Ch7-46
§ 7.2 点估计的评价标准对于同一个未知参数,不同的方法得到的估计量可能不同,于是提出问题应该选用哪一种估计量?
用何标准来评价一个估计量的好坏?
常用标准
(1) 无偏性
(3) 一致性
(2) 有效性
Ch7-47
)?(E若则称 是? 的无偏估计量,
无偏性定义我们不可能要求每一次由样本得到的估计值与真值都相等，但可以要求这些估计值的期望与真值相等,
定义的合理性
Ch7-48
),,,( 21 nXXX? 是总体 X 的样本,
证明,不论 X 服从什么分布 (但期望存在 ),
是 k? 的无偏估计量,
证



n
i
k
i
n
i
k
ik XEnXnEAE
11
)(1)1()(
例 1 设总体 X 的 k 阶矩 )( k
k XE 存在因而 niXE
k
k
i,,2,1)(
由于
kknn
1
n
i
k
ik XnA
1
1则
Ch7-49
特别地样本二阶原点矩?
n
i
iXnA
1
2
2
1 是总体是总体期望 E( X ) 的X样本均值无偏估计量的无偏 )( 2
2 XE
二阶原点矩估计量
Ch7-50
例 2 设总体 X 的期望 与方差存在,X 的
),,,( 21 nXXX?样本为 (n > 1),
(1) 不是 D( X )的无偏估量 ;?

n
i
in XXnS
1
22 )(1
(2) 是 D( X ) 的无偏估计量,?
n
i
i XXnS
1
22 )(
1
1
证 2
1
2
1
2 1)(1 XX
n
XX
n
n
i
i
n
i
i

前已证证明
2)()(,)()( XDXDXEXE ii
nXDXEXE
2
)(,)()(
Ch7-51
)()(1)(1 2
1
2
1
2 XEXE
n
XX
n
E
n
i
i
n
i
i



因而
)()( 2
2
22
n
221
n
n
2
1
2)(
1
1


n
i
i XXnE
故 证毕,
Ch7-52
例 3 设 ),,,(
21 mXXX? 是总体 X 的一个样本,
X~B(n,p) n > 1,求 p 2 的无偏估计量,
解 由于样本矩是总体矩的无偏估计量以及数学期望的线性性质,只要将未知参数表示成总体矩的线性函数,然后用样本矩作为总体矩的估计量,这样得到的未知参数的估计量即为无偏估计量,
npXEX )(令
)1()()(1 22
1
2 pnpnpXEX
m
m
i
i
Ch7-53



XX
mnn
p
m
i
i
1
2
2
2 11
因此,p 2 的无偏估计量为
)1(
)1(
1
1
nn
XX
m
m
i
ii
故 XX
m
pnn
m
i
i
1
222 1)(
Ch7-54例 4 设总体 X 的密度函数为
00
,0
1
);(
x
xe
xf
x

0 为常数
),,,( 21 nXXX? 为 X 的一个样本证明 X 与 },,,m in { 21 nXXXn?都是? 的无偏估计量证

)(1~ XEEX
故 )()( XEXE
是? 的无偏估计量,X
Ch7-55
},,,m in { 21 nXXXZ令


0
00
)(
ze
n
z
zf nzZ
即 nZE
nEZ?


)(~



01
00
ze
z
nz
)( nZE
故 n Z 是? 的无偏估计量,
)()()(1 21 zXPzXPzXP n

n
i
i zXP
1
))(1(1
),,,(1)( 21 zXzXzXPzF nZ
Ch7-56
),,,(? 2111 nXXX
都是总体参数?的无偏估计量,且
)?()?( 21 DD?
则称 比 更有效,
1 2

定义 设有效性
),,,(? 2122 nXXX
Ch7-57
所以,X 比 },,,m in {
21 nXXXn?更有效,
是?的无偏估计量,问哪个估计量更有效？
X },,,m in { 21 nXXXn?由例 4可知,与 都
00
,0
1
);(
x
xe
xf
x

0 为常数例 5 设总体 X 的密度函数为
221 }),,,m in {(nXXXnD?nXD
2
)(解,
Ch7-58
例 6 设总体 X，且 E( X )=?,D( X )=? 2
),,,( 21 nXXX? 为总体 X 的一个样本证明
i
n
i
i Xc?
1
1
是? 的无偏估计量
(2) 证明 X 比
i
n
i
i Xc?
1
1
更有效证 (1)

n
i
ii
n
i
i cXEcE
11
1 )()?(
.1
1

n
i
ic,,,2,1
1 ni
n
c i(1) 设常数
Ch7-59
(2)


n
i
ii
n
i
i cXDcD
1
22
1
2
1 )()?(





n j i
j i
n
i
i
n
i
ic c c c
1 1
2
2
1
2 1而
n
c
n
i
i
1
1
2
)?(
1)?(
1
2 D
n
D



n
i
i
nji
ji
n
i
i cnccc
1
2
1
22
1
2 )(
结论 算术均值比加权均值更有效,
Ch7-60
例如 X ~ N(?,? 2 ),( X 1,X 2 ) 是一样本,
213
212
211
2
1
2
1
4
3
4
1
3
1
3
2
XX
XX
XX



都是?的 无偏估计量由例 6(2) 知
3
最有效,
Ch7-61
罗 — 克拉美 （ Rao – Cramer） 不等式若 是参数? 的无偏估计量,则
)(
),(ln
1
)?( 0
2
D
XpnE
D?
其中 p ( x,? ) 是 总体 X 的概率分布或密度函数,称 为方差的下界,)(0?D
)()?( 0 DD?当 时,称 为达到方差下界的无偏估计量,此时称 为最有效的估计量,
简称有效估计量,


Ch7-62例 7 设总体 X 的密度函数为
00
,0
1
);(
x
xe
xf
x

),,,( 21 nxxx? 为 X 的一个样本值,
求?的 极大似然估计量,并判断它是否达到方差下界的无偏估计量,
0 为常数解 由似然函数

n
i
ix
n
eL
11
)(


n
i
ix
nL 1ln)(ln
Ch7-63
2
1)(ln
d
d


n
i
ixn
L0令?
xx
n
n
i
i
1
1
的极大似然估计量为
XX
n
n
i
i
1
1
它是?的无偏估计量,
n
X
n
DD
n
i
i
2
1
)1()?(
Ch7-64
而
xxf ln),(ln
故 是达到方差下界的无偏估计量,X
2
2
2 1
),(ln?





xxf
2
2
2 1
),(ln?





XEXfE
2
1
n
XfnE
2
2
),(ln
1?


)( XD?
Ch7-65
0))?(lim

P
n
定义 设 是总体参数? ),,,(
21 nXXX
则称 是总体参数?的一致 (或相合 )估计量,
的估计量,若对于任意的,当 n时,
一致性
依概率收敛于?,即,0
一致性估计量仅在样本容量
n 足够大时,才显示其优越性,
Ch7-66
关于一致性的两个常用结论
1,样本 k 阶矩是总体 k
阶矩的一致性估计量,
是? 的一致估计量,
由大数定律证明用切贝雪夫不等式证明矩法得到的估计量一般为一致估计量在一定条件下,极大似然估计具有一致性
2,设 是? 的无偏估计量,且,则 0)?(lim?
Dn

Ch7-67
例 8
00
,0
1
);(~
x
xe
xfX
x

0 为常数则 是? 的无偏、有效、一致估计量,X
证 由例 7 知 是? 的无偏、有效估计量,X

)(lim XD
n
0lim
2
nn
所以 是? 的一致估计量,证毕,X
Ch7-68
作业 P.231 习题七
15 16
18 20
补充题 设总体 X ~ N (?,? 2),
),,,( 21 nXXX? 为 X 的一个样本,常数 k 取何值可使?
n
i
i XXk
1
|| 为?的无偏估计量
Ch7-69
第十四周 问 题母亲嗜酒是否影响下一代的健康美国的 Jones医生于 1974年观察了母亲在妊娠时曾患慢性酒精中毒的 6名七岁儿童 （ 称为甲组 ）,以母亲的年龄,文化程度及婚姻状况与前 6名儿童的母亲相同或相近,但不饮酒的 46名七岁儿童为对照租 (称为乙组 ),测定两组儿童的智商,结果如下：
Ch7-70
甲 组 6 78 19
乙 组 46 99 16
人数 智商平均数 样本标准差
n x s
智商组别由此结果推断母亲嗜酒是否影响下一代的智力？若有影响，推断其影响程度有多大?
提示 前一问题属假设检验问题后一问题属区间估计问题