1
主讲冯卫国
《
概率论与数理统计
》
2
小概率事件奥运百年终于发生请记住雅典
2004.8.28
2:43
3
短道高栏中国第一
4
刘翔领先不是一点点
1,自我感光
2,前 言
3,参 考 书
4,本学科 A B C
5,本学科 应用冯卫国 属虎相 已越天命之年入中共 任教授 还有六载耕耘上大班 遇考试 从无全体通过是何故 须思量 原来数字太难对学子 严加爱 本人身体力行自我感光
2005.2.21
真期望 众后生 胜于南洋前辈
2004-2005学年第１学期
,概率统计,考试不及格率
001班 (机动,物理 ) %78.5121/7?
004班 (建、材、农 ) %4.101 2 5/13?
007班 (生,农,药 ) %5.81 6 4/14?
011班 (ACM试,机动 ) %042/0?
概率统计 是研究随机现象数量规律的数学学科,理论严谨,应用广泛,发展迅速,
目前,不仅高等学校各专业都开设了这门课程,而且从上世纪末开始，这门课程特意被国家教委定为本科生考研的数学课程之一，希望大家能认真学好这门不易学好又前 言不得不学的重要课程,
教材
《概率论与数理统计》
主要教学参考书贺才兴等编科学出版社
2002年辅导书 (1)
编交大 出版社
2004年版冯卫国武爱文冯卫国等编科学出版社
2002年修订辅导书 (2)
国内有关经典著作
1.《概率论基础及其应用》
王梓坤著 科学出版社 1976 年版
2.《数理统计引论》
陈希儒著 科学出版社 1981年版国外有关经典著作
1.《概率论的分析理论》
P.- S.拉普拉斯 著 1812年 版
2.,统计学数学方法》
H,克拉默著 1946年版概率论的最早著作数理统计最早著作概率统计专业首位中科院院士本学科的 ABC
概率 (或然率或几率 ) —— 随机事件出现的可能性的量度 ——其起源与博弈问题有关,
16世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博中的一些问题； 17世纪中叶，法国数学家 B,帕斯卡、荷兰数学家 C,惠更斯 基于排列组合的方法，研究了较复杂 的赌博问题,解决了,合理分配赌注问题” ( 即得分问题 ).
概率论是一门 研究客观世界随机现象数量规律的 数学分支学科,
发展则在 17世纪微积分学说建立以后,
基人是瑞士数学家 J.伯努利；而概率论的飞速第二次世界大战军事上的需要以及大工业与管理的复杂化产生了运筹学、系统论、信息论、控制论与数理统计学等学科,
数理统计学是一门 研究怎样去有效地收集、
整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议的 数学分支学科,
论；使 概率论 成为 数学的一个分支的真正奠对客观世界中随机现象的分析产生了概率统计方法的数学理论要用到很多近代数学知识，如函数论、拓扑学、矩阵代数、组合数学等等，但关系最密切的是概率论，故可以这样说,概率论是数理统计学的基础，数理统计学是概率论的一种应用,但是它们是两个并列的数学分支学科，并无从属关系,
本学科的应用概率统计理论与方法的应用几乎遍及所有科学技术领域、工农业生产和国民经济的各个部门中,例如
1,气象、水文、地震预报、人口控制及预测都与,概率论,紧密相关；
2,产品的抽样验收，新研制的药品能否在临床中应用，均要用到,假设检验,；
6,探讨太阳黑子的变化规律时,,时间可夫过程,来描述 ;
7,研究化学反应的时变率，要以,马尔序列分析,方法非常有用 ;
4,电子系统的设计,火箭卫星的研制及其发射都离不开,可靠性估计,;
3,寻求最佳生产方案要进行,实验设计,
和,数据处理,；
5,处理通信问题,需要研究,信息论,；
水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都可用一类概率模型来描述，其涉及到 的知目前,概率统计理论进入其他自然科学装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、
8,生物学中研究 群体的增长问题时，
提出了生灭型,随机模型,,传染病流行问题要用到多变量非线性,生灭过程,；
9,许多服务系统，如电话通信、船舶识就是,排队论,,
领域,特别是经济学中研究最优决策和经济的稳定增长等问题,都大量采用,概率统计方法,,法国数学家拉普拉斯 (Laplace)
说对 了,,生活中最重要的问题,其中绝大领域的趋势还在不断发展,在社会科学领多数在实质上只是概率的问题,”
英国的逻辑学家和经济学家杰文斯曾对 概率论 大加赞美：,概率论是生活真正的领路人,如果没有对概率的某种估计,那么我们就寸步难行,无所作为,
,得 分 问 题,
甲、乙两人各出同样的赌注，用掷硬币作为博奕手段,每掷一次，若正面朝上，甲得 1 分乙不得分,反之，乙得 1分，
甲不得分,谁先得到规定分数就赢得全部赌注,当进行到甲还差 2分乙还差 3分，就分别达到规定分数时，发生了意外使赌局不能进行下去,问如何公平分配赌注？
确定性现象随机现象 ——
每次试验前不能预言出现什么结果
每次试验后出现的结果不止一个
在相同的条件下进行大量观察或试验时，出现的结果有一定的规律性
—— 称之为 统计规律性第一章 随机事件及其概率
§ 1.1 随机事件对某事物特征进行观察,统称 试验,
若它有如下特点,则称为 随机试验,用 E表示
试验前不能预知出现哪种结果基本术语
可在相同的条件下重复进行
试验结果不止一个,但能明确所有的结果样本空间 —— 随机试验 E 所有可能的结果样本空间的元素,即 E 的直接结果,称为随机事件 ——?的子集,记为 A,B,…
它是满足某些条件的样本点所组成的集合,
组成的集合称为 样本空间 记为?
样本点 (or基本事件 ) 常记为?,? = {?}
},,3,2,1,0{2 N
}),{( 213 TyxTyx
其中 T1,T2分别是该地区的最低与最高温度
:3E 观察某地区每天的最高温度与最低温度
:2E 观察总机每天 9:00~10:00接到的电话次数有限样本空间无限样本空间
:1E 投一枚硬币 3次，观察正面出现的次数
}3,2,1,0{1
例 1给出一组随机试验及相应的样本空间基本事件 —— 仅由一个样本点组成的子集它是随机试验的直接结果,每次试验必 定 发生且只可能发生一个基本事件,
必然事件 —— 全体样本点组成的事件,记为?,每次试验必定发生的事件,
随机事件发生 —— 组成随机事件的一个样本点发生不可能事件 —— 不包含任何样本点的事件,
记为?,每次试验必定不发生的 事件,
A
随机事件的关系和运算雷同集合的关系和运算事件的关系和运算文氏图 ( Venn diagram )
—— A 包含于 BBA?
事件 A 发生必导致事件 B 发生 A B
BA BA? AB?且
1,事件的 包含
2,事件的相等
BA?或 BA?
BA?A
事件 A与事件 B 至少有一个发生
BA?发生
nAAA,,,21?的和事件 ——?
n
i
iA
1,,,,
21 nAAA 的和事件 ——?
1i
iA
—— A 与 B 的和事件?
3,事件的并 (和 )
BA?或 AB
事件 A与事件 B同时发生
BA?发生
nAAA,,,21?的积事件 ——?
n
i
iA
1?
,,,,21 nAAA 的积事件 ——
—— A 与 B 的积事件
1i
iA
BA?
BA
4,事件的交 (积 )
BA?
BA? 发生
事件 A 发生，但事件 B 不发生
BA?
BA—— A 与 B 的差事件
5,事件的差
—— A 与 B 互斥AB
A,B不可能同时发生
A B
nAAA,,,21?两两互斥
,,,,21 nAAA 两两互斥
njijiAA ji,,2,1,,,
,2,1,,, jijiAA ji
6,事件的 互斥 (互不相容 )
—— A 与 B 互相对立
BAAB,
每次试验 A,B中有且只有一个发生
A
B
AB?
称 B 为 A的对立事件 (or逆事件 )，
记为注意：,A 与 B 互相对立,与
,A 与 B 互斥,是不同的概念
7,事件的对立
A?
8,完备 事件组
n
i
iA
1?
nAAA,,,21?若 两两互斥，且
nAAA,,,21?则称 为 完备 事件组
1A nA
1?nA
2A
3A
nAAA,,,21?或称 为 的一个划分?
吸收律
AABA
AA
A
)(
ABAA
A
AA
)(
幂等律 AAA AA
差化积 )( ABABABA
重余律 AA?
运算律 对应事件运算集合运算
交换律 ABBA BAAB?
结合律 )()( CBACBA
)()( BCACAB?
分配律 )()()( CBCACBA
))(()( CABABCA
BABA BAAB n
i
i
n
i
i AA
11
n
i
i
n
i
i AA
11
反演律运算顺序,逆交并差，括号优先
B
CA
)( BCA?
B
A C
分配律图 示
))(( CABA
A B)( BA?
B
ABABA ))((
红色区域黄色区域交例 2 用图示法简化,))(( BABAAB?
A
A
)( BA?
例 3 化简事件
ACCBA )(?
解 原式 ACCBA
ACCBCA
CBA
ACCBA
ACCBA?)(
CBCCA )(?
CBA
例 4 利用事件关系和运算表达多个事件的关系
A,B,C 都不发生 ——
CBA CBA
A,B,C 不都发生 ——
CBAA B C
例 5 在图书馆中随意 抽取一本书，
A 表示数学书，
B 表示中文书，
C 表示平装书,
—— 抽取的是精装中文版数学书CAB
BC? —— 精装书都是中文书
BA? —— 非 数学书都是中文版的，且中文版的书都是 非 数学书则事件作业,P45 习题一
2 (1) (2) (3) (6) (7) (8)
3
5
6
在一次乒乓球比赛中设立奖金 1千元,比赛规定谁先胜了三盘,谁获得全部奖金,设甲,乙二人的球技相等,现已打了
3盘,甲两胜一负,由于某种特殊的原因必须中止比赛,问这 1000元应如何分配才算公平?
第 1 周问 题
主讲冯卫国
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概率论与数理统计
》
2
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2:43
3
短道高栏中国第一
4
刘翔领先不是一点点
1,自我感光
2,前 言
3,参 考 书
4,本学科 A B C
5,本学科 应用冯卫国 属虎相 已越天命之年入中共 任教授 还有六载耕耘上大班 遇考试 从无全体通过是何故 须思量 原来数字太难对学子 严加爱 本人身体力行自我感光
2005.2.21
真期望 众后生 胜于南洋前辈
2004-2005学年第１学期
,概率统计,考试不及格率
001班 (机动,物理 ) %78.5121/7?
004班 (建、材、农 ) %4.101 2 5/13?
007班 (生,农,药 ) %5.81 6 4/14?
011班 (ACM试,机动 ) %042/0?
概率统计 是研究随机现象数量规律的数学学科,理论严谨,应用广泛,发展迅速,
目前,不仅高等学校各专业都开设了这门课程,而且从上世纪末开始，这门课程特意被国家教委定为本科生考研的数学课程之一，希望大家能认真学好这门不易学好又前 言不得不学的重要课程,
教材
《概率论与数理统计》
主要教学参考书贺才兴等编科学出版社
2002年辅导书 (1)
编交大 出版社
2004年版冯卫国武爱文冯卫国等编科学出版社
2002年修订辅导书 (2)
国内有关经典著作
1.《概率论基础及其应用》
王梓坤著 科学出版社 1976 年版
2.《数理统计引论》
陈希儒著 科学出版社 1981年版国外有关经典著作
1.《概率论的分析理论》
P.- S.拉普拉斯 著 1812年 版
2.,统计学数学方法》
H,克拉默著 1946年版概率论的最早著作数理统计最早著作概率统计专业首位中科院院士本学科的 ABC
概率 (或然率或几率 ) —— 随机事件出现的可能性的量度 ——其起源与博弈问题有关,
16世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博中的一些问题； 17世纪中叶，法国数学家 B,帕斯卡、荷兰数学家 C,惠更斯 基于排列组合的方法，研究了较复杂 的赌博问题,解决了,合理分配赌注问题” ( 即得分问题 ).
概率论是一门 研究客观世界随机现象数量规律的 数学分支学科,
发展则在 17世纪微积分学说建立以后,
基人是瑞士数学家 J.伯努利；而概率论的飞速第二次世界大战军事上的需要以及大工业与管理的复杂化产生了运筹学、系统论、信息论、控制论与数理统计学等学科,
数理统计学是一门 研究怎样去有效地收集、
整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议的 数学分支学科,
论；使 概率论 成为 数学的一个分支的真正奠对客观世界中随机现象的分析产生了概率统计方法的数学理论要用到很多近代数学知识，如函数论、拓扑学、矩阵代数、组合数学等等，但关系最密切的是概率论，故可以这样说,概率论是数理统计学的基础，数理统计学是概率论的一种应用,但是它们是两个并列的数学分支学科，并无从属关系,
本学科的应用概率统计理论与方法的应用几乎遍及所有科学技术领域、工农业生产和国民经济的各个部门中,例如
1,气象、水文、地震预报、人口控制及预测都与,概率论,紧密相关；
2,产品的抽样验收，新研制的药品能否在临床中应用，均要用到,假设检验,；
6,探讨太阳黑子的变化规律时,,时间可夫过程,来描述 ;
7,研究化学反应的时变率，要以,马尔序列分析,方法非常有用 ;
4,电子系统的设计,火箭卫星的研制及其发射都离不开,可靠性估计,;
3,寻求最佳生产方案要进行,实验设计,
和,数据处理,；
5,处理通信问题,需要研究,信息论,；
水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都可用一类概率模型来描述，其涉及到 的知目前,概率统计理论进入其他自然科学装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、
8,生物学中研究 群体的增长问题时，
提出了生灭型,随机模型,,传染病流行问题要用到多变量非线性,生灭过程,；
9,许多服务系统，如电话通信、船舶识就是,排队论,,
领域,特别是经济学中研究最优决策和经济的稳定增长等问题,都大量采用,概率统计方法,,法国数学家拉普拉斯 (Laplace)
说对 了,,生活中最重要的问题,其中绝大领域的趋势还在不断发展,在社会科学领多数在实质上只是概率的问题,”
英国的逻辑学家和经济学家杰文斯曾对 概率论 大加赞美：,概率论是生活真正的领路人,如果没有对概率的某种估计,那么我们就寸步难行,无所作为,
,得 分 问 题,
甲、乙两人各出同样的赌注，用掷硬币作为博奕手段,每掷一次，若正面朝上，甲得 1 分乙不得分,反之，乙得 1分，
甲不得分,谁先得到规定分数就赢得全部赌注,当进行到甲还差 2分乙还差 3分，就分别达到规定分数时，发生了意外使赌局不能进行下去,问如何公平分配赌注？
确定性现象随机现象 ——
每次试验前不能预言出现什么结果
每次试验后出现的结果不止一个
在相同的条件下进行大量观察或试验时，出现的结果有一定的规律性
—— 称之为 统计规律性第一章 随机事件及其概率
§ 1.1 随机事件对某事物特征进行观察,统称 试验,
若它有如下特点,则称为 随机试验,用 E表示
试验前不能预知出现哪种结果基本术语
可在相同的条件下重复进行
试验结果不止一个,但能明确所有的结果样本空间 —— 随机试验 E 所有可能的结果样本空间的元素,即 E 的直接结果,称为随机事件 ——?的子集,记为 A,B,…
它是满足某些条件的样本点所组成的集合,
组成的集合称为 样本空间 记为?
样本点 (or基本事件 ) 常记为?,? = {?}
},,3,2,1,0{2 N
}),{( 213 TyxTyx
其中 T1,T2分别是该地区的最低与最高温度
:3E 观察某地区每天的最高温度与最低温度
:2E 观察总机每天 9:00~10:00接到的电话次数有限样本空间无限样本空间
:1E 投一枚硬币 3次，观察正面出现的次数
}3,2,1,0{1
例 1给出一组随机试验及相应的样本空间基本事件 —— 仅由一个样本点组成的子集它是随机试验的直接结果,每次试验必 定 发生且只可能发生一个基本事件,
必然事件 —— 全体样本点组成的事件,记为?,每次试验必定发生的事件,
随机事件发生 —— 组成随机事件的一个样本点发生不可能事件 —— 不包含任何样本点的事件,
记为?,每次试验必定不发生的 事件,
A
随机事件的关系和运算雷同集合的关系和运算事件的关系和运算文氏图 ( Venn diagram )
—— A 包含于 BBA?
事件 A 发生必导致事件 B 发生 A B
BA BA? AB?且
1,事件的 包含
2,事件的相等
BA?或 BA?
BA?A
事件 A与事件 B 至少有一个发生
BA?发生
nAAA,,,21?的和事件 ——?
n
i
iA
1,,,,
21 nAAA 的和事件 ——?
1i
iA
—— A 与 B 的和事件?
3,事件的并 (和 )
BA?或 AB
事件 A与事件 B同时发生
BA?发生
nAAA,,,21?的积事件 ——?
n
i
iA
1?
,,,,21 nAAA 的积事件 ——
—— A 与 B 的积事件
1i
iA
BA?
BA
4,事件的交 (积 )
BA?
BA? 发生
事件 A 发生，但事件 B 不发生
BA?
BA—— A 与 B 的差事件
5,事件的差
—— A 与 B 互斥AB
A,B不可能同时发生
A B
nAAA,,,21?两两互斥
,,,,21 nAAA 两两互斥
njijiAA ji,,2,1,,,
,2,1,,, jijiAA ji
6,事件的 互斥 (互不相容 )
—— A 与 B 互相对立
BAAB,
每次试验 A,B中有且只有一个发生
A
B
AB?
称 B 为 A的对立事件 (or逆事件 )，
记为注意：,A 与 B 互相对立,与
,A 与 B 互斥,是不同的概念
7,事件的对立
A?
8,完备 事件组
n
i
iA
1?
nAAA,,,21?若 两两互斥，且
nAAA,,,21?则称 为 完备 事件组
1A nA
1?nA
2A
3A
nAAA,,,21?或称 为 的一个划分?
吸收律
AABA
AA
A
)(
ABAA
A
AA
)(
幂等律 AAA AA
差化积 )( ABABABA
重余律 AA?
运算律 对应事件运算集合运算
交换律 ABBA BAAB?
结合律 )()( CBACBA
)()( BCACAB?
分配律 )()()( CBCACBA
))(()( CABABCA
BABA BAAB n
i
i
n
i
i AA
11
n
i
i
n
i
i AA
11
反演律运算顺序,逆交并差，括号优先
B
CA
)( BCA?
B
A C
分配律图 示
))(( CABA
A B)( BA?
B
ABABA ))((
红色区域黄色区域交例 2 用图示法简化,))(( BABAAB?
A
A
)( BA?
例 3 化简事件
ACCBA )(?
解 原式 ACCBA
ACCBCA
CBA
ACCBA
ACCBA?)(
CBCCA )(?
CBA
例 4 利用事件关系和运算表达多个事件的关系
A,B,C 都不发生 ——
CBA CBA
A,B,C 不都发生 ——
CBAA B C
例 5 在图书馆中随意 抽取一本书，
A 表示数学书，
B 表示中文书，
C 表示平装书,
—— 抽取的是精装中文版数学书CAB
BC? —— 精装书都是中文书
BA? —— 非 数学书都是中文版的，且中文版的书都是 非 数学书则事件作业,P45 习题一
2 (1) (2) (3) (6) (7) (8)
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5
6
在一次乒乓球比赛中设立奖金 1千元,比赛规定谁先胜了三盘,谁获得全部奖金,设甲,乙二人的球技相等,现已打了
3盘,甲两胜一负,由于某种特殊的原因必须中止比赛,问这 1000元应如何分配才算公平?
第 1 周问 题
