n维向量要求：
理解向量的概念，理解向量的线性组合、线性表示的概念；
理解向量组线性相关与线性无关的概念，了解线性相关性的一些重要结论；
3）理解向量组的极大线性无关组和秩的概念；理解矩阵秩的概念。
4）了解向量组等价的概念，了解向量组的秩和矩阵秩的关系以及有关秩的一些性质。
5）掌握用初等变换求向量组的极大线性相关组、秩和矩阵秩的方法。
6) 了解向量空间等的概念。
n维向量知识点：向量的概念及其基本运算定义1 （向量） 由n个（实）数组成的有序数组，称作n维（实）向量（用希腊字母 来表示），记作
,
其中第个数称为向量 的（第个）分量。或记作 或 ,
用表示n维实向量的全体；用表示n维复向量的全体。
n维行向量。n维列向量。（在讨论向量概念和性质时，行向量和列向量是完全一样的）。
,
n维行向量即为的矩阵，n维列向量是矩阵。本课程采用列向量形式利用转置，表示一个行向量，也有 。
（ 联系三维空间中的有向线段或点的坐标，直观理解向量的概念）
向量是矩阵的特殊形式，因此向量也有下列概念和性质。
定义2 设 ， 是二个n维向量。
1）向量相等 若 ,称向量和向量相等。
2）零向量 所有分量都为零的向量。一般记作；或 ,注意,,
3）负向量 称向量 为向量的负向量。
4）向量加法 称向量 为向量和向量的和,
向量减法 向量和向量的减法）定义为和的加法,。
5）数乘向量 设是一个数。称向量 为向量和数的数乘向量。
把矩阵的加法、数乘等运算法则移到向量上，同样成立：
.
.
； .
； .
.
； ； ； .
若 ,则或 或 。
（8） 设是n阶单位矩阵，则。
例1 设 计算；并判别与的关系。
解 。且 ,或等价地
解释n维向量的乘法问题（以上例说明）：
------ 无意义；
---- 一个数（即的矩阵）
---- 的矩阵。
3.2 向量组的线性相关性知识点：线性组合，线性表示，向量组的等价，线性相关与线性无关定义3（线性组合与线性表示） 设有向量组（I）：,
（1） 称向量
是向量组（I）的一个线性组合，其中 是一组数。
（2）若向量是向量组（I）的一个线性组合：即存在一组数，使得
则称向量可以由向量组（I）线性表示。
如例1中，成立
例2 证明任意一个n维向量都可以由向量组I:
,,
线性表示。向量组I：，，称作n维坐标向量组。（联系三维空间的坐标向量）
定义4 （向量组等价） 若向量组（I）：中的每一个向量均可由向量组（II）线性表示，则称组（I）可由组（II）线性表示。若组（I）与组（II）可相互线性表示，则称组（I）与（II）等价。
等价具有以下性质：
自身性：向量组与其本身等价；
对称性：组（I）与（II）等价，组（II）也与组（I）等价；
传递性：若向量组（I）与（II）等价，（II）与（III）等价，则（I）与（III）等价。
例3 证明向量组（I）： 与坐标向量组I等价。
解 由例2，向量组（I）可以由坐标向量组I线性表示。反之,也有
例4 设向量组 ,，，,判别是否可由线性表示；若可以，求其表示式。
解 设 ，
解之得 ，即 。
定义5 (线性相关) 对于向量组（I），若存在不全为零的数，使得
,
则称向量组（I）线性相关；否则称向量组（I）性无关。
否则的等价说法：使得线性组合为零的组合系数必须全为零。
如例1中的向量组 ,成立,,，线性相关。
注意，（1）线性相关性与向量在向量组的排序无关，与具有相同的线性相关性。（2） 解释 ，三个向量线性相关的几何意义，是这三个向量共面。
例5 判断向量组，，的线性相关性。
解 令 ，解之,，线性无关。
三维空间中的三个坐标向量 ，，线性无关。事实上有，
例6 证明坐标向量组线性无关。
定理1 向量组（I）：线性相关的充分必要条件是向量组（I）中至少有一个向量可由其余个向量线性表示。
如例1的向量组,
该定理的一个等价说法是：向量组（I）线性无关的充分必要条件是向量组（I）中任何一个向量都不能用（I）中其余向量线性表示。如在三维空间中，三个不共面的向量（线性无关）中的任何一个向量都不能用其余二个向量线性表示，
例7 含有零向量的向量组一定线性相关。
单个向量构成的向量组（I）：，约定：若，则线性相关；若，线性无关。
例8 设向量组线性无关。证明向量组
线性无关。
证明 令 ,由的线性无关性，解之,向量组线性无关。
定理2 设向量组（I）：线性无关，而向量组（II）：线性相关。则向量可由向量组（I）线性表示；且表示式唯一。
证明 存在不全为零的数，使得
，
证。否则若，与条件线性无关矛盾。如此有
再证表示式唯一。设有两个表示式：
,,
由线性无关，可得 ,■
下面可以看到用矩阵初等变换来判别向量组的线性相关性及向量的表示显得更方便。
定理3 若向量组（I）中有部分向量线性相关，则（I）一定线性相关。
该定理等价说法：若向量组线性无关，则其任何一部分向量都线性无关。如在三维空间中，三个坐标向量线性无关（非共面），则其中任何二个向量也线性无关（非共线）。
向量组的线性相关性也可以用齐次线性方程组是否有非零解来判别。
判别维向量组（I）是否线性相关，即看线性组合
的系数是否全为零。事实上，上式是一个关于未知数的齐次线性方程组。记
,
则上式等价于
,（1）
方程组称为的齐次线性方程组。其矩阵形式 = ,其中 系数矩阵
，,
强调，矩阵A（或齐次线性方程组）与向量组的对应关系是 。有了这种对应，判别一个向量组是否线性相关可通过判别齐次线性方程组是否有非零解得到：这便是下列的定理。
定理4 维向量组线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组有非零解。
下面是方程组有非零解的一个充分条件。
定理3.5 若 ，则齐次线性方程组必有非零解。
证明 在方程组最后添加 个方程，得等价的方程组
,
显然这一方程组的系数行列式等于零。由定理1.6，方程组有非零解。 ■
例9 判别向量组的线性相关性，
解 对应的方程组,
有一组非零解 。 线性相关。
方程组的非零解有无穷多组；对任何（称之为方程组的自由变量，也可以选或作为自由变量。在第五章中我们会看到，方程组的自由变量个数是一定数）的一个值，都可以得到方程组的一组非零解。
把定理应用到线性相关性上去，便是下列的推论。
推论5 设维向量组（I）：,若，则向量组（I）线性相关。
推论说得是：向量组中的向量个数超过向量维数时，该向量组一定线性相关。见上例。
下面考察向量组在添加（或减少）一个分量后组成的向量组之间的线性相关性。设维向量组（I）：，其分量形式见前述。现在每个向量上添加一个分量，构成维的向量组（II），
。
向量组（II）的线性相关性取决于齐次线性方程组是否有非零解，
,（2）
如此向量组（I）与向量组（II）的线性相关性可以通过对应方程组的解之间的关系来判别。显然：如果方程组（1）只有零解，那么方程组（2）不可能有非零解，即只有零解；反之，若方程组（2）有非零解，则此非零解也是方程组（1）的非零解。上述讨论表明，若原向量组线性无关，则添加一个分量后构成的向量组也线性无关；若原向量组线性相关，则减少一个分量后构成的向量组也线性相关。上述结论对于添加（或减少）个分量也成立。于是有定理6 若维向量组线性无关，则在这些向量各添加个分量所得到的新向量组也线性无关；若向量组线性相关，则在这些向量各减少个分量所得到的新向量组也线性相关。■
例如，中的单位向量组 ，在每一个向量中任意添加一个分量，构成向量组：
，
则向量组仍然现行无关。
用矩阵形式也可以描述向量间的线性表示，由此可以方便地来证明一些性质。先考虑一个向量可由向量组（I）：线性表示：
.
其中 矩阵，即是矩阵A的列向量组,则是向量。 同样，向量组由向量组（I）：的线性表示。设
,
引进 矩阵，
，
则上式可以写成
，
即 ,
特别当时，即一个向量由一组向量线性表示，
这就是说，若向量组可由向量组线性表示，则存在矩阵L，使得上式成立；反之，若上式成立，则一定可由线性表示。
例10 判别向量组和向量组
的等价性。
解 。
由于矩阵非奇，成立 ， 所以两向量组等价
定理7 若向量组（II）：可由向量组（I）：线性表示，且，则向量组（II）线性相关。
证明 存在矩阵L，成立。考虑齐次线性方程组 ,由于，方程有非零解。故成立
。
由于有非零解，故向量组（II）：线性相关。 ■
推论7 若向量组（II）：可由向量组（I）：线性表示，且向量组（II）线性无关，则 。
定理7说得是：一组向量个数多的向量组若可以被向量个数少的向量组线性表示，则向量个数多的向量组一定线性相关；而推论7说得是：一组线性无关的向量组若可以被某向量组线性表示，则线性无关的向量组其含有的向量个数一定不超过另一向量组其含有的向量个数。
3.3 向量组的秩知识点：极大线性无关组，向量组的秩定义6 （极大无关组） 设向量组（I）：。若（I）中有向量组线性无关；
向量组（I）中任意个向量都线性相关。
则称向量组是向量组（I）的一个极大线性无关向量组（简称极大无关组）。
特别,若向量组（I）本身线性无关，则（I）便是其一个极大无关组；而只含零向量的向量组没有极大无关组。
例11 求的一个极大无关组。
解 中的单位向量组线性无关。又由推论3.5，任何个的维向量都线性相关，于是单位向量组I便是中的一个极大无关组。
注意到，一个向量组的极大无关组可能不是唯一的，如维向量组
,,
也是线性无关的（证明见习题），从而也是中的一个极大无关组。那么极大无关组所含有的向量个数是否都相同呢？极大无关组的一个等价定义。
定义6’ （极大无关组的等价定义） 设向量组（I）：。若（I）中有向量组线性无关；
向量组（I）中任意一个向量都可以由向量组线性表示。
则称向量组是向量组（I）的一个极大线性无关向量组。
证明 设向量组是向量组（I）的极大无关组（按定义6）。对（I）中任意一个向量，则线性相关，根据定理2，可由向量组线性表示，从而向量组按定义6’也是极大无关组；反之，设向量组是向量组（I）的极大无关组（按定义6’）。于是对（I）中任意个向量，可以由线性表示，根据定理3.1，这个向量线性相关，故向量组按定义6也是极大无关组。
下面是极大无关组的一些基本性质。
定理8 向量组与其任何一个极大无关组等价；从而一个向量组的任意两个极大无关组等价。
证明 由定义6’,极大无关组与向量组（I）可相互线性表示，于是等价。由等价的传递性，两个极大无关组等价。 ■
定理9 一个向量组的极大无关组所含有的向量个数相同。
证明 不妨设, 是向量组（I）的极大无关组。由于与等价，由推.7，得。 ■
定理9表明，极大无关组所含向量个数是一确定的数，与极大无关组的选择无关。
定义7 （向量组的秩） 向量组（I）：的极大线性无关向量组所含有的向量个数称之为向量组（I）的秩，记作 ，或 。
例如 。
定理10 设 ，。若向量组（I）：可由向量组（II）：线性表示，则。
证明 不妨设,分别是（I），（II）的极大无关组。并记
，。由于（I）可由（II）线性表示，因此也可由（II）线性表示，即存在矩阵，成立
；
又（II）可由极大无关组线性表示，故存在矩阵，成立
。
代入上式，得
即可由线性表示，由推论7，。 ■
由此我们有推论10 等价向量组的秩相等。
3.4 矩阵的秩知识点：矩阵的秩，矩阵的子式，用初等变换求向量组的极大无关组和秩，
设有矩阵A，可按列划分，也可按行划分：
= 。
称 为A的列向量族；为A的行向量组定义8 （矩阵的行秩与列秩）矩阵A的列向量组的秩称为矩阵A的列秩；行向量组的秩称为矩阵A的行秩。
显然，矩阵A的列秩，行秩。
如 ，列向量组的秩为3；行向量组的秩等于3。
下面定理说明矩阵的初等变换不改变矩阵的行（列）秩；并进一步有，矩阵的初等行变换不改变矩阵列向量组的线性相关性；同理，矩阵的初等列变换不改变矩阵行向量组的线性相关性。
定理11 行（列）初等变换不改变矩阵的行（列）秩。
证明 考虑P = B，其中P是某个初等矩阵。 同理 考虑
定理12行初等变换不改变矩阵列向量组的线性相关性，从而行初等变换不改变矩阵的列秩。
同理，列初等变换不改变矩阵行向量组的线性相关性；从而列初等变换不改变矩阵的行秩。
证明 有PA=B。记，从而，
任取，，则。显然方程组x1=与x1=（即x1=）是同解方程组。因此与的列向量组有相同的线性相关性。■
此定理提供了求向量组的秩及其极大无关组的一个简便而有效的方法。
例12 设向量组：
。试求向量组的秩及其一个极大无关组，并将其余向量用这个极大无关组线性表示。
解 作矩阵，对A做初等行变换将其化为行最简形矩阵，记作。易见从而 是A的列向量组的一个极大线性无关组，故秩=3。且由B的列向量组可见，
，所以。
利用上述定理，我们证明一个矩阵的列秩与行秩相等。
定理13 矩阵的列秩与行秩相等。
证明：由上述定理，矩阵A与其标准形有相等的行秩与列秩，而标准形的行秩与列秩显然相等，于是巨阵A的行秩与列秩也相等。 ■
由此我们把矩阵A的行秩与列秩统称为矩阵的秩，记作rank(A)，或简记为r(A).显然 的矩阵A，有。若 则称A为满秩阵，否则称为降秩阵。
推论13 （1）初等变换不改变矩阵的秩；
（2）等价矩阵具有相等的秩。
（3）。
定理14 阶矩阵A可逆的充分必要条件是。
（因为A的标准形是 I）
例13 设，求,（）
例14 设A是秩为的矩阵，求证：A可以表示成个秩为1的矩阵之和。
证明 A是矩阵，且，则有。记为第行第列元素为1，其余元素均为零的阶矩阵，有 .。于是
.
因为，所以。
例15 设A是矩阵，B是矩阵，证明 .
证明 记 ， ，则
，，
即的行向量组可由的行向量组线性表示，所以 ；同样
，，
即的列向量组可由的列向量组线性表示，所以 ,■
例16 设A、B均为矩阵，则。（可作为习题）
证明 记，，则 ,
作向量组，显然，
，
而的列向量组可以由向量组线性表示,所以 。 ■
例17 设A是矩阵，，证明：。
证明 由于，所以有，
而是n阶矩阵，所以,
下面我们从另一角度讨论矩阵的秩。
定义9（子式） 在矩阵A中，任取k行和k列，由这些行和列交叉点上的个元素按原来的相对位置构成的一个k阶行列式，称为矩阵A的一个k阶子式（共有个）。若该k行k列的对应顺序一致，则构成的k阶行列式，称为A的一个k阶主子式（共有个）。又若取前k行前k列构成的k阶行列式，称为矩阵A的k阶顺序主子式（只有一个）。
如：，
取i = 1,3，j = 2,5，得2阶子式 ，但其不是主子式；
取 i = 2,3,5，j = 2,3,5，得3阶主子式，但其不是顺序主子式；
取i = 1,2，j = 1,2，得2阶顺序主子式 。
定理15 矩阵A的秩 的充要条件是A至少有一个r阶子式不为零，而所有r + 1阶子式全为零。
证明：必要性 设，任取A中r + 1阶子式，则其所在列对应的A的r + 1个列向量线性相关。由定理6，该子式的r + 1个列向量也线性无关，由定理14，该子式为零。
再证A中有一个r 阶子式不为零。因为，故A中有r个列向量线性无关，不妨设是前r个。记 ，则 rank(B) = r,于是B的行秩也是r,从而B有r个行向量（r维向量）线性无关。由该r行和r列构成的矩阵的秩等于r,于是该矩阵的行列式（即矩阵A的一个r阶子式）不等于零。
充分性 设 ，由于有一个r阶子式不等于零，故由必要性，; 同理，因为所有r + 1阶子式全为零，故所有k (k > r)阶子式都等于零，于是 （否则，若 t > r,则由必要性，应至少有一个 t 阶子式不为零）。如此 t = r,■
推论15 (1) 若A中所有r 阶子式都为零，则 ;
(2) 若A中有一个r 阶子式不为零，则 ;
进一步，定理15的条件可以减弱，
定理16 矩阵A的秩 的充要条件是A至少有一个r阶子式不为零，而所有含有的r + 1阶子式全为零。
例18 求矩阵的秩。
解 因为，含有该子式的两个3阶子式都为零（所有3阶子式有4个），
。
例19 试判断向量组的线性相关性。
解 记，因为A的三阶子式不等于零，所以A的秩等于3，，A的列向量组的秩也等于3，所以向量组线性无关。
3.5 向量空间知识点：向量空间概念；基与坐标、维数的概念；向量组生成的子空间；基变换和坐标变换。
考虑三维向量全体中的两个集合：
X轴上的向量全体，即 ；
正向X轴上的向量全体，即 。
对中的任意向量和实数，成立
,；
而对中的向量和实数，则不成立上述性质，如取中向量和数，则 。
定义10 （向量空间）设V是某n维向量的集合，若对V中任意向量和实数，成立
,,
则称V是一个（n维）向量空间。（即向量空间具有对加法和数乘运算的封闭性。）
是向量空间，而则不是。显然Rn是一个向量空间。
定义11（子空间） 设V是一个（n维）向量空间，S是V中的一个集合。若对于S中的任意向量和实数，成立
,,
则称S是V的一个向量子空间，即S本身也构成一个向量空间。
例如，由于是一个向量空间，故是的一个子空间。
例20 设是中的一个向量组。证明由其一切线性组合构成的集合是一个向量空间，也即是的一个子空间。称作由向量组生成的子空间，记作。
定义12（基和维数） 设V是向量空间，若V中存在一组向量满足：
1）线性无关；
2）V中任意一个向量都可以由线性表示。
则称是V的一组基，而基中所含有的向量个数，称作空间V的维数，记作
dim(V ) = .
注意：（1）向量空间维数与向量维数是两个不同概念。向量维数是指向量所含有的分量个数，而空间维数是指其基所含有的向量个数。如R2中的子空间V =。显然，dim(V ) = 1，而V中的向量是二维向量。
（2）从集合角度看，基就是极大线性无关组的概念。
定理17 设是向量空间V的一组基，则.
证明 相互包含
如 ,dim(Rn ) = n 。
定义13（坐标） 设V是向量空间，是一组基（记作（I））。则对任意V中任意一个向量，存在一组数，使得
，
称是向量在基下的坐标，记作 。
下面我们仅在向量空间中讨论。称单位坐标向量组为的自然基。
例21 写出向量 在自然基I：和基II：
，下的坐标。
解,，
即 ,。可见任何一个向量在自然基下的坐标就是向量的分量（对一般n维向量成立）。
基变换和坐标变换：讨论一个向量在不同基下的坐标变换。我们先证明一个定理。
定理18 设是的一组基。是一组向量，且
，
则线性无关的充分必要条件是
。
证明：记 ，。则上式可写成 。因为A非奇，故矩阵F与U有相同的秩。 ■
设（I）：和（II）：是中的两组基。并设
若记 ，，和
则上式可以等价地写成，B = AP，称矩阵P为由基（I）到基（II）的过渡矩阵；上式则称为基变换公式。由于基（I）和基（II）是等价的基（线性无关），故过渡矩阵P非奇，其逆矩阵就是由基（II）到基（I）到过渡矩阵。
下面我们给出坐标变换公式。设向量在基（I）：和基（II）：下的坐标分别是 和，即
=，
=，
并设基（I）到基（II）的过渡矩阵为P，即 B = AP，代入上面第二式，得 ，
于是成立 （ 基（I）到基（II）的过渡矩阵乘基（II）下的坐标等于基（I）西的坐标）
。
例22 已知的两组基（I）和（II）分别是 ，，和，，。求基（I）到基（II）的过渡矩阵；已知向量在基（I）下的坐标为：，求在基（II）下的坐标。
解：由 B = AP,可得过渡矩阵为 。又由坐标变换公式，得
本章小结：
基本运算 向 量
线性表示 线性相关性 向量组的秩 向量空间
线性表示的矩阵形式 齐次方程组的非零解 矩阵的秩 基，,坐标基变换，坐标变换
理解向量的概念，理解向量的线性组合、线性表示的概念；
理解向量组线性相关与线性无关的概念，了解线性相关性的一些重要结论；
3）理解向量组的极大线性无关组和秩的概念；理解矩阵秩的概念。
4）了解向量组等价的概念，了解向量组的秩和矩阵秩的关系以及有关秩的一些性质。
5）掌握用初等变换求向量组的极大线性相关组、秩和矩阵秩的方法。
6) 了解向量空间等的概念。
n维向量知识点：向量的概念及其基本运算定义1 （向量） 由n个（实）数组成的有序数组，称作n维（实）向量（用希腊字母 来表示），记作
,
其中第个数称为向量 的（第个）分量。或记作 或 ,
用表示n维实向量的全体；用表示n维复向量的全体。
n维行向量。n维列向量。（在讨论向量概念和性质时，行向量和列向量是完全一样的）。
,
n维行向量即为的矩阵，n维列向量是矩阵。本课程采用列向量形式利用转置，表示一个行向量，也有 。
（ 联系三维空间中的有向线段或点的坐标，直观理解向量的概念）
向量是矩阵的特殊形式，因此向量也有下列概念和性质。
定义2 设 ， 是二个n维向量。
1）向量相等 若 ,称向量和向量相等。
2）零向量 所有分量都为零的向量。一般记作；或 ,注意,,
3）负向量 称向量 为向量的负向量。
4）向量加法 称向量 为向量和向量的和,
向量减法 向量和向量的减法）定义为和的加法,。
5）数乘向量 设是一个数。称向量 为向量和数的数乘向量。
把矩阵的加法、数乘等运算法则移到向量上，同样成立：
.
.
； .
； .
.
； ； ； .
若 ,则或 或 。
（8） 设是n阶单位矩阵，则。
例1 设 计算；并判别与的关系。
解 。且 ,或等价地
解释n维向量的乘法问题（以上例说明）：
------ 无意义；
---- 一个数（即的矩阵）
---- 的矩阵。
3.2 向量组的线性相关性知识点：线性组合，线性表示，向量组的等价，线性相关与线性无关定义3（线性组合与线性表示） 设有向量组（I）：,
（1） 称向量
是向量组（I）的一个线性组合，其中 是一组数。
（2）若向量是向量组（I）的一个线性组合：即存在一组数，使得
则称向量可以由向量组（I）线性表示。
如例1中，成立
例2 证明任意一个n维向量都可以由向量组I:
,,
线性表示。向量组I：，，称作n维坐标向量组。（联系三维空间的坐标向量）
定义4 （向量组等价） 若向量组（I）：中的每一个向量均可由向量组（II）线性表示，则称组（I）可由组（II）线性表示。若组（I）与组（II）可相互线性表示，则称组（I）与（II）等价。
等价具有以下性质：
自身性：向量组与其本身等价；
对称性：组（I）与（II）等价，组（II）也与组（I）等价；
传递性：若向量组（I）与（II）等价，（II）与（III）等价，则（I）与（III）等价。
例3 证明向量组（I）： 与坐标向量组I等价。
解 由例2，向量组（I）可以由坐标向量组I线性表示。反之,也有
例4 设向量组 ,，，,判别是否可由线性表示；若可以，求其表示式。
解 设 ，
解之得 ，即 。
定义5 (线性相关) 对于向量组（I），若存在不全为零的数，使得
,
则称向量组（I）线性相关；否则称向量组（I）性无关。
否则的等价说法：使得线性组合为零的组合系数必须全为零。
如例1中的向量组 ,成立,,，线性相关。
注意，（1）线性相关性与向量在向量组的排序无关，与具有相同的线性相关性。（2） 解释 ，三个向量线性相关的几何意义，是这三个向量共面。
例5 判断向量组，，的线性相关性。
解 令 ，解之,，线性无关。
三维空间中的三个坐标向量 ，，线性无关。事实上有，
例6 证明坐标向量组线性无关。
定理1 向量组（I）：线性相关的充分必要条件是向量组（I）中至少有一个向量可由其余个向量线性表示。
如例1的向量组,
该定理的一个等价说法是：向量组（I）线性无关的充分必要条件是向量组（I）中任何一个向量都不能用（I）中其余向量线性表示。如在三维空间中，三个不共面的向量（线性无关）中的任何一个向量都不能用其余二个向量线性表示，
例7 含有零向量的向量组一定线性相关。
单个向量构成的向量组（I）：，约定：若，则线性相关；若，线性无关。
例8 设向量组线性无关。证明向量组
线性无关。
证明 令 ,由的线性无关性，解之,向量组线性无关。
定理2 设向量组（I）：线性无关，而向量组（II）：线性相关。则向量可由向量组（I）线性表示；且表示式唯一。
证明 存在不全为零的数，使得
，
证。否则若，与条件线性无关矛盾。如此有
再证表示式唯一。设有两个表示式：
,,
由线性无关，可得 ,■
下面可以看到用矩阵初等变换来判别向量组的线性相关性及向量的表示显得更方便。
定理3 若向量组（I）中有部分向量线性相关，则（I）一定线性相关。
该定理等价说法：若向量组线性无关，则其任何一部分向量都线性无关。如在三维空间中，三个坐标向量线性无关（非共面），则其中任何二个向量也线性无关（非共线）。
向量组的线性相关性也可以用齐次线性方程组是否有非零解来判别。
判别维向量组（I）是否线性相关，即看线性组合
的系数是否全为零。事实上，上式是一个关于未知数的齐次线性方程组。记
,
则上式等价于
,（1）
方程组称为的齐次线性方程组。其矩阵形式 = ,其中 系数矩阵
，,
强调，矩阵A（或齐次线性方程组）与向量组的对应关系是 。有了这种对应，判别一个向量组是否线性相关可通过判别齐次线性方程组是否有非零解得到：这便是下列的定理。
定理4 维向量组线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组有非零解。
下面是方程组有非零解的一个充分条件。
定理3.5 若 ，则齐次线性方程组必有非零解。
证明 在方程组最后添加 个方程，得等价的方程组
,
显然这一方程组的系数行列式等于零。由定理1.6，方程组有非零解。 ■
例9 判别向量组的线性相关性，
解 对应的方程组,
有一组非零解 。 线性相关。
方程组的非零解有无穷多组；对任何（称之为方程组的自由变量，也可以选或作为自由变量。在第五章中我们会看到，方程组的自由变量个数是一定数）的一个值，都可以得到方程组的一组非零解。
把定理应用到线性相关性上去，便是下列的推论。
推论5 设维向量组（I）：,若，则向量组（I）线性相关。
推论说得是：向量组中的向量个数超过向量维数时，该向量组一定线性相关。见上例。
下面考察向量组在添加（或减少）一个分量后组成的向量组之间的线性相关性。设维向量组（I）：，其分量形式见前述。现在每个向量上添加一个分量，构成维的向量组（II），
。
向量组（II）的线性相关性取决于齐次线性方程组是否有非零解，
,（2）
如此向量组（I）与向量组（II）的线性相关性可以通过对应方程组的解之间的关系来判别。显然：如果方程组（1）只有零解，那么方程组（2）不可能有非零解，即只有零解；反之，若方程组（2）有非零解，则此非零解也是方程组（1）的非零解。上述讨论表明，若原向量组线性无关，则添加一个分量后构成的向量组也线性无关；若原向量组线性相关，则减少一个分量后构成的向量组也线性相关。上述结论对于添加（或减少）个分量也成立。于是有定理6 若维向量组线性无关，则在这些向量各添加个分量所得到的新向量组也线性无关；若向量组线性相关，则在这些向量各减少个分量所得到的新向量组也线性相关。■
例如，中的单位向量组 ，在每一个向量中任意添加一个分量，构成向量组：
，
则向量组仍然现行无关。
用矩阵形式也可以描述向量间的线性表示，由此可以方便地来证明一些性质。先考虑一个向量可由向量组（I）：线性表示：
.
其中 矩阵，即是矩阵A的列向量组,则是向量。 同样，向量组由向量组（I）：的线性表示。设
,
引进 矩阵，
，
则上式可以写成
，
即 ,
特别当时，即一个向量由一组向量线性表示，
这就是说，若向量组可由向量组线性表示，则存在矩阵L，使得上式成立；反之，若上式成立，则一定可由线性表示。
例10 判别向量组和向量组
的等价性。
解 。
由于矩阵非奇，成立 ， 所以两向量组等价
定理7 若向量组（II）：可由向量组（I）：线性表示，且，则向量组（II）线性相关。
证明 存在矩阵L，成立。考虑齐次线性方程组 ,由于，方程有非零解。故成立
。
由于有非零解，故向量组（II）：线性相关。 ■
推论7 若向量组（II）：可由向量组（I）：线性表示，且向量组（II）线性无关，则 。
定理7说得是：一组向量个数多的向量组若可以被向量个数少的向量组线性表示，则向量个数多的向量组一定线性相关；而推论7说得是：一组线性无关的向量组若可以被某向量组线性表示，则线性无关的向量组其含有的向量个数一定不超过另一向量组其含有的向量个数。
3.3 向量组的秩知识点：极大线性无关组，向量组的秩定义6 （极大无关组） 设向量组（I）：。若（I）中有向量组线性无关；
向量组（I）中任意个向量都线性相关。
则称向量组是向量组（I）的一个极大线性无关向量组（简称极大无关组）。
特别,若向量组（I）本身线性无关，则（I）便是其一个极大无关组；而只含零向量的向量组没有极大无关组。
例11 求的一个极大无关组。
解 中的单位向量组线性无关。又由推论3.5，任何个的维向量都线性相关，于是单位向量组I便是中的一个极大无关组。
注意到，一个向量组的极大无关组可能不是唯一的，如维向量组
,,
也是线性无关的（证明见习题），从而也是中的一个极大无关组。那么极大无关组所含有的向量个数是否都相同呢？极大无关组的一个等价定义。
定义6’ （极大无关组的等价定义） 设向量组（I）：。若（I）中有向量组线性无关；
向量组（I）中任意一个向量都可以由向量组线性表示。
则称向量组是向量组（I）的一个极大线性无关向量组。
证明 设向量组是向量组（I）的极大无关组（按定义6）。对（I）中任意一个向量，则线性相关，根据定理2，可由向量组线性表示，从而向量组按定义6’也是极大无关组；反之，设向量组是向量组（I）的极大无关组（按定义6’）。于是对（I）中任意个向量，可以由线性表示，根据定理3.1，这个向量线性相关，故向量组按定义6也是极大无关组。
下面是极大无关组的一些基本性质。
定理8 向量组与其任何一个极大无关组等价；从而一个向量组的任意两个极大无关组等价。
证明 由定义6’,极大无关组与向量组（I）可相互线性表示，于是等价。由等价的传递性，两个极大无关组等价。 ■
定理9 一个向量组的极大无关组所含有的向量个数相同。
证明 不妨设, 是向量组（I）的极大无关组。由于与等价，由推.7，得。 ■
定理9表明，极大无关组所含向量个数是一确定的数，与极大无关组的选择无关。
定义7 （向量组的秩） 向量组（I）：的极大线性无关向量组所含有的向量个数称之为向量组（I）的秩，记作 ，或 。
例如 。
定理10 设 ，。若向量组（I）：可由向量组（II）：线性表示，则。
证明 不妨设,分别是（I），（II）的极大无关组。并记
，。由于（I）可由（II）线性表示，因此也可由（II）线性表示，即存在矩阵，成立
；
又（II）可由极大无关组线性表示，故存在矩阵，成立
。
代入上式，得
即可由线性表示，由推论7，。 ■
由此我们有推论10 等价向量组的秩相等。
3.4 矩阵的秩知识点：矩阵的秩，矩阵的子式，用初等变换求向量组的极大无关组和秩，
设有矩阵A，可按列划分，也可按行划分：
= 。
称 为A的列向量族；为A的行向量组定义8 （矩阵的行秩与列秩）矩阵A的列向量组的秩称为矩阵A的列秩；行向量组的秩称为矩阵A的行秩。
显然，矩阵A的列秩，行秩。
如 ，列向量组的秩为3；行向量组的秩等于3。
下面定理说明矩阵的初等变换不改变矩阵的行（列）秩；并进一步有，矩阵的初等行变换不改变矩阵列向量组的线性相关性；同理，矩阵的初等列变换不改变矩阵行向量组的线性相关性。
定理11 行（列）初等变换不改变矩阵的行（列）秩。
证明 考虑P = B，其中P是某个初等矩阵。 同理 考虑
定理12行初等变换不改变矩阵列向量组的线性相关性，从而行初等变换不改变矩阵的列秩。
同理，列初等变换不改变矩阵行向量组的线性相关性；从而列初等变换不改变矩阵的行秩。
证明 有PA=B。记，从而，
任取，，则。显然方程组x1=与x1=（即x1=）是同解方程组。因此与的列向量组有相同的线性相关性。■
此定理提供了求向量组的秩及其极大无关组的一个简便而有效的方法。
例12 设向量组：
。试求向量组的秩及其一个极大无关组，并将其余向量用这个极大无关组线性表示。
解 作矩阵，对A做初等行变换将其化为行最简形矩阵，记作。易见从而 是A的列向量组的一个极大线性无关组，故秩=3。且由B的列向量组可见，
，所以。
利用上述定理，我们证明一个矩阵的列秩与行秩相等。
定理13 矩阵的列秩与行秩相等。
证明：由上述定理，矩阵A与其标准形有相等的行秩与列秩，而标准形的行秩与列秩显然相等，于是巨阵A的行秩与列秩也相等。 ■
由此我们把矩阵A的行秩与列秩统称为矩阵的秩，记作rank(A)，或简记为r(A).显然 的矩阵A，有。若 则称A为满秩阵，否则称为降秩阵。
推论13 （1）初等变换不改变矩阵的秩；
（2）等价矩阵具有相等的秩。
（3）。
定理14 阶矩阵A可逆的充分必要条件是。
（因为A的标准形是 I）
例13 设，求,（）
例14 设A是秩为的矩阵，求证：A可以表示成个秩为1的矩阵之和。
证明 A是矩阵，且，则有。记为第行第列元素为1，其余元素均为零的阶矩阵，有 .。于是
.
因为，所以。
例15 设A是矩阵，B是矩阵，证明 .
证明 记 ， ，则
，，
即的行向量组可由的行向量组线性表示，所以 ；同样
，，
即的列向量组可由的列向量组线性表示，所以 ,■
例16 设A、B均为矩阵，则。（可作为习题）
证明 记，，则 ,
作向量组，显然，
，
而的列向量组可以由向量组线性表示,所以 。 ■
例17 设A是矩阵，，证明：。
证明 由于，所以有，
而是n阶矩阵，所以,
下面我们从另一角度讨论矩阵的秩。
定义9（子式） 在矩阵A中，任取k行和k列，由这些行和列交叉点上的个元素按原来的相对位置构成的一个k阶行列式，称为矩阵A的一个k阶子式（共有个）。若该k行k列的对应顺序一致，则构成的k阶行列式，称为A的一个k阶主子式（共有个）。又若取前k行前k列构成的k阶行列式，称为矩阵A的k阶顺序主子式（只有一个）。
如：，
取i = 1,3，j = 2,5，得2阶子式 ，但其不是主子式；
取 i = 2,3,5，j = 2,3,5，得3阶主子式，但其不是顺序主子式；
取i = 1,2，j = 1,2，得2阶顺序主子式 。
定理15 矩阵A的秩 的充要条件是A至少有一个r阶子式不为零，而所有r + 1阶子式全为零。
证明：必要性 设，任取A中r + 1阶子式，则其所在列对应的A的r + 1个列向量线性相关。由定理6，该子式的r + 1个列向量也线性无关，由定理14，该子式为零。
再证A中有一个r 阶子式不为零。因为，故A中有r个列向量线性无关，不妨设是前r个。记 ，则 rank(B) = r,于是B的行秩也是r,从而B有r个行向量（r维向量）线性无关。由该r行和r列构成的矩阵的秩等于r,于是该矩阵的行列式（即矩阵A的一个r阶子式）不等于零。
充分性 设 ，由于有一个r阶子式不等于零，故由必要性，; 同理，因为所有r + 1阶子式全为零，故所有k (k > r)阶子式都等于零，于是 （否则，若 t > r,则由必要性，应至少有一个 t 阶子式不为零）。如此 t = r,■
推论15 (1) 若A中所有r 阶子式都为零，则 ;
(2) 若A中有一个r 阶子式不为零，则 ;
进一步，定理15的条件可以减弱，
定理16 矩阵A的秩 的充要条件是A至少有一个r阶子式不为零，而所有含有的r + 1阶子式全为零。
例18 求矩阵的秩。
解 因为，含有该子式的两个3阶子式都为零（所有3阶子式有4个），
。
例19 试判断向量组的线性相关性。
解 记，因为A的三阶子式不等于零，所以A的秩等于3，，A的列向量组的秩也等于3，所以向量组线性无关。
3.5 向量空间知识点：向量空间概念；基与坐标、维数的概念；向量组生成的子空间；基变换和坐标变换。
考虑三维向量全体中的两个集合：
X轴上的向量全体，即 ；
正向X轴上的向量全体，即 。
对中的任意向量和实数，成立
,；
而对中的向量和实数，则不成立上述性质，如取中向量和数，则 。
定义10 （向量空间）设V是某n维向量的集合，若对V中任意向量和实数，成立
,,
则称V是一个（n维）向量空间。（即向量空间具有对加法和数乘运算的封闭性。）
是向量空间，而则不是。显然Rn是一个向量空间。
定义11（子空间） 设V是一个（n维）向量空间，S是V中的一个集合。若对于S中的任意向量和实数，成立
,,
则称S是V的一个向量子空间，即S本身也构成一个向量空间。
例如，由于是一个向量空间，故是的一个子空间。
例20 设是中的一个向量组。证明由其一切线性组合构成的集合是一个向量空间，也即是的一个子空间。称作由向量组生成的子空间，记作。
定义12（基和维数） 设V是向量空间，若V中存在一组向量满足：
1）线性无关；
2）V中任意一个向量都可以由线性表示。
则称是V的一组基，而基中所含有的向量个数，称作空间V的维数，记作
dim(V ) = .
注意：（1）向量空间维数与向量维数是两个不同概念。向量维数是指向量所含有的分量个数，而空间维数是指其基所含有的向量个数。如R2中的子空间V =。显然，dim(V ) = 1，而V中的向量是二维向量。
（2）从集合角度看，基就是极大线性无关组的概念。
定理17 设是向量空间V的一组基，则.
证明 相互包含
如 ,dim(Rn ) = n 。
定义13（坐标） 设V是向量空间，是一组基（记作（I））。则对任意V中任意一个向量，存在一组数，使得
，
称是向量在基下的坐标，记作 。
下面我们仅在向量空间中讨论。称单位坐标向量组为的自然基。
例21 写出向量 在自然基I：和基II：
，下的坐标。
解,，
即 ,。可见任何一个向量在自然基下的坐标就是向量的分量（对一般n维向量成立）。
基变换和坐标变换：讨论一个向量在不同基下的坐标变换。我们先证明一个定理。
定理18 设是的一组基。是一组向量，且
，
则线性无关的充分必要条件是
。
证明：记 ，。则上式可写成 。因为A非奇，故矩阵F与U有相同的秩。 ■
设（I）：和（II）：是中的两组基。并设
若记 ，，和
则上式可以等价地写成，B = AP，称矩阵P为由基（I）到基（II）的过渡矩阵；上式则称为基变换公式。由于基（I）和基（II）是等价的基（线性无关），故过渡矩阵P非奇，其逆矩阵就是由基（II）到基（I）到过渡矩阵。
下面我们给出坐标变换公式。设向量在基（I）：和基（II）：下的坐标分别是 和，即
=，
=，
并设基（I）到基（II）的过渡矩阵为P，即 B = AP，代入上面第二式，得 ，
于是成立 （ 基（I）到基（II）的过渡矩阵乘基（II）下的坐标等于基（I）西的坐标）
。
例22 已知的两组基（I）和（II）分别是 ，，和，，。求基（I）到基（II）的过渡矩阵；已知向量在基（I）下的坐标为：，求在基（II）下的坐标。
解：由 B = AP,可得过渡矩阵为 。又由坐标变换公式，得
本章小结：
基本运算 向 量
线性表示 线性相关性 向量组的秩 向量空间
线性表示的矩阵形式 齐次方程组的非零解 矩阵的秩 基，,坐标基变换，坐标变换
