Ch1-39
§1.2 概率的定义及计算历史上概率的三次定义
③ 公理化定义
② 统计定义
① 古典定义 概率的最初定义基于频率的定义
1930年后由前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出
Ch1-40
设在 n 次试验中，事件 A 发生了 m 次，
频率
n
mf
n?
则称 为事件 A 发生的 频率
Ch1-41频率的性质
1)(0 Af n
1)(nf
事件 A,B互斥，则
)()()( BfAfBAf nnn
可推广到有限个两两互斥事件的和事件非负性归一性可加性稳定性某一定数
)()(lim APAf n
n
Ch1-42
投一枚硬币观察正面向上的次数
n = 4040,nH =2048,f n( H ) = 0.5069
n = 12000,nH =6019,f n( H ) = 0.5016
n = 24000,nH =12012,f n( H ) = 0.5005
频率稳定性的实例蒲丰 ( Buffon )投币皮尔森 ( Pearson ) 投币
Ch1-43
例 Dewey G,统计了约 438023个英语单词中各字母出现的频率,发现各字母出现的频率不同：
A,0.0788 B,0.0156 C,0.0268 D,0.0389
E,0.1268 F,0.0256 G,0.0187 H,0.0573
I,0.0707 J,0.0010 K,0.0060 L,0.0394
M,0.0244 N,0.0706 O,0.0776 P,0.0186
Q,0.0009 R,0.0594 S,0.0634 T,0.0987
U,0.0280 V,0.0102 W,0.0214 X,0.0016
Y,0.0202 Z,0.0006
Ch1-44频 率 的 应 用第五章指出,当试验次数较大时有事件发生的 概 率?
事件发生的 频 率根据如下百年统计资料可得世界每年发生大地震的概率
Ch1-45近百年世界重大地震
1905.04.04 克什米尔地区 8.0 88 万
1906.08.17 智利 瓦尔帕莱索港地区 8.4 2
1917.01.20 印度尼西亚巴厘岛 1.5 万
1920.12.16 中国甘肃 8.6 10 万
1923.09.01 日本关东地区 7.9 14.2 万
1935.05.30 巴基斯坦基达地区 7.5 5 万时 间 地 点 级别 死亡
“重大,的标准 ① 震级 7 级左右② 死亡 5000人以上
Ch1-46
时 间 地 点 级别 死亡
1948.06.28 日本福井地区 7.3 0.51 万
1970.01.05 中国云南 7.7 1 万
1976.07.28 中国河北省唐山 7.8 24.2
1978.09.16 伊朗塔巴斯镇地区 7.9 1.5
1995.01.17 日本阪神工业区 7.2 0.6 万
1999.08.17 土耳其伊兹米特市 7.4 1.7 万
2003.12.26 伊朗克尔曼省 6.8 3 万
2004.12.26 印尼 苏门答腊岛附近海域 9.0 15 万世界每年发生大地震概率约为 14%
Ch1-47
概率的统计定义概率的定义在相同条件下重复进行的 n 次试验中,事件 A 发生的频率稳定地在某一常数 p 附近摆动,且随 n 越大摆动幅度越小,则称 p 为事件 A 的概率,记作 P(A).
对本定义的评价优点：直观易懂缺点：粗糙模糊不便使用
Ch1-48
设?是 随机试验 E 的 样本空间，若能找到一个法则，使得对于 E的每一事件 A 赋于一个实数，记为 P ( A ),称之为事件 A 的概率，这种赋值满足下面的三条公理：
非负性,0)(, APA?
归一性,1)(P
11
)(
i
i
i
i APAP 可列可加性：
,,21 AA其中 为两两互斥事件，
概率的公理化理论由前苏联数学家柯尔莫哥洛夫 (A.H.Колмогоров)1933年建立,
概率的公理化定义
Ch1-49
概率的性质
0)(P
)(1)( APAP 1)( AP
有限可加性,设 nAAA?,,21 两两互斥?
n
i
i
n
i
i APAP
11
)(?
若 BA? )()()( APBPABP
)()( BPAP
Ch1-50
对任意两个事件 A,B,有
)()()( ABPBPABP
B
A B=AB+(B – A)
P(B)=P(AB)+
P(B – AB)
B - AB
AB
Ch1-51
加法公式：对任意两个事件 A,B,有
)()()()( ABPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
推广,
)(
)()()(
)()()()(
ABCP
BCPACPABP
CPBPAPCBAP
Ch1-52
)()1()(
)()()(
21
1
1
111
n
n
n
nkji
kji
nji
ji
n
i
i
n
i
i
AAAPAAAP
AAPAPAP
一般,
右端共有 项,12?n
Ch1-53
例 1 小王参加“智力大冲浪”游戏,他能答出甲、乙二类问题的概率分别为 0.7和 0.2,
两类问题都能答出的概率为 0.1,求小王解 事件 A,B分别表示“能答出甲,乙类问题”
(1) 6.01.07.0)()()( ABPAPBAP
(1) 答出甲类而答不出乙类问题的概率
(2) 至少有一类问题能答出的概率
(3) 两类问题都答不出的概率
(2) 8.0)()()()( ABPBPAPBAP
(3) 2.0)()( BAPBAP
Ch1-54课后同学问：
例 1 中小王他能答出第一类问题的概率为 0.7,答出第二类问题的概率为 0.2,两类问题都能答出的概率为 0.1,为什么不是
？2.07.0?
若是的话,则应有 )()()( 2121 APAPAAP?
而现在题中并未给出这一条件,
在 §1.4中将告诉我们上述等式成立的条件是,事件 相互独立,21,AA
Ch1-55
例 2 设 A,B满足 P ( A ) = 0.6,P ( B ) = 0.7,
在何条件下,P(AB) 取得最大 (小 )值？
最大 (小 )值是多少？
解 )()()()( ABPBPAPBAP
)()()()( BAPBPAPABP
3.01)()( BPAP
1)( BAP最小值在 时取得
6.0)()( APABP
—— 最小值
—— 最大值
)()( BPBAP最大值在 时取得
Ch1-56
课上有同学提问最小值是否正确？
例 2 中回答当 时,取得 BA )( BAP
这相当于问如下命题是否成立答：不成立 ！
BA 1)( BAP?
式是“羊肉包子打狗,—— 有去路,没回路为什么呢？学了几何概型便会明白,
Ch1-57
设 随机试验 E 具有下列特点：
基本事件的个数有限
每个基本事件等可能性发生则称 E 为 古典 (等可能 )概型古典概型中概率的计算：
记 中包含的基本事件总数n
的基本事件个数组成 Ak?
nkAP /)(?
则古典（等可能）概型概率的古典定义
Ch1-58
bam例 3 袋中有 a只白球,b只红球，从袋中按不放回与放回两种方式取 m个球（ ),
求其中恰有 k 个 （ ）白球的概率 mkak,
)1()1)(()( mbababaAn m ba
解 （ 1） 不放回情形
E,球编号，任取一球，记下颜色，放在一边，
重复 m 次
:
记事件 A 为 m个球中有 k个白球，则
)!(
!
)!(
!
)!(!
!
kmb
b
ka
a
kmk
m
AACn kmbkakmA
Ch1-59
又解 E1,球编号,一次取 m 个球,记下颜色
m baCn
11:
记事件 A 为 m个球中有 k个白球，则
kmbkaA CCn
不放回地逐次取 m 个球,与一次任取 m 个球算得的结果相同,
则
m
ba
km
b
k
a
k
m
A
AAC
AP
)( mkak,
因此 m
ba
km
b
k
a
C
CCAP
)( mkak,称 超几何分布
Ch1-60
（ 2） 放回情形
E2,球编号,任取一球,记下颜色,放回去,
重复 m 次
mban )(
2
2:
记 B 为取出的 m 个球中有 k 个白球,则
m
kmkk
m
ba
baCBP
)()(
kmk
k
m ba
b
ba
aC?
ba
ap
记
),m i n (,,2,1)1()( makppCBP kmkkm
称 二项分布
Ch1-61
设有 k 个不同的球,每个球等可能地落入 N 个盒子中（ ）,设每个盒子容球数无限,求下列事件的概率,
Nk?
（ 1）某指定的 k 个盒子中各有一球；
（ 4）恰有 k 个盒子中各有一球；
（ 3）某指定的一个盒子没有球 ；
km?（ 2）某指定的一个盒子恰有 m 个球 ( )
（ 5）至少有两个球在同一盒子中；
（ 6）每个盒子至多有一个球,
例 4（分房模型）
Ch1-62解
kNn?
设 (1) ~ (6)的各事件分别为 61 AA?
则 !
1 km A?
k
A
N
k
n
mAP !)(
1
1
k
k
N
N
kCAP !)(
4?
k
k
N
NAP )1()(
3
k mkmk NNCAP )1()( 2
k
k
N
k
N
kCNAP !)(
5
)(1 4AP
k
A Nm )1(3
mkm
kA NCm
)1(
2
!4 kCm kNA?
!5 kCNm kNkA
!6 kCm kNA? )()( 46 APAP?
Ch1-63
例 4的“分房模型”可应用于很多类似场合
“球”
可 视为人
“盒子”
相应视为房子信封信钥匙 门锁女舞伴生日人男舞伴
Ch1-64例 5,分房模型”的应用生物系二年级有 n 个人，求至少有两人生日相同（设为事件 A ) 的概率,
解为 n 个人的生日均不相同,这相当于A
本问题中的人可被视为“球”,365天为
365只“盒子”
若 n = 64，
每个盒子至多有一个球,由例 4（ 6）
n
n nC
AP
36 5
!
)( 3 6 5
,
3 6 5
!
1)(1)( 365 n
n nC
APAP
.9 9 7.0)( AP
Ch1-65
解
.5 0 4 0410 An
例 6 在 0,1,2,3,,9中不重复地任取四个数，
求它们能排成 首位非零 的四位偶数的概率,
设 A为,能排成 首位非零 的四位偶数”
四位 偶数的末位为偶数,故有 种可能1
5C
而前三位数有 种取法,由于首位为零的 四3
9A
位数有 种取法,所以有利于 A发生的取12
48CA
2 2 9 628143915 ACACn A法共有 种,
90
41
5040
2296)(AP
Ch1-66
2121 AAAAA
解 nn 9
设 A 表示事件,n 次取到的数字的乘积能被 10整除”
设 A1 表示事件,n 次取到的数字中有偶数”
A2表示事件,n 次取到的数字中有 5”
A = A1 A2
例 7 在 1,2,3,,9中重复地任取 n ( )个数,
求 n 个数字的乘积能被 10整除的概率,
2
Ch1-67
n
n
AP
9
5
1 n
n
AP
9
8
2 n
n
AAP
9
4
21?
n
nnn
AAPAPAP
AAPAP
9
485
2121
21
,
9
485
1 n
nnn
AP
Ch1-68
1o 明确所作的试验是等可能概型,有时需设计符合问题要求的随机试验,使其成为等可能概型,
3o 计算古典概率时须注意应用概率计算的有关公式,将复杂问题简单化,如例 7.
2o 同一题的样本空间的基本事件总数随试验设计的不同而不同,如 例 3不放回试验的两种不同设计,一般 越小越好,
n
n
计算古典概率注意事项
Ch1-69
若 P(A) 0.01,则称 A为小概率事件,
小概率事件一次试验中小概率事件一般是不会发生的,若在一次试验中居然发生了,
则可怀疑该事件并非小概率事件,
小概率原理
——
—— ( 即实际推断原理 )
Ch1-70
例 8 区长办公室某一周内曾接待过 9次来访,这些来访都是周三或周日进行的,是否可以断定接待时间是有规定的？
解 假定办公室每天都接待，则
P( 9次来访都在周三、日 ) = = 0.0000127
9
9
7
2
这是小概率事件,一般在一次试验中不会发发生,现居然发生了,故可认为假定不成立,
从而推断接待时间是有规定的,
Ch1-71
作业 P 46习题一
7 8 10 12
15 17 19
补充作业
.)(2 DP
设事件 A,B,C 同时发生必导致事件
)()()( CPBPAP
D 发生，则
Ch1-72
柯尔莫哥洛夫
( A,H,Колмогоров1903-1987 )
1939年任苏联科学院院士,先后当选美,法,
意,荷,英,德 等国的外籍院士 及皇家学会会员,
为 20 世纪最有影响的俄国数学家,
俄国数学家
Ch1-73
柯尔莫哥洛夫为开创现代数学的一系列重要分支作出重大贡献,
他建立了在测度论基础上的概率论公理系统,奠定了近代概率论的基础,
他又是随机过程论的奠基人之一,
其主要工作包括,
20年代 关于强大数定律、重对数律的基本工作 ;
Ch1-74
1933年在,概率论的基本概念,
一文中提出的概率论公理体系 (希尔伯特第 6问题 )
30年代建立的马尔可夫过程的两个基本方程 ;
用希尔伯特空间的几何理论建立弱平稳序列的线性理论 ;
40年代完成独立和的弱极限理论,
经验分布的柯尔莫哥洛夫统计量等 ;
Ch1-75
在动力系统中开创了关于哈密顿系统的微扰理论与 K系统遍历理论 ;
50年代中期开创了研究函数特征的信息论方法,他的工作及随后阿诺尔德的工作解决并深化了希尔伯特第 13问题
—— 用较少变量的函数表示较多变量的函数 ;
60年代后又创立了信息算法理论 ;
Ch1-76
1980年由于它在调和分析,概率论,
遍历理论 及 动力系统方面 出色的工作获沃尔夫奖 ;
他十分重视数学教育,在他的指引下,大批数学家在不同的领域内取得重大成就,其中包括 и.M.盖尔范德,B.и.
阿诺尔德,Я.Г.西奈依等人,
他还非常重视基础教育,亲自领导了中学 数学教科书的编写工作,
Ch1-77
第 2 周 问 题已知 P ( A ) = P ( B ) = P(C) = 1/4,
P(AB) = 0,P(AC) = P(BC) = 1/6
则事件 A,B,C 全不发生的概率为,
通过做此题 你能发现什么问题？
（此题是 1992年考研填空题）
Ch1-78
)(1)( CBAPCBAP
)()()(1 CPBPAP
.12/76/24/31
)()()()( A B CPBCPACPABP
一般会解出
Ch1-79
.2/1)()()()( ABPBPAPBAP
).(12/52/1)( CBAPBAP
.12/5)( CBAP
由题设得另一方面又可得于是得矛盾若将条件修改为 P(AC) = P(BC) = 1/9
便无矛盾
).(36/192/1)( CBAPBAP
Ch1-80
例 9某人的表停了，他打开收音机听电台报时，已知电台是整点报时的，问他等待报时的时间短于十分钟的概率
9点 10点
10分钟
6
1
60
10
)(AP
几何概型 (等可能概型的推广 )
Ch1-81
几何概型设样本空间为有限区域?,若样本点落入? 内任何区域 G 中的概率与区域 G
的测度成正比,则样本点落入 G内的概率为的测度的测度
G
AP?)(
Ch1-82
例 10 两船欲停同一码头,两船在一昼夜内独立随机地到达码头,若两船到达后需在码头停留的时间分别是 1 小时与 2 小 时，
试求在一昼夜内，任一船到达时，需 要等待空出码头的概率,
解 设船 1 到达码头的瞬时为 x,0? x < 24
船 2 到达码头的瞬时为 y,0? y < 24
设事件 A 表示任一船到达码头时需要等待空出码头
Ch1-83
x
y
24
24
y = x
224S
22 222321AS
1 2 0 7.01)(
S
SAP A
}240,240),{( yxyx?
}20,10
,),(),{(
yxxy
yxyxA?
Ch1-84用几何概型可以回答例 2中提出的,概率为 1 的事件为什么不一定发生?” 这一问题,
如图，设试验 E 为,随机地向边
0 1 x
Y
1 长为 1 的正方形内投点” 事件 A 为“点投在黄、蓝两个三角形内”
1
11
11
)( 2
1
2
1
正方形蓝三角形黄三角形
S
SS
AP
由于点可能投在正方形的对角线上,所以事件 A未必一定发生,
)( AP求
Ch1-85
作业 P 46习题一
21,22 (1) (2)
Ch1-86
完全可加性随机地向区间 ( 0,1 ] 投掷一个质点，
2
1,0
令事件 A 为该质点落入区间
,2,1,21,2 1 1
kkk
事件 Ak 为该质点落入区间
1k
kAA
0 1
（ ]
A
](
210
(41 21]( 81( ]( ]]
附录
Ch1-87
,2,1,
2
1
)(
,
2
1
)(
1
kAP
AP
kk
2
1
2
1)(
1
1
1
k
k
k
kAP
Ch1-88排列组合有关知识复习加法原理,完成一件事情有 n类方法，第 i 类方法中有 mi 种具体的方法，则完成这件事情共有?
n
i
im
1
种不同的方法乘法原理,完成一件事情有 n个步骤，第 i 个步骤中有 mi 种具体的方法，则完成这件事情共有?
n
i
im
1
种不同的方法
Ch1-89
排列 从 n 个不同的元素中取出 m 个 (不放回地）按一定的次序排成一排不同的排法共有 )1()2)(1( mnnnnA
mn?
全排列 !nA nn?
可重复排列 从 n 个不同的元素中可重复地取出 m 个排成一排,不同的排法有
mn
种
Ch1-90
不尽相异元素的全排列 n 个元素中有 m 类，
第 i 类中有 个相同的元素，ik
,21 nkkk m
将这 n 个元素按一定的次序排成一排，
!!!
!
21 mkkk
n
种不同的排法共有
Ch1-91
mkkk,,,21? nkkk
m21,不同的分法共有多组组合 把 n 个元素分成 m 个不同的组
（组编号）,各组分别有 个元素，
n
n
kkk knkn CCC?2
1
1?
种组合 从 n 个不同的元素中取出 m 个 (不放回地）组成一组,不同的分法共有
)!(!
!
mnm
nC m
n
Ch1-92
将 15 名同学 (含 3 名女同学 ),平均分成三组,求
(1) 每组有 1 名女同学 (设为事件 A)的概率；
(2) 3 名女同学同组 (设为事件 B)的概率解 55510515 CCCn
（ 1） 1112134448412 CCCCCCn A? 91
25)(?AP
（ 2） 5551021213 CCCCn B? 91
6)(?BP
例 11 ( 类似于教材 P.22 例 10 )
Ch1-93
例 12 把标有 1,2,3,4 的 4 个球随机地放入标有 1,2,3,4 的 4 个盒子中，每盒放一球，
求至少有一个盒子的号码与放入的球的号码一致的概率解 设 A 为所求的事件设 Ai 表示 i 号球入 i 号盒,i = 1,2,3,4
则?
4
1?
i
iAA
4,3,2,1,41!4 !3)( iAP i
Ch1-94 41,
12
1
!4
!2)( jiAAP
ji
41,241!4 !1)( kjiAAAP kji
24
1)(
4321?AAAAP
4141
)()()(
ji
ji
i
i AAPAPAP
8
5)()(
4321
41
AAAAPAAAP
kji
kji
由广义加法公式
§1.2 概率的定义及计算历史上概率的三次定义
③ 公理化定义
② 统计定义
① 古典定义 概率的最初定义基于频率的定义
1930年后由前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出
Ch1-40
设在 n 次试验中，事件 A 发生了 m 次，
频率
n
mf
n?
则称 为事件 A 发生的 频率
Ch1-41频率的性质
1)(0 Af n
1)(nf
事件 A,B互斥，则
)()()( BfAfBAf nnn
可推广到有限个两两互斥事件的和事件非负性归一性可加性稳定性某一定数
)()(lim APAf n
n
Ch1-42
投一枚硬币观察正面向上的次数
n = 4040,nH =2048,f n( H ) = 0.5069
n = 12000,nH =6019,f n( H ) = 0.5016
n = 24000,nH =12012,f n( H ) = 0.5005
频率稳定性的实例蒲丰 ( Buffon )投币皮尔森 ( Pearson ) 投币
Ch1-43
例 Dewey G,统计了约 438023个英语单词中各字母出现的频率,发现各字母出现的频率不同：
A,0.0788 B,0.0156 C,0.0268 D,0.0389
E,0.1268 F,0.0256 G,0.0187 H,0.0573
I,0.0707 J,0.0010 K,0.0060 L,0.0394
M,0.0244 N,0.0706 O,0.0776 P,0.0186
Q,0.0009 R,0.0594 S,0.0634 T,0.0987
U,0.0280 V,0.0102 W,0.0214 X,0.0016
Y,0.0202 Z,0.0006
Ch1-44频 率 的 应 用第五章指出,当试验次数较大时有事件发生的 概 率?
事件发生的 频 率根据如下百年统计资料可得世界每年发生大地震的概率
Ch1-45近百年世界重大地震
1905.04.04 克什米尔地区 8.0 88 万
1906.08.17 智利 瓦尔帕莱索港地区 8.4 2
1917.01.20 印度尼西亚巴厘岛 1.5 万
1920.12.16 中国甘肃 8.6 10 万
1923.09.01 日本关东地区 7.9 14.2 万
1935.05.30 巴基斯坦基达地区 7.5 5 万时 间 地 点 级别 死亡
“重大,的标准 ① 震级 7 级左右② 死亡 5000人以上
Ch1-46
时 间 地 点 级别 死亡
1948.06.28 日本福井地区 7.3 0.51 万
1970.01.05 中国云南 7.7 1 万
1976.07.28 中国河北省唐山 7.8 24.2
1978.09.16 伊朗塔巴斯镇地区 7.9 1.5
1995.01.17 日本阪神工业区 7.2 0.6 万
1999.08.17 土耳其伊兹米特市 7.4 1.7 万
2003.12.26 伊朗克尔曼省 6.8 3 万
2004.12.26 印尼 苏门答腊岛附近海域 9.0 15 万世界每年发生大地震概率约为 14%
Ch1-47
概率的统计定义概率的定义在相同条件下重复进行的 n 次试验中,事件 A 发生的频率稳定地在某一常数 p 附近摆动,且随 n 越大摆动幅度越小,则称 p 为事件 A 的概率,记作 P(A).
对本定义的评价优点：直观易懂缺点：粗糙模糊不便使用
Ch1-48
设?是 随机试验 E 的 样本空间，若能找到一个法则，使得对于 E的每一事件 A 赋于一个实数，记为 P ( A ),称之为事件 A 的概率，这种赋值满足下面的三条公理：
非负性,0)(, APA?
归一性,1)(P
11
)(
i
i
i
i APAP 可列可加性：
,,21 AA其中 为两两互斥事件，
概率的公理化理论由前苏联数学家柯尔莫哥洛夫 (A.H.Колмогоров)1933年建立,
概率的公理化定义
Ch1-49
概率的性质
0)(P
)(1)( APAP 1)( AP
有限可加性,设 nAAA?,,21 两两互斥?
n
i
i
n
i
i APAP
11
)(?
若 BA? )()()( APBPABP
)()( BPAP
Ch1-50
对任意两个事件 A,B,有
)()()( ABPBPABP
B
A B=AB+(B – A)
P(B)=P(AB)+
P(B – AB)
B - AB
AB
Ch1-51
加法公式：对任意两个事件 A,B,有
)()()()( ABPBPAPBAP
)()()( BPAPBAP
推广,
)(
)()()(
)()()()(
ABCP
BCPACPABP
CPBPAPCBAP
Ch1-52
)()1()(
)()()(
21
1
1
111
n
n
n
nkji
kji
nji
ji
n
i
i
n
i
i
AAAPAAAP
AAPAPAP
一般,
右端共有 项,12?n
Ch1-53
例 1 小王参加“智力大冲浪”游戏,他能答出甲、乙二类问题的概率分别为 0.7和 0.2,
两类问题都能答出的概率为 0.1,求小王解 事件 A,B分别表示“能答出甲,乙类问题”
(1) 6.01.07.0)()()( ABPAPBAP
(1) 答出甲类而答不出乙类问题的概率
(2) 至少有一类问题能答出的概率
(3) 两类问题都答不出的概率
(2) 8.0)()()()( ABPBPAPBAP
(3) 2.0)()( BAPBAP
Ch1-54课后同学问：
例 1 中小王他能答出第一类问题的概率为 0.7,答出第二类问题的概率为 0.2,两类问题都能答出的概率为 0.1,为什么不是
？2.07.0?
若是的话,则应有 )()()( 2121 APAPAAP?
而现在题中并未给出这一条件,
在 §1.4中将告诉我们上述等式成立的条件是,事件 相互独立,21,AA
Ch1-55
例 2 设 A,B满足 P ( A ) = 0.6,P ( B ) = 0.7,
在何条件下,P(AB) 取得最大 (小 )值？
最大 (小 )值是多少？
解 )()()()( ABPBPAPBAP
)()()()( BAPBPAPABP
3.01)()( BPAP
1)( BAP最小值在 时取得
6.0)()( APABP
—— 最小值
—— 最大值
)()( BPBAP最大值在 时取得
Ch1-56
课上有同学提问最小值是否正确？
例 2 中回答当 时,取得 BA )( BAP
这相当于问如下命题是否成立答：不成立 ！
BA 1)( BAP?
式是“羊肉包子打狗,—— 有去路,没回路为什么呢？学了几何概型便会明白,
Ch1-57
设 随机试验 E 具有下列特点：
基本事件的个数有限
每个基本事件等可能性发生则称 E 为 古典 (等可能 )概型古典概型中概率的计算：
记 中包含的基本事件总数n
的基本事件个数组成 Ak?
nkAP /)(?
则古典（等可能）概型概率的古典定义
Ch1-58
bam例 3 袋中有 a只白球,b只红球，从袋中按不放回与放回两种方式取 m个球（ ),
求其中恰有 k 个 （ ）白球的概率 mkak,
)1()1)(()( mbababaAn m ba
解 （ 1） 不放回情形
E,球编号，任取一球，记下颜色，放在一边，
重复 m 次
:
记事件 A 为 m个球中有 k个白球，则
)!(
!
)!(
!
)!(!
!
kmb
b
ka
a
kmk
m
AACn kmbkakmA
Ch1-59
又解 E1,球编号,一次取 m 个球,记下颜色
m baCn
11:
记事件 A 为 m个球中有 k个白球，则
kmbkaA CCn
不放回地逐次取 m 个球,与一次任取 m 个球算得的结果相同,
则
m
ba
km
b
k
a
k
m
A
AAC
AP
)( mkak,
因此 m
ba
km
b
k
a
C
CCAP
)( mkak,称 超几何分布
Ch1-60
（ 2） 放回情形
E2,球编号,任取一球,记下颜色,放回去,
重复 m 次
mban )(
2
2:
记 B 为取出的 m 个球中有 k 个白球,则
m
kmkk
m
ba
baCBP
)()(
kmk
k
m ba
b
ba
aC?
ba
ap
记
),m i n (,,2,1)1()( makppCBP kmkkm
称 二项分布
Ch1-61
设有 k 个不同的球,每个球等可能地落入 N 个盒子中（ ）,设每个盒子容球数无限,求下列事件的概率,
Nk?
（ 1）某指定的 k 个盒子中各有一球；
（ 4）恰有 k 个盒子中各有一球；
（ 3）某指定的一个盒子没有球 ；
km?（ 2）某指定的一个盒子恰有 m 个球 ( )
（ 5）至少有两个球在同一盒子中；
（ 6）每个盒子至多有一个球,
例 4（分房模型）
Ch1-62解
kNn?
设 (1) ~ (6)的各事件分别为 61 AA?
则 !
1 km A?
k
A
N
k
n
mAP !)(
1
1
k
k
N
N
kCAP !)(
4?
k
k
N
NAP )1()(
3
k mkmk NNCAP )1()( 2
k
k
N
k
N
kCNAP !)(
5
)(1 4AP
k
A Nm )1(3
mkm
kA NCm
)1(
2
!4 kCm kNA?
!5 kCNm kNkA
!6 kCm kNA? )()( 46 APAP?
Ch1-63
例 4的“分房模型”可应用于很多类似场合
“球”
可 视为人
“盒子”
相应视为房子信封信钥匙 门锁女舞伴生日人男舞伴
Ch1-64例 5,分房模型”的应用生物系二年级有 n 个人，求至少有两人生日相同（设为事件 A ) 的概率,
解为 n 个人的生日均不相同,这相当于A
本问题中的人可被视为“球”,365天为
365只“盒子”
若 n = 64，
每个盒子至多有一个球,由例 4（ 6）
n
n nC
AP
36 5
!
)( 3 6 5
,
3 6 5
!
1)(1)( 365 n
n nC
APAP
.9 9 7.0)( AP
Ch1-65
解
.5 0 4 0410 An
例 6 在 0,1,2,3,,9中不重复地任取四个数，
求它们能排成 首位非零 的四位偶数的概率,
设 A为,能排成 首位非零 的四位偶数”
四位 偶数的末位为偶数,故有 种可能1
5C
而前三位数有 种取法,由于首位为零的 四3
9A
位数有 种取法,所以有利于 A发生的取12
48CA
2 2 9 628143915 ACACn A法共有 种,
90
41
5040
2296)(AP
Ch1-66
2121 AAAAA
解 nn 9
设 A 表示事件,n 次取到的数字的乘积能被 10整除”
设 A1 表示事件,n 次取到的数字中有偶数”
A2表示事件,n 次取到的数字中有 5”
A = A1 A2
例 7 在 1,2,3,,9中重复地任取 n ( )个数,
求 n 个数字的乘积能被 10整除的概率,
2
Ch1-67
n
n
AP
9
5
1 n
n
AP
9
8
2 n
n
AAP
9
4
21?
n
nnn
AAPAPAP
AAPAP
9
485
2121
21
,
9
485
1 n
nnn
AP
Ch1-68
1o 明确所作的试验是等可能概型,有时需设计符合问题要求的随机试验,使其成为等可能概型,
3o 计算古典概率时须注意应用概率计算的有关公式,将复杂问题简单化,如例 7.
2o 同一题的样本空间的基本事件总数随试验设计的不同而不同,如 例 3不放回试验的两种不同设计,一般 越小越好,
n
n
计算古典概率注意事项
Ch1-69
若 P(A) 0.01,则称 A为小概率事件,
小概率事件一次试验中小概率事件一般是不会发生的,若在一次试验中居然发生了,
则可怀疑该事件并非小概率事件,
小概率原理
——
—— ( 即实际推断原理 )
Ch1-70
例 8 区长办公室某一周内曾接待过 9次来访,这些来访都是周三或周日进行的,是否可以断定接待时间是有规定的？
解 假定办公室每天都接待，则
P( 9次来访都在周三、日 ) = = 0.0000127
9
9
7
2
这是小概率事件,一般在一次试验中不会发发生,现居然发生了,故可认为假定不成立,
从而推断接待时间是有规定的,
Ch1-71
作业 P 46习题一
7 8 10 12
15 17 19
补充作业
.)(2 DP
设事件 A,B,C 同时发生必导致事件
)()()( CPBPAP
D 发生，则
Ch1-72
柯尔莫哥洛夫
( A,H,Колмогоров1903-1987 )
1939年任苏联科学院院士,先后当选美,法,
意,荷,英,德 等国的外籍院士 及皇家学会会员,
为 20 世纪最有影响的俄国数学家,
俄国数学家
Ch1-73
柯尔莫哥洛夫为开创现代数学的一系列重要分支作出重大贡献,
他建立了在测度论基础上的概率论公理系统,奠定了近代概率论的基础,
他又是随机过程论的奠基人之一,
其主要工作包括,
20年代 关于强大数定律、重对数律的基本工作 ;
Ch1-74
1933年在,概率论的基本概念,
一文中提出的概率论公理体系 (希尔伯特第 6问题 )
30年代建立的马尔可夫过程的两个基本方程 ;
用希尔伯特空间的几何理论建立弱平稳序列的线性理论 ;
40年代完成独立和的弱极限理论,
经验分布的柯尔莫哥洛夫统计量等 ;
Ch1-75
在动力系统中开创了关于哈密顿系统的微扰理论与 K系统遍历理论 ;
50年代中期开创了研究函数特征的信息论方法,他的工作及随后阿诺尔德的工作解决并深化了希尔伯特第 13问题
—— 用较少变量的函数表示较多变量的函数 ;
60年代后又创立了信息算法理论 ;
Ch1-76
1980年由于它在调和分析,概率论,
遍历理论 及 动力系统方面 出色的工作获沃尔夫奖 ;
他十分重视数学教育,在他的指引下,大批数学家在不同的领域内取得重大成就,其中包括 и.M.盖尔范德,B.и.
阿诺尔德,Я.Г.西奈依等人,
他还非常重视基础教育,亲自领导了中学 数学教科书的编写工作,
Ch1-77
第 2 周 问 题已知 P ( A ) = P ( B ) = P(C) = 1/4,
P(AB) = 0,P(AC) = P(BC) = 1/6
则事件 A,B,C 全不发生的概率为,
通过做此题 你能发现什么问题？
（此题是 1992年考研填空题）
Ch1-78
)(1)( CBAPCBAP
)()()(1 CPBPAP
.12/76/24/31
)()()()( A B CPBCPACPABP
一般会解出
Ch1-79
.2/1)()()()( ABPBPAPBAP
).(12/52/1)( CBAPBAP
.12/5)( CBAP
由题设得另一方面又可得于是得矛盾若将条件修改为 P(AC) = P(BC) = 1/9
便无矛盾
).(36/192/1)( CBAPBAP
Ch1-80
例 9某人的表停了，他打开收音机听电台报时，已知电台是整点报时的，问他等待报时的时间短于十分钟的概率
9点 10点
10分钟
6
1
60
10
)(AP
几何概型 (等可能概型的推广 )
Ch1-81
几何概型设样本空间为有限区域?,若样本点落入? 内任何区域 G 中的概率与区域 G
的测度成正比,则样本点落入 G内的概率为的测度的测度
G
AP?)(
Ch1-82
例 10 两船欲停同一码头,两船在一昼夜内独立随机地到达码头,若两船到达后需在码头停留的时间分别是 1 小时与 2 小 时，
试求在一昼夜内，任一船到达时，需 要等待空出码头的概率,
解 设船 1 到达码头的瞬时为 x,0? x < 24
船 2 到达码头的瞬时为 y,0? y < 24
设事件 A 表示任一船到达码头时需要等待空出码头
Ch1-83
x
y
24
24
y = x
224S
22 222321AS
1 2 0 7.01)(
S
SAP A
}240,240),{( yxyx?
}20,10
,),(),{(
yxxy
yxyxA?
Ch1-84用几何概型可以回答例 2中提出的,概率为 1 的事件为什么不一定发生?” 这一问题,
如图，设试验 E 为,随机地向边
0 1 x
Y
1 长为 1 的正方形内投点” 事件 A 为“点投在黄、蓝两个三角形内”
1
11
11
)( 2
1
2
1
正方形蓝三角形黄三角形
S
SS
AP
由于点可能投在正方形的对角线上,所以事件 A未必一定发生,
)( AP求
Ch1-85
作业 P 46习题一
21,22 (1) (2)
Ch1-86
完全可加性随机地向区间 ( 0,1 ] 投掷一个质点，
2
1,0
令事件 A 为该质点落入区间
,2,1,21,2 1 1
kkk
事件 Ak 为该质点落入区间
1k
kAA
0 1
（ ]
A
](
210
(41 21]( 81( ]( ]]
附录
Ch1-87
,2,1,
2
1
)(
,
2
1
)(
1
kAP
AP
kk
2
1
2
1)(
1
1
1
k
k
k
kAP
Ch1-88排列组合有关知识复习加法原理,完成一件事情有 n类方法，第 i 类方法中有 mi 种具体的方法，则完成这件事情共有?
n
i
im
1
种不同的方法乘法原理,完成一件事情有 n个步骤，第 i 个步骤中有 mi 种具体的方法，则完成这件事情共有?
n
i
im
1
种不同的方法
Ch1-89
排列 从 n 个不同的元素中取出 m 个 (不放回地）按一定的次序排成一排不同的排法共有 )1()2)(1( mnnnnA
mn?
全排列 !nA nn?
可重复排列 从 n 个不同的元素中可重复地取出 m 个排成一排,不同的排法有
mn
种
Ch1-90
不尽相异元素的全排列 n 个元素中有 m 类，
第 i 类中有 个相同的元素，ik
,21 nkkk m
将这 n 个元素按一定的次序排成一排，
!!!
!
21 mkkk
n
种不同的排法共有
Ch1-91
mkkk,,,21? nkkk
m21,不同的分法共有多组组合 把 n 个元素分成 m 个不同的组
（组编号）,各组分别有 个元素，
n
n
kkk knkn CCC?2
1
1?
种组合 从 n 个不同的元素中取出 m 个 (不放回地）组成一组,不同的分法共有
)!(!
!
mnm
nC m
n
Ch1-92
将 15 名同学 (含 3 名女同学 ),平均分成三组,求
(1) 每组有 1 名女同学 (设为事件 A)的概率；
(2) 3 名女同学同组 (设为事件 B)的概率解 55510515 CCCn
（ 1） 1112134448412 CCCCCCn A? 91
25)(?AP
（ 2） 5551021213 CCCCn B? 91
6)(?BP
例 11 ( 类似于教材 P.22 例 10 )
Ch1-93
例 12 把标有 1,2,3,4 的 4 个球随机地放入标有 1,2,3,4 的 4 个盒子中，每盒放一球，
求至少有一个盒子的号码与放入的球的号码一致的概率解 设 A 为所求的事件设 Ai 表示 i 号球入 i 号盒,i = 1,2,3,4
则?
4
1?
i
iAA
4,3,2,1,41!4 !3)( iAP i
Ch1-94 41,
12
1
!4
!2)( jiAAP
ji
41,241!4 !1)( kjiAAAP kji
24
1)(
4321?AAAAP
4141
)()()(
ji
ji
i
i AAPAPAP
8
5)()(
4321
41
AAAAPAAAP
kji
kji
由广义加法公式
