Ch3-1
多维分布
Ch3-2
第三章多维随机变量及其分布
Ch3-3
在实际问题中,试验结果有时需要同时用两个或两个以上的 r.v.来描述,
例如 用温度和风力来描述天气情况,
通过对含碳、含硫、含磷量的测定来研究需考虑多维 r.v.及其取值规律 —多维分布,
钢的成分,要研究这些 r.v.之间的联系,就
Ch3-4
§ 3.1 二维随机变量及其分布定义 设?为随机试验的样本空间,
2)(),( RYX 一定法则则称 ( X,Y )为 二维 r.v.或 二维随机向量讨论：
二维 r.v.作为一个整体的概率特性其中每一个 r.v.的概率特性与整体的概率特性之间的关系
Ch3-5
二维随机变量的联合分布函数定义 设 ( X,Y ) 为二维 r.v,对任何一对
)()( yYxX
定义了一个二元实函数 F ( x,y ),称为二维 r.v.( X,Y )
的分布函数，即
yYxXPyxF,),(
(记为 )yxX,
的概率yYxXP,
实数 ( x,y ),事件
Ch3-6
分布函数的几何意义如果用平面上的点 (x,y) 表示二维 r.v.
(X,Y )的一组可能的取值，则 F (x,y) 表示
(X,Y ) 的取值落入图所示角形区域的概率,
(x,y)
x
y
(,)
Ch3-7联合分布函数的性质
(,) 0F
),(
x
y
(x,y)
x
y
),(
1),(0 yxF
(,) 1F
①
Ch3-8
(,) 0Fx
x
y
x
y
(,) 0Fy
Ch3-9
固定 x,对任意的 y1< y2,
固定 y,对任意的 x1< x2,
F (x0,y0) = F (x0+ 0,y0 )
F (x0,y0) = F (x0,y0 + 0 )
对每个变量单调不减②
对每个变量右连续③
F (x,y1)? F (x,y2)
F (x1,y)? F (x2,y)
Ch3-10
F (b,d) – F (b,c) – F (a,d) + F (a,c)? 0
事实上对于任意 a < b,c < d④
– F (b,c)
– F (a,d) + F (a,c)
,0P a X b c Y d
F (b,d)
a b
c
d
Ch3-11例 1
1,1
1,0
),(
yx
yx
yxF
设讨论 F (x,y)能否成为二维 r.v.的分布函数？
解
x
y
(0,0)?(2,0)
(2,2)?(0,2)
)0,0()0,2(
)2,0()2,2(
FF
FF
10
故 F(x,y)不能作为某二维 r.v.的分布函数,
1 1 1 0
Ch3-12注意 对于二维 r.v.
),(1,caFcYaXP
x
y
a
c (a,c)
),(
,
YcXaP
cYaXP
),(),(
),(1
caFaF
cF
(a,+?) (+?,+?)
(+?,c)
Ch3-13二维随机变量的边缘分布函数
xXPxF X)(
YxXP,
),( xF
yYPyF Y)(
yYXP,
),( yF
x
y
x
x
y y
由联合分布函数 边缘分布函数,逆不真,
Ch3-14例 2 设随机变量 (X,Y )的联合分布函数为
yx
y
C
x
BAyxF
,
2
a r c t a n
2
a r c t a n),(
其中 A,B,C 为常数,
(1) 确定 A,B,C ；
(2) 求 X 和 Y 的边缘分布函数；
(3) 求 P (X > 2)
Ch3-15
解 (1) 122),(
CBAF
0
22
),(
CBAF
0
22
),(
CBAF
2
1,
2
,
2?
ACB
(2) ),()( xFxF X
.,
2
a r c t a n1
2
1 xx
Ch3-16 ),()( yFyF
Y
.,
2
a r c t a n1
2
1 yy
(3) )2(1)2( XPXP
2
2a r c tan1
2
11
.4/1?
可以将二维 r.v.及其边缘分布函数的概念推广到 n 维 r.v.及其联合分布函数与边缘分布函数
Ch3-17
定义 若二维 r.v.(X,Y )所有可能的取值为有限多个或无穷可列多个,则称
(X,Y ) 为 二维离散型 r.v.
要描述二维离散型 r.v.的概率特性及其与每个 r.v.之间的关系常用其 联合概率分布 和 边缘概率分布二维离散型 r.v.及其概率特性
Ch3-18联合分布律设 ( X,Y )的所有可能的取值为则称为二维 r.v.( X,Y ) 的 联合概率分布也简称 概率分布 或 分布律显然，
,2,1,,),( jipyYxXP ijji
,2,1,),,(?jiyx ji
,2,1,,0 jip ij 1
1 1
i j
ijp
Ch3-19
二维离散 r.v.的联合分布函数
,.xy
已知联合分布律可以求出其联合分布函数反之,由分布函数也可求出其联合分布律
,2,1,?ji
,),(
xx yy
ij
i j
pyxF
)0,0(),0( jiji yxFyxF
)0,(),(),( jijiji yxFyxFyYxXP
Ch3-20
二维离散 r.v.的边缘分布律
,2,1,)(
1
ippxXP i
j
iji
记作
,2,1,)(
1
jppyYP j
i
ijj
记作由联合分布可确定边缘分布,其逆不真,
Ch3-21
x1 xi
11p
jp1
1ip
ijp
X
Y
( X,Y ) 的联合分布律
y1
yj
Ch3-22
1
x1 xi
11p
jp1
1ip
ijp
pi? p1? pi
p? j
p?1
p?
j
yj
y1
XY
联合分布律 及边缘分布律
Ch3-23
),( jiij yYxXPp 的求法
⑴ 利用古典概型直接求；
⑵ 利用乘法公式
.)()( ijiij xXyYPxXPp
Ch3-24
例 3 某校新选出的学生会 6 名女委员,文、
理、工科各占 1/6,1/3,1/2，现从中随机指定 2 人为学生会主席候选人,令 X,Y 分别为候选人中来自文、理科的人数,
解 X 与 Y 的可能取值分别为 0,1与 0,1,2.
求 (X,Y) 的联合分布律和边缘分布律,
,15/3
2
5
2
3
2
6
2
5
C
C
C
C
)00()0()0,0( XYPxPYXP
由乘法公式
Ch3-25
,15/3/)0,1( 261311 CCCYXP
,15/2/)1,1( 261211 CCCYXP
.0)2,1( YXP
,15/6/)1,0( 261312 CCCYXP;15/1/)2,0( 2622 CCYXP
,15/3/)0,0( 2623 CCYXP
或由古典概型相仿有
Ch3-26
故联合分布律与边缘分布律为
0
1
0 1 2
3/15 6/15 1/15
3/15 2/15 0
X Y pi
p?
j
1/3
2/3
16/15 8/15 1/15
Ch3-27
例 4 二元两点分布
X
Y
pij p? j
pi?
1 0
1
0
p 0
0 q
p q
p
q
1
p + q = 1,0 < p < 1
Ch3-28
作业 P131 习题三
1 2 3
Ch3-29
二维连续 r.v.及其概率特性定义 设二维 r.v.( X,Y )的分布函数为
F(x,y ),若存在非负可积函数 f (x,y),
使得对于任意实数 x,y 有
x y d v d uvufyxF ),(),(
则称 ( X,Y ) 为 二维连续型 r.v.
f (x,y) 为 ( X,Y ) 的 联合概率密度函数简称 概率密度函数 简记 p.d.f.
Ch3-30
联合密度与联合分布函数的性质除 d.f,的一般性质外还有下述性质
),(
2
yxf
yx
F
yxyxf ),(
),( yyYyxxXxP从而有
0),(?yxf1
1),(
d y d xyxf2
对每个变元连续,在 的连续点处),( yxf3
Ch3-31
P( X = a,-? < Y < +? ) = 0
P(-? < X < +?,Y= a ) = 0
G
d xd yyxfGYXP ),(),(
若 G 是平面上的区域，则
P( X = a,Y = b ) = 04
Ch3-32
xX d v d uvufxF ),()(
边缘分布函数与边缘 d.f.
yY d u d vvufyF ),()(
dvvxfxf X ),()(
duyufyf Y ),()(
与离散型相同,已知联合分布可以求得边缘分布；反之则不能唯一确定,
Ch3-33
例 5 设 r.v.( X,Y ) 的联合 d.f,为
其他,0
,10,0,
),(
yyxkxy
yxf
其中 k 为常数,求
(1)常数 k ;
(2) P ( X + Y? 1),P ( X < 0.5);
(3) 联合分布函数 F (x,y);
(4) 边缘 d.f,与边缘分布函数
Ch3-34
y = x1
0
x
y
10,0),( yyxyxD解 令
D
(1) 1),(
d x d yyxf
1),(
D
d xd yyxf
1
0
2
1
0 0
82
k
dy
y
yk
kxyd xdy
y
8?k
Ch3-35
y = x1
0
x
y(2) )1( YXP
0.5
y = x1
0
x
y
1 5.0 1 8y y xyd xdy
.6/5?
y = x1
0
x
y
0.5
)5.0(?XP
5.00 1 8x xyd ydx
.16/7?
Ch3-36的分段区域
0?x
),( yxF
0?y
y = x
1
0 x
y
D
10 x
xy0
1 yx
1?y
1?x
10 y
1?y
Ch3-37
当 0? x< 1,0? y< x 时，
1
(3) x y d v d uvufyYxXPyxF ),(,),(
当 x<0 或 y<0 时,
F(x,y) = 0
4
0 0
8 yu v d udvy v
当 0? x<1,x? y<1时，
422
0 28),( xyxu v d vduyxF
x y
u
v=u1
0 u
v
),( yxF
Ch3-38
当 0? x <1,y? 1时，
x
u
u v d vduyxF
0
1
8),(
v=u1
0
u
v
1
422 xx
Ch3-39
当 x? 1,0? y < 1时，
v=u1
0
u
v
1当 x? 1,y? 1 时，
1),(?yxF
4y?
y v
u v d udv
0 0
8),( yxF
Ch3-40
F (x,y) =
0,x < 0 或 y < 0
y4,0? x <1,0? y < x,
2x2y2–y4,0? x <1,x? y <1，
2x2–x4,0? x <1,y? 1，
y4,x? 1,0? y < 1，
1,x? 1,y? 1，
Ch3-41
(4) ),()( xFxF X
=
0,x < 0，
2x2–x4,0? x < 1,
1,x? 1
),()( yFyF Y
0,y < 0
y4,0? y < 1,
1,y? 1
=
Ch3-42
其他,0
10,44
)(
3 xxx
xf X
其他,0
10,4
)(
3 yy
yf Y
Ch3-43
也可直接由联合 d,f,求边缘 d,f.
再积分求边缘分布函数,例如
dvvxfxf X ),()(
其他,0
10,8
1
xxv d v
x v=u1
0 u
v
1
其他,0
10,44 3 xxx
Ch3-44
作业 P.132 习题三
6 7
10 11
Ch3-45
常用连续型二维随机变量分布
G 是平面上的有界区域,面积为 A
若 r.v.( X,Y ) 的联合 d.f,为
其他,0
),(,/1
),(
GyxA
yxf
则称 ( X,Y )服从区域 G上的均匀分布区域 G 上的 均匀分布,记作 U ( G )
Ch3-46
则? G1? G,设 G1的面积为 A1,
A
A
GYXP 11),(
若 ( X,Y )服从区域 G上的均匀分布,
边平行于坐标轴的矩形域上的均匀分布的边缘分布仍为均匀分布
Ch3-47
例 6 设 (X,Y ) ~ G 上的均匀分布,
10,0),( xxyyxG
(1) f ( x,y );
(2) P ( Y > X 2 );
(3) ( X,Y ) 在平面上的落点到
y 轴距离小于 0.3的概率,
求
Ch3-48
解 (1)
y=x1
0 x
y
1
其他,0
10,0,2
),(
xxy
yxf
G
(2) y = x2
1
0 2
2
x
x
dydx
.3/1?
)( 2XYP?
Ch3-49
(3) )3.03.0()3.0|(| XPXP
09.0)3.0(
2
12 2
y = x
1
0 x
y
10.3
Ch3-50
若 r.v.( X,Y ) 的联合为
yx,
则称 ( X,Y ) 服从参数为?1,?12,?2,?22,? 的正态 分布,记作 ( X,Y ) ~ N(?1,?12;?2,?22;? )
其中?1,?2>0,-1<? < 1,
二维正态分布
2
2
2
2
21
21
2
1
2
1
2
)())((
2
)(
)1(2
1
yyxx
e
2
21 12
1
),(
yxf
Ch3-51
Clear[f,x,y]
f[x_,y_]:=Exp[-(x^2+y^2)/2]/(2Pi)
Plot3D[f[x,y],{x,-3,3},{y,-3,3},ViewPoint-
>{-2.869,1.790,0.110},
AspectRatio->0.6,PlotPoints->30];
Ch3-52
二维正态分布图
Ch3-53
Ch3-54
二维正态分布剖面图
Ch3-55
正态分布的边缘分布仍为正态分布
xexf
x
X,
2
1
)(
2
1
2
1
2
)(
1
yeyf
y
Y,
2
1
)(
2
2
2
2
2
)(
2
Ch3-56
令?
2
221
21
2
1
B
B 为正定矩阵
AB?
2
221
21
2
1
2
1
1
1
1
1
0)1(|| 22212B
再令 则 二维正态 联合 d.f.为TyxX ),(
21
AXX T
e
B
yxf 2
1
2
1
2 ||)2(
1
),(
推广 AXX
nn
n
T
e
B
xxxf 2
1
121
||)2(
1
),,,(
Ch3-57
本节结束
Ch3-58
第 7周 问 题某中外合资公司准备通过考试招工 200名，其中 180名正式工,20名临时工,报考人数为 1684名,考试满分为
300分,阅卷后人事部门公布如下信息：
平均成绩是 178分,270以上的高分有
32名,考生小王的成绩是 233分，他能否被录取？如被录取能否是正式工？
多维分布
Ch3-2
第三章多维随机变量及其分布
Ch3-3
在实际问题中,试验结果有时需要同时用两个或两个以上的 r.v.来描述,
例如 用温度和风力来描述天气情况,
通过对含碳、含硫、含磷量的测定来研究需考虑多维 r.v.及其取值规律 —多维分布,
钢的成分,要研究这些 r.v.之间的联系,就
Ch3-4
§ 3.1 二维随机变量及其分布定义 设?为随机试验的样本空间,
2)(),( RYX 一定法则则称 ( X,Y )为 二维 r.v.或 二维随机向量讨论：
二维 r.v.作为一个整体的概率特性其中每一个 r.v.的概率特性与整体的概率特性之间的关系
Ch3-5
二维随机变量的联合分布函数定义 设 ( X,Y ) 为二维 r.v,对任何一对
)()( yYxX
定义了一个二元实函数 F ( x,y ),称为二维 r.v.( X,Y )
的分布函数，即
yYxXPyxF,),(
(记为 )yxX,
的概率yYxXP,
实数 ( x,y ),事件
Ch3-6
分布函数的几何意义如果用平面上的点 (x,y) 表示二维 r.v.
(X,Y )的一组可能的取值，则 F (x,y) 表示
(X,Y ) 的取值落入图所示角形区域的概率,
(x,y)
x
y
(,)
Ch3-7联合分布函数的性质
(,) 0F
),(
x
y
(x,y)
x
y
),(
1),(0 yxF
(,) 1F
①
Ch3-8
(,) 0Fx
x
y
x
y
(,) 0Fy
Ch3-9
固定 x,对任意的 y1< y2,
固定 y,对任意的 x1< x2,
F (x0,y0) = F (x0+ 0,y0 )
F (x0,y0) = F (x0,y0 + 0 )
对每个变量单调不减②
对每个变量右连续③
F (x,y1)? F (x,y2)
F (x1,y)? F (x2,y)
Ch3-10
F (b,d) – F (b,c) – F (a,d) + F (a,c)? 0
事实上对于任意 a < b,c < d④
– F (b,c)
– F (a,d) + F (a,c)
,0P a X b c Y d
F (b,d)
a b
c
d
Ch3-11例 1
1,1
1,0
),(
yx
yx
yxF
设讨论 F (x,y)能否成为二维 r.v.的分布函数？
解
x
y
(0,0)?(2,0)
(2,2)?(0,2)
)0,0()0,2(
)2,0()2,2(
FF
FF
10
故 F(x,y)不能作为某二维 r.v.的分布函数,
1 1 1 0
Ch3-12注意 对于二维 r.v.
),(1,caFcYaXP
x
y
a
c (a,c)
),(
,
YcXaP
cYaXP
),(),(
),(1
caFaF
cF
(a,+?) (+?,+?)
(+?,c)
Ch3-13二维随机变量的边缘分布函数
xXPxF X)(
YxXP,
),( xF
yYPyF Y)(
yYXP,
),( yF
x
y
x
x
y y
由联合分布函数 边缘分布函数,逆不真,
Ch3-14例 2 设随机变量 (X,Y )的联合分布函数为
yx
y
C
x
BAyxF
,
2
a r c t a n
2
a r c t a n),(
其中 A,B,C 为常数,
(1) 确定 A,B,C ；
(2) 求 X 和 Y 的边缘分布函数；
(3) 求 P (X > 2)
Ch3-15
解 (1) 122),(
CBAF
0
22
),(
CBAF
0
22
),(
CBAF
2
1,
2
,
2?
ACB
(2) ),()( xFxF X
.,
2
a r c t a n1
2
1 xx
Ch3-16 ),()( yFyF
Y
.,
2
a r c t a n1
2
1 yy
(3) )2(1)2( XPXP
2
2a r c tan1
2
11
.4/1?
可以将二维 r.v.及其边缘分布函数的概念推广到 n 维 r.v.及其联合分布函数与边缘分布函数
Ch3-17
定义 若二维 r.v.(X,Y )所有可能的取值为有限多个或无穷可列多个,则称
(X,Y ) 为 二维离散型 r.v.
要描述二维离散型 r.v.的概率特性及其与每个 r.v.之间的关系常用其 联合概率分布 和 边缘概率分布二维离散型 r.v.及其概率特性
Ch3-18联合分布律设 ( X,Y )的所有可能的取值为则称为二维 r.v.( X,Y ) 的 联合概率分布也简称 概率分布 或 分布律显然，
,2,1,,),( jipyYxXP ijji
,2,1,),,(?jiyx ji
,2,1,,0 jip ij 1
1 1
i j
ijp
Ch3-19
二维离散 r.v.的联合分布函数
,.xy
已知联合分布律可以求出其联合分布函数反之,由分布函数也可求出其联合分布律
,2,1,?ji
,),(
xx yy
ij
i j
pyxF
)0,0(),0( jiji yxFyxF
)0,(),(),( jijiji yxFyxFyYxXP
Ch3-20
二维离散 r.v.的边缘分布律
,2,1,)(
1
ippxXP i
j
iji
记作
,2,1,)(
1
jppyYP j
i
ijj
记作由联合分布可确定边缘分布,其逆不真,
Ch3-21
x1 xi
11p
jp1
1ip
ijp
X
Y
( X,Y ) 的联合分布律
y1
yj
Ch3-22
1
x1 xi
11p
jp1
1ip
ijp
pi? p1? pi
p? j
p?1
p?
j
yj
y1
XY
联合分布律 及边缘分布律
Ch3-23
),( jiij yYxXPp 的求法
⑴ 利用古典概型直接求；
⑵ 利用乘法公式
.)()( ijiij xXyYPxXPp
Ch3-24
例 3 某校新选出的学生会 6 名女委员,文、
理、工科各占 1/6,1/3,1/2，现从中随机指定 2 人为学生会主席候选人,令 X,Y 分别为候选人中来自文、理科的人数,
解 X 与 Y 的可能取值分别为 0,1与 0,1,2.
求 (X,Y) 的联合分布律和边缘分布律,
,15/3
2
5
2
3
2
6
2
5
C
C
C
C
)00()0()0,0( XYPxPYXP
由乘法公式
Ch3-25
,15/3/)0,1( 261311 CCCYXP
,15/2/)1,1( 261211 CCCYXP
.0)2,1( YXP
,15/6/)1,0( 261312 CCCYXP;15/1/)2,0( 2622 CCYXP
,15/3/)0,0( 2623 CCYXP
或由古典概型相仿有
Ch3-26
故联合分布律与边缘分布律为
0
1
0 1 2
3/15 6/15 1/15
3/15 2/15 0
X Y pi
p?
j
1/3
2/3
16/15 8/15 1/15
Ch3-27
例 4 二元两点分布
X
Y
pij p? j
pi?
1 0
1
0
p 0
0 q
p q
p
q
1
p + q = 1,0 < p < 1
Ch3-28
作业 P131 习题三
1 2 3
Ch3-29
二维连续 r.v.及其概率特性定义 设二维 r.v.( X,Y )的分布函数为
F(x,y ),若存在非负可积函数 f (x,y),
使得对于任意实数 x,y 有
x y d v d uvufyxF ),(),(
则称 ( X,Y ) 为 二维连续型 r.v.
f (x,y) 为 ( X,Y ) 的 联合概率密度函数简称 概率密度函数 简记 p.d.f.
Ch3-30
联合密度与联合分布函数的性质除 d.f,的一般性质外还有下述性质
),(
2
yxf
yx
F
yxyxf ),(
),( yyYyxxXxP从而有
0),(?yxf1
1),(
d y d xyxf2
对每个变元连续,在 的连续点处),( yxf3
Ch3-31
P( X = a,-? < Y < +? ) = 0
P(-? < X < +?,Y= a ) = 0
G
d xd yyxfGYXP ),(),(
若 G 是平面上的区域，则
P( X = a,Y = b ) = 04
Ch3-32
xX d v d uvufxF ),()(
边缘分布函数与边缘 d.f.
yY d u d vvufyF ),()(
dvvxfxf X ),()(
duyufyf Y ),()(
与离散型相同,已知联合分布可以求得边缘分布；反之则不能唯一确定,
Ch3-33
例 5 设 r.v.( X,Y ) 的联合 d.f,为
其他,0
,10,0,
),(
yyxkxy
yxf
其中 k 为常数,求
(1)常数 k ;
(2) P ( X + Y? 1),P ( X < 0.5);
(3) 联合分布函数 F (x,y);
(4) 边缘 d.f,与边缘分布函数
Ch3-34
y = x1
0
x
y
10,0),( yyxyxD解 令
D
(1) 1),(
d x d yyxf
1),(
D
d xd yyxf
1
0
2
1
0 0
82
k
dy
y
yk
kxyd xdy
y
8?k
Ch3-35
y = x1
0
x
y(2) )1( YXP
0.5
y = x1
0
x
y
1 5.0 1 8y y xyd xdy
.6/5?
y = x1
0
x
y
0.5
)5.0(?XP
5.00 1 8x xyd ydx
.16/7?
Ch3-36的分段区域
0?x
),( yxF
0?y
y = x
1
0 x
y
D
10 x
xy0
1 yx
1?y
1?x
10 y
1?y
Ch3-37
当 0? x< 1,0? y< x 时，
1
(3) x y d v d uvufyYxXPyxF ),(,),(
当 x<0 或 y<0 时,
F(x,y) = 0
4
0 0
8 yu v d udvy v
当 0? x<1,x? y<1时，
422
0 28),( xyxu v d vduyxF
x y
u
v=u1
0 u
v
),( yxF
Ch3-38
当 0? x <1,y? 1时，
x
u
u v d vduyxF
0
1
8),(
v=u1
0
u
v
1
422 xx
Ch3-39
当 x? 1,0? y < 1时，
v=u1
0
u
v
1当 x? 1,y? 1 时，
1),(?yxF
4y?
y v
u v d udv
0 0
8),( yxF
Ch3-40
F (x,y) =
0,x < 0 或 y < 0
y4,0? x <1,0? y < x,
2x2y2–y4,0? x <1,x? y <1，
2x2–x4,0? x <1,y? 1，
y4,x? 1,0? y < 1，
1,x? 1,y? 1，
Ch3-41
(4) ),()( xFxF X
=
0,x < 0，
2x2–x4,0? x < 1,
1,x? 1
),()( yFyF Y
0,y < 0
y4,0? y < 1,
1,y? 1
=
Ch3-42
其他,0
10,44
)(
3 xxx
xf X
其他,0
10,4
)(
3 yy
yf Y
Ch3-43
也可直接由联合 d,f,求边缘 d,f.
再积分求边缘分布函数,例如
dvvxfxf X ),()(
其他,0
10,8
1
xxv d v
x v=u1
0 u
v
1
其他,0
10,44 3 xxx
Ch3-44
作业 P.132 习题三
6 7
10 11
Ch3-45
常用连续型二维随机变量分布
G 是平面上的有界区域,面积为 A
若 r.v.( X,Y ) 的联合 d.f,为
其他,0
),(,/1
),(
GyxA
yxf
则称 ( X,Y )服从区域 G上的均匀分布区域 G 上的 均匀分布,记作 U ( G )
Ch3-46
则? G1? G,设 G1的面积为 A1,
A
A
GYXP 11),(
若 ( X,Y )服从区域 G上的均匀分布,
边平行于坐标轴的矩形域上的均匀分布的边缘分布仍为均匀分布
Ch3-47
例 6 设 (X,Y ) ~ G 上的均匀分布,
10,0),( xxyyxG
(1) f ( x,y );
(2) P ( Y > X 2 );
(3) ( X,Y ) 在平面上的落点到
y 轴距离小于 0.3的概率,
求
Ch3-48
解 (1)
y=x1
0 x
y
1
其他,0
10,0,2
),(
xxy
yxf
G
(2) y = x2
1
0 2
2
x
x
dydx
.3/1?
)( 2XYP?
Ch3-49
(3) )3.03.0()3.0|(| XPXP
09.0)3.0(
2
12 2
y = x
1
0 x
y
10.3
Ch3-50
若 r.v.( X,Y ) 的联合为
yx,
则称 ( X,Y ) 服从参数为?1,?12,?2,?22,? 的正态 分布,记作 ( X,Y ) ~ N(?1,?12;?2,?22;? )
其中?1,?2>0,-1<? < 1,
二维正态分布
2
2
2
2
21
21
2
1
2
1
2
)())((
2
)(
)1(2
1
yyxx
e
2
21 12
1
),(
yxf
Ch3-51
Clear[f,x,y]
f[x_,y_]:=Exp[-(x^2+y^2)/2]/(2Pi)
Plot3D[f[x,y],{x,-3,3},{y,-3,3},ViewPoint-
>{-2.869,1.790,0.110},
AspectRatio->0.6,PlotPoints->30];
Ch3-52
二维正态分布图
Ch3-53
Ch3-54
二维正态分布剖面图
Ch3-55
正态分布的边缘分布仍为正态分布
xexf
x
X,
2
1
)(
2
1
2
1
2
)(
1
yeyf
y
Y,
2
1
)(
2
2
2
2
2
)(
2
Ch3-56
令?
2
221
21
2
1
B
B 为正定矩阵
AB?
2
221
21
2
1
2
1
1
1
1
1
0)1(|| 22212B
再令 则 二维正态 联合 d.f.为TyxX ),(
21
AXX T
e
B
yxf 2
1
2
1
2 ||)2(
1
),(
推广 AXX
nn
n
T
e
B
xxxf 2
1
121
||)2(
1
),,,(
Ch3-57
本节结束
Ch3-58
第 7周 问 题某中外合资公司准备通过考试招工 200名，其中 180名正式工,20名临时工,报考人数为 1684名,考试满分为
300分,阅卷后人事部门公布如下信息：
平均成绩是 178分,270以上的高分有
32名,考生小王的成绩是 233分，他能否被录取？如被录取能否是正式工？
