§ 3.2 二维 r.v.的条件分布
,2,1,,),( jipyYxXP ijji
设二维离散型 r.v,( X,Y )的分布若 0)(
1
j
ijii pxXPp
则称
i
ij
i
ji
p
p
xXP
yYxXP
)(
),(
为 在 X = xi 的条件下,Y 的条件分布律
,2,1?j
)( ij xXyYP
记作二维离散 r.v.的条件分布律若,0)(
1
i
ijjj pyYPp
则称
j
ij
j
ji
p
p
yYP
yYxXP
)(
),(
为 在 Y = yj 的条件下 X 的条件分布律
,2,1?i
)( ji yYxXP
记作类似乘法公式
)()(),( ijiji xXyYPxXPyYxXP
)()( jij yYxXPyYP
或
,2,1,?ji
类似于全概率公式 ),()(
11
j
ji
j
iji yYxXPpxXP
)()(
1
j
j
ji yYPyYxXP
,2,1?i
),()(
11
i
ji
i
ijj yYxXPpyYP
)()(
1
i
i
ij xXPxXyYP
,2,1?j
例 1 把三个球等可能地放入编号为 1,
2,3 的三个盒子中,每盒可容球数无限,记 X 为落入 1 号盒的球数,Y 为落入 2 号盒的球数，求
(1) 在 Y = 0 的条件下,X 的 分布律；
(2) 在 X = 2 的条件下,Y 的 分布律,
解 先求联合分布，
)()(),( iXjYPiXPjYiXP
jij
j
i
ii
i CC
3
3
3
3
2
1
2
1
3
2
3
1;3,2,1,0;3,,0 iij?
其联合分布与边缘分布如下表所示
X
Y
pij 0 1 2 3
0
1
2
3
27
1 27
1
27
1
27
1
9
1
9
1
27
1
0
0
0
9
1
9
1
0
0
9
1
9
1
9
2
0
pi? 27
8
27
8
9
2
9
2
9
4
9
4
1
p? j
X
)0( YiXP
0 1 2 3
8/1 8/3 8/18/3
将表中第一行数据代入得条件分布
)0(
)0,(
)0(
YP
YiXP
YiXP
27/8
)0,(
YiXP 3,2,1,0?i
(1)
Y
)2( XjYP
0 1
2/1 2/1
(2) 当 X = 2 时,Y 只可能取 0 与 1.
将表中第三列数据代入下式
)2( XjYP,
9/2
),2( jYXP
1,0?j
得 Y 的条件分布解例 2 已知一射手每次击中目标概率为
p ( 0 < p < 1 ),射击进行到击中两次为止,令 X 表示首次击中目标所需射击次数,Y 表示总共射击次数,求 的联合分布律、条件分布律 和 边缘分布律,
),( YX
,)(~ pGX由题设知故 X 与 Y 的边缘分布律分别为
,)1( 1 mpp )( mXP?,2,1?m
),2(~ pPY
)( nYP,3,2?n,)1()1( 22 nppn
22 )1( npp
)()( mXnYPmXP
,3,2;1,,2,1 nnm
),2,1;,2,1( mmnm
的联合分布律为),( YX
11 )1()1( mnm pppp
),( nYmXP
律为
)(
),(
)(
nYP
nYmXP
nYmXP
1,,2,1 nm?
1
1
)1()1(
)1(
22
22
nppn
pp
n
n
当 时,X 的条件分布),3,2(nnY?
)(
),(
mXP
nYmXP
1
1
22
)1(
)1(
)1(
mn
m
n
pp
pp
pp
,2,1 mmn
)( mXnYP
律为当 时,Y 的条件分布),2,1(mmX?
二维连续型随机变量的条件分布和条件密度
()ijP X x Y y当 X 连续时,条件分布不能用来定义,因为,( ) 0
ijP X x Y y
()P X x Y y来定义,
而应该用
)(
),(
)(
yYyyP
yYyyxXP
yYyyxXP
x
y -?y
y
)()(
),(),(
yyFyF
yyxFyxF
YY
)()()(
)(),(),(
yyFyyF
yyxFyyxF
YY
y
设 0?y?
x
y -?y
y
dy
ydF
y
yxF
Y
)(
),(
)(
),(
yf
duyuf
Y
x
连续连续
,0)(
),(
yf
yxf
Y
)(
d e f.
yYxXP
)()()(
)(),(),(
lim
0 yyFyyF
yyxFyyxF
YY
y
若 f (x,y) 在点 (x,y) 连续,f Y (y)在点 y 处连续且 f Y (y) > 0,则称
dy
ydF
y
yxF
Y
)(
),(
)(
),(
yf
duyuf
Y
x
x
Y
du
yf
yuf
)(
),(
为 Y = y 时,X 的条件分布函数,记作
()XYF x y
定义
x
Y
du
yf
yuf
)(
),(
类似地,称
y
X
dv
xf
vxf
)(
),(
为 X = x 的条件下 Y 的条件分布函数 ;
()YXF y x
(,)
()X
f x y
fx
为 X = x 的条件下 Y 的条件 p.d.f.
)( xyf XY
(,)
()Y
f x y
fy
称为 Y = y 的条件下 X 的条件 p.d.f.
)( yxf YX
称注意
y是常数,对每一 fY (y) >0 的 y 处,只要
),( xyF XY )( xyf XY 相仿论述,
0)()()(),( xfxyfxfyxf XXYX
0)()()( yfyxfyf YYXY
),( yxF YX )( yxf YX 仅是 x 的函数,
类似于乘法公式：
符合定义的条件,都能定义相应的函数,
类似于全概率公式
dyyfyxfdyyxfxf YYXX )()(),()(
dxxfxyfdxyxfyf XXYY )()(),()(
类似于 Bayes公式
)(
),(
yf
yxf
Y
)( yxf
YX )(
)()(
yf
xfxyf
Y
XXY?
)(
),(
xf
yxf
X
)( xyf XY )(
)()(
xf
yfyxf
X
YYX?
例 3 已知 (X,Y )服从圆域 x2 + y2? r2 上的均匀分布,求 ),( yxf YX ).( xyf XY
r
解
其他,0
,
1
),(
222
2 ryxryxf?
dyyxfxf X ),()( rxrdy
r
xr
xr
,
122
22 2?
22 xr
22 xr
x
其他,0
,
2
2
22
rxr
r
xr
-r
其他,0=
同理，
dxyxfyf Y ),()(
其他,0
,
2
2
22
ryr
r
yr
边缘分布不是均匀分布！
)(
),(
yf
yxf
Y
)( yxf
YX
当 – r < y < r 时，
其他,0
,
2
1 2222
22
yrxyr
yr
22 yr
22 yr?
y
— 这里 y 是常数，当 Y = y 时,
2222,~ yryrUX
)(
),(
xf
yxf
X
)( xyf
XY
当 – r < x < r 时，
其他,0
,
2
1 2222
22
xryxr
xr
— 这里 x 是常数，当 X = x 时，
2222,~ xrxrUY
22 xr
22 xr
x
例 4 已知 ;,;,~),( 222211NYX
求 )( yxf YX
解
)( yxf YX )(
),(
yf
yxf
Y
2
2
2
2
2
2
2
2
21
21
2
1
2
1
2
2
)(
2
)())((
2
)(
)1(2
1
2
21
2
1
12
1
y
yyxx
e
e
)()(
)1(2
1
2
1
2
2
1
122
1
12
1
yx
e
同理，
)( xyf XY
)1(),(~ 22
21
1
2
2
xN
)1(),(~ 2212
2
1
1
yN)( yxf
YX
例 5 设
其他,0
10,0,8
),(
yyxxy
yxf
求 )( yxf YX )(,xyf XY
解 1
1
其他,0
10,8)(
1
xx y d yxf
xX
其他,0
10),1(4 2 xxx
1
1
其他,0
10,8)(
0
yxy d xyf
y
Y
其他,0
10,4 3 yy
当 0 < y < 1 时，
)( yxf YX )(
),(
yf
yxf
Y
y
其他,0
0,
2
2
yx
y
x
当 0 < x < 1 时，
1
1x
)(
),(
xf
yxf
X
)( xyf
XY
其他,0
1,
1
2
2 yxx
y
例 6 已知
)( xyf XY?
其他,0
1,
1
2
2
yx
x
y
其他,0
10),1(4
)(
2 xxx
xf X
求
2
1
3
2),5.0(),1( XYPYPYXP
解
1
1
)()(),( xfxyfyxf XXY?
当 f X(x) > 0 时，即 0 < x < 1 时，
其他,0
1,8 yxxy
当 f X(x) = 0 时,f (x,y) = 0
故
其他,0
10,0,8),( yyxxyyxf
x + y =1
)1( YXP
)5.0(?YP
1
1
0.5
y
y xyd xdy 1
1
5.0 86
5?
1
1
0.5 21
0 0
8y xyd xdy16
1?
2
1
3
2
XYP 1
10.5
3
2
32
2
1
dyyf XY
32
21 25.01
2 dyy
32 21 38 dyy
27
7?
8 7 6.6 脚印长度身高算出罪犯的身高,这个公式是公安人员根据收集到的罪犯脚印,通过公式由 脚印 估计罪犯 身高如何推导出来的?
显然，两者之间是有统计关系的，故
X设一个人身高为,脚印长度为,Y
由于影响人类身高与脚印的随机因素是大量的、相互独立的，且各因素的影响又是微小的,可以叠加的,故
),( YX应作为二维随机变量 来研究,
由中心极限定理知 可以近似看),( YX
.);,,,( 222211 uuN成服从二维正态分布
;,;,222211 uu其中参数 因区域,
民族、生活习惯的不同而有所变化,
但它们都能通过统计方法而获得,
密度为现已知罪犯的脚印长度为,要y
估计其身高就需计算条件期望,条件
)(
),(
)|(|
yf
yxf
yxf
Y
YX?
的密度函数,因此
))1(),(( 2212
2
1
1
uyuN这正是正态分布
)()|( 2
2
1
1 uyuyYXE
}
2
)(
e x p {
]}
)())((
2
)(
[
)1(2
1
e x p {
.
12
2
2
2
2
2
2
2
2
2
21
21
2
2
1
2
2
21
2
uy
uyuyuxux
如果按中国人的相应参数代入上式,即可得出以脚印长度作自变量的身高近似公式,
作业 P.133习题三
16 17
设随机变量 Z 服从参数为 1
的指数分布，引入随机变量：
21
20
11
10
Z
Z
Y
Z
Z
X
求 ( X,Y ) 的联合分布律和联合第 8周 问 题分布函数,
,2,1,,),( jipyYxXP ijji
设二维离散型 r.v,( X,Y )的分布若 0)(
1
j
ijii pxXPp
则称
i
ij
i
ji
p
p
xXP
yYxXP
)(
),(
为 在 X = xi 的条件下,Y 的条件分布律
,2,1?j
)( ij xXyYP
记作二维离散 r.v.的条件分布律若,0)(
1
i
ijjj pyYPp
则称
j
ij
j
ji
p
p
yYP
yYxXP
)(
),(
为 在 Y = yj 的条件下 X 的条件分布律
,2,1?i
)( ji yYxXP
记作类似乘法公式
)()(),( ijiji xXyYPxXPyYxXP
)()( jij yYxXPyYP
或
,2,1,?ji
类似于全概率公式 ),()(
11
j
ji
j
iji yYxXPpxXP
)()(
1
j
j
ji yYPyYxXP
,2,1?i
),()(
11
i
ji
i
ijj yYxXPpyYP
)()(
1
i
i
ij xXPxXyYP
,2,1?j
例 1 把三个球等可能地放入编号为 1,
2,3 的三个盒子中,每盒可容球数无限,记 X 为落入 1 号盒的球数,Y 为落入 2 号盒的球数，求
(1) 在 Y = 0 的条件下,X 的 分布律；
(2) 在 X = 2 的条件下,Y 的 分布律,
解 先求联合分布，
)()(),( iXjYPiXPjYiXP
jij
j
i
ii
i CC
3
3
3
3
2
1
2
1
3
2
3
1;3,2,1,0;3,,0 iij?
其联合分布与边缘分布如下表所示
X
Y
pij 0 1 2 3
0
1
2
3
27
1 27
1
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1
27
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1
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1
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1
p? j
X
)0( YiXP
0 1 2 3
8/1 8/3 8/18/3
将表中第一行数据代入得条件分布
)0(
)0,(
)0(
YP
YiXP
YiXP
27/8
)0,(
YiXP 3,2,1,0?i
(1)
Y
)2( XjYP
0 1
2/1 2/1
(2) 当 X = 2 时,Y 只可能取 0 与 1.
将表中第三列数据代入下式
)2( XjYP,
9/2
),2( jYXP
1,0?j
得 Y 的条件分布解例 2 已知一射手每次击中目标概率为
p ( 0 < p < 1 ),射击进行到击中两次为止,令 X 表示首次击中目标所需射击次数,Y 表示总共射击次数,求 的联合分布律、条件分布律 和 边缘分布律,
),( YX
,)(~ pGX由题设知故 X 与 Y 的边缘分布律分别为
,)1( 1 mpp )( mXP?,2,1?m
),2(~ pPY
)( nYP,3,2?n,)1()1( 22 nppn
22 )1( npp
)()( mXnYPmXP
,3,2;1,,2,1 nnm
),2,1;,2,1( mmnm
的联合分布律为),( YX
11 )1()1( mnm pppp
),( nYmXP
律为
)(
),(
)(
nYP
nYmXP
nYmXP
1,,2,1 nm?
1
1
)1()1(
)1(
22
22
nppn
pp
n
n
当 时,X 的条件分布),3,2(nnY?
)(
),(
mXP
nYmXP
1
1
22
)1(
)1(
)1(
mn
m
n
pp
pp
pp
,2,1 mmn
)( mXnYP
律为当 时,Y 的条件分布),2,1(mmX?
二维连续型随机变量的条件分布和条件密度
()ijP X x Y y当 X 连续时,条件分布不能用来定义,因为,( ) 0
ijP X x Y y
()P X x Y y来定义,
而应该用
)(
),(
)(
yYyyP
yYyyxXP
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x
y -?y
y
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),(),(
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YY
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YY
y
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x
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连续连续
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),(
yf
yxf
Y
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lim
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YY
y
若 f (x,y) 在点 (x,y) 连续,f Y (y)在点 y 处连续且 f Y (y) > 0,则称
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y
yxF
Y
)(
),(
)(
),(
yf
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Y
x
x
Y
du
yf
yuf
)(
),(
为 Y = y 时,X 的条件分布函数,记作
()XYF x y
定义
x
Y
du
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yuf
)(
),(
类似地,称
y
X
dv
xf
vxf
)(
),(
为 X = x 的条件下 Y 的条件分布函数 ;
()YXF y x
(,)
()X
f x y
fx
为 X = x 的条件下 Y 的条件 p.d.f.
)( xyf XY
(,)
()Y
f x y
fy
称为 Y = y 的条件下 X 的条件 p.d.f.
)( yxf YX
称注意
y是常数,对每一 fY (y) >0 的 y 处,只要
),( xyF XY )( xyf XY 相仿论述,
0)()()(),( xfxyfxfyxf XXYX
0)()()( yfyxfyf YYXY
),( yxF YX )( yxf YX 仅是 x 的函数,
类似于乘法公式：
符合定义的条件,都能定义相应的函数,
类似于全概率公式
dyyfyxfdyyxfxf YYXX )()(),()(
dxxfxyfdxyxfyf XXYY )()(),()(
类似于 Bayes公式
)(
),(
yf
yxf
Y
)( yxf
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)()(
yf
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)(
),(
xf
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)()(
xf
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X
YYX?
例 3 已知 (X,Y )服从圆域 x2 + y2? r2 上的均匀分布,求 ),( yxf YX ).( xyf XY
r
解
其他,0
,
1
),(
222
2 ryxryxf?
dyyxfxf X ),()( rxrdy
r
xr
xr
,
122
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22 xr
22 xr
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2
22
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其他,0=
同理，
dxyxfyf Y ),()(
其他,0
,
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2
22
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边缘分布不是均匀分布！
)(
),(
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当 – r < y < r 时，
其他,0
,
2
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22
yrxyr
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22 yr?
y
— 这里 y 是常数，当 Y = y 时,
2222,~ yryrUX
)(
),(
xf
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当 – r < x < r 时，
其他,0
,
2
1 2222
22
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— 这里 x 是常数，当 X = x 时，
2222,~ xrxrUY
22 xr
22 xr
x
例 4 已知 ;,;,~),( 222211NYX
求 )( yxf YX
解
)( yxf YX )(
),(
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2
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1
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2
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2
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1
2
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1
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e
e
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)1(2
1
2
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2
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1
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同理，
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1
2
2
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2
1
1
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YX
例 5 设
其他,0
10,0,8
),(
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求 )( yxf YX )(,xyf XY
解 1
1
其他,0
10,8)(
1
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xX
其他,0
10),1(4 2 xxx
1
1
其他,0
10,8)(
0
yxy d xyf
y
Y
其他,0
10,4 3 yy
当 0 < y < 1 时，
)( yxf YX )(
),(
yf
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Y
y
其他,0
0,
2
2
yx
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x
当 0 < x < 1 时，
1
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),(
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其他,0
1,
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例 6 已知
)( xyf XY?
其他,0
1,
1
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其他,0
10),1(4
)(
2 xxx
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求
2
1
3
2),5.0(),1( XYPYPYXP
解
1
1
)()(),( xfxyfyxf XXY?
当 f X(x) > 0 时，即 0 < x < 1 时，
其他,0
1,8 yxxy
当 f X(x) = 0 时,f (x,y) = 0
故
其他,0
10,0,8),( yyxxyyxf
x + y =1
)1( YXP
)5.0(?YP
1
1
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y
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1
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1
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10.5
3
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32
21 25.01
2 dyy
32 21 38 dyy
27
7?
8 7 6.6 脚印长度身高算出罪犯的身高,这个公式是公安人员根据收集到的罪犯脚印,通过公式由 脚印 估计罪犯 身高如何推导出来的?
显然，两者之间是有统计关系的，故
X设一个人身高为,脚印长度为,Y
由于影响人类身高与脚印的随机因素是大量的、相互独立的，且各因素的影响又是微小的,可以叠加的,故
),( YX应作为二维随机变量 来研究,
由中心极限定理知 可以近似看),( YX
.);,,,( 222211 uuN成服从二维正态分布
;,;,222211 uu其中参数 因区域,
民族、生活习惯的不同而有所变化,
但它们都能通过统计方法而获得,
密度为现已知罪犯的脚印长度为,要y
估计其身高就需计算条件期望,条件
)(
),(
)|(|
yf
yxf
yxf
Y
YX?
的密度函数,因此
))1(),(( 2212
2
1
1
uyuN这正是正态分布
)()|( 2
2
1
1 uyuyYXE
}
2
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e x p {
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12
2
2
2
2
2
2
2
2
2
21
21
2
2
1
2
2
21
2
uy
uyuyuxux
如果按中国人的相应参数代入上式,即可得出以脚印长度作自变量的身高近似公式,
作业 P.133习题三
16 17
设随机变量 Z 服从参数为 1
的指数分布，引入随机变量：
21
20
11
10
Z
Z
Y
Z
Z
X
求 ( X,Y ) 的联合分布律和联合第 8周 问 题分布函数,
