第五章 特征值问题及二次型要求：
理解矩阵特征值特征向量的概念；掌握计算矩阵特征值和特征向量的方法。
理解相似矩阵的概念及性质，掌握矩阵对角化的充分必要条件。
理解向量的内积与正交的概念；掌握向量组正交化过程；理解正交矩阵的概念。
理解实对称矩阵有关特征值特征向量性质；会用正交相似变换化实对称矩阵为对角矩阵。
了解二次型及其矩阵表示；了解二次型的标准型。
会用正交变换法和配方法化二次型为标准型。
了解二次型的秩、惯性定理、正定性；掌握正定矩阵的判别。
5.1 矩阵的特征值问题
知识点：矩阵特征值特征向量的概念；计算矩阵特征值特征向量的方法。矩阵特征值的一些基本性质。
定义1 （特征值特征向量）设是 n 阶方阵，若存在数和非零向量x，使得
xx (1)
则称为的特征值，称x为的属于(或对应于)的特征向量。有时也称（，x）是A的特征对。
注意特征值特征向量是针对方阵定义的。另外零向量总满足(1)式，但不是特征向量。
(1)可写成 x= (2)
设=()，对于固定的，(2)是关于x的齐次线性方程组，它有非零解的充要条件是
= =0 (3)
(3) 是关于的一元n 次方程，称为方阵的特征方程，而它左端的n 次多项式
==
称为的特征多项式。表明的特征值是特征方程(3)的根或的零点。n 次多项式恰有n 个零点，故n 阶方阵恰有n 个特征值。但需注意两点：
1）n 个特征值中有可能是相同的，称为重特征值，即是= 0的重根。如单位矩阵。
2）即便为实方阵，其特征值也可能是复数。例如=，则
==,
的特征值为= 但根据多项式理论，实矩阵的复特征值是成对出现的。
定理1 设是=的n 个特征值，则
1o) =
2o) ,
证明 由条件 = （4）
=
另一方面，由行列式定义， 中含有的只有一项：
且在中，也只出现在中，故1o)成立；在（4）式中令,2o）成立。■
推论1 方阵可逆当且仅当它的特征值全不为0。 ■
定理2 设是=的特征值，是对应的特征向量，则
1）不再是其它特征值的特征向量；
2）（，）是的特征对；进一步，（，）是的特征对，其中
。
3）若可逆，则（，）是的特征对。
证明 1）假设，。故，因为，，矛盾。
2）由，类似可得，这表明(,)是的特征对。进一步有
=（=.
3）若可逆，则。由，可得 ,■
定理3 设分别是 的属于互不相同的特征值的特征向量，则
线性无关。
证明 归纳法。当，结论成立（因）。设时结论成立，当，设
, （1）
则 ，即
（2）
将（1）式乘以，再减去（2）式得
因为线性无关，故,而，所以，,代入（1）式，得.因为，所以，故线性无关。 ■
例１ 求的特征值和特征向量。
解 令 ===0，，.
对于，解x，得 . 属于的特征向量全体为。
对于，解x，得无关的，. 属于的特征向量全体为.（不全为0）
例２ 求的特征值和特征向量。
解 令 == 0，，.
对于，解x，得 .。属于的特征向量全体为。
对于，解x，得。属于的特征向量为。
（强调：对于重特征值，有可能有重数个线性无关的特征值，也有可能没有。）
例３ 若满足，证明：的特征值只能为。
证明 设(,)为的特征对,则 ,于是，故。
例４ 已知，且，和均不可逆。
1）证明：可逆。
2）求和.
证明 1）由条件知，，，故1，2，3均为的特征值，所以不是的特征值。因而.
由定理1知 =,===1+2+3=6.
5.2 相似矩阵知识点：相似矩阵的概念与性质，矩阵相似于对角矩阵的充分必要条件。
定义2 （相似矩阵）对于阶方阵，若存在可逆阵，使，则称相似于，记作～.（称为相似变换矩阵）
三条性质：
ⅰ）～.（自反性）
ⅱ）若～，则～.（对称性）
ⅲ）若～，～，则～.（传递性）
例5若～，则.
证明 若～，则. 因为P可逆，故。于是有.表明与等价。故,■
例6 (可作为习题)证明：若～，则
（ⅰ）～；
（ⅱ）～，（是的多项式）
证明 由～，成立. 故
（ⅰ）=,即～.
（ⅱ）设=，有
=
==,即～.
定理4 若～，则与的特征多项式相同，从而与的特征值也相同。
证明 由～,使. 故
,■
推论4.a 若阶方阵～=，则为的所有个特征值。
证明 因为对角矩阵的特征值即为对角元素。■
推论4.b 若～，则.(由定理1即得),■
若相似于对角阵=，则，即,于是
=,类似可得（参见例5的证明过程）,并易得
这样就可以比较简便地计算出和了。（具体例子作为习题）
定理5 阶方阵相似于对角阵的充要条件是有个线性无关的特征向量。
证明 必要性. 存在，使 = ；其中为的个特征值。上式可写成 。记= ,则成立
,
即 是的特征向量。因为可逆，故线性无关。
充分性. 若有个线性无关的特征向量满足 ，记
= ,=,
由必要性证明的推导过程倒推上去，即可得相似于对角阵。 ■
推论5 若阶方阵的个特征值互异，则相似于对角阵。 ■
但须注意本推论的逆不成立。例如上节例1中的有3个线性无关的特征向量，故相似于对角阵。但的3个特征值不互异。
* 定理6 阶方阵相似于对角阵的充要条件是：对于的每个重特征值都有个线性无关的特征向量。即,■
6.3 向量的内积与正交矩阵知识点：向量的内积与正交；向量组的正交化过程；正交矩阵及其性质。
在空间解析几何中两个向量a,b 的内积定义为 a?b =║a║║b║cos，其中║a║，║b║分别是a,b 的长度，是a与 b 的夹角。若在中建立直角坐标系后，向量a=，b=的内积的计算公式为 a?b =,
我们现在把内积定义推广到一般维实向量。
定义3（向量内积）设，则与的内积定义为, = = ,
向量的内积满足如下性质：
ⅰ）=；（对称性）
ⅱ）； （线性性）
ⅲ）；（正定性）
ⅳ）；
定义4（向量长度）对于，的长度（或模）（记作）定义为：
==,
向量的长度满足如下性质：
1o ；且=；（正定性）
2o = （齐次性）
3o ； （Cauchy 不等式）
即
4o； （三角不等式）
（1o，2o的证明用定义；4o利用3o来证明。3o证明如下）
证明 当线性相关时，则存在，使得或,若则
对于类似可证。故当线性相关时，；
设线性无关，则，，由性质ⅲ），＞0，即 ＞0，即二次实系数方程=0没有实根,故 ＜0，于是 ＜ ■
当时，. 于是引入如下定义：
定义5（向量的夹角）对于，当时，定义的夹角为：
，
若，则称与正交，记为，这时.
性质,
1）;
2) 对于, 若，则.（勾股定理）
长度为1的向量称为单位向量。非零向量的单位化：，几何意义：同方向上的单位向量。
正交向量组：两两正交的一组非零向量；标准正交向量组：由单位向量组成的正交向量组。
定理7 若是正交向量组，则线性无关。
证明 设. 用与两边作内积得：
.
由于正交，即得：，而，于是,故无关。■
正交基：由正交向量组构成的向量空间的基；
标准正交基：由标准正交向量组构成的向量空间的基。
定理8 在中，若线性无关，则与某个正交向量组等价。且等价
证明 令 ； （为待定系数）,要使，则有求成立
,
由于（线性无关），故，从而取。又从上式可得
，,
表明等价。
一般已求得正交向量组与等价,令
,
由 的要求,用与上式两边作内积得：.于是可求得 ，即
.
易见是正交向量组，且由与等价及上式，可得与等价。 ■
定理10 的证明给出了将一个线性无关的向量组正交化的步骤：
；
；
如果再将正交向量组单位化，即令
则是与等价的标准正交向量组。
由上述过程把一个线性无关的向量组化为与等价的标准正交向量组的过程称为施密特（Schmidt）正交化方法.
例7 设 将化为的一个标准正交基。
解 易见，故，以下将正交化。令，=，则，而且（考虑为什么？）.再令 ，,，
则即为的一个标准正交基。
例8 设求与的夹角以及与都正交的向量。
解
设与都正交，由正交条件可得方程组：
；
解之得 其中为任意实数。
定义6（正交矩阵）设A是方矩阵。若，则称为正交阵。
等价定义：是正交阵当且仅当的列向量组标准正交。事实上，设，则
，
定理11 若都是阶正交阵，则
1o；
2o也是正交阵；
3o；
4o也是正交阵。
证明 1o显然；又由得也是正交阵；取行列式得
；
由得也是正交阵。 ■
由2o可得是正交阵的列向量组是标准正交的。 的行向量组（转置）标准正交。
由以上讨论容易验证下面三个实方阵都是正交阵：
,,
例9 设是正交阵，且＜0，证明：.（即是的特征值）
证明 因为是正交阵，由3o，，又＜0，故.于是
，.
5.4 实对称阵的相似对角形知识点：实对称矩阵特征值特征向量的性质；对称矩阵正交相似于对角矩阵的计算。
设，则其共轭向量为 。
若实矩阵A满足，则称为实对称阵。
定理12 实对称阵的特征值必为实数。
证明 设（，）是的特征对，则 ,两边取共轭，再取转置，注意到且，得行向量的等式：，，
，,（数量等式）
因 ，故 ＞0。于是，即是实数。■
因为特征向量是x的非零解向量，对于实对称阵的任一特征值，是实矩阵，所以实对称阵的特征向量都可以取为实向量。
定理13 实对称阵的属于不同特征值的特征向量相互正交。
证明 设是实对称阵的不同特征值，是属于的特征向量,则
,
,即
由于,■
定理14 对于任意实对称阵A，必存在正交矩阵，使得
,
若记，则 ■
推论14 实对称阵的重特征值有个线性无关的特征向量，从而有个标准正交的特征向量。 ■
例10 设，求正交矩阵，使得为对角阵。
解 即例1中的实对称阵，它的特征值为,属于的特征向量为，属于的特征向量为 又在例7中，我们得的标准正交特征向量组：
令，即所求的正交矩阵。且为对角阵。
例11 已知实对称阵的特征值为-6，3，3，且是的属于特征值的特征向量，求.
解 属于特征值的特征向量都应与正交，即有 ,
,令得一特征向量.属于3的另一个与和都正交的特征向量可由下式得到：
,
联立解得为,将正交的单位化,
.
记 ，则它为正交阵且
,于是
=.
例12 求实矩阵特征值和特征向量。
解 记 ，则 。显然A对称，故成立
。由于A =，故
,
可见，由于A也等价于，所以只有一个特征值不为零，其余都是零。 不妨设。由于，所以，其对应的特征向量为。
对于的特征向量，其是x的解，等价于x的解，由前述，其等价方程组是：,，易得线性无关的特征向量：
.
5.5二次型知识点：二次型及其矩阵形式；二次型的标准形；化二次型为标准形的正交变换法和配方法。
在平面解析几何中，为看清二次曲线 的类型，可以采用坐标变换
化二次曲线为标准形 ,由此二次曲线的几何性质便一目了然。
定义7 二次齐次多项式
称为元二次型，简称二次型。如果系数和变量都为实数，则称为实二次型。
以下我们只讨论实二次型。
记,则二次型可以表示为矩阵形式,
其中为对称阵。（讲课时，可对三元具体演示过程）
二次型与对称阵确立了1-1对应关系。称二次型唯一确定的对称阵为二次型的矩阵。称对称阵的秩为二次型的秩。
例如,的矩阵,秩为3；
而对称阵，确定的二次型为.
称上述那样只含平方项的二次型为标准形。易见为标准形当且仅当的矩阵为对角阵。
两组变量和之间的关系式
称为从到的一个线性变换。其矩阵形式
其中，，.
方阵称为线性变换的矩阵。若可逆，则称线性变换为可逆线性变换。
问题：如何用可逆线性变换，将二次型 化为标准形。
将代入后，得
.
易证仍为对称阵。二次型为标准形当且仅当为对角阵。
定义8（矩阵合同）设，若存在可逆阵使得，则称合同于，记为 ≈.
由定义易证矩阵间的合同关系也满足自反性，对称性和传递性。
于是若二次型经可逆的线性变换化为二次型，则
≈,若≈，即，由于可逆，故A与B等价，于是.
一、正交变换法.
若为正交阵，则线性变换称为正交变换。
正交变换有比一般可逆线性变换更好的性质：
定理15 中的正交变换不改变向量的内积（因而也不改变向量的长度和夹角）。
证明 ■
正交变换把中的标准正交基变为中的标准正交基,若为正交阵，则,若，则正交变换称为第一类的（或旋转），若，则正交变换称为第二类的。
定理16 对于元实二次型，存在正交变换，可将该二次型化为标准形,
其中是对称阵的特征值。的列向量组是标准正交特征向量组，且 ■
例6.12 （1）用正交变换化二次型
为标准形，并给出正交变换矩阵.
（2）判别是什么曲面？
解 （1）的矩阵，由
对于 解x.,
可得 ，它的一个基础解系为, 正交化得,
,
对于，可以通过解 x 来求的一个特征向量。再将单位化得：。令 ，即为所求正交变换矩阵,满足。于是正交变换可化二次型为标准形：
.
(2) 因为正交变换不改变空间中的向量的长度和夹角，故二次曲面
与 .
表示同一个曲面：是一个椭球面。
例6.14 证明：当时，实二次型的最大值等于的最大特征值。
证明 设为元实二次型，存在正交变换，可将化为标准形：
其中是的特征值。设是的最大特征值。因为
，
于是 .
现取为第个基本单位向量，则当时就有
，
即当时，确实可以取到最大值.
二、配方法.
用正交变换化二次型为标准形可以保持许多几何性质，固然很好。但做起来比较烦。有时我们只要了解二次型一些主要性质，那我们就可以用其它相对简单的方法化二次型为标准形。以下我们介绍一种最常用的配方法。
分两种情况讨论：
1o 若二次型中至少有一个变量平方项的系数不为零，且还有该变量交叉项，不妨设，则先对所有含的项进行配方。如此下去，直到把所有含有变量平方项且有该变量交叉项的都进行配方。
2o 若二次型中某变量只有交叉项而无平方项的，不妨设，则作如下变换：
我们结合例子讲解。
例6.15 用配方法将下列二次型化为标准形，并求所用变换的矩阵.
1）；
2）.
解 1）
令 ； 即有 ,
则为标准形。所用变换的矩阵.
2）令,即 ；则
再令 ； 即有
则为标准形。且由
.
得变换矩阵 .
5.6 惯性定理与正定二次型知识点：惯性定理，二次型的规范形，正定二次型与正定矩阵的判别。
一、惯性定理实二次型的标准形一般不唯一。但若一个实二次型经任意一个可逆线性变换化为标准形后，就有≈,而对角阵的秩等于它的主对角线上非零元的个数，故中平方项的个数就等于,于是一个实二次型经不同可逆线性变换化为不同标准形后，标准形中所含的平方项个数都等于 更进一步有：
定理6.17 (惯性定理)对于一个元实二次型 经任意一个可逆线性变换化为标准形后，标准形中正平方项的个数和负平方项的个数都是唯一确定的，且,■
本定理的证明略去。
实二次型的标准形中的正平方项的个数称为实二次型（或）的正惯性指数，负平方项的个数称为实二次型（或）的负惯性指数。
对于标准形，可以写成以下形式的标准形：
=
其中,进一步令
则 可以化为：
=,
形如上式标准形称为实二次型的规范形。
定理6.18 对于任一个元实二次型都可经适当的可逆线性变换化为规范形：
=
且规范形是唯一的。 ■
推论6.18 对于任一个实对称阵，总存在可逆阵使得
■
二、正定二次型定义6.12 （正定性）若都有元实二次型>0(或<0)，则称为正定（或负定）二次型，并称的矩阵为正定（或负定）矩阵。
以上定义中把>0(<0)改为即得半正定（半负定）二次型的定义及半正定（半负定）矩阵的定义。
例如 是正定二次型。
是负定二次型。
是半正定二次型。
而既不是正定（或负定）二次型，也不是半正定（或半负定）二次型。
由定义易得如下性质：
1o 实对称阵正定当且仅当负定。
2o 若实二次型正定，则经任意可逆线性变换后所得的二次型也正定。
证明 1o 显然
2o ，则对任意可逆阵，有,经可逆线性变换后,
>0.
即也正定。 ■
定理6.19 设为实对称阵，，则以下几个命题等价：
1o正定，或是正定二次型；
2o的特征值全大于零；
3o的正惯性性指数为；
4o合同于单位阵；
5o 存在可逆阵，使得.
证明 1o2o 设经正交线性变换化为标准形：
=,
其中是的特征值。 令，则,由是正定二次型得
0<,
2o3o 若的特征值全大于零，则经正交线性变换化为标准形：
因为大于零，故的正惯性性指数为.
3o4o 若的正惯性指数为，则可经适当可逆线性变换化为规范形 .
即存在可逆阵使得 ,故合同于单位阵.
4o5o 若合同于单位阵，则存在可逆阵使得，由此 .
记，则,即.
5o1o 若存在可逆阵使得，则，有 故
>0.
即是正定二次型（或正定）,■
定理5.20 实对称阵 正定的充要条件是它的顺序主子式全大于零，即
＞0,＞0,…,＞0,■
定理的证明略去。
推论5.20 实对称阵负定的充要条件是它的顺序主子式满足：
＜0，＞0，…,＞0，…,＞0,■
例5.16 设都正定，证明也都正定。
证明 对称显然。对，由都正定可得
>0.
记 则对称。 由块对角阵的行列式的性质知的2n个特征值是由的n个特征值和的n个特征值合并组成。故的也特征值全大于零，所以也正定。
例5.17 判别是否正定。
解 ，因为，故不正定。
例5.18 当取何值时，为正定二次型？
解 ,当，且 ，且 时,即时，为正定的。
例5.19 若为正定阵，证明：.
证明 因为+ I的特征值为 ,而A对称正定,故 ,于是
.
本章小结：
矩阵的特征值问题和二次型
矩阵的特征值特征向量 相似矩阵及矩阵的对角化 化二次型为标准型
向量的内积与正交 实对称矩阵的对角化 正定二次型与正定矩阵
正交化过程正交矩阵
理解矩阵特征值特征向量的概念；掌握计算矩阵特征值和特征向量的方法。
理解相似矩阵的概念及性质，掌握矩阵对角化的充分必要条件。
理解向量的内积与正交的概念；掌握向量组正交化过程；理解正交矩阵的概念。
理解实对称矩阵有关特征值特征向量性质；会用正交相似变换化实对称矩阵为对角矩阵。
了解二次型及其矩阵表示；了解二次型的标准型。
会用正交变换法和配方法化二次型为标准型。
了解二次型的秩、惯性定理、正定性；掌握正定矩阵的判别。
5.1 矩阵的特征值问题
知识点：矩阵特征值特征向量的概念；计算矩阵特征值特征向量的方法。矩阵特征值的一些基本性质。
定义1 （特征值特征向量）设是 n 阶方阵，若存在数和非零向量x，使得
xx (1)
则称为的特征值，称x为的属于(或对应于)的特征向量。有时也称（，x）是A的特征对。
注意特征值特征向量是针对方阵定义的。另外零向量总满足(1)式，但不是特征向量。
(1)可写成 x= (2)
设=()，对于固定的，(2)是关于x的齐次线性方程组，它有非零解的充要条件是
= =0 (3)
(3) 是关于的一元n 次方程，称为方阵的特征方程，而它左端的n 次多项式
==
称为的特征多项式。表明的特征值是特征方程(3)的根或的零点。n 次多项式恰有n 个零点，故n 阶方阵恰有n 个特征值。但需注意两点：
1）n 个特征值中有可能是相同的，称为重特征值，即是= 0的重根。如单位矩阵。
2）即便为实方阵，其特征值也可能是复数。例如=，则
==,
的特征值为= 但根据多项式理论，实矩阵的复特征值是成对出现的。
定理1 设是=的n 个特征值，则
1o) =
2o) ,
证明 由条件 = （4）
=
另一方面，由行列式定义， 中含有的只有一项：
且在中，也只出现在中，故1o)成立；在（4）式中令,2o）成立。■
推论1 方阵可逆当且仅当它的特征值全不为0。 ■
定理2 设是=的特征值，是对应的特征向量，则
1）不再是其它特征值的特征向量；
2）（，）是的特征对；进一步，（，）是的特征对，其中
。
3）若可逆，则（，）是的特征对。
证明 1）假设，。故，因为，，矛盾。
2）由，类似可得，这表明(,)是的特征对。进一步有
=（=.
3）若可逆，则。由，可得 ,■
定理3 设分别是 的属于互不相同的特征值的特征向量，则
线性无关。
证明 归纳法。当，结论成立（因）。设时结论成立，当，设
, （1）
则 ，即
（2）
将（1）式乘以，再减去（2）式得
因为线性无关，故,而，所以，,代入（1）式，得.因为，所以，故线性无关。 ■
例１ 求的特征值和特征向量。
解 令 ===0，，.
对于，解x，得 . 属于的特征向量全体为。
对于，解x，得无关的，. 属于的特征向量全体为.（不全为0）
例２ 求的特征值和特征向量。
解 令 == 0，，.
对于，解x，得 .。属于的特征向量全体为。
对于，解x，得。属于的特征向量为。
（强调：对于重特征值，有可能有重数个线性无关的特征值，也有可能没有。）
例３ 若满足，证明：的特征值只能为。
证明 设(,)为的特征对,则 ,于是，故。
例４ 已知，且，和均不可逆。
1）证明：可逆。
2）求和.
证明 1）由条件知，，，故1，2，3均为的特征值，所以不是的特征值。因而.
由定理1知 =,===1+2+3=6.
5.2 相似矩阵知识点：相似矩阵的概念与性质，矩阵相似于对角矩阵的充分必要条件。
定义2 （相似矩阵）对于阶方阵，若存在可逆阵，使，则称相似于，记作～.（称为相似变换矩阵）
三条性质：
ⅰ）～.（自反性）
ⅱ）若～，则～.（对称性）
ⅲ）若～，～，则～.（传递性）
例5若～，则.
证明 若～，则. 因为P可逆，故。于是有.表明与等价。故,■
例6 (可作为习题)证明：若～，则
（ⅰ）～；
（ⅱ）～，（是的多项式）
证明 由～，成立. 故
（ⅰ）=,即～.
（ⅱ）设=，有
=
==,即～.
定理4 若～，则与的特征多项式相同，从而与的特征值也相同。
证明 由～,使. 故
,■
推论4.a 若阶方阵～=，则为的所有个特征值。
证明 因为对角矩阵的特征值即为对角元素。■
推论4.b 若～，则.(由定理1即得),■
若相似于对角阵=，则，即,于是
=,类似可得（参见例5的证明过程）,并易得
这样就可以比较简便地计算出和了。（具体例子作为习题）
定理5 阶方阵相似于对角阵的充要条件是有个线性无关的特征向量。
证明 必要性. 存在，使 = ；其中为的个特征值。上式可写成 。记= ,则成立
,
即 是的特征向量。因为可逆，故线性无关。
充分性. 若有个线性无关的特征向量满足 ，记
= ,=,
由必要性证明的推导过程倒推上去，即可得相似于对角阵。 ■
推论5 若阶方阵的个特征值互异，则相似于对角阵。 ■
但须注意本推论的逆不成立。例如上节例1中的有3个线性无关的特征向量，故相似于对角阵。但的3个特征值不互异。
* 定理6 阶方阵相似于对角阵的充要条件是：对于的每个重特征值都有个线性无关的特征向量。即,■
6.3 向量的内积与正交矩阵知识点：向量的内积与正交；向量组的正交化过程；正交矩阵及其性质。
在空间解析几何中两个向量a,b 的内积定义为 a?b =║a║║b║cos，其中║a║，║b║分别是a,b 的长度，是a与 b 的夹角。若在中建立直角坐标系后，向量a=，b=的内积的计算公式为 a?b =,
我们现在把内积定义推广到一般维实向量。
定义3（向量内积）设，则与的内积定义为, = = ,
向量的内积满足如下性质：
ⅰ）=；（对称性）
ⅱ）； （线性性）
ⅲ）；（正定性）
ⅳ）；
定义4（向量长度）对于，的长度（或模）（记作）定义为：
==,
向量的长度满足如下性质：
1o ；且=；（正定性）
2o = （齐次性）
3o ； （Cauchy 不等式）
即
4o； （三角不等式）
（1o，2o的证明用定义；4o利用3o来证明。3o证明如下）
证明 当线性相关时，则存在，使得或,若则
对于类似可证。故当线性相关时，；
设线性无关，则，，由性质ⅲ），＞0，即 ＞0，即二次实系数方程=0没有实根,故 ＜0，于是 ＜ ■
当时，. 于是引入如下定义：
定义5（向量的夹角）对于，当时，定义的夹角为：
，
若，则称与正交，记为，这时.
性质,
1）;
2) 对于, 若，则.（勾股定理）
长度为1的向量称为单位向量。非零向量的单位化：，几何意义：同方向上的单位向量。
正交向量组：两两正交的一组非零向量；标准正交向量组：由单位向量组成的正交向量组。
定理7 若是正交向量组，则线性无关。
证明 设. 用与两边作内积得：
.
由于正交，即得：，而，于是,故无关。■
正交基：由正交向量组构成的向量空间的基；
标准正交基：由标准正交向量组构成的向量空间的基。
定理8 在中，若线性无关，则与某个正交向量组等价。且等价
证明 令 ； （为待定系数）,要使，则有求成立
,
由于（线性无关），故，从而取。又从上式可得
，,
表明等价。
一般已求得正交向量组与等价,令
,
由 的要求,用与上式两边作内积得：.于是可求得 ，即
.
易见是正交向量组，且由与等价及上式，可得与等价。 ■
定理10 的证明给出了将一个线性无关的向量组正交化的步骤：
；
；
如果再将正交向量组单位化，即令
则是与等价的标准正交向量组。
由上述过程把一个线性无关的向量组化为与等价的标准正交向量组的过程称为施密特（Schmidt）正交化方法.
例7 设 将化为的一个标准正交基。
解 易见，故，以下将正交化。令，=，则，而且（考虑为什么？）.再令 ，,，
则即为的一个标准正交基。
例8 设求与的夹角以及与都正交的向量。
解
设与都正交，由正交条件可得方程组：
；
解之得 其中为任意实数。
定义6（正交矩阵）设A是方矩阵。若，则称为正交阵。
等价定义：是正交阵当且仅当的列向量组标准正交。事实上，设，则
，
定理11 若都是阶正交阵，则
1o；
2o也是正交阵；
3o；
4o也是正交阵。
证明 1o显然；又由得也是正交阵；取行列式得
；
由得也是正交阵。 ■
由2o可得是正交阵的列向量组是标准正交的。 的行向量组（转置）标准正交。
由以上讨论容易验证下面三个实方阵都是正交阵：
,,
例9 设是正交阵，且＜0，证明：.（即是的特征值）
证明 因为是正交阵，由3o，，又＜0，故.于是
，.
5.4 实对称阵的相似对角形知识点：实对称矩阵特征值特征向量的性质；对称矩阵正交相似于对角矩阵的计算。
设，则其共轭向量为 。
若实矩阵A满足，则称为实对称阵。
定理12 实对称阵的特征值必为实数。
证明 设（，）是的特征对，则 ,两边取共轭，再取转置，注意到且，得行向量的等式：，，
，,（数量等式）
因 ，故 ＞0。于是，即是实数。■
因为特征向量是x的非零解向量，对于实对称阵的任一特征值，是实矩阵，所以实对称阵的特征向量都可以取为实向量。
定理13 实对称阵的属于不同特征值的特征向量相互正交。
证明 设是实对称阵的不同特征值，是属于的特征向量,则
,
,即
由于,■
定理14 对于任意实对称阵A，必存在正交矩阵，使得
,
若记，则 ■
推论14 实对称阵的重特征值有个线性无关的特征向量，从而有个标准正交的特征向量。 ■
例10 设，求正交矩阵，使得为对角阵。
解 即例1中的实对称阵，它的特征值为,属于的特征向量为，属于的特征向量为 又在例7中，我们得的标准正交特征向量组：
令，即所求的正交矩阵。且为对角阵。
例11 已知实对称阵的特征值为-6，3，3，且是的属于特征值的特征向量，求.
解 属于特征值的特征向量都应与正交，即有 ,
,令得一特征向量.属于3的另一个与和都正交的特征向量可由下式得到：
,
联立解得为,将正交的单位化,
.
记 ，则它为正交阵且
,于是
=.
例12 求实矩阵特征值和特征向量。
解 记 ，则 。显然A对称，故成立
。由于A =，故
,
可见，由于A也等价于，所以只有一个特征值不为零，其余都是零。 不妨设。由于，所以，其对应的特征向量为。
对于的特征向量，其是x的解，等价于x的解，由前述，其等价方程组是：,，易得线性无关的特征向量：
.
5.5二次型知识点：二次型及其矩阵形式；二次型的标准形；化二次型为标准形的正交变换法和配方法。
在平面解析几何中，为看清二次曲线 的类型，可以采用坐标变换
化二次曲线为标准形 ,由此二次曲线的几何性质便一目了然。
定义7 二次齐次多项式
称为元二次型，简称二次型。如果系数和变量都为实数，则称为实二次型。
以下我们只讨论实二次型。
记,则二次型可以表示为矩阵形式,
其中为对称阵。（讲课时，可对三元具体演示过程）
二次型与对称阵确立了1-1对应关系。称二次型唯一确定的对称阵为二次型的矩阵。称对称阵的秩为二次型的秩。
例如,的矩阵,秩为3；
而对称阵，确定的二次型为.
称上述那样只含平方项的二次型为标准形。易见为标准形当且仅当的矩阵为对角阵。
两组变量和之间的关系式
称为从到的一个线性变换。其矩阵形式
其中，，.
方阵称为线性变换的矩阵。若可逆，则称线性变换为可逆线性变换。
问题：如何用可逆线性变换，将二次型 化为标准形。
将代入后，得
.
易证仍为对称阵。二次型为标准形当且仅当为对角阵。
定义8（矩阵合同）设，若存在可逆阵使得，则称合同于，记为 ≈.
由定义易证矩阵间的合同关系也满足自反性，对称性和传递性。
于是若二次型经可逆的线性变换化为二次型，则
≈,若≈，即，由于可逆，故A与B等价，于是.
一、正交变换法.
若为正交阵，则线性变换称为正交变换。
正交变换有比一般可逆线性变换更好的性质：
定理15 中的正交变换不改变向量的内积（因而也不改变向量的长度和夹角）。
证明 ■
正交变换把中的标准正交基变为中的标准正交基,若为正交阵，则,若，则正交变换称为第一类的（或旋转），若，则正交变换称为第二类的。
定理16 对于元实二次型，存在正交变换，可将该二次型化为标准形,
其中是对称阵的特征值。的列向量组是标准正交特征向量组，且 ■
例6.12 （1）用正交变换化二次型
为标准形，并给出正交变换矩阵.
（2）判别是什么曲面？
解 （1）的矩阵，由
对于 解x.,
可得 ，它的一个基础解系为, 正交化得,
,
对于，可以通过解 x 来求的一个特征向量。再将单位化得：。令 ，即为所求正交变换矩阵,满足。于是正交变换可化二次型为标准形：
.
(2) 因为正交变换不改变空间中的向量的长度和夹角，故二次曲面
与 .
表示同一个曲面：是一个椭球面。
例6.14 证明：当时，实二次型的最大值等于的最大特征值。
证明 设为元实二次型，存在正交变换，可将化为标准形：
其中是的特征值。设是的最大特征值。因为
，
于是 .
现取为第个基本单位向量，则当时就有
，
即当时，确实可以取到最大值.
二、配方法.
用正交变换化二次型为标准形可以保持许多几何性质，固然很好。但做起来比较烦。有时我们只要了解二次型一些主要性质，那我们就可以用其它相对简单的方法化二次型为标准形。以下我们介绍一种最常用的配方法。
分两种情况讨论：
1o 若二次型中至少有一个变量平方项的系数不为零，且还有该变量交叉项，不妨设，则先对所有含的项进行配方。如此下去，直到把所有含有变量平方项且有该变量交叉项的都进行配方。
2o 若二次型中某变量只有交叉项而无平方项的，不妨设，则作如下变换：
我们结合例子讲解。
例6.15 用配方法将下列二次型化为标准形，并求所用变换的矩阵.
1）；
2）.
解 1）
令 ； 即有 ,
则为标准形。所用变换的矩阵.
2）令,即 ；则
再令 ； 即有
则为标准形。且由
.
得变换矩阵 .
5.6 惯性定理与正定二次型知识点：惯性定理，二次型的规范形，正定二次型与正定矩阵的判别。
一、惯性定理实二次型的标准形一般不唯一。但若一个实二次型经任意一个可逆线性变换化为标准形后，就有≈,而对角阵的秩等于它的主对角线上非零元的个数，故中平方项的个数就等于,于是一个实二次型经不同可逆线性变换化为不同标准形后，标准形中所含的平方项个数都等于 更进一步有：
定理6.17 (惯性定理)对于一个元实二次型 经任意一个可逆线性变换化为标准形后，标准形中正平方项的个数和负平方项的个数都是唯一确定的，且,■
本定理的证明略去。
实二次型的标准形中的正平方项的个数称为实二次型（或）的正惯性指数，负平方项的个数称为实二次型（或）的负惯性指数。
对于标准形，可以写成以下形式的标准形：
=
其中,进一步令
则 可以化为：
=,
形如上式标准形称为实二次型的规范形。
定理6.18 对于任一个元实二次型都可经适当的可逆线性变换化为规范形：
=
且规范形是唯一的。 ■
推论6.18 对于任一个实对称阵，总存在可逆阵使得
■
二、正定二次型定义6.12 （正定性）若都有元实二次型>0(或<0)，则称为正定（或负定）二次型，并称的矩阵为正定（或负定）矩阵。
以上定义中把>0(<0)改为即得半正定（半负定）二次型的定义及半正定（半负定）矩阵的定义。
例如 是正定二次型。
是负定二次型。
是半正定二次型。
而既不是正定（或负定）二次型，也不是半正定（或半负定）二次型。
由定义易得如下性质：
1o 实对称阵正定当且仅当负定。
2o 若实二次型正定，则经任意可逆线性变换后所得的二次型也正定。
证明 1o 显然
2o ，则对任意可逆阵，有,经可逆线性变换后,
>0.
即也正定。 ■
定理6.19 设为实对称阵，，则以下几个命题等价：
1o正定，或是正定二次型；
2o的特征值全大于零；
3o的正惯性性指数为；
4o合同于单位阵；
5o 存在可逆阵，使得.
证明 1o2o 设经正交线性变换化为标准形：
=,
其中是的特征值。 令，则,由是正定二次型得
0<,
2o3o 若的特征值全大于零，则经正交线性变换化为标准形：
因为大于零，故的正惯性性指数为.
3o4o 若的正惯性指数为，则可经适当可逆线性变换化为规范形 .
即存在可逆阵使得 ,故合同于单位阵.
4o5o 若合同于单位阵，则存在可逆阵使得，由此 .
记，则,即.
5o1o 若存在可逆阵使得，则，有 故
>0.
即是正定二次型（或正定）,■
定理5.20 实对称阵 正定的充要条件是它的顺序主子式全大于零，即
＞0,＞0,…,＞0,■
定理的证明略去。
推论5.20 实对称阵负定的充要条件是它的顺序主子式满足：
＜0，＞0，…,＞0，…,＞0,■
例5.16 设都正定，证明也都正定。
证明 对称显然。对，由都正定可得
>0.
记 则对称。 由块对角阵的行列式的性质知的2n个特征值是由的n个特征值和的n个特征值合并组成。故的也特征值全大于零，所以也正定。
例5.17 判别是否正定。
解 ，因为，故不正定。
例5.18 当取何值时，为正定二次型？
解 ,当，且 ，且 时,即时，为正定的。
例5.19 若为正定阵，证明：.
证明 因为+ I的特征值为 ,而A对称正定,故 ,于是
.
本章小结：
矩阵的特征值问题和二次型
矩阵的特征值特征向量 相似矩阵及矩阵的对角化 化二次型为标准型
向量的内积与正交 实对称矩阵的对角化 正定二次型与正定矩阵
正交化过程正交矩阵
