北 方 交 通 大 学
2002-2003学年第二学期线性代数（A）期末考试试卷答案一．填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）请将合适的答案填在每题的空中
1．已知是关于的一次多项式，该式中的系数为____________．
应填：．
2．已知矩阵，且的秩，则___________．
应填：．
3．已知线性方程组
有解，则___________．
应填：
4．设是阶矩阵，，是的伴随矩阵．若有特征值，则必有一个特征值是_________________．
应填：．
5．若二次型是正定二次型，则的取值范围是
______________．
应填：．
二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）
1．设
,,
,,
则必有【 】．
, ； , ； , ； ,．
应选：．
2．设是4阶矩阵，且的行列式，则中【 】．
,必有一列元素全为0；
,必有两列元素成比例；
,必有一列向量是其余列向量的线性组合；
,任意列向量是其余列向量的线性组合．
应选：．
3．设是矩阵，而且的行向量线性无关，则【 】．
,的列向量线性无关；
,线性方程组的增广矩阵的行向量线性无关；
,线性方程组的增广矩阵的任意四个列向量线性无关；
,线性方程组有唯一解．
应选：．
4．设矩阵是三阶方阵，是的二重特征值，则下面各向量组中：
⑴ ，，；
⑵ ，，；
⑶ ，，；
⑷ ，，；
肯定不属于的特征向量共有【 】．
,1组； ,2组； ,3组； ,4组．
应选：．
5．设是阶对称矩阵，是阶反对称矩阵，则下列矩阵中，可用正交变换化为对角矩阵的矩阵为【 】．
,； ,； ,； ,．
应选：,
三．（本题满分10分）
设阶矩阵和满足条件：．
⑴ 证明：是可逆矩阵，其中是阶单位．
⑵ 已知矩阵，求矩阵．
解：
⑴ 由等式，得，即
因此矩阵可逆，而且．
⑵ 由⑴知，，即
四．（本题满分10分）
当、为何值时，线性方程组
有唯一解，无解，有无穷多组解，并求出有无穷多组解时的通解．
解：
将方程组的增广矩阵用初等行变换化为阶梯矩阵：
所以，⑴ 当时，，此时线性方程组有唯一解．
⑵ 当，时，，，此时线性方程组无解．
⑶ 当，时，，此时线性方程组有无穷多组解．
此时，原线性方程组化为
因此，原线性方程组的通解为
或者写为
五．（本题满分10分）
设4阶矩阵，求．
解：
由于，
所以，
由于，所以
六．（本题满分10分）
已知，，求，，使得，，，线性无关．
解：
由于与的对应分量不成比例，所以与线性无关．
满足，，，线性无关的向量与有很多，例如我们可以取
，
由于，所以，，，线性无关．
七．（本题满分10分）
设是阶矩阵，如果存在正整数，使得（为阶零矩阵），则称是阶幂零矩阵．
⑴,如果是阶幂零矩阵，则矩阵的特征值全为．
⑵,如果是阶幂零矩阵，则矩阵不与对角矩阵相似．
解：
⑴,设是矩阵的特征值，是矩阵的属于的特征向量，则有
．
所以，,
但是，所以，但，所以．
⑵ 反证法：若矩阵与对角矩阵相似，则存在可逆矩阵，使得．
所以，
但是，，所以，所以，即．因此．这与相矛盾，因此矩阵不与对角矩阵相似．
八．（本题满分10分）
若二次型经正交变换后可变为标准形，求，．并求出该正交变换．
解：
的矩阵及标准形的矩阵分别为
,．
则有 ，即
由此得．而且矩阵的三个特征值分别为．
特征值对应的特征向量为
特征值对应的特征向量为
特征值对应的特征向量为
因此令,
因此所作的正交变换为
九．（本题满分10分）
已知三维线性空间的一组基底为
，，
求向量在上述基底下的坐标．
解：
设向量在基底下的坐标为，则有
,
写成线性方程组的形式，有
即
,
得唯一解，因此所求坐标为．
2002-2003学年第二学期线性代数（A）期末考试试卷答案一．填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）请将合适的答案填在每题的空中
1．已知是关于的一次多项式，该式中的系数为____________．
应填：．
2．已知矩阵，且的秩，则___________．
应填：．
3．已知线性方程组
有解，则___________．
应填：
4．设是阶矩阵，，是的伴随矩阵．若有特征值，则必有一个特征值是_________________．
应填：．
5．若二次型是正定二次型，则的取值范围是
______________．
应填：．
二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）
1．设
,,
,,
则必有【 】．
, ； , ； , ； ,．
应选：．
2．设是4阶矩阵，且的行列式，则中【 】．
,必有一列元素全为0；
,必有两列元素成比例；
,必有一列向量是其余列向量的线性组合；
,任意列向量是其余列向量的线性组合．
应选：．
3．设是矩阵，而且的行向量线性无关，则【 】．
,的列向量线性无关；
,线性方程组的增广矩阵的行向量线性无关；
,线性方程组的增广矩阵的任意四个列向量线性无关；
,线性方程组有唯一解．
应选：．
4．设矩阵是三阶方阵，是的二重特征值，则下面各向量组中：
⑴ ，，；
⑵ ，，；
⑶ ，，；
⑷ ，，；
肯定不属于的特征向量共有【 】．
,1组； ,2组； ,3组； ,4组．
应选：．
5．设是阶对称矩阵，是阶反对称矩阵，则下列矩阵中，可用正交变换化为对角矩阵的矩阵为【 】．
,； ,； ,； ,．
应选：,
三．（本题满分10分）
设阶矩阵和满足条件：．
⑴ 证明：是可逆矩阵，其中是阶单位．
⑵ 已知矩阵，求矩阵．
解：
⑴ 由等式，得，即
因此矩阵可逆，而且．
⑵ 由⑴知，，即
四．（本题满分10分）
当、为何值时，线性方程组
有唯一解，无解，有无穷多组解，并求出有无穷多组解时的通解．
解：
将方程组的增广矩阵用初等行变换化为阶梯矩阵：
所以，⑴ 当时，，此时线性方程组有唯一解．
⑵ 当，时，，，此时线性方程组无解．
⑶ 当，时，，此时线性方程组有无穷多组解．
此时，原线性方程组化为
因此，原线性方程组的通解为
或者写为
五．（本题满分10分）
设4阶矩阵，求．
解：
由于，
所以，
由于，所以
六．（本题满分10分）
已知，，求，，使得，，，线性无关．
解：
由于与的对应分量不成比例，所以与线性无关．
满足，，，线性无关的向量与有很多，例如我们可以取
，
由于，所以，，，线性无关．
七．（本题满分10分）
设是阶矩阵，如果存在正整数，使得（为阶零矩阵），则称是阶幂零矩阵．
⑴,如果是阶幂零矩阵，则矩阵的特征值全为．
⑵,如果是阶幂零矩阵，则矩阵不与对角矩阵相似．
解：
⑴,设是矩阵的特征值，是矩阵的属于的特征向量，则有
．
所以，,
但是，所以，但，所以．
⑵ 反证法：若矩阵与对角矩阵相似，则存在可逆矩阵，使得．
所以，
但是，，所以，所以，即．因此．这与相矛盾，因此矩阵不与对角矩阵相似．
八．（本题满分10分）
若二次型经正交变换后可变为标准形，求，．并求出该正交变换．
解：
的矩阵及标准形的矩阵分别为
,．
则有 ，即
由此得．而且矩阵的三个特征值分别为．
特征值对应的特征向量为
特征值对应的特征向量为
特征值对应的特征向量为
因此令,
因此所作的正交变换为
九．（本题满分10分）
已知三维线性空间的一组基底为
，，
求向量在上述基底下的坐标．
解：
设向量在基底下的坐标为，则有
,
写成线性方程组的形式，有
即
,
得唯一解，因此所求坐标为．
