPC )()( 11
0,0
0,11
)(
x
xeeC
xF
n
kj
jnxjxj
n
X
Ch3-155
n
kj
jnxjxj
n eeCdx
d 1)
1
1
)1(
1
1)(
1
n
kj
jn
xxjj
n
xn
n
kj
jn
xjxj
n
eejnC
enejeC
1
1
)1(1
1)1(
1
n
kj
jn
xxjj
n
n
kj
jn
xjxj
n
eejC
ejeC
Ch3-156
n
kj
jn
xjxj
n
n
kj
jn
xjxj
n
eejC
ejeC
1
1
1
knxxkk
n eekC
)1(
0,0
0,)1(
)(
x
xeekC
xf
knxxkk
n
X
Ch3-157
作业 P.134习题三
20 22
23 26
29 30
Ch3-158
第 9周 问 题设随机变量 X 与 Y 相互独立，且
.)(~,)6.0,1(~ yfYBX
求随机变量 YXZ 3 的概率密度
.)( zg函数
Ch3-159
问 题第 10周某民营企业生产的某产品每周的需求量 X (单位,箱 ) 取 [1,5]上的每个整数值是等可能的,生产每箱产品的成本是
300元,出厂价每箱 900元,若售不出,则每箱以 100元的保管费借冷库保存,问该企业每周生产多少产品能使获利的期望值最大？
Ch3-160
设 X 与 Y 相互独立,且
X ~ B (n,p),Y ~ B (m,p),
则二项分布可加性的证明附 录
X + Y ~ B ( n + m,p)
证 Z = X + Y 的可能取值为
0,1,2,?,n + m
k
mn
k
i
ik
m
i
n CCC?
0
（证明中用到 ）
Ch3-161,),()(
0
k
i
ikYiXPkZP
,)()(
0
k
i
ikYPiXP
k
i
ikmikik
m
inii
n ppCppC
0
)1()1(
kmnkk
mn ppC
)1(
k = 0,1,2,?,n + m
所以 X +Y~ B ( n+m,p )
Ch3-162
,),()(
0
k
i
ikYiXPkZP
(1) 设 n? m,当 k? n 时，
,)()(
0
k
i
ikYPiXP
k
i
ikmikik
m
inii
n ppCppC
0
)1()1(
kmnkk
mn ppC
)1(
k
mn
k
i
ik
m
i
n CCC?
0
其中证二
Ch3-163
(2) 当 n < k? m 时
n
i
ikYiXPkZP
0
),()(
n
i
ikmikik
m
inii
n ppCppC
0
)1()1(
kmnkk
mn ppC
)1(
Ch3-164
(3) 当 m < k? n + m 时
n
mki
ikYiXPkZP ),()(
n
mki
ikmikik
m
inii
n ppCppC )1()1(
kmnkk
mn ppC
)1(故
X + Y ~ B ( n + m,p)
由二项分布背景,不难理解 X+Y 表示做了 n + m 次试验,事件 发生的次数,A
Ch3-165
前例 3已知 ( X,Y )的联合密度函数为
其他,0
0,10,3
),(
xyxx
yxf
Z = X + Y,求 f Z (z)
解法三 令
YU
YXZ
UY
UZX
1|
10
11
|||?
J
Ch3-166
1),(),( uuzfuzf ZU
其他,0
0,10),(3 uzuuzuz
其他,0
10,12),(3 uuzuuz
2
u
z
1
1
Ch3-167
duuzfzf ZUZ ),()(
其他,0
21,
4
1
2
3
)(3
10,
8
9
)(3
2
2
1
2
2
0
z
z
duuz
zzduuz
z
z
z
2
u
z
Ch3-168
附例 已知 ( X,Y )的联合密度函数为
其他,0
0,10,3
),(
xyxx
yxf
Z = 3 X – 2 Y,求 f Z (z)
解 令
YU
YXZ 23
UY
UZX )2(
3
1
3
1
|
10
3231
|||J
Ch3-169
3
1
),2(
3
1
),(
uuzfuzf
ZU
其他,0
)2(
3
1
0,1)2(
3
1
0),2(
3
1
uzuuzuz
其他,0
10,23),2(
3
1
uuzuuz
u
z
3
1
1
Ch3-170
duuzfzf ZUZ ),()(
其他,0
31,9
12
1
)2(
3
1
10,
3
2
)2(
3
1
2
2
3
0
2
0
zzduuz
zzduuz
z
z
u
z
3
1
1 z
z
z
z
Ch3-171
附例 已知 ( X,Y ) 的联合密度 f (x,y)
求 Z = aX +bY + c 的密度函数,
其中 a,b,c为常数,a,b? 0
令
YU
cbYXaZ?
UY
a
cbUZ
X
||
1
|
10
1
|||
a
a
b
aJ?
Ch3-172
||
1
,),(
a
u
a
cbuz
fuzf ZU?
du
a
u
a
cbuz
fzf Z
||
1
,)(
由此得
§ 3.4 二维 r.v.函数的分布已知 r.v.( X,Y )的概率分布,
g(x,y) 为已知的二元函数,
转化为 ( X,Y )的事件问题方法求 Z = g( X,Y )的概率分布
Ch3-111
当 ( X,Y )为离散 r.v.时,Z 也离散
),( kk jik yxgzZ
kkjki
kk
zyxg
jik yYxXPzZP
),(
),()(?,2,1?k
当 ( X,Y )为连续 r.v.时，
)()( zZPzF Z )),(( zYXgP
zD
d x d yyxf ),(
}),(|),{(,zyxgyxD z?其中
Ch3-112
-1
- 0,5
0
0,5
1
-1
- 0,5
0
0,5
1
0
0,2 5
0,5
0,7 5
1
}),(|),{(,zyxgyxD z?的几何意义：
Dz
Ch3-113
例 1设二维 r.v.( X,Y )的概率分布为
X
Y
pij -1 1 2
-1
0
41 61
41 81 121
81
求 XYXYYXYX,,, 的概率分布离散型二维 r.v.的函数
Ch3-114
解 根据 ( X,Y )的联合分布可得如下表格：
P 41 41 61 8181 121
X +Y
X -Y
X Y
Y / X
( X,Y ) (-1,-1) (-1,0)(1,-1) (1,0) (2,-1) (2,0)
-2 -1 0 1 1 2
0 -1 2 1 3 2
1 0 -1 0 -2 0
1 0 -1 0 -1/2 0
Ch3-115
故得
P
X+Y -2 -1 0 1 2
41 41 4161 121
P
X - Y -1 0 1 2 3
41 41 4181 81
Ch3-116
P
X Y -2 -1 0 1
61 4181 2411
P
Y /X -1 -1/2 0 1
4181 241161
Ch3-117
设 X ~B (n1,p),Y ~B (n2,p),且独立，
具有可加性的两个离散分布
设 X ~ P (?1),Y ~ P (?2),且独立，
则 X + Y ~ B ( n1+n2,p)
则 X + Y ~ P(?1+?2)
Ch3-118
X ~ P(?1),Y ~ P(?2),则
Z = X + Y 的可能取值为 0,1,2,?,,),()(
0
k
i
ikYiXPkZP
k
i
iki
ik
e
i
e
0
21
)!(!
21
k
i
iki
iki
k
k
e
0
21)!(!
!
!
21
!
)( 2121
k
ek
,2,1,0?k
Poisson分布可加性的证明
Ch3-119
问题 已知 r.v.( X,Y )的 d.f.数，
g(x,y)为已知的二元函数，
求 Z= g( X,Y ) 的 d.f.
方法
从求 Z 的分布函数出发,将 Z 的分布函数转化为 ( X,Y )的事件
建立新的二维 r.v.(Z,X )或 (Z,Y ),
求其边缘分布得 Z 的 d.f.
二维连续 r.v.函数的分布
Ch3-120(1) 和的分布,Z = X + Y
设 ( X,Y )的联合 d.f.为 f (x,y),则
z
z
)()( zZPzF Z
)( zYXP
zyx
d xd yyxf ),(
xz dyyxfdx ),(
或
yz dxyxfdy ),( z
Ch3-121
特别地，若 X,Y 相互独立，则
dxxzxfzf Z ),()(
)3( z
dyyyzfzf Z ),()(或
dxxzfxfzf YXZ )()()(
dyyfyzfzf YXZ )()()(或
)()( zfzf YX
记作
)()( zfzf YX
记作
)1( z
)2( z
)4( z
称之为函数 f X ( z) 与 f Y ( z)的 卷积
Ch3-122
例 2 已知 ( X,Y ) 的联合 d.f.为
其他,0
10,10,1
),(
yx
yxf
Z = X + Y,求 f Z (z)
解法一 （ 图形定限法 ）
其他,0
10,1
)(
x
xf X
其他,0
10,1
)(
y
yf Y
显然 X,Y 相互独立,且
Ch3-123
dxxzfxfzf YXZ )()()(
10 )( dxxzf Y
其他,0
1,1
)(
zxz
xzf Y
z
1
z = x
1
0
)( dxxzf Y,20,0 zz 或,10,1
0 zdx
z
,21,11 1 zdxz
x
2
1
Ch3-124
21,2
10,
20,0
)(
zz
zz
zz
zf Z
或解法二 从分布函数出发
)()( zYXPzF Z
zyx
d xd yyxf ),(
当 z < 0 时，
0)(?zF Z
1
y
x
1
Ch3-125
当 0? z < 1 时，
xzzZ dydxzF 00 1)(
z dxxz0 )(
2/2z?
zzf Z?)(
y
x
1
1
z
z
Ch3-126
当 1? z < 2 时，
xz
z
dydx
0
1
1
1
1 1 )(1 z dxxzz
12/2 2 zz
zzf Z 2)(
z-1
1
y
x
1?z
z
)1()( zzF Z
Ch3-127
1
y
x
1
2
2当 2? z 时，
1)(?zF Z
0)(?zf Z
21,2
10,
20,0
)(
zz
zz
zz
zf
Z
或
Ch3-128
例 3 已知 ( X,Y ) 的联合 d.f.为
其他,0
0,10,3
),(
xyxx
yxf
Z = X + Y,求 f Z (z)
解法一 （ 图形定限法 ）
dxxzxfzf Z ),()(由公式（ 1）
Ch3-129
z
x
x = 1
1
2
当 z < 0 或 z > 2,
z
z
z
z
当 0 ≤ z < 1,2
2/ 8
93)( zx d xzf z
zZ
当 1 ≤ z < 2,
)
4
1(
2
33)( 21
2/
zx d xzf
zZ
f Z (z) = 0
其他,0
2,10,3
),(
xzxxx
xzxf
Ch3-130
其他,0
21),
4
1(
2
3
10,
8
9
)(
2
2
z
z
zz
zf
Z
这比用分布函数做简便
Ch3-131解法二 （ 不等式组定限法 ）
dxxzxfzf Z ),()(
考虑被积函数取非零值的区域
xxz
x
0
10
)(
10
2
zx
x
z
令不等式边边相等,解得 z 轴上的三个分界点 0,1,2
当 或 时不等式组 无解20 zz )(?
10 z当 时不等式组 解为)(? zxz
2
当 时不等式组 解为21 z )(? 1
2 xz
Ch3-132
其他0
21)1(3
103
)(
1
42
3
2
8
9
2
2
2
zx dx
zzx dx
zf
z
z
z
z
Z
Ch3-133
正态随机变量的结论
若 X,Y 相互独立,),(~),,(~ 222211 NYNX
则 ),(~ 222121 NYX
若 (X,Y ) );,;,(~ 222211N
则 )2,(~ 22212121 NYX
niNX iii,,2,1),,(~ 2
若 nXXX,,,21?相互独立则 ),(~
1
2
11
n
i
i
n
i
i
n
i
i NX
推广
Ch3-134
已知 ( X,Y )的联合 d.f,f (x,y)
求 Z = aX +bY + c 的 d.f.,
其中 a,b,c为常数,a,b? 0
.).(,
||
1
)( eazdx
b
caxz
xf
b
zf Z
.).(,
||
1
)( eazdyy
a
cbyz
f
a
zf Z
（证明见后面附录）
补充作业
Ch3-135
另一种计算 f Z (z) 的方法
构造一个新的二维 r.v,(Z,V ),
求 ( Z,V ) 的联合 d.f,f ( z,v )
求边缘密度 f Z (z)
),(
),(
YXrV
YXgZ其中随机变量代换法
Ch3-136
设
),(
),(
yxrv
yxgz 存在 唯一 的反函数：
h,s 有连续的偏导数,v
s
z
s
v
h
z
h
J
),(
),(
vzsy
vzhx
则已知 ( X,Y )的联合 d.f,f XY ( x,y )
求 (Z,V ) 的 p.d.f,f ZV(z,v) 的公式记
||)],(),,([),( Jvzsvzhfvzf XYZV?
Ch3-137
证 ),(),( vVzZPvzF
ZV
)),(,),(( vYXrzYXgP
d x d yyxf
vyxr
zyxg
XY
),(
),(
),(
z v
XY d v d zJvzsvzhf ||)],(),,([
||)],(),,([),( Jvzsvzhfvzf XYZV?
Ch3-138
例如 已知 (X,Y )的联合 d.f,f (x,y)，
Z = X / Y,求 f Z (z)令
YV
YXZ /
VY
ZVX
|||
10
||| v
zv
J
||,),( vvzvfvzf ZV?
dvvzfzf ZVZ ),()(
dvvvzuf ||),(
(2) 商的分布,Z = X / Y
Ch3-139
例 4已知 ( X,Y ) 的联合分布函数为
其他,0
0,0,1
),(
)( yxeee
yxF
yxyx
求 Z = X / Y 的 p.d.f.
解
其他,0
0,0,
),(
)( yxe
yxf
yx
dvvvzvfzf Z ||),()(
他其,0
0,0,
),(
)( vze
vzvf
vzv
Ch3-140
(3) 平方和的分布,Z = X 2+Y 2
设 (X,Y )的联合 d.f,为 f (x,y),则
)()( 22 zYXPzF Z
,0),(
,0,0
22
zd xd yyxf
z
zyx
,0,)s in,c o s(
,0,0
0
2
0
zr d rrrfd
z
z
Ch3-141
例如,X ~ N(0,1),Y ~ N(0,1),X,Y 相互独立,Z = X 2+Y 2,则
,0,
2
1
2
1
2
1
,0,0
)( 2
0
2
s i n
2
c o s 22
zdee
z
zf zzZ
,0,
2
1
,0,0
)(
2 ze
z
zf zZ
自由度为 2
的? 2分布称为
,0,)s in,c o s(2
1
,0,0
)( 2
0
zdzzf
z
zf Z?
Ch3-142
(4) 极值分布：即极大 (小 )值的分布离散随机变量的极值分布可直接计算仅就独立情形讨论极值分布
Ch3-143
max{X,Y }
P
1 0
0.75 0.25
例 5 X,Y 相互独立,都服从参数为 0.5 的
0-1分布,求 M = max{X,Y }的概率分布解 Y Xpij 1 0
1
0
0.25 0.25
0.25 0.25
Ch3-144设连续随机变量 X,Y 相互独立,X ~ F
X (x),
Y ~ FY (y),M = max{X,Y },N = min{X,Y },
求 M,N 的分布函数,
)},( m a x {)( uYXPuF M
),( uYuXP
)()( uYPuXP
)()( uFuF YX?
Ch3-145
)},( m i n {)( vYXPvF N
)},( m in {1 vYXP
),(1 vYvXP
)()(1 vYPvXP
.)](1)][(1[1 vFvF YX
Ch3-146推广
nXXX,,,21?相互独立，且
nixFX iii,,2,1),(~
设
},,,m in {
},,,m a x {
21
21
n
n
XXXN
XXXM
则?
n
i
iN
n
i
iM
vFvF
uFuF
1
1
))(1(1)(
)()(
Ch3-147
例 6 系统 L 由相互独立的 n 个元件组
(4) L 为 n 个取 k 个的表决系统 ( 即 n
个元件中有 k 个或 k 个以上的元件正常工作时，系统 L 才正常工作 ).
(3) 冷贮备 ( 起初由一个元件工作,其它
n – 1 个元件做冷贮备,当工作元件失效时,贮备的元件逐个地自动替换 )；
成,其连接方式为 (1)串联 ; (2)并联；
Ch3-148
若 n 个元件寿命分别为 nXXX,,,21?
niEX i,,2,1),(~
且求在以上 4 种组成方式下,系统 L 的寿命 X 的 d.f.
解
其它,0
0,
)( i
x
iX
xe
xf
i
i
其它,0
0,1
)( i
x
iX
xe
xF
i
i
Ch3-149
(1) },,,m i n { 21 nXXXX
n
i
XX xFxF i
1
))(1(1)(
0,0
0,
)(
x
xen
xf
xn
X
0,1
,0,
)(1
x
xe
xF
x
X i
Ch3-150
(2) },,,m a x { 21 nXXXX
n
i
XX xFxF i
1
)()(
0,0
0,)1(
)(
1
x
xeen
xf
nxx
X
0,0
,0,)1(
x
xe nx?
Ch3-151
(3) nXXXX21
dttxftfxf XXXX )()()( 2121
n = 2 时，
0,0
0,
0
)(
x
xdtee
x txt
0,0
0,
x
xxe x?
t
x
Ch3-152
dttxftfxf XXXXXX )()()( 321321
0,0
0,
0
)(
x
xdtete
x txt
0,0
0,
!2
2
x
xe
x x?
可证,X 1+ X 2 与 X 3 也相互独立,故
Ch3-153
0,0
0,
)!1()(
1
x
xe
n
x
xf
x
n
X
归纳地可以证明，
Ch3-154
(4) )()( xXPxF X
0,0
,0),(1
x
xxP
xkXXPxXP n 个大于中至少有,,)( 1
n
kj
jnjj
n xXPxXPC )()( 11
0,0
0,11
)(
x
xeeC
xF
n
kj
jnxjxj
n
X
Ch3-155
n
kj
jnxjxj
n eeCdx
d 1)
1
1
)1(
1
1)(
1
n
kj
jn
xxjj
n
xn
n
kj
jn
xjxj
n
eejnC
enejeC
1
1
)1(1
1)1(
1
n
kj
jn
xxjj
n
n
kj
jn
xjxj
n
eejC
ejeC
Ch3-156
n
kj
jn
xjxj
n
n
kj
jn
xjxj
n
eejC
ejeC
1
1
1
knxxkk
n eekC
)1(
0,0
0,)1(
)(
x
xeekC
xf
knxxkk
n
X
Ch3-157
作业 P.134习题三
20 22
23 26
29 30
Ch3-158
第 9周 问 题设随机变量 X 与 Y 相互独立，且
.)(~,)6.0,1(~ yfYBX
求随机变量 YXZ 3 的概率密度
.)( zg函数
Ch3-159
问 题第 10周某民营企业生产的某产品每周的需求量 X (单位,箱 ) 取 [1,5]上的每个整数值是等可能的,生产每箱产品的成本是
300元,出厂价每箱 900元,若售不出,则每箱以 100元的保管费借冷库保存,问该企业每周生产多少产品能使获利的期望值最大？
Ch3-160
设 X 与 Y 相互独立,且
X ~ B (n,p),Y ~ B (m,p),
则二项分布可加性的证明附 录
X + Y ~ B ( n + m,p)
证 Z = X + Y 的可能取值为
0,1,2,?,n + m
k
mn
k
i
ik
m
i
n CCC?
0
（证明中用到 ）
Ch3-161,),()(
0
k
i
ikYiXPkZP
,)()(
0
k
i
ikYPiXP
k
i
ikmikik
m
inii
n ppCppC
0
)1()1(
kmnkk
mn ppC
)1(
k = 0,1,2,?,n + m
所以 X +Y~ B ( n+m,p )
Ch3-162
,),()(
0
k
i
ikYiXPkZP
(1) 设 n? m,当 k? n 时，
,)()(
0
k
i
ikYPiXP
k
i
ikmikik
m
inii
n ppCppC
0
)1()1(
kmnkk
mn ppC
)1(
k
mn
k
i
ik
m
i
n CCC?
0
其中证二
Ch3-163
(2) 当 n < k? m 时
n
i
ikYiXPkZP
0
),()(
n
i
ikmikik
m
inii
n ppCppC
0
)1()1(
kmnkk
mn ppC
)1(
Ch3-164
(3) 当 m < k? n + m 时
n
mki
ikYiXPkZP ),()(
n
mki
ikmikik
m
inii
n ppCppC )1()1(
kmnkk
mn ppC
)1(故
X + Y ~ B ( n + m,p)
由二项分布背景,不难理解 X+Y 表示做了 n + m 次试验,事件 发生的次数,A
Ch3-165
前例 3已知 ( X,Y )的联合密度函数为
其他,0
0,10,3
),(
xyxx
yxf
Z = X + Y,求 f Z (z)
解法三 令
YU
YXZ
UY
UZX
1|
10
11
|||?
J
Ch3-166
1),(),( uuzfuzf ZU
其他,0
0,10),(3 uzuuzuz
其他,0
10,12),(3 uuzuuz
2
u
z
1
1
Ch3-167
duuzfzf ZUZ ),()(
其他,0
21,
4
1
2
3
)(3
10,
8
9
)(3
2
2
1
2
2
0
z
z
duuz
zzduuz
z
z
z
2
u
z
Ch3-168
附例 已知 ( X,Y )的联合密度函数为
其他,0
0,10,3
),(
xyxx
yxf
Z = 3 X – 2 Y,求 f Z (z)
解 令
YU
YXZ 23
UY
UZX )2(
3
1
3
1
|
10
3231
|||J
Ch3-169
3
1
),2(
3
1
),(
uuzfuzf
ZU
其他,0
)2(
3
1
0,1)2(
3
1
0),2(
3
1
uzuuzuz
其他,0
10,23),2(
3
1
uuzuuz
u
z
3
1
1
Ch3-170
duuzfzf ZUZ ),()(
其他,0
31,9
12
1
)2(
3
1
10,
3
2
)2(
3
1
2
2
3
0
2
0
zzduuz
zzduuz
z
z
u
z
3
1
1 z
z
z
z
Ch3-171
附例 已知 ( X,Y ) 的联合密度 f (x,y)
求 Z = aX +bY + c 的密度函数,
其中 a,b,c为常数,a,b? 0
令
YU
cbYXaZ?
UY
a
cbUZ
X
||
1
|
10
1
|||
a
a
b
aJ?
Ch3-172
||
1
,),(
a
u
a
cbuz
fuzf ZU?
du
a
u
a
cbuz
fzf Z
||
1
,)(
由此得
