行列式要求：
理解行列式的定义与性质；掌握三阶行列式的对角线计算方法；
利用性质和展开定理会计算四阶行列式以及简单阶行列式。
3）掌握克莱姆法则。
1.1 排列与逆序知识点,排列; 逆序; 对换。
排列定义1（排列） 个（不同）自然数 组成的一个有序数组 称作为级排列，其中每个自然数 称作（第 个）元素。
如213是一个3级排列。 强调,有序”.
那么1，2，3可以有多少种不同的排列呢？一一列出，共有6种。
乘法原理
3个自然数共有 种不同排列。
用表示所有级不同排列的种数。故；。不难得到：
= ,
二、逆序标准顺序 个不同自然数按从小到大自然顺序的排列，称之为（级）排列的标准顺序。如 123是一个（3级）标准顺序的排列。
定义2（逆序） 在 中，若有，则称与构成该排列的一个逆序（数）；一个排列中，所有逆序的总数，称作该排列的逆序数，记作 。
奇排列 当 为奇数时，称 为奇排列。
偶排列 当 为偶数或零时，称 为偶排列。
例如231是偶排列；321奇排列。
逆序数的计算方法,设 是一个级排列。定义该排列中某个元素的逆序数为：在 中比 大的个数，记为。于是
= .
例1 计算 和 。
解 。
。
对换定义3（对换） 在某个阶排列中，任意对换两个元素的位置（如对换与的位置），其余元素不动，称作该排列的一个对换。可记作
,
定理1 对换改变排列的奇偶性。
例如：，偶排列,213,奇排列。
证明 （1）相邻位置元素的对换。设
,
并设 对换之后，的逆序数分别是
两个元素逆序数之和在两个排列中相差1，其余没有变化，故两个排列的奇偶性不同。
（2）任意位置元素的对换。设
,
该对换可以分解成：
先作 次相邻元素的对换： ；
再作 次相邻元素的对换,
共次相邻位置对换，由（1），两个排列的奇偶性不同。 ■
推论1 任意级排列，都可以对换成标准顺序排列，且对换次数的奇偶性与排列具有相同的奇偶性。
例2 把32415对换成标准顺序的排列。
解 是一个偶排列。
强调：不一定成立，事实上，。
行列式的定义知识点,阶行列式的定义（通过三阶行列式的三个特征引进）；
一、2阶、3阶行列式由个数，按下列形式排成2行2列的方形
,记作
其被定义为一个数,,
由个数组成的3行3列的3阶行列式，则按下列形式定义为一个数
=
一般2阶,3阶行列式的计算可按对角线法得到。
例3 （1）计算 的值。 （2）求 的根。
解 （1） （2）
三阶行列式定义的特征：
共有3！=6项相加，其结果是一个数；
每项有3个数相乘,，而每个数取自不同行不同列，即行足标固定为123，列足标则是1，2，3 的某个排列 ；
每项的符号由列足标排列的奇偶性决定，即符号是 。
故三阶行列式可写成
二、阶行列式定义4（行列式） 由 个数组成的 行 列的 阶行列式定义如下：
,
其中 表示对所有 阶排列 的种数进行相加，共有项。 （,）位置上的元素用表示。称作对角元素。一般可记作（或）；
强调,（1）阶行列式的定义具有类似的三项特征,
（2）位置与位置上的元素区别。
特别，定义一阶行列式（即 ）为,。
例4 在六阶行列式中，项 应带那种符号。
例5 利用行列式的定义证明
证明 由定义
。
考察 的取值，只有形如 的项才可能不为零，有3！个。由于已取定，故，， 只有在2，3，4中取值。 类似考察 的取值 。。。
又由于 ，从而成立 。
例4的结论可推广到一般阶下三角行列式的计算：
类似地，上三角行列式和对角行列式的值也成立同样的结论,
例如 。
例6 证明阶（反对角）行列式D：
=，
解 由定义
只有 的项 才可能不为零，其它都为零。…,因此所有项中只剩下一项,。由例1，该项的符号是 。.
例7 利用行列式的定义证明
证明 由定义 .
只有 取1的项才可能不为零，这些不为零的项有。当 取定为1时， 只能在中取值。又由于 ,于是
=
=
1.3 行列式的基本性质知识点,行列式的六大性质两个推论（通过例子介绍性质的应用）；
转置行列式 行列式的行与列对应互换得到的新行列式，记作，
若记中位置上的元素为，即成立 = 。
性质1 。
证明 记 ,则 ,由定义
.
交换和式中各项 的因子 的位置，使得
= 。
假设这些因子经过次的位置对换而完成。于是 经次对换成标准排列同时 也是经次对换成。（例如=是经两次位置对换而成的，故；同时 ）。由推论1.2,与有相同奇偶性。故
■
性质表明，对行成立的行列式性质，对列也同时成立。
性质2 任意对换行列式的两行（或两列）元素，其值变号。
证明 设。交换第行与第行元素，得到的新行列式为 ,
其中 。于是
由定理1，,从而
。 ■
推论2 两行（或两列）元素对应相同的行列式，其值为零。
性质3 。 （给出具体三阶行列式解释）
证明 由定义，
推论3 若行列式中某行（或等列）的元素全为零，则行列式的值为零。
性质4 行列式中若有两行（或两列）对应元素成比例，其值为零。
例如 。
性质5 行列式成立,
.
（强调：只拆一行，其余行不变）例如
证明 由行列式的定义即得结论。 ■
利用性质5和性质4，又可得到下列性质。
性质6 来表示这一过程；若是列，则用记号来表示，行列式的值不变，如 ，第二行的元素加上第三行元素的两倍（强调，第三行元素本身并不改变值），则有 。
例7 计算行列式 的值。
解 将化至上三角行列式。这一过程一般是从左到右逐列逐列进行的。
例8 计算行列式 的值。 （特征：行之间有公差）
解 。
例9 证明
证明 第一列元素分别加上第二、第三列元素，再提取第一列的公因子2
。
例10 计算行列式 的值。 （特征：行和相等）
解 第一列的元素分别加上第二列、…、第列元素（的1倍），再抽去第一列的公因子
。
上三角化即可
例11 证明
例如,；
证明 记上式左端行列式为 ，右端行列式分别记为和。
将行列式化至下三角行列式,
；
同样，将行列式化至下三角行列式：
。
现对的前行元素作与化为下三角的同样运算（不影响后行的元素），再对后行的元素作与化为下三角的同样运算（不影响前行的元素）,可得
故 。
1.4 行列式的展开
知识点,余子式（相对于每一个位置）; 代数余子式; 展开定理。三对角行列式的计算。
定义5（余子式） 在阶行列式中，划去位置（，）上元素所在的第行和第列元素，余下的元素按原顺序组成的阶行列式，称作（所在）位置（，）的余子式，记作；称 为（所在）位置（，）的代数余子式。
例如 ，则 和 。
引理2 若行列式的某行（或某列）只有一个非零元素，如，则
。
例如 =
证明 （1）当 ，这是例6的情形，此时成立
（2）一般情形，即
。
先对进行交换
,
由例6，可得 。 ■
定理3（展开定理） 对于阶行列式，成立
（按第行展开）
或
（按第列展开）
例12 利用行列式的展开计算行列式的值（见例7），
。
解 一般应选取零元素最多的行或列进行展开，以简便计算。
证明 由行列式性质5，
。
由引理2，得 ■
若展开式中元素与代数余子式所处的行（或列）不同，则有下列重要推论。
推论3
或
例13 取例12的行列式，验证推论1.3的结论。
解 取 ,
证明 由展开定理，对按第行展开，有
,
上式中对第行元素的任意取值都成立。现取第行的元素值为，即取，由行列式性质的推论2，右端行列式为零。从而成立。
例14 计算阶三对角行列式的值，
解 将行列式按第一列展开，注意到 ,于是成立递推关系：
，
其中 。事实上，我们可以进一步得到，
，
即 成一等差数列，其公差。故成立。
对于一般的三对角行列式，可建立类似于式（9）的三项递推关系。
例15 证明范德蒙(Vandermon)行列式
,
其中连乘积号是对满足的所有因子的乘积,
如 n=3,.
例如,.
证明 用归纳法证明，当 时,
,
结论成立。假设结论对阶成立，现证明时的结论。
把 第一列上三角化,
。
按第一列展开；在余下的阶行列式中，分别提取公因子
,
上式右端的行列式已是一个 阶范德姆行列式。根据归纳法假设，所以
。
1.5 克莱姆法则知识点,Cramer法则; 应用于奇次线性方程组。
,
线性的含义是指方程组关于未知量都是一次（线性）的。称作元线性方程组。
系数行列式 ,
第行元素即为第个方程的系数；第列元素即为第个未知量前的系数。
定理4 （Cramer法则）如果元线性方程组的,则方程组的解存在，唯一；且解为
其中，
,
证明 分二步：
1） 证明 是方程组的解，即代入第个方程，验证左端等于右端即可,
2） 对于方程组的任意解，都成立，
证1） 把按第列展开，有
把 代入方程组左端第个方程，得（需要讲解和号的运算意义！）
（上面等号是当时，等于；而当时，。
证2）,由于是解，故
，
个等式分别依次乘，再把个等式的两端相加，得
.
上式左端只有的系数=，其余项的系数都为零，而右端，于是
。,。 ■
例16 利用Cramer法则，求下列方程组的解。
。
解 系数行列式是例14中 的行列式，故 。由Cramer法则，解存在唯一。
齐次线性方程组 在方程组中，若右端项都为零，
,
显然，齐次方程组的零解无条件存在，问题是齐次方程组是否存在非零解。由Cramer法则，
定理5 若齐次方程组有非零解，则系数行列式 。
定理6 齐次方程组有非零解的充分必要条件是。
该定理的充分性证明可见第五章的推论5.3(a)。
例17 下列齐次方程组中的参数为何值时，方程组有非零解。
。
解 ,
本章小结：
排列; 逆序; 对换 行列式定义 特殊行列式计算
行列式性质与行列式展开 行列式计算 Cramer法则
行列式的计算手段：
1）按定义； 2）三角化； 3）展开（降阶）
4）拆行拆列； 5）加边法； 6）利用Van.行列式；
7）递推法； 8）归纳法； 9）析因子法。
理解行列式的定义与性质；掌握三阶行列式的对角线计算方法；
利用性质和展开定理会计算四阶行列式以及简单阶行列式。
3）掌握克莱姆法则。
1.1 排列与逆序知识点,排列; 逆序; 对换。
排列定义1（排列） 个（不同）自然数 组成的一个有序数组 称作为级排列，其中每个自然数 称作（第 个）元素。
如213是一个3级排列。 强调,有序”.
那么1，2，3可以有多少种不同的排列呢？一一列出，共有6种。
乘法原理
3个自然数共有 种不同排列。
用表示所有级不同排列的种数。故；。不难得到：
= ,
二、逆序标准顺序 个不同自然数按从小到大自然顺序的排列，称之为（级）排列的标准顺序。如 123是一个（3级）标准顺序的排列。
定义2（逆序） 在 中，若有，则称与构成该排列的一个逆序（数）；一个排列中，所有逆序的总数，称作该排列的逆序数，记作 。
奇排列 当 为奇数时，称 为奇排列。
偶排列 当 为偶数或零时，称 为偶排列。
例如231是偶排列；321奇排列。
逆序数的计算方法,设 是一个级排列。定义该排列中某个元素的逆序数为：在 中比 大的个数，记为。于是
= .
例1 计算 和 。
解 。
。
对换定义3（对换） 在某个阶排列中，任意对换两个元素的位置（如对换与的位置），其余元素不动，称作该排列的一个对换。可记作
,
定理1 对换改变排列的奇偶性。
例如：，偶排列,213,奇排列。
证明 （1）相邻位置元素的对换。设
,
并设 对换之后，的逆序数分别是
两个元素逆序数之和在两个排列中相差1，其余没有变化，故两个排列的奇偶性不同。
（2）任意位置元素的对换。设
,
该对换可以分解成：
先作 次相邻元素的对换： ；
再作 次相邻元素的对换,
共次相邻位置对换，由（1），两个排列的奇偶性不同。 ■
推论1 任意级排列，都可以对换成标准顺序排列，且对换次数的奇偶性与排列具有相同的奇偶性。
例2 把32415对换成标准顺序的排列。
解 是一个偶排列。
强调：不一定成立，事实上，。
行列式的定义知识点,阶行列式的定义（通过三阶行列式的三个特征引进）；
一、2阶、3阶行列式由个数，按下列形式排成2行2列的方形
,记作
其被定义为一个数,,
由个数组成的3行3列的3阶行列式，则按下列形式定义为一个数
=
一般2阶,3阶行列式的计算可按对角线法得到。
例3 （1）计算 的值。 （2）求 的根。
解 （1） （2）
三阶行列式定义的特征：
共有3！=6项相加，其结果是一个数；
每项有3个数相乘,，而每个数取自不同行不同列，即行足标固定为123，列足标则是1，2，3 的某个排列 ；
每项的符号由列足标排列的奇偶性决定，即符号是 。
故三阶行列式可写成
二、阶行列式定义4（行列式） 由 个数组成的 行 列的 阶行列式定义如下：
,
其中 表示对所有 阶排列 的种数进行相加，共有项。 （,）位置上的元素用表示。称作对角元素。一般可记作（或）；
强调,（1）阶行列式的定义具有类似的三项特征,
（2）位置与位置上的元素区别。
特别，定义一阶行列式（即 ）为,。
例4 在六阶行列式中，项 应带那种符号。
例5 利用行列式的定义证明
证明 由定义
。
考察 的取值，只有形如 的项才可能不为零，有3！个。由于已取定，故，， 只有在2，3，4中取值。 类似考察 的取值 。。。
又由于 ，从而成立 。
例4的结论可推广到一般阶下三角行列式的计算：
类似地，上三角行列式和对角行列式的值也成立同样的结论,
例如 。
例6 证明阶（反对角）行列式D：
=，
解 由定义
只有 的项 才可能不为零，其它都为零。…,因此所有项中只剩下一项,。由例1，该项的符号是 。.
例7 利用行列式的定义证明
证明 由定义 .
只有 取1的项才可能不为零，这些不为零的项有。当 取定为1时， 只能在中取值。又由于 ,于是
=
=
1.3 行列式的基本性质知识点,行列式的六大性质两个推论（通过例子介绍性质的应用）；
转置行列式 行列式的行与列对应互换得到的新行列式，记作，
若记中位置上的元素为，即成立 = 。
性质1 。
证明 记 ,则 ,由定义
.
交换和式中各项 的因子 的位置，使得
= 。
假设这些因子经过次的位置对换而完成。于是 经次对换成标准排列同时 也是经次对换成。（例如=是经两次位置对换而成的，故；同时 ）。由推论1.2,与有相同奇偶性。故
■
性质表明，对行成立的行列式性质，对列也同时成立。
性质2 任意对换行列式的两行（或两列）元素，其值变号。
证明 设。交换第行与第行元素，得到的新行列式为 ,
其中 。于是
由定理1，,从而
。 ■
推论2 两行（或两列）元素对应相同的行列式，其值为零。
性质3 。 （给出具体三阶行列式解释）
证明 由定义，
推论3 若行列式中某行（或等列）的元素全为零，则行列式的值为零。
性质4 行列式中若有两行（或两列）对应元素成比例，其值为零。
例如 。
性质5 行列式成立,
.
（强调：只拆一行，其余行不变）例如
证明 由行列式的定义即得结论。 ■
利用性质5和性质4，又可得到下列性质。
性质6 来表示这一过程；若是列，则用记号来表示，行列式的值不变，如 ，第二行的元素加上第三行元素的两倍（强调，第三行元素本身并不改变值），则有 。
例7 计算行列式 的值。
解 将化至上三角行列式。这一过程一般是从左到右逐列逐列进行的。
例8 计算行列式 的值。 （特征：行之间有公差）
解 。
例9 证明
证明 第一列元素分别加上第二、第三列元素，再提取第一列的公因子2
。
例10 计算行列式 的值。 （特征：行和相等）
解 第一列的元素分别加上第二列、…、第列元素（的1倍），再抽去第一列的公因子
。
上三角化即可
例11 证明
例如,；
证明 记上式左端行列式为 ，右端行列式分别记为和。
将行列式化至下三角行列式,
；
同样，将行列式化至下三角行列式：
。
现对的前行元素作与化为下三角的同样运算（不影响后行的元素），再对后行的元素作与化为下三角的同样运算（不影响前行的元素）,可得
故 。
1.4 行列式的展开
知识点,余子式（相对于每一个位置）; 代数余子式; 展开定理。三对角行列式的计算。
定义5（余子式） 在阶行列式中，划去位置（，）上元素所在的第行和第列元素，余下的元素按原顺序组成的阶行列式，称作（所在）位置（，）的余子式，记作；称 为（所在）位置（，）的代数余子式。
例如 ，则 和 。
引理2 若行列式的某行（或某列）只有一个非零元素，如，则
。
例如 =
证明 （1）当 ，这是例6的情形，此时成立
（2）一般情形，即
。
先对进行交换
,
由例6，可得 。 ■
定理3（展开定理） 对于阶行列式，成立
（按第行展开）
或
（按第列展开）
例12 利用行列式的展开计算行列式的值（见例7），
。
解 一般应选取零元素最多的行或列进行展开，以简便计算。
证明 由行列式性质5，
。
由引理2，得 ■
若展开式中元素与代数余子式所处的行（或列）不同，则有下列重要推论。
推论3
或
例13 取例12的行列式，验证推论1.3的结论。
解 取 ,
证明 由展开定理，对按第行展开，有
,
上式中对第行元素的任意取值都成立。现取第行的元素值为，即取，由行列式性质的推论2，右端行列式为零。从而成立。
例14 计算阶三对角行列式的值，
解 将行列式按第一列展开，注意到 ,于是成立递推关系：
，
其中 。事实上，我们可以进一步得到，
，
即 成一等差数列，其公差。故成立。
对于一般的三对角行列式，可建立类似于式（9）的三项递推关系。
例15 证明范德蒙(Vandermon)行列式
,
其中连乘积号是对满足的所有因子的乘积,
如 n=3,.
例如,.
证明 用归纳法证明，当 时,
,
结论成立。假设结论对阶成立，现证明时的结论。
把 第一列上三角化,
。
按第一列展开；在余下的阶行列式中，分别提取公因子
,
上式右端的行列式已是一个 阶范德姆行列式。根据归纳法假设，所以
。
1.5 克莱姆法则知识点,Cramer法则; 应用于奇次线性方程组。
,
线性的含义是指方程组关于未知量都是一次（线性）的。称作元线性方程组。
系数行列式 ,
第行元素即为第个方程的系数；第列元素即为第个未知量前的系数。
定理4 （Cramer法则）如果元线性方程组的,则方程组的解存在，唯一；且解为
其中，
,
证明 分二步：
1） 证明 是方程组的解，即代入第个方程，验证左端等于右端即可,
2） 对于方程组的任意解，都成立，
证1） 把按第列展开，有
把 代入方程组左端第个方程，得（需要讲解和号的运算意义！）
（上面等号是当时，等于；而当时，。
证2）,由于是解，故
，
个等式分别依次乘，再把个等式的两端相加，得
.
上式左端只有的系数=，其余项的系数都为零，而右端，于是
。,。 ■
例16 利用Cramer法则，求下列方程组的解。
。
解 系数行列式是例14中 的行列式，故 。由Cramer法则，解存在唯一。
齐次线性方程组 在方程组中，若右端项都为零，
,
显然，齐次方程组的零解无条件存在，问题是齐次方程组是否存在非零解。由Cramer法则，
定理5 若齐次方程组有非零解，则系数行列式 。
定理6 齐次方程组有非零解的充分必要条件是。
该定理的充分性证明可见第五章的推论5.3(a)。
例17 下列齐次方程组中的参数为何值时，方程组有非零解。
。
解 ,
本章小结：
排列; 逆序; 对换 行列式定义 特殊行列式计算
行列式性质与行列式展开 行列式计算 Cramer法则
行列式的计算手段：
1）按定义； 2）三角化； 3）展开（降阶）
4）拆行拆列； 5）加边法； 6）利用Van.行列式；
7）递推法； 8）归纳法； 9）析因子法。
