Ch2-90
§ 2.4 r.v,函数的分布方法 将与 Y 有关的事件转化成 X 的事件求 随机因变量 Y= g ( X )的密度函数或分布律)(yfY
问题 已知 r.v,X 的 d.f,)(xf
X 或分布律,
Ch2-91
设 r.v,X 的分布律为
,2,1,)( kpxXP kk
由已知函数 g( x)可求出 r.v,Y 的所有可能取值，则 Y 的概率分布为
,2,1,)(
)(:

ipyYP
ik yxgk
ki
离散型 r.v.函数的分布
Ch2-92
例 1 已知 X 的概率分布为
X
pk
-1 0 1 2
2
1
4
1
8
1
8
1
求 Y 1= 2X – 1 与 Y 2= X 2 的分布律解 Y 1
pi
-3 -1 1 3
2
1
4
1
8
1
8
1
Ch2-93
Y 2
pi
1 0 1 4
2
1
4
1
8
1
8
1
Y 2
pi
0 1 4
2
1
8
3
8
1
Ch2-94
例 2 已知 X 的概率分布为
,2,1,0,)2( kpqkXP k?
其中 p + q = 1,0 < p < 1,
求 Y = Sin X 的概率分布解 )0(?YP


)22(
0
m
mXP?
0
2
m
mpq
21 q
p
Ch2-95)1(?YP?


)22(
0
m
mXP


)
2
)14((
0
m
mXP?

0
14
m
mpq
41 q
pq

)1(YP


)
2
32(
0
m
mXP


)
2
)34((
0
m
mXP?

0
34
m
mpq
4
3
1 q
pq
Ch2-96
故 Y 的概率分布为
Y
pi
-1 0 1
424
3
111 q
pq
q
p
q
pq

Ch2-97
已知 X 的 d.f,f (x) 或分布函数求 Y = g( X ) 的 d.f.
方法：
（ 1） 从分布函数出发
（ 2） 用公式直接求 d.f.
连续性 r.v.函数的分布
Ch2-98例 3 已知 X 的 d.f.为
,),( baXYxf X
为常数，且 a? 0,求 fY ( y )
解 )()( yYPyF Y
)( ybaXP
1( ) ( )
YF y P X y ba


)(1 byaF X
当 a > 0 时，
)(11)( byafayf XY
ba,
Ch2-99
当 a < 0 时，

)(1)( by
a
XPyF Y
)(11 by
a
F X
)(11)( by
a
f
a
yf XY
故

)(1
||
1)( by
afayf XY
Ch2-100
例如 设 X ~ N (?,?2),Y = a X +b,则

)(1
||
1)( by
a
f
a
yf XY
22
2
2
)(
||2
1

a
aby
e
a

y
Y ~ N ( a? +b,a2?2 )
特别地,若 X ~ N (?,? 2),
)1,0(~ NXY

则
Ch2-101
例 4 X ~ E (2),Y = – 3X + 2,求 )( yfY
解


)2(
3
1
|3|
1)( yfyf
XY



他其,0
0
3
2
,2
3
1 3
2
2 y
e
y

其他,0
2,
3
2
3
)2(2
ye
y
Ch2-102例 5 已知 X ~ N (0,1),Y = X 2,求 f
Y (y)
解一 从分布函数出发
)()( yYPyF Y
[ y )()(
2 yXPyF
Y
y[
yy?
当 y < 0 时,FY (y) = 0
当 y > 0 时，
)( yXyP
)()( yFyF XX
][
Ch2-103
)( yF
Y 0,0?y
0),()( yyFyF XX
故
)( yf Y 0,0?y
0,)()(
2
1 yyfyf
y XX
)( yf Y 0,0?y
0,
2
1 2
2/1
ye
y
y
Ch2-104
解二 从 d.f,出发
y
yy
1x 11 )( xx 2x 22 )( xx
0)( yyYyP?
))(())(( 222111 xxXxPxXxxP
2211 ))((])()[()( xxfxxfyyf XXY
即当 y < 0 时
)( yyYyP
当 y > 0 时
y yy
2xy?
Ch2-105
21
)()(
)( 21
xx
X
xx
X
Y
dx
dy
xf
dx
dy
xf
yf

21
)()(
21
xx
X
xx
X
dx
dy
xf
dx
dy
xf


yx
X
yx
X
dx
dy
yf
dx
dy
yf

)()(
Ch2-106
2
)(
2
)(
2
2
2
1
|2|
1
2
1
|2|
1
y
y
e
y
e
y
2
2
1 ye
y


0,
2
1
0,0
)( 2
ye
y
y
yf
y
Y
故此答案是否对？

0,
2
1
0,0
)( 2
ye
y
y
yf
y
Y
应修正为
Ch2-107一般地
y
x1 x2 x3
y = g(x)
x
nxx
nX
xx
X
xx
X
Y
dx
dy
xf
dx
dy
xf
dx
dy
xf
yf


)()()(
)(
21
21?
xn
Ch2-108特别地，若 g(x)为单调函数，则
1
)(
)( 1
xx
X
Y
dx
dy
xf
yf
y = g(x)
x
y
x1
其中 x1= g 1(y)
Ch2-109
例 6 设 xxxf X,)1(
1)(
2?
31 XY
求 f Y (y)
x
31 xy
y
(1 - y)3
解

3)1(
3)1(
)(
yx
X
Y
dx
dy
yf
yf


3)1(
3)1(
yx
X dy
dxyf



y
y
y,
)1(1
)1(3
6
2
Ch2-110例 7 设 X 的 p.d.f.为


其他,0
0,
2
)( 2 x
x
xf X
XY s in?求 的 p.d.f.
解故当 y? 0
或 y?1 时
y?f Y (y) = 0
x
)0(s in xxy
1
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0.2
0.4
0.6
0.8
1
y?
由图可知,Y 的取值范围为 (0,1)
Ch2-111
y?
arcsiny? - arcsiny
1
x
)0(s in xxy
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0.2
0.4
0.6
0.8
1
当 0? y < 1 时



222 )ar c s in(2ar c s in2
1
1)(
yy
y
yf Y
21
2
y?
故



其他,0
10,
1
2
)( 2
y
yf Y?
Ch2-112注意 连续 r.v.的函数的分布函数不一定是连续函数例如 X ~ U (0,2)

其他,0
20,
2
1
)( xxf X

1
10
0
,1
,
,0
)(
x
x
x
xxg
令 Y=g (X)
x
y
1

1,1
10,
2
,0,0
)(
y
y
y
y
yF
Y
FY (y)不是连续函数
Ch2-113
作业 P,85 习题二
28 30
32 (2)
33 (1) (3)
35 36
Ch2-114
X,求其密度函数 f (x).
A B
C
h.M
问 题第 6 周在高为 h 的 ABC 中任取一点
M,点 M 到 AB 的距离为随机变量
X,求其密度函数 f (x).
问 题
A B
C
h.M
Ch2-115
设 r.v,服从 (0,1)内均匀分布,X
[ 1 ( ) ] / 2X g Y又其中 dteyg y
o
t
2
2
2
2
)(
求 r.v,的 p.d.f.Y
第 7周 问 题
Ch2-116
设 r.v.Z 服从参数为 1 的指数分布，引入随机变量：
21
20
11
10
Z
Z
Y
Z
Z
X
求 (X,Y) 的联合分布律第 8 周 问 题