2 0 0 3 年 度 研 究 生 入 学 考 试 系 列 参 考 资 料考研数学学习班组织委员会 第 1 页线性代数学习手记文登数学复习指南二李数学复习全书配套参考资料策 划Kj1234cn Yacyin大头林南天云顾 问陈文灯黄先开李永乐李正元范培华袁荫棠曹显宾施明存编 委Chenkebin Dandan Kj1234cn Nbspace Potato Sodme Yacyin Yyjjnn
指定站点www.kaoyan.com考研加油站考研论坛数学版下载站点ftp://shuxue:shuxue@61.129.81.16/
高数主编Chenkebin
第 一 章函数极限连续含初等数学主 编Yacyin Chenkebin Yyjjnn
第 二 章一元函数微分学主 编第 三 章一元函数积分学主 编第 四 章向量代数和空间解析几何主 编第 五 章多元函数微分学主 编第 六 章多元函数积分学主 编第 七 章无穷级数主 编第 八 章常微分方程含差分方程主 编线代主编Yacyin
第 一 章行列式主 编Yacyin
第 二 章矩阵主 编第 三 章向量主 编第 四 章线性方程组主 编第 五 章矩阵的特征值和特征向量主 编第 六 章二次型主 编概统主编Dandan
第 一 章随机事件和概率主 编第 二 章随机变量及其概率分布主 编第 三 章二维随机变量及其概率分布主 编第 四 章随机变量的数字特征主 编第 五 章大数定律和中心极限定理主 编第 六 章数理统计的基本概念主 编第 七 章参数估计主 编第 八 章假设检验主 编
2 0 0 3 年 度 研 究 生 入 学 考 试 系 列 参 考 资 料考研数学学习班组织委员会 第 2 页第章符号说明
n
D n阶行列式
(),ij元素矩阵或行列式中位于第i行第
j列处的元素
A矩阵
T
A矩阵A的转置矩阵
A方阵A的行列式
*
A方阵A的伴随矩阵
()RA秩()A矩阵A的秩
Ο零矩阵
0零向量
E或I
n
E或
n
I单位矩阵n阶单位矩阵
α χ向量
(),αβ向量α与β的内积
A向量α的长度
A非齐次线性方程组Ax b=的增广矩阵即
[]
AAb=
PQ?其中P Q是条件或命题P蕴含Q或P是Q成立的充分条件或Q是P成立的必要条件
PQ? P成立当且仅当Q成立或P是Q的充要条件或P与Q等价线 性 代 数 学 习 手 记考研数学学习班组织委员会 第 3 页第一章行列式一考试内容及要求考试内容
行列式的概念和基本性质行列式按行列展开定理考试要求
1了解行列式的概念掌握行列式的性质
2会应用行列式的性质和行列式按行列展开定理计算行列式二考试内容提要行列式的性质
1行列式转置的性质行列式转置即行列互换其值不变故关于行成立的性质对列也成立
2与一行有关的性质行列式中一行元素全为零则行列式为零行列式中某行元素有公因子k 0k ≠则k可提到行列式外即
11 12 1 11 12 1
12 12
12 12
nn
ii in ii in
n n nn n n nn
aa a aa a
ka ka ka k a a a
aa a aa a
=
nullnull
nullnullnullnull nullnullnullnull
nullnull
nullnullnullnull nullnullnullnull
nullnull
行列式中某行元素均是两数之和则可拆开成两个行列式即
11 12 1 11 12 1 11 12 1
11 2 2 1 2 1 2
12 12 12
n
i i i i in in i i in i i in
n n nn n n nn n n nn
aa aaaabbb
abab ab a a a bb b
aa aaaabbb
++ += +
nullnullnull
nullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull
nullnullnull
nullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull
nullnullnull
3与两行有关的性质两行互换行列式反号两行相等或成比例行列式为零某行元素乘以数c后加到另一行的相应元素其值不变行列式的展开定理
行列式的任何一行列元素与其代数余子式乘积之和等于该行列式的值行列式任何一行列的元素与另外一行列的代数余子式的乘积之和为零即
1
,
1,2,,
0,
n
ij kj
j
Ai k
aA i n
ik
=
=
==
≠
∑
null
1
,
1,2,,
0,
n
ij ik
i
Aj k
aA j n
jk
=
=
==
≠
∑
null
行列式的计算方法利用性质将行列式化为某行或列只有一个非零元素然后按该行或该列展开得到一个低阶行列式称谓降阶法逐步降价直至完成计算考 研 数 学 学 习 手 记 系 列第 4 页 考研数学学习班组织委员会利用性质将行列式化为上或下三角形行列式递推公式法数学归纳法若A B是n阶方阵则AB A B=
设A是m阶方阵B是n阶方阵则
0*
*0
AA
AB
BB
==
()
0*
1
*0
mn
AA
AB
BB
×
==?
利用已知的行列式的值例如范德蒙行列式的值
实际考试中行列式的阶数一般以3n=为多偶尔也有4n=的情况即以3,4阶行列式的计算为主且其主要出现于矩阵的可逆性向量组的相关性二次型的正定性等的判定及线性方程组矩阵特征值的求解中若出现n阶行列式的计算机会相对较少一定要先观察分析行列式的特点结合行列式的性质选择适当的方法处理三典型例题分析
由于本章行列式的计算技巧型比较强故含一定技巧的计算方法均放在第四节进行详细叙述本节仅讨论行列式的一般计算方法例1计算行列式
11 1 1
12 3 4
13 6 10
1 4 10 20
解原式
43 43
32
1111 1111
0123 0123
1
0013 0013
0014 0001
rr rr
rr
→→=
提示杨辉三角形例2计算行列式
abb b
bab b
bba b
bbb a
null
null
null
nullnullnullnullnull
null
解原式()
()
111 1
1
bab b
an bbba b
bbb a
+?
null
null
null
nullnullnullnullnull
null
1
2,3,,
k
rbr
kn
=
→
null
()()
11 1 1
000
1 00 0
00 0
ab
an b ab
ab
+
null
null
null
nullnull nullnullnull
null
线 性 代 数 学 习 手 记考研数学学习班组织委员会 第 5 页
()
()()
1
1
n
an bab
+
提示求和提出公因子展开对角行列式计算例3选择题下列行列式中哪一个不等于零
A
1001
1100
0110
0011
B
100 1
110 0
011 0
001 1
C
10 0 1
11 0 0
01 1 0
00 1 1
D
100 1
11 0 0
0110
00 11
解
11
22
33
44
00
00
00
00
ab
ba
ba
ba
222
13 3 1 3 3
44 4
00 0
00
000
aba
ab a b b a
ba b
1234 1234
aaaa bbbb?
很明显选B
例4设,,αβγ是方程
3
0xpxq++=的根计算行列式
αβγ
γαβ
βγα
的值解,,αβγ是方程
3
0xpxq++=的根故有
()()()
3
xpxqx x xαβγ++=
32
()( ) 0xx xαβγ αββγγα αβγ=?++ + ++? =
0αβγ++=
原式=
αβγβγ
αβγαβ
αβγγα
++
++
++
0
0
0
βγ
αβ
γα
0
四典型问题典型方法典型错误
1特殊行列式
对于一些特殊的行列式如对角行列式次对角行列式三角行列式等可利用定义求出他们的值如下所示考 研 数 学 学 习 手 记 系 列第 6 页 考研数学学习班组织委员会
111
222
12 n
000 000
0000 00
00 0 00 0
000 000
nnn
λλλ
λλ λ
λλλ
==
null
nullnullnull
对角行列式 上三角行列式 下三角行列式
()
()
111
1
222
2
12 n
000 000
00 0 0 00
000 000
000 000
nn
nnn
λλλ
λλ λ
λλλ
==
null
nullnullnull
-1
次对角行列式 次上三角行列式 次下三角行列式箭形行列式
形状诸如null null null null的行列式均可称为箭形行列式它们均可采用类似的方法化为某种三角行列式例计算行列式
111 1
120 0
103 0
100
n
D
n
=
null
null
null
nullnullnullnullnull
null
解原式
1
2
1
2,3,,
1
1111
020 0
003 0
000
j
n
j
cc
j
jn
j
n
=
=
→
∑
null
null
null
null
nullnullnullnullnull
null
2
1
!1
n
j
n
j
=
=?
∑
可化为箭形的行列式例计算行列式
123
123
123
123
n
n
nn
n
xaa a
axa a
Daax a
aaa x
=
null
null
null
nullnullnullnullnull
null
ii
xa≠ 1,2,,in= null
解原式
1
123
1122
11 3 32,3,,
11
00
00
00
i
n
rr
in
nn
xaa a
axxa
ax xa
ax xa
=
→
null
null
null
null
nullnullnullnullnull
null
线 性 代 数 学 习 手 记考研数学学习班组织委员会 第 7 页
()
312
11 2 2 3 3
1
11 0 0
10 1 0
10 0 1
n
nn
n
ii
i
aaxa
axxa xa xa
xa
=
∏
null
null
null
nullnullnullnullnull
null
()
1
32
1
22 33
2,3,,
1
1
010 0
001
000 1
j
n
kn
k
kk nn
n
cc
iijn
i
aaaa
xa xa xa xa
xa
=
+
=
=
+
→?
∑
∏
null
null
null
null
nullnullnullnullnull
null
()
1 1
1
nn
k
ii
k i
kk
a
xa
xa
= =
+?
∑ ∏
行列和相等的行列式例计算行列式
n
xa a
ax a
D
aa x
=
null
null
nullnullnullnull
null
解原式
()
()
()
1
2,3,,
1
1
1
j
cc
jn
xn aa a
xn ax a
xn aa x
+
=
+?
+?
→
+?
null
null
null
nullnullnullnull
null
()
1
1
1
1
aa
xa
xn a
ax
+
null
null
nullnullnullnull
null
()
1
2,3,,
1
00
1
00
i
rr
in
aa
xa
xn a
xa
=
→+
null
null
null
nullnullnullnull
null
()()
1
1
n
xn axa
+
2降阶法
降阶法主要是利用按行或列展开使高阶行列式计算转化为低阶行列式计算考 研 数 学 学 习 手 记 系 列第 8 页 考研数学学习班组织委员会例计算行列式
5
11231
31122
23 110
12301
22 1 10
D
=
解原式
53
11 2 31
31122
23 1 10
12 3 01
05 0 00
rr+
→
12 31
3122
5
2110
13 01
按
5
r展开
14
24
2
0130
1720
5
2110
13 01
rr
rr
→?
013
51 7 2
211
按
4
c展开
170?
3升阶法
升阶法亦称加边法或镶边法是在原行列式的基础上增加一行一列即升一阶且保持原行列式值不变的情况下计算行列式的一种方法可利用升阶法计算的行列式一般应满足各行列含有共同元素的特点且化简后常变成箭形行列式例计算行列式
11 1
122
12
n
n
n
nn
ab a a
aab a
D
aa ab
+
+
=
+
null
null
nullnullnullnull
null
12
0
n
bb b ≠null
解原式
12
11 2
122
12
1
0
0
0
n
n
n
nn
aa a
ab a a
aab a
aa ab
+
+
+
null
null
null
nullnull nullnullnull
null
线 性 代 数 学 习 手 记考研数学学习班组织委员会 第 9 页
1
12
1
22,3,,1
1
10 0
10 0
10 0
i
n
rr
in
n
aa a
b
b
b
=+
→?
null
null
null
null
nullnullnullnullnull
null
箭形行列式
11
12
1
1
1
1,2,,
2
1
000
00 0
000
j
j
n
j
n
j
j
cc
b
jn
n
a
aa a
b
b
b
b
+
=
+
=
+
→
∑
null
null
null
null
nullnullnullnullnull
null
12
1
1
n
j
n
j
j
a
bb b
b
=
+
∑
null
4递推法
对于n阶行列式
n
D若能找出
n
D与
1n
D
或
n
D与
1n
D
2n
D
之间的一种关系称为递推公式其中
n
D
1n
D
2n
D
等结构相同然后再由此公式求出
n
D这种计算行列式的方法称为递推法例计算行列式
00
10
01 0
000
n
ab ab
ab ab
D ab
ab
+
+
= +
+
null
null
null
nullnullnullnullnull
null
三对角行列式解原式()
12nnn
D a b D abD
=+?按第一行展开
1
Dab=+
22
2
D a ab b=++
由以上关系式可得
()()
2
112 21
nn
nn n n
DaD bD aD b DaD b
=? ==?=null
21
12
nnn
nn n
D aD b a D ab b
=+= ++=null
122 1
1
nn nn
a D a b ab b
=++++null
11nn n n
aab ab b
=+ ++ +null
考 研 数 学 学 习 手 记 系 列第 10 页 考研数学学习班组织委员会
()
11
1,
,
n
nn
naab
ab
ab
ab
++
+=
=
≠
解二由递推公式可得
1
1
n
nn
n
nn
DaD b
DbD a
=
=
解此方程组可得
11
11
nn
nn n n
n
ab
D a a b ab b
ab
++
==++++
null
解三导出
12nn n
DD Dαβ
=?后可将转化为()
112nn n n
DpD qD pD
=?进行递推得
()
2
121
(,,)
n
nn
DpD q DpD fnpq
==?=null
其中p q为一元二次方程
2
0xxαβ=的两个根然后再利用
1
(,,)
nn
DpD fnpq
=+依次递推求出Dn
5数学归纳法
数学归纳法多用于证明题偶尔也可用数学归纳法计算某些n阶行列式但这时需要对同结构的低阶行列式进行计算从中发现规律得出一般性结论然后再用归纳法证明其正确性因为数学归纳法在证明1nk=+时需用到nk=或nk≤的结论因而与递推法有着密切的联系例证明行列式
1
121
10 0
01
00 1
n
ni
ni
i
nn
x
x
Dax
x
aa aa
=
==
∑
null
null
nullnullnullnullnull
null
null
证明当2n=时
212
21
1x
Daxa
aa
==+即命题成立
假设nk=时结论成立即
1
k
ki
ki
i
Dax
=
=
∑
当1nk=+时
11 1
1
k
ki
kkk i k
i
DxDaxax a
++ +
=
=+= +
∑
1
11
1
kk
ki ki
iki
ii
ax a ax
+
+? +?
+
==
=+=
∑∑
故1nk=+时结论亦成立命题得证
6利用范德蒙行列式的结果计算
n阶范德蒙Vandermonde行列式的形式和结果为线 性 代 数 学 习 手 记考研数学学习班组织委员会 第 11 页
()
12
1
11 1
12
11 1
n
ij
jin
nn n
n
xx x
xx
xx x
≤≤
=?
∏
null
null
nullnullnullnull
null
例计算行列式
1234
4
1234
1234
1111
cos cos cos cos
cos2 cos2 cos2 cos2
cos3 cos3 cos3 cos3
D
αααα
αααα
αααα
=
解根据倍角公式可查阅高等数学学习手记中的相关内容有
22 2 2
cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sinaa a aα =? =?=?
3
cos3 4cos 3cosθθθ=?
原式
1234
22 2 2
33 3
11 2 2 33 4 4
1111
cos cos cos cos
2cos 1 2cos 1 2cos 1 2cos 1
4cos 3cos 4cos 3cos 4cos 3cos 4cos 3cos
αααα
αα αα αα αα
31
42
1234
22 223
1234
33 33
1234
1111
cos cos cos cos
8
cos cos cos cos
cos cos cos cos
rr
rr
αααα
αααα
αααα
+
+
→
()
14
8 cos cos
ij
ji
aa
≤≤
∏
7代数余子式的计算
设n阶行列式
nij
Da=则有
1
,
1,2,,
0,
n
ij kj
j
Ai k
aA i n
ik
=
=
==
≠
∑
null
1
,
1,2,,
0,
n
ij ik
i
Aj k
aA j n
jk
=
=
==
≠
∑
null
例已知5阶行列式
5
12345
22211
2731245
11122
43150
D ==求
41 42 43
AAA++和
44 45
AA+其中
4 j
A j
1,2,3,4,5为
5
D的第4行第j个元素的代数余子式解由已知条件有考 研 数 学 学 习 手 记 系 列第 12 页 考研数学学习班组织委员会
()
()
41 42 43 44 45
41 42 43 44 45
227
20
AAA AA
AAA AA
+++ + =?
++ ++=
由这个方程组可解得
41 42 43
9AAA++=?和
44 45
18AA+=
五本章习题参考答案待补充六本章公式表范德蒙行列式
()
12
1
11 1
12
11 1
n
ij
jin
nn n
n
xx x
xx
xx x
≤≤
=?
∏
null
null
nullnullnullnull
null
拉普拉斯展开式
AO
AB
CB
= ()1
mn
OA
AB
BC
=?
代数余子式的性质
11 12 1
21 22 2
12
n
n
nn n
aa a
aa a
A
aa a
=
null
null
nullnullnullnull
null
ij
a的余子式
ij ij
M a=
null
null
nullnull nullnull
null
null
ij
a的代数余子式()1
ij
ij ij
AM
+
=?
ij
A和
ij
a的大小无关
11 2 2ii ii inin
aA aA aA A+++=null
()
11 2 2
0
i j i j in jn
aA aA aA i j+++=≠null
克莱姆法则
如果线性方程组Ax B=的系数矩阵A为n阶可逆方阵即A为方阵且0A ≠则方程组有唯一解
12
12
,,,
n
n
AA A
xx x
AA A
== =null
其中
j
A是将A的第j列换成列向量B后所构成的n阶行列式与行列式有关的几个重要结论
设A为n阶方阵则下列命题相互等价线 性 代 数 学 习 手 记考研数学学习班组织委员会 第 13 页
0A ≠ A为非奇异方阵
A为可逆方阵秩()A ()RA n A为满秩方阵齐次线性方程组0Ax=只有零解对任何n维列向量B方程Ax B=有解
A行等价于单位阵E A经有限次初等行变换可化成E
A的行列向量组线性无关七本章勘误表待补充八精华帖子目录待补充九疑难问题解答待补充十本章习题
1方程()
2133
22212323
0
32323535
4435747
xxxx
xxxx
fx
xxxx
xx x x
==
根的个数为
A 4 B 3 C 2 D 1
2已知
103
124
159
A =?则
12 22 32
____AAA?+=
31 32 33
____AAA?+=
3已知
30 40
22 22
0 700
53 22
D =
则第四行元素余子式之和的值为____
41 42 43 44
____AAAA+++=
考 研 数 学 学 习 手 记 系 列第 14 页 考研数学学习班组织委员会
4已知
010 0
1
00 0
2
1
000
1
1
00 0
A
n
n
=
null
null
nullnullnullnull null
null
null
则
,
____
ij
ij
A =
∑
5计算行列式
12
12
12
12
00
00
____
00
00
aa
bb
cc
dd
=
1234
00
____
00
00
axa aa
xx
xx
xx
+
=
11
22
33
44
00
____
00
00
ab
ab
ba
ba
=
11111
12000
____10300
10040
10005
=
1
2
1
10 0
01 0
____
000
00 1
n
n
a
a
a
a
=
null
null
nullnullnullnullnull
null
null
6计算行列式
,AB均为n阶矩阵且2A = 3B =?则
*
2 ____
T
AB =
线 性 代 数 学 习 手 记考研数学学习班组织委员会 第 15 页
1* * 1
____AB AB
=
若
123
,,ααα是3维线性无关列向量A是3阶矩阵且
112
Aααα=+
223
Aααα=+
331
Aααα=+则____A =
,AB均4阶矩阵A与B相似A的特征值2 3 4 5则____BE?=
7求λ的值
32 2
10
42 3
kk
λ
λ
λ
+?=
+
311
15 1 0
113
λ
λ
λ
=
34 0
2200
15 1
λ
λ
λ
=
+
8
2
AA= AE≠证明0A =
本章习题答案
1 C
2 0 3
3 -28 0
4
()
()1 1
1
2!
n
nn
n
+
+
5
()()
12 21 1 2 2 1
ac ac bd bd
()
3
1234
xxa a a a++++
()()
14 14 23 23
aa bb aa bb
1111
1 2345
2345
×××
()
1
12
11
n
n
aa a
+
+ null
6
1
2
n
n
AB
()
11
5
n
AB
2 24
7
12,3
1,1λλ==?
123
2,3,6λλλ===
12 3
533 53
1,,
22
λλ λ
+?
=? = =
8提示反证法齐次方程组解的性质秩考 研 数 学 学 习 手 记 系 列第 16 页 考研数学学习班组织委员会参考资料
1教育部全国研究生入学统一考试数学考试大纲高等教育出版社2002年版
2教育部考试中心全国研究生入学考试数学考试分析高等教育出版社2002年版
3陈文灯黄先开数学复习指南世界图书出版公司2003年3月版
4李正元李永乐袁荫棠数学复习全书国家行政学院出版社2003年3月版
5朱有清贺才兴高等数学复习十五讲上海交通大学出版社1985年11月版
6同济大学数学教研室高等数学高等教育出版社第四版
7同济大学数学教研室线性代数高等教育出版社第三版
8居于马胡金德等线性代数清华大学出版社1995年1月版
9浙江大学盛骤谢式千潘承毅概率论与数理统计高等教育出版社第二版
10李永乐强化班数学讲义领航培训中心2001年版
11徐 仲线性代数典型题分析解集西北工业大学出版社1998年6月版
12葛严麟考研数学常考知识点中国人民大学出版社2001年3月版
指定站点www.kaoyan.com考研加油站考研论坛数学版下载站点ftp://shuxue:shuxue@61.129.81.16/
高数主编Chenkebin
第 一 章函数极限连续含初等数学主 编Yacyin Chenkebin Yyjjnn
第 二 章一元函数微分学主 编第 三 章一元函数积分学主 编第 四 章向量代数和空间解析几何主 编第 五 章多元函数微分学主 编第 六 章多元函数积分学主 编第 七 章无穷级数主 编第 八 章常微分方程含差分方程主 编线代主编Yacyin
第 一 章行列式主 编Yacyin
第 二 章矩阵主 编第 三 章向量主 编第 四 章线性方程组主 编第 五 章矩阵的特征值和特征向量主 编第 六 章二次型主 编概统主编Dandan
第 一 章随机事件和概率主 编第 二 章随机变量及其概率分布主 编第 三 章二维随机变量及其概率分布主 编第 四 章随机变量的数字特征主 编第 五 章大数定律和中心极限定理主 编第 六 章数理统计的基本概念主 编第 七 章参数估计主 编第 八 章假设检验主 编
2 0 0 3 年 度 研 究 生 入 学 考 试 系 列 参 考 资 料考研数学学习班组织委员会 第 2 页第章符号说明
n
D n阶行列式
(),ij元素矩阵或行列式中位于第i行第
j列处的元素
A矩阵
T
A矩阵A的转置矩阵
A方阵A的行列式
*
A方阵A的伴随矩阵
()RA秩()A矩阵A的秩
Ο零矩阵
0零向量
E或I
n
E或
n
I单位矩阵n阶单位矩阵
α χ向量
(),αβ向量α与β的内积
A向量α的长度
A非齐次线性方程组Ax b=的增广矩阵即
[]
AAb=
PQ?其中P Q是条件或命题P蕴含Q或P是Q成立的充分条件或Q是P成立的必要条件
PQ? P成立当且仅当Q成立或P是Q的充要条件或P与Q等价线 性 代 数 学 习 手 记考研数学学习班组织委员会 第 3 页第一章行列式一考试内容及要求考试内容
行列式的概念和基本性质行列式按行列展开定理考试要求
1了解行列式的概念掌握行列式的性质
2会应用行列式的性质和行列式按行列展开定理计算行列式二考试内容提要行列式的性质
1行列式转置的性质行列式转置即行列互换其值不变故关于行成立的性质对列也成立
2与一行有关的性质行列式中一行元素全为零则行列式为零行列式中某行元素有公因子k 0k ≠则k可提到行列式外即
11 12 1 11 12 1
12 12
12 12
nn
ii in ii in
n n nn n n nn
aa a aa a
ka ka ka k a a a
aa a aa a
=
nullnull
nullnullnullnull nullnullnullnull
nullnull
nullnullnullnull nullnullnullnull
nullnull
行列式中某行元素均是两数之和则可拆开成两个行列式即
11 12 1 11 12 1 11 12 1
11 2 2 1 2 1 2
12 12 12
n
i i i i in in i i in i i in
n n nn n n nn n n nn
aa aaaabbb
abab ab a a a bb b
aa aaaabbb
++ += +
nullnullnull
nullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull
nullnullnull
nullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull
nullnullnull
3与两行有关的性质两行互换行列式反号两行相等或成比例行列式为零某行元素乘以数c后加到另一行的相应元素其值不变行列式的展开定理
行列式的任何一行列元素与其代数余子式乘积之和等于该行列式的值行列式任何一行列的元素与另外一行列的代数余子式的乘积之和为零即
1
,
1,2,,
0,
n
ij kj
j
Ai k
aA i n
ik
=
=
==
≠
∑
null
1
,
1,2,,
0,
n
ij ik
i
Aj k
aA j n
jk
=
=
==
≠
∑
null
行列式的计算方法利用性质将行列式化为某行或列只有一个非零元素然后按该行或该列展开得到一个低阶行列式称谓降阶法逐步降价直至完成计算考 研 数 学 学 习 手 记 系 列第 4 页 考研数学学习班组织委员会利用性质将行列式化为上或下三角形行列式递推公式法数学归纳法若A B是n阶方阵则AB A B=
设A是m阶方阵B是n阶方阵则
0*
*0
AA
AB
BB
==
()
0*
1
*0
mn
AA
AB
BB
×
==?
利用已知的行列式的值例如范德蒙行列式的值
实际考试中行列式的阶数一般以3n=为多偶尔也有4n=的情况即以3,4阶行列式的计算为主且其主要出现于矩阵的可逆性向量组的相关性二次型的正定性等的判定及线性方程组矩阵特征值的求解中若出现n阶行列式的计算机会相对较少一定要先观察分析行列式的特点结合行列式的性质选择适当的方法处理三典型例题分析
由于本章行列式的计算技巧型比较强故含一定技巧的计算方法均放在第四节进行详细叙述本节仅讨论行列式的一般计算方法例1计算行列式
11 1 1
12 3 4
13 6 10
1 4 10 20
解原式
43 43
32
1111 1111
0123 0123
1
0013 0013
0014 0001
rr rr
rr
→→=
提示杨辉三角形例2计算行列式
abb b
bab b
bba b
bbb a
null
null
null
nullnullnullnullnull
null
解原式()
()
111 1
1
bab b
an bbba b
bbb a
+?
null
null
null
nullnullnullnullnull
null
1
2,3,,
k
rbr
kn
=
→
null
()()
11 1 1
000
1 00 0
00 0
ab
an b ab
ab
+
null
null
null
nullnull nullnullnull
null
线 性 代 数 学 习 手 记考研数学学习班组织委员会 第 5 页
()
()()
1
1
n
an bab
+
提示求和提出公因子展开对角行列式计算例3选择题下列行列式中哪一个不等于零
A
1001
1100
0110
0011
B
100 1
110 0
011 0
001 1
C
10 0 1
11 0 0
01 1 0
00 1 1
D
100 1
11 0 0
0110
00 11
解
11
22
33
44
00
00
00
00
ab
ba
ba
ba
222
13 3 1 3 3
44 4
00 0
00
000
aba
ab a b b a
ba b
1234 1234
aaaa bbbb?
很明显选B
例4设,,αβγ是方程
3
0xpxq++=的根计算行列式
αβγ
γαβ
βγα
的值解,,αβγ是方程
3
0xpxq++=的根故有
()()()
3
xpxqx x xαβγ++=
32
()( ) 0xx xαβγ αββγγα αβγ=?++ + ++? =
0αβγ++=
原式=
αβγβγ
αβγαβ
αβγγα
++
++
++
0
0
0
βγ
αβ
γα
0
四典型问题典型方法典型错误
1特殊行列式
对于一些特殊的行列式如对角行列式次对角行列式三角行列式等可利用定义求出他们的值如下所示考 研 数 学 学 习 手 记 系 列第 6 页 考研数学学习班组织委员会
111
222
12 n
000 000
0000 00
00 0 00 0
000 000
nnn
λλλ
λλ λ
λλλ
==
null
nullnullnull
对角行列式 上三角行列式 下三角行列式
()
()
111
1
222
2
12 n
000 000
00 0 0 00
000 000
000 000
nn
nnn
λλλ
λλ λ
λλλ
==
null
nullnullnull
-1
次对角行列式 次上三角行列式 次下三角行列式箭形行列式
形状诸如null null null null的行列式均可称为箭形行列式它们均可采用类似的方法化为某种三角行列式例计算行列式
111 1
120 0
103 0
100
n
D
n
=
null
null
null
nullnullnullnullnull
null
解原式
1
2
1
2,3,,
1
1111
020 0
003 0
000
j
n
j
cc
j
jn
j
n
=
=
→
∑
null
null
null
null
nullnullnullnullnull
null
2
1
!1
n
j
n
j
=
=?
∑
可化为箭形的行列式例计算行列式
123
123
123
123
n
n
nn
n
xaa a
axa a
Daax a
aaa x
=
null
null
null
nullnullnullnullnull
null
ii
xa≠ 1,2,,in= null
解原式
1
123
1122
11 3 32,3,,
11
00
00
00
i
n
rr
in
nn
xaa a
axxa
ax xa
ax xa
=
→
null
null
null
null
nullnullnullnullnull
null
线 性 代 数 学 习 手 记考研数学学习班组织委员会 第 7 页
()
312
11 2 2 3 3
1
11 0 0
10 1 0
10 0 1
n
nn
n
ii
i
aaxa
axxa xa xa
xa
=
∏
null
null
null
nullnullnullnullnull
null
()
1
32
1
22 33
2,3,,
1
1
010 0
001
000 1
j
n
kn
k
kk nn
n
cc
iijn
i
aaaa
xa xa xa xa
xa
=
+
=
=
+
→?
∑
∏
null
null
null
null
nullnullnullnullnull
null
()
1 1
1
nn
k
ii
k i
kk
a
xa
xa
= =
+?
∑ ∏
行列和相等的行列式例计算行列式
n
xa a
ax a
D
aa x
=
null
null
nullnullnullnull
null
解原式
()
()
()
1
2,3,,
1
1
1
j
cc
jn
xn aa a
xn ax a
xn aa x
+
=
+?
+?
→
+?
null
null
null
nullnullnullnull
null
()
1
1
1
1
aa
xa
xn a
ax
+
null
null
nullnullnullnull
null
()
1
2,3,,
1
00
1
00
i
rr
in
aa
xa
xn a
xa
=
→+
null
null
null
nullnullnullnull
null
()()
1
1
n
xn axa
+
2降阶法
降阶法主要是利用按行或列展开使高阶行列式计算转化为低阶行列式计算考 研 数 学 学 习 手 记 系 列第 8 页 考研数学学习班组织委员会例计算行列式
5
11231
31122
23 110
12301
22 1 10
D
=
解原式
53
11 2 31
31122
23 1 10
12 3 01
05 0 00
rr+
→
12 31
3122
5
2110
13 01
按
5
r展开
14
24
2
0130
1720
5
2110
13 01
rr
rr
→?
013
51 7 2
211
按
4
c展开
170?
3升阶法
升阶法亦称加边法或镶边法是在原行列式的基础上增加一行一列即升一阶且保持原行列式值不变的情况下计算行列式的一种方法可利用升阶法计算的行列式一般应满足各行列含有共同元素的特点且化简后常变成箭形行列式例计算行列式
11 1
122
12
n
n
n
nn
ab a a
aab a
D
aa ab
+
+
=
+
null
null
nullnullnullnull
null
12
0
n
bb b ≠null
解原式
12
11 2
122
12
1
0
0
0
n
n
n
nn
aa a
ab a a
aab a
aa ab
+
+
+
null
null
null
nullnull nullnullnull
null
线 性 代 数 学 习 手 记考研数学学习班组织委员会 第 9 页
1
12
1
22,3,,1
1
10 0
10 0
10 0
i
n
rr
in
n
aa a
b
b
b
=+
→?
null
null
null
null
nullnullnullnullnull
null
箭形行列式
11
12
1
1
1
1,2,,
2
1
000
00 0
000
j
j
n
j
n
j
j
cc
b
jn
n
a
aa a
b
b
b
b
+
=
+
=
+
→
∑
null
null
null
null
nullnullnullnullnull
null
12
1
1
n
j
n
j
j
a
bb b
b
=
+
∑
null
4递推法
对于n阶行列式
n
D若能找出
n
D与
1n
D
或
n
D与
1n
D
2n
D
之间的一种关系称为递推公式其中
n
D
1n
D
2n
D
等结构相同然后再由此公式求出
n
D这种计算行列式的方法称为递推法例计算行列式
00
10
01 0
000
n
ab ab
ab ab
D ab
ab
+
+
= +
+
null
null
null
nullnullnullnullnull
null
三对角行列式解原式()
12nnn
D a b D abD
=+?按第一行展开
1
Dab=+
22
2
D a ab b=++
由以上关系式可得
()()
2
112 21
nn
nn n n
DaD bD aD b DaD b
=? ==?=null
21
12
nnn
nn n
D aD b a D ab b
=+= ++=null
122 1
1
nn nn
a D a b ab b
=++++null
11nn n n
aab ab b
=+ ++ +null
考 研 数 学 学 习 手 记 系 列第 10 页 考研数学学习班组织委员会
()
11
1,
,
n
nn
naab
ab
ab
ab
++
+=
=
≠
解二由递推公式可得
1
1
n
nn
n
nn
DaD b
DbD a
=
=
解此方程组可得
11
11
nn
nn n n
n
ab
D a a b ab b
ab
++
==++++
null
解三导出
12nn n
DD Dαβ
=?后可将转化为()
112nn n n
DpD qD pD
=?进行递推得
()
2
121
(,,)
n
nn
DpD q DpD fnpq
==?=null
其中p q为一元二次方程
2
0xxαβ=的两个根然后再利用
1
(,,)
nn
DpD fnpq
=+依次递推求出Dn
5数学归纳法
数学归纳法多用于证明题偶尔也可用数学归纳法计算某些n阶行列式但这时需要对同结构的低阶行列式进行计算从中发现规律得出一般性结论然后再用归纳法证明其正确性因为数学归纳法在证明1nk=+时需用到nk=或nk≤的结论因而与递推法有着密切的联系例证明行列式
1
121
10 0
01
00 1
n
ni
ni
i
nn
x
x
Dax
x
aa aa
=
==
∑
null
null
nullnullnullnullnull
null
null
证明当2n=时
212
21
1x
Daxa
aa
==+即命题成立
假设nk=时结论成立即
1
k
ki
ki
i
Dax
=
=
∑
当1nk=+时
11 1
1
k
ki
kkk i k
i
DxDaxax a
++ +
=
=+= +
∑
1
11
1
kk
ki ki
iki
ii
ax a ax
+
+? +?
+
==
=+=
∑∑
故1nk=+时结论亦成立命题得证
6利用范德蒙行列式的结果计算
n阶范德蒙Vandermonde行列式的形式和结果为线 性 代 数 学 习 手 记考研数学学习班组织委员会 第 11 页
()
12
1
11 1
12
11 1
n
ij
jin
nn n
n
xx x
xx
xx x
≤≤
=?
∏
null
null
nullnullnullnull
null
例计算行列式
1234
4
1234
1234
1111
cos cos cos cos
cos2 cos2 cos2 cos2
cos3 cos3 cos3 cos3
D
αααα
αααα
αααα
=
解根据倍角公式可查阅高等数学学习手记中的相关内容有
22 2 2
cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sinaa a aα =? =?=?
3
cos3 4cos 3cosθθθ=?
原式
1234
22 2 2
33 3
11 2 2 33 4 4
1111
cos cos cos cos
2cos 1 2cos 1 2cos 1 2cos 1
4cos 3cos 4cos 3cos 4cos 3cos 4cos 3cos
αααα
αα αα αα αα
31
42
1234
22 223
1234
33 33
1234
1111
cos cos cos cos
8
cos cos cos cos
cos cos cos cos
rr
rr
αααα
αααα
αααα
+
+
→
()
14
8 cos cos
ij
ji
aa
≤≤
∏
7代数余子式的计算
设n阶行列式
nij
Da=则有
1
,
1,2,,
0,
n
ij kj
j
Ai k
aA i n
ik
=
=
==
≠
∑
null
1
,
1,2,,
0,
n
ij ik
i
Aj k
aA j n
jk
=
=
==
≠
∑
null
例已知5阶行列式
5
12345
22211
2731245
11122
43150
D ==求
41 42 43
AAA++和
44 45
AA+其中
4 j
A j
1,2,3,4,5为
5
D的第4行第j个元素的代数余子式解由已知条件有考 研 数 学 学 习 手 记 系 列第 12 页 考研数学学习班组织委员会
()
()
41 42 43 44 45
41 42 43 44 45
227
20
AAA AA
AAA AA
+++ + =?
++ ++=
由这个方程组可解得
41 42 43
9AAA++=?和
44 45
18AA+=
五本章习题参考答案待补充六本章公式表范德蒙行列式
()
12
1
11 1
12
11 1
n
ij
jin
nn n
n
xx x
xx
xx x
≤≤
=?
∏
null
null
nullnullnullnull
null
拉普拉斯展开式
AO
AB
CB
= ()1
mn
OA
AB
BC
=?
代数余子式的性质
11 12 1
21 22 2
12
n
n
nn n
aa a
aa a
A
aa a
=
null
null
nullnullnullnull
null
ij
a的余子式
ij ij
M a=
null
null
nullnull nullnull
null
null
ij
a的代数余子式()1
ij
ij ij
AM
+
=?
ij
A和
ij
a的大小无关
11 2 2ii ii inin
aA aA aA A+++=null
()
11 2 2
0
i j i j in jn
aA aA aA i j+++=≠null
克莱姆法则
如果线性方程组Ax B=的系数矩阵A为n阶可逆方阵即A为方阵且0A ≠则方程组有唯一解
12
12
,,,
n
n
AA A
xx x
AA A
== =null
其中
j
A是将A的第j列换成列向量B后所构成的n阶行列式与行列式有关的几个重要结论
设A为n阶方阵则下列命题相互等价线 性 代 数 学 习 手 记考研数学学习班组织委员会 第 13 页
0A ≠ A为非奇异方阵
A为可逆方阵秩()A ()RA n A为满秩方阵齐次线性方程组0Ax=只有零解对任何n维列向量B方程Ax B=有解
A行等价于单位阵E A经有限次初等行变换可化成E
A的行列向量组线性无关七本章勘误表待补充八精华帖子目录待补充九疑难问题解答待补充十本章习题
1方程()
2133
22212323
0
32323535
4435747
xxxx
xxxx
fx
xxxx
xx x x
==
根的个数为
A 4 B 3 C 2 D 1
2已知
103
124
159
A =?则
12 22 32
____AAA?+=
31 32 33
____AAA?+=
3已知
30 40
22 22
0 700
53 22
D =
则第四行元素余子式之和的值为____
41 42 43 44
____AAAA+++=
考 研 数 学 学 习 手 记 系 列第 14 页 考研数学学习班组织委员会
4已知
010 0
1
00 0
2
1
000
1
1
00 0
A
n
n
=
null
null
nullnullnullnull null
null
null
则
,
____
ij
ij
A =
∑
5计算行列式
12
12
12
12
00
00
____
00
00
aa
bb
cc
dd
=
1234
00
____
00
00
axa aa
xx
xx
xx
+
=
11
22
33
44
00
____
00
00
ab
ab
ba
ba
=
11111
12000
____10300
10040
10005
=
1
2
1
10 0
01 0
____
000
00 1
n
n
a
a
a
a
=
null
null
nullnullnullnullnull
null
null
6计算行列式
,AB均为n阶矩阵且2A = 3B =?则
*
2 ____
T
AB =
线 性 代 数 学 习 手 记考研数学学习班组织委员会 第 15 页
1* * 1
____AB AB
=
若
123
,,ααα是3维线性无关列向量A是3阶矩阵且
112
Aααα=+
223
Aααα=+
331
Aααα=+则____A =
,AB均4阶矩阵A与B相似A的特征值2 3 4 5则____BE?=
7求λ的值
32 2
10
42 3
kk
λ
λ
λ
+?=
+
311
15 1 0
113
λ
λ
λ
=
34 0
2200
15 1
λ
λ
λ
=
+
8
2
AA= AE≠证明0A =
本章习题答案
1 C
2 0 3
3 -28 0
4
()
()1 1
1
2!
n
nn
n
+
+
5
()()
12 21 1 2 2 1
ac ac bd bd
()
3
1234
xxa a a a++++
()()
14 14 23 23
aa bb aa bb
1111
1 2345
2345
×××
()
1
12
11
n
n
aa a
+
+ null
6
1
2
n
n
AB
()
11
5
n
AB
2 24
7
12,3
1,1λλ==?
123
2,3,6λλλ===
12 3
533 53
1,,
22
λλ λ
+?
=? = =
8提示反证法齐次方程组解的性质秩考 研 数 学 学 习 手 记 系 列第 16 页 考研数学学习班组织委员会参考资料
1教育部全国研究生入学统一考试数学考试大纲高等教育出版社2002年版
2教育部考试中心全国研究生入学考试数学考试分析高等教育出版社2002年版
3陈文灯黄先开数学复习指南世界图书出版公司2003年3月版
4李正元李永乐袁荫棠数学复习全书国家行政学院出版社2003年3月版
5朱有清贺才兴高等数学复习十五讲上海交通大学出版社1985年11月版
6同济大学数学教研室高等数学高等教育出版社第四版
7同济大学数学教研室线性代数高等教育出版社第三版
8居于马胡金德等线性代数清华大学出版社1995年1月版
9浙江大学盛骤谢式千潘承毅概率论与数理统计高等教育出版社第二版
10李永乐强化班数学讲义领航培训中心2001年版
11徐 仲线性代数典型题分析解集西北工业大学出版社1998年6月版
12葛严麟考研数学常考知识点中国人民大学出版社2001年3月版
