北 方 交 通 大 学
2002-2003学年第二学期线性代数(B)期末考试试卷答案一.填空题(本题满分15分,共有5道小题,每道小题3分)请将合适的答案填在每题的空中
1.已知是关于的一次多项式,该式中的系数为____________.
应填:.
2.已知矩阵,且的秩,则___________.
应填:.
3.已知线性方程组

有解,则___________.
应填:
4.设是阶矩阵,,是的伴随矩阵.若有特征值,则必有一个特征值是_________________.
应填:.
5.若二次型是正定二次型,则的取值范围是
______________.
应填:.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内)
1.设
,,
,,
则必有【 】.
, ; , ; , ; ,.
应选:.
2.设是4阶矩阵,且的行列式,则中【 】.
,必有一列元素全为0;
,必有两列元素成比例;
,必有一列向量是其余列向量的线性组合;
,任意列向量是其余列向量的线性组合.
应选:.
3.设是矩阵,而且的行向量线性无关,则【 】.
,的列向量线性无关;
,线性方程组的增广矩阵的行向量线性无关;
,线性方程组的增广矩阵的任意四个列向量线性无关;
,线性方程组有唯一解.
应选:.
4.设矩阵是三阶方阵,是的二重特征值,则下面各向量组中:
⑴ ,,;
⑵ ,,;
⑶ ,,;
⑷ ,,;
肯定不属于的特征向量共有【 】.
,1组; ,2组; ,3组; ,4组.
应选:.
5.设是阶对称矩阵,是阶反对称矩阵,则下列矩阵中,可用正交变换化为对角矩阵的矩阵为【 】.
,; ,; ,; ,.
应选:,
三.(本题满分10分)
设阶矩阵和满足条件:.
⑴ 证明:是可逆矩阵,其中是阶单位.
⑵ 已知矩阵,求矩阵.
解:
⑴ 由等式,得,即

因此矩阵可逆,而且.
⑵ 由⑴知,,即



四.(本题满分10分)
当、为何值时,线性方程组

有唯一解,无解,有无穷多组解,并求出有无穷多组解时的通解.
解:
将方程组的增广矩阵用初等行变换化为阶梯矩阵:

所以,⑴ 当时,,此时线性方程组有唯一解.
⑵ 当,时,,,此时线性方程组无解.
⑶ 当,时,,此时线性方程组有无穷多组解.
此时,原线性方程组化为

因此,原线性方程组的通解为

或者写为

五.(本题满分10分)
设4阶矩阵,求.
解:
由于,
所以,

由于,所以

六.(本题满分10分)
已知,,求,,使得,,,线性无关.
解:
由于与的对应分量不成比例,所以与线性无关.
满足,,,线性无关的向量与有很多,例如我们可以取
,
由于,所以,,,线性无关.
七.(本题满分10分)
设是阶矩阵,如果存在正整数,使得(为阶零矩阵),则称是阶幂零矩阵.
⑴,如果是阶幂零矩阵,则矩阵的特征值全为.
⑵,如果是阶幂零矩阵,则矩阵不与对角矩阵相似.
解:
⑴,设是矩阵的特征值,是矩阵的属于的特征向量,则有
.
所以,,
但是,所以,但,所以.
⑵ 反证法:若矩阵与对角矩阵相似,则存在可逆矩阵,使得.
所以,
但是,,所以,所以,即.因此.这与相矛盾,因此矩阵不与对角矩阵相似.
八.(本题满分10分)
若二次型经正交变换后可变为标准形,求,.并求出该正交变换.
解:
的矩阵及标准形的矩阵分别为
,.
则有 ,即

由此得.而且矩阵的三个特征值分别为.
特征值对应的特征向量为
特征值对应的特征向量为
特征值对应的特征向量为
因此令,
因此所作的正交变换为

九.(本题满分10分)
设有5个向量
,,
,.
求此向量组中的一个极大线性无关组,并用它表示其余的向量.
解:
对由构成的矩阵,进行行变换


由此可以看出,向量组,或者,或者,或者都可以作为向量组的极大线性无关组.
不妨取向量组作为极大线性无关组,则有
,,.