第四章 线性方程组要求：
理解线性方程组有解定理及等价条件；理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件；
理解齐次线性方程组解的结构、基础解系的概念；掌握用初等变换求齐次线性方程组的（通）解的方法；
理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念；掌握用初等变换求非齐次线性方程组的（通）解的方法。
4.1 线性方程组有解的条件知识点,方程组有解定理及其等价条件.
,(1)
称作为n元非齐次线性方程组。其矩阵形式为
x
若，即 ,(2)
称其为方程(1)对应的齐次线性方程组。其矩阵形式为 x。
相容方程组（有解），不相容方程组（无解）或为矛盾方程组。
讨论方程组（1）有解的条件。
记，其中，则方程组(1)可等价写成向量形式：
。 (3)
如此方程组(1)是否有解的问题转变为：能否由线性表示的问题。
由方程组的向量形式(3)可见，方程组(1)有解的充分必要条件是可由A的列向量组线性表示，也即向量组与向量组等价。这也等价于秩= 秩，即.
定理1 对于线性方程组x，下列命题等价：
(1) x有解（或相容）；
(2) 可由A的列向量组线性表示；
(3) 向量组与向量组等价；
(4) 。
在线性方程组x有解的前提下，考虑其解的不同情况。设，则
得同解方程组
（4）
（I）时，由Cramer法则知方程组(4)（即（1））有唯一解x0
（II）当时，不妨设的系数行列式不为零，把(4)可改写为 （5）
对任意取定的值，代入(5)可得唯一解，则x0为(5)的解，即为(1)的解。因为可任意取值（称为自由变量），故 (1)有无穷多解。
定理2 (有解定理)线性方程组(1)有解的充分且必要条件是；且当时，有唯一解；当时，有无穷多解。
例1 判别线性方程组是否有解，
解,
因为，所以该线性方程组无解。
例2 解线性方程组
（1）； （2）
解,（1） .
由阶梯形，，故有唯一解。由最简形得唯一解为。
。
（2） ，
因为< 4，所以方程组有无数解，其解为 ，
其中（自由变量）可以取任何值。
4.2 齐次线性方程组知识点,齐次方程组有非零解的充分必要条件,基础解系及其通解的计算,
一、齐次线性方程组
矩阵形式,x =
向量形式,
齐次线性方程组必有零解（平凡解）。我们关心的是：是否有非零解（非平凡解）。
定理3 （1）当时，x =只有唯一零解; 反之也成立。
（2）当时，x =有无穷多解（即有非零解）; 反之也成立。
推论3 齐次线性方程组在时，若其系数行列式D =0，则必有非零解。反之也成立(即Cramer法则),
证明 因为D =0，则，由定理3知，该齐次线性方程组必有非零解。■
二、齐次线性方程组解的性质性质1 如果分别是x =的解向量，则也是x =的解向量。
性质2 如果是x =的解向量，则对任意也是x =的解向量。
故x =的解向量全体构成了维向量空间的一个子空间，称为x =的解空间。
三、齐次线性方程组的基础解系定义1 设分别是x =的非零解，并且满足
(1) 线性无关；
(2) x =的任一个解都可由线性表示；
则称为x =的一个基础解系。
事实上x =的基础解系就是x =解空间的一组基。因此若基础解系为，则其线性组合全体构成了x =全部解。故其解的一般形式可写成
。
我们称其为x =的通解。
当时，x =只有唯一零解，即解空间。故无基础解系。
当时，x =有无穷多解，即解空间。从而x =有基础解系。
定理4 对于n元齐次线性方程组x =，如果，则x =必有基础解系，且任一个基础解系中必有个解向量。
证明 因为，不妨设A的前r个列向量线性无关，于是，A的行最简形为，
.
B对应的方程组（与原方程组同解）为
（6）
任意取定的一组值，可唯一确定(6)的一组解，也就是原方程组的一组解。现分别取的组值，
由(6)，依次可得
从而得到(6)（也就是原方程组）的个解，记为
下面证明是原方程组的一个基础解系。
首先，因为线性无关，添加分量后也是线性无关的；
其次，设原方程组的任意解为，它也是(6)的一个解。
考虑向量
，
是(6)的一个解。由于(6)的任一个解的前个坐标由后个坐标唯一确定，而与的后个坐标相等，所以与的前个坐标也相等，即
。
从而方程组的任一个解可由线性表示，即是原方程组的一个基础解系。 ■
由定理的证明过程可知，x的基础解系不唯一（这表现在可取不同的值）。
当时，x的任意个线性无关的解向量都是它的一个基础解系。
例3 求下列齐次线性方程组的一个基础解系：
解
，基础解系含有个解向量。同解方程组为 .
取的值分别为，可得方程组的一个基础解系.
例4 求下列齐次线性方程组的通解
.
解 < n = 4，方程组必有非零解。
，
，基础解系含有个解向量。与原方程组同解的方程组
.
取的值分别为，可得通解,。
例5 设A为矩阵，B为矩阵，如果，证明。
证明 记，由，得。
当时，x只有零解。于是，即B=O，于是
当时，x =有基础解系，记为，由于。于是都是x =的解向量，故(II)可由(I)线性表出，所以 (II )( I )，因为( I )所以( II ) 即，故。
4.3 非齐次线性方程组知识点,非齐次方程组解的结构及其通解的计算.
一、非齐次线性方程组
。
矩阵形式为 x
向量形式,
对应的 x称作为x的导出方程组.
对于非齐次线性方程组，有：
（1）当时，x无解；
（2）当时，x只有唯一解;
（3）当时，x有无穷多解。
二、非齐次线性方程组解的性质性质1 如果分别是x的解，则对于任意的实数，当时，也是x的解。
性质2 如果分别是x的解，则是其导出组x的解。
性质3 如果是x的解，是导出组x的解向量，则是x的解。
定理5 设是x的一个特解，是其导出组x的通解，则是x的通解。
三、非齐次线性方程组的求解对于n元方程组x，当时，可按下列步骤求出它的通解：
(1) 求出x的一个特定解；
(2) 求出其导出组x的通解；
(3) 写出x的通解。
例6 求解方程组
(1) ; (2)
解 (1)
因为，所以该非齐次线性方程组无解。
(2)
= 未知量个数，方程组有惟一解，.
例7 求解方程组
解
，基础解系中含有个解向量。原方程组与下列方程组同解：
取为自由未知量，得 ，
取得一特解，方程组的导出组与下列方程组同解：
，分别取的两组值，得一基础解系
所以原方程组的通解为 。
例8 为何值时，方程组
有(1)唯一解；(2)无解；(3)无穷多组解。有解时，试写出全部解。
解 ，
由 ，解得或。
(1) 当时，，
，方程组有唯一解。同解方程组为
，所以，原方程组的唯一解为
(2) 当时，,，方程组无解。
(3) 当时，
，基础解系中含有个解向量。与原方程组同解的方程组为：
,取，得特解,导出方程组为：
,取，得基础解系为.所以，方程组的通解为x。
例9 设是x的一个基础解系，是x 的一个特解，试证,线性无关。
证明（反证）设,线性相关，则存在不全为0的数，使
，
则 ，因为,，，所以 ，，于是，。又为x的一个基础解系(线性无关)，所以，矛盾。
例10 设四元方程组x的系数矩阵A的秩等于3，已知是它的三个解向量，且，求该方程组Ax的全部解。
解 导出组为x。 所以x的基础解系中含有1个解向量，而
是x的解。故导出组的全部解为 x。取x的特解，故x的全部解为 。
例11 设为x的三个解，且。（1）求其x的通解；（2）求x的通解。
解 由解向量的维数知A是矩阵，且，所以，由此可知x的基础解系中包含的向量个数可能为2或1或0。记
，
则均为x的解向量，且线性无关。所以x的基础解系中只可能包含2个解向量。且就可以作为x的一个基础解系。
（1） x的通解 。
（2） 取x的一个特解为则x的通解为 x =
本章小结：
线性方程组
线性方程组有解条件 线性方程组解的结构 线性方程组解的计算
理解线性方程组有解定理及等价条件；理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件；
理解齐次线性方程组解的结构、基础解系的概念；掌握用初等变换求齐次线性方程组的（通）解的方法；
理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念；掌握用初等变换求非齐次线性方程组的（通）解的方法。
4.1 线性方程组有解的条件知识点,方程组有解定理及其等价条件.
,(1)
称作为n元非齐次线性方程组。其矩阵形式为
x
若，即 ,(2)
称其为方程(1)对应的齐次线性方程组。其矩阵形式为 x。
相容方程组（有解），不相容方程组（无解）或为矛盾方程组。
讨论方程组（1）有解的条件。
记，其中，则方程组(1)可等价写成向量形式：
。 (3)
如此方程组(1)是否有解的问题转变为：能否由线性表示的问题。
由方程组的向量形式(3)可见，方程组(1)有解的充分必要条件是可由A的列向量组线性表示，也即向量组与向量组等价。这也等价于秩= 秩，即.
定理1 对于线性方程组x，下列命题等价：
(1) x有解（或相容）；
(2) 可由A的列向量组线性表示；
(3) 向量组与向量组等价；
(4) 。
在线性方程组x有解的前提下，考虑其解的不同情况。设，则
得同解方程组
（4）
（I）时，由Cramer法则知方程组(4)（即（1））有唯一解x0
（II）当时，不妨设的系数行列式不为零，把(4)可改写为 （5）
对任意取定的值，代入(5)可得唯一解，则x0为(5)的解，即为(1)的解。因为可任意取值（称为自由变量），故 (1)有无穷多解。
定理2 (有解定理)线性方程组(1)有解的充分且必要条件是；且当时，有唯一解；当时，有无穷多解。
例1 判别线性方程组是否有解，
解,
因为，所以该线性方程组无解。
例2 解线性方程组
（1）； （2）
解,（1） .
由阶梯形，，故有唯一解。由最简形得唯一解为。
。
（2） ，
因为< 4，所以方程组有无数解，其解为 ，
其中（自由变量）可以取任何值。
4.2 齐次线性方程组知识点,齐次方程组有非零解的充分必要条件,基础解系及其通解的计算,
一、齐次线性方程组
矩阵形式,x =
向量形式,
齐次线性方程组必有零解（平凡解）。我们关心的是：是否有非零解（非平凡解）。
定理3 （1）当时，x =只有唯一零解; 反之也成立。
（2）当时，x =有无穷多解（即有非零解）; 反之也成立。
推论3 齐次线性方程组在时，若其系数行列式D =0，则必有非零解。反之也成立(即Cramer法则),
证明 因为D =0，则，由定理3知，该齐次线性方程组必有非零解。■
二、齐次线性方程组解的性质性质1 如果分别是x =的解向量，则也是x =的解向量。
性质2 如果是x =的解向量，则对任意也是x =的解向量。
故x =的解向量全体构成了维向量空间的一个子空间，称为x =的解空间。
三、齐次线性方程组的基础解系定义1 设分别是x =的非零解，并且满足
(1) 线性无关；
(2) x =的任一个解都可由线性表示；
则称为x =的一个基础解系。
事实上x =的基础解系就是x =解空间的一组基。因此若基础解系为，则其线性组合全体构成了x =全部解。故其解的一般形式可写成
。
我们称其为x =的通解。
当时，x =只有唯一零解，即解空间。故无基础解系。
当时，x =有无穷多解，即解空间。从而x =有基础解系。
定理4 对于n元齐次线性方程组x =，如果，则x =必有基础解系，且任一个基础解系中必有个解向量。
证明 因为，不妨设A的前r个列向量线性无关，于是，A的行最简形为，
.
B对应的方程组（与原方程组同解）为
（6）
任意取定的一组值，可唯一确定(6)的一组解，也就是原方程组的一组解。现分别取的组值，
由(6)，依次可得
从而得到(6)（也就是原方程组）的个解，记为
下面证明是原方程组的一个基础解系。
首先，因为线性无关，添加分量后也是线性无关的；
其次，设原方程组的任意解为，它也是(6)的一个解。
考虑向量
，
是(6)的一个解。由于(6)的任一个解的前个坐标由后个坐标唯一确定，而与的后个坐标相等，所以与的前个坐标也相等，即
。
从而方程组的任一个解可由线性表示，即是原方程组的一个基础解系。 ■
由定理的证明过程可知，x的基础解系不唯一（这表现在可取不同的值）。
当时，x的任意个线性无关的解向量都是它的一个基础解系。
例3 求下列齐次线性方程组的一个基础解系：
解
，基础解系含有个解向量。同解方程组为 .
取的值分别为，可得方程组的一个基础解系.
例4 求下列齐次线性方程组的通解
.
解 < n = 4，方程组必有非零解。
，
，基础解系含有个解向量。与原方程组同解的方程组
.
取的值分别为，可得通解,。
例5 设A为矩阵，B为矩阵，如果，证明。
证明 记，由，得。
当时，x只有零解。于是，即B=O，于是
当时，x =有基础解系，记为，由于。于是都是x =的解向量，故(II)可由(I)线性表出，所以 (II )( I )，因为( I )所以( II ) 即，故。
4.3 非齐次线性方程组知识点,非齐次方程组解的结构及其通解的计算.
一、非齐次线性方程组
。
矩阵形式为 x
向量形式,
对应的 x称作为x的导出方程组.
对于非齐次线性方程组，有：
（1）当时，x无解；
（2）当时，x只有唯一解;
（3）当时，x有无穷多解。
二、非齐次线性方程组解的性质性质1 如果分别是x的解，则对于任意的实数，当时，也是x的解。
性质2 如果分别是x的解，则是其导出组x的解。
性质3 如果是x的解，是导出组x的解向量，则是x的解。
定理5 设是x的一个特解，是其导出组x的通解，则是x的通解。
三、非齐次线性方程组的求解对于n元方程组x，当时，可按下列步骤求出它的通解：
(1) 求出x的一个特定解；
(2) 求出其导出组x的通解；
(3) 写出x的通解。
例6 求解方程组
(1) ; (2)
解 (1)
因为，所以该非齐次线性方程组无解。
(2)
= 未知量个数，方程组有惟一解，.
例7 求解方程组
解
，基础解系中含有个解向量。原方程组与下列方程组同解：
取为自由未知量，得 ，
取得一特解，方程组的导出组与下列方程组同解：
，分别取的两组值，得一基础解系
所以原方程组的通解为 。
例8 为何值时，方程组
有(1)唯一解；(2)无解；(3)无穷多组解。有解时，试写出全部解。
解 ，
由 ，解得或。
(1) 当时，，
，方程组有唯一解。同解方程组为
，所以，原方程组的唯一解为
(2) 当时，,，方程组无解。
(3) 当时，
，基础解系中含有个解向量。与原方程组同解的方程组为：
,取，得特解,导出方程组为：
,取，得基础解系为.所以，方程组的通解为x。
例9 设是x的一个基础解系，是x 的一个特解，试证,线性无关。
证明（反证）设,线性相关，则存在不全为0的数，使
，
则 ，因为,，，所以 ，，于是，。又为x的一个基础解系(线性无关)，所以，矛盾。
例10 设四元方程组x的系数矩阵A的秩等于3，已知是它的三个解向量，且，求该方程组Ax的全部解。
解 导出组为x。 所以x的基础解系中含有1个解向量，而
是x的解。故导出组的全部解为 x。取x的特解，故x的全部解为 。
例11 设为x的三个解，且。（1）求其x的通解；（2）求x的通解。
解 由解向量的维数知A是矩阵，且，所以，由此可知x的基础解系中包含的向量个数可能为2或1或0。记
，
则均为x的解向量，且线性无关。所以x的基础解系中只可能包含2个解向量。且就可以作为x的一个基础解系。
（1） x的通解 。
（2） 取x的一个特解为则x的通解为 x =
本章小结：
线性方程组
线性方程组有解条件 线性方程组解的结构 线性方程组解的计算
