北 方 交 通 大 学
2002-2003学年第二学期线性代数（A）重修课考试试卷答案一．填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）请将合适的答案填在每题的空中
1．4阶行列式__________________．
应填：．
2．已知向量组
，，，，
则该向量组的秩是_________________．
应填：．
3．已知线性方程组
无解，则__________________．
应填：
4．设是阶矩阵，，是的伴随矩阵，是阶单位矩阵．若有特征值，则必有特征值是_________________．
应填：．
5．已知三维线性空间的一组基底为
，，
则向量在上述基底下的坐标是_______________．
应填：．
二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）
1．设是一阶矩阵，是的伴随矩阵，又是常数，且，，则必有【 】．
, ； , ； , ； ,,
应选：．
2．设是4阶矩阵，且的行列式，则中【 】．
,必有一列元素全为0；
,必有两列元素成比例；
,必有一列向量是其余列向量的线性组合；
,任意列向量是其余列向量的线性组合．
应选：．
3．已知
,
为3阶非零矩阵，且满足，则【 】．
,时，的秩必为1； ,时，的秩必为2；
,时，的秩必为2； ,时，的秩必为1．
应选：．
4．阶矩阵具有个不同特征值是与对角阵相似的【 】．
,充分必要条件； ,充分而非必要条件；
,必要而非充分条件； ,既非充分也非必要条件．
应选：．
5．设
,,
则与【 】．
,合同且相似； ,合同但不相似；
,不合同但相似； ,不合同且不相似．
应选：,
三．（本题满分10分）
已知
,
且，其中是3阶单位矩阵，求矩阵．
解：
由，得，而且
因此矩阵可逆，且
,
所以，由，得，因此,
,
四．（本题满分10分）
问为何值时，线性方程组
有解，并求出解的一般形式．
解：
将方程组的增广矩阵用初等行变换化为阶梯矩阵：
（第1行乘以、后分别加到第2、3行）
（第2行乘以后加到第3行）
所以，原线性方程组的系数矩阵的秩为．当时，其增广矩阵的秩为，因此此时原线性方程组无解．
当时，，故线性方程组有解．此时，上面的阶梯矩阵为
因此，原线性方程组的通解为
其中是任意实数．
写成基础解系的形式，有
,
其中是任意实数．
五．（本题满分10分）
设4阶矩阵
,
求的逆矩阵．
解：
记矩阵，，
则矩阵
这是一个分块对角矩阵，因此，
而
,
,
所以，,
六．（本题满分15分）
已知，其中
,
求及．
解：
先求出
,
因为，两端右乘，得
同样，
,
七．（本题满分15分）
设3阶实对称矩阵的特征值是；矩阵的属于特征值的特征向量分别是
,
⑴,求矩阵的属于特征值的特征向量；
⑵,求矩阵．
解：
⑴,设矩阵属于特征值的特征向量为．由于实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量相互正交，因而有
,
由此得齐次线性方程组
,
解此线性方程组，得基础解系．因此矩阵属于特征值的特征向量为
其中为非零常数．
⑵,令矩阵
则有 ，或者
由于
所以,,
八．（本题满分10分）
问取何值时，二次型
为正定二次型？
解：
的矩阵为
,
因此，二次型为正定二次型．矩阵为正定矩阵．
矩阵的各阶顺序主子式全大于零．
而矩阵的各阶顺序主子式分别为
，，
,
所以，二次型为正定二次型．，且
由 ，得 ,
由 ，得 ,
因此，得 ,
即，二次型为正定二次型． ,
2002-2003学年第二学期线性代数（A）重修课考试试卷答案一．填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）请将合适的答案填在每题的空中
1．4阶行列式__________________．
应填：．
2．已知向量组
，，，，
则该向量组的秩是_________________．
应填：．
3．已知线性方程组
无解，则__________________．
应填：
4．设是阶矩阵，，是的伴随矩阵，是阶单位矩阵．若有特征值，则必有特征值是_________________．
应填：．
5．已知三维线性空间的一组基底为
，，
则向量在上述基底下的坐标是_______________．
应填：．
二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）
1．设是一阶矩阵，是的伴随矩阵，又是常数，且，，则必有【 】．
, ； , ； , ； ,,
应选：．
2．设是4阶矩阵，且的行列式，则中【 】．
,必有一列元素全为0；
,必有两列元素成比例；
,必有一列向量是其余列向量的线性组合；
,任意列向量是其余列向量的线性组合．
应选：．
3．已知
,
为3阶非零矩阵，且满足，则【 】．
,时，的秩必为1； ,时，的秩必为2；
,时，的秩必为2； ,时，的秩必为1．
应选：．
4．阶矩阵具有个不同特征值是与对角阵相似的【 】．
,充分必要条件； ,充分而非必要条件；
,必要而非充分条件； ,既非充分也非必要条件．
应选：．
5．设
,,
则与【 】．
,合同且相似； ,合同但不相似；
,不合同但相似； ,不合同且不相似．
应选：,
三．（本题满分10分）
已知
,
且，其中是3阶单位矩阵，求矩阵．
解：
由，得，而且
因此矩阵可逆，且
,
所以，由，得，因此,
,
四．（本题满分10分）
问为何值时，线性方程组
有解，并求出解的一般形式．
解：
将方程组的增广矩阵用初等行变换化为阶梯矩阵：
（第1行乘以、后分别加到第2、3行）
（第2行乘以后加到第3行）
所以，原线性方程组的系数矩阵的秩为．当时，其增广矩阵的秩为，因此此时原线性方程组无解．
当时，，故线性方程组有解．此时，上面的阶梯矩阵为
因此，原线性方程组的通解为
其中是任意实数．
写成基础解系的形式，有
,
其中是任意实数．
五．（本题满分10分）
设4阶矩阵
,
求的逆矩阵．
解：
记矩阵，，
则矩阵
这是一个分块对角矩阵，因此，
而
,
,
所以，,
六．（本题满分15分）
已知，其中
,
求及．
解：
先求出
,
因为，两端右乘，得
同样，
,
七．（本题满分15分）
设3阶实对称矩阵的特征值是；矩阵的属于特征值的特征向量分别是
,
⑴,求矩阵的属于特征值的特征向量；
⑵,求矩阵．
解：
⑴,设矩阵属于特征值的特征向量为．由于实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量相互正交，因而有
,
由此得齐次线性方程组
,
解此线性方程组，得基础解系．因此矩阵属于特征值的特征向量为
其中为非零常数．
⑵,令矩阵
则有 ，或者
由于
所以,,
八．（本题满分10分）
问取何值时，二次型
为正定二次型？
解：
的矩阵为
,
因此，二次型为正定二次型．矩阵为正定矩阵．
矩阵的各阶顺序主子式全大于零．
而矩阵的各阶顺序主子式分别为
，，
,
所以，二次型为正定二次型．，且
由 ，得 ,
由 ，得 ,
因此，得 ,
即，二次型为正定二次型． ,
