北 方 交 通 大 学
2002-2003学年第二学期线性代数（B）重修课考试试卷答案一．填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）请将合适的答案填在每题的空中
1．4阶行列式__________________．
应填：．
2．已知向量组
，，，，
则该向量组的秩是_________________．
应填：．
3．已知线性方程组
无解，则__________________．
应填：
4．设是阶矩阵，，是的伴随矩阵，是阶单位矩阵．若有特征值，则必有特征值是_________________．
应填：．
5．设矩阵
,,
其中都是4维列向量，且已知行列式，，则行列式 _________．
应填：．
二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）
1．设是一阶矩阵，是的伴随矩阵，又是常数，且，，则必有【 】．
, ； , ； , ； ,,
应选：．
2．设是4阶矩阵，且的行列式，则中【 】．
,必有一列元素全为0；
,必有两列元素成比例；
,必有一列向量是其余列向量的线性组合；
,任意列向量是其余列向量的线性组合．
应选：．
3．已知
,
为3阶非零矩阵，且满足，则【 】．
,时，的秩必为1； ,时，的秩必为2；
,时，的秩必为2； ,时，的秩必为1．
应选：．
4．阶矩阵具有个不同特征值是与对角阵相似的【 】．
,充分必要条件； ,充分而非必要条件；
,必要而非充分条件； ,既非充分也非必要条件．
应选：．
5．已知向量组线性无关，则向量组【 】．
,向量组线性无关；
,向量组线性无关；
,向量组线性无关；
,向量组线性无关．
应选：．
三．（本题满分10分）
已知
,
且，其中是3阶单位矩阵，求矩阵．
解：
由，得，而且
因此矩阵可逆，且
,
所以，由，得，因此,
,
四．（本题满分10分）
问为何值时，线性方程组
有解，并求出解的一般形式．
解：
将方程组的增广矩阵用初等行变换化为阶梯矩阵：
（第1行乘以、后分别加到第2、3行）
（第2行乘以后加到第3行）
所以，原线性方程组的系数矩阵的秩为．当时，其增广矩阵的秩为，因此此时原线性方程组无解．
当时，，故线性方程组有解．此时，上面的阶梯矩阵为
因此，原线性方程组的通解为
其中是任意实数．
写成基础解系的形式，有
,
其中是任意实数．
五．（本题满分10分）
设4阶矩阵
,
求的逆矩阵．
解：
记矩阵，，
则矩阵
这是一个分块对角矩阵，因此，
而
,
,
所以，,
六．（本题满分15分）
已知，其中
,
求及．
解：
先求出
,
因为，两端右乘，得
同样，
,
七．（本题满分15分）
已知向量组
（Ⅰ） ；
（Ⅱ） ；
（Ⅲ） ．
如果各向量组的秩分别为，，证明：向量组
（Ⅳ）
的秩为4,
解：
因为，所以向量组线性无关，而
线性相关，所以，存在数，使得
（*）
设有数，使得
将（*）式代入上式并化简，得
由于，所以向量组线性无关．因此，由上式，得
,
解此方程组，得,因此，向量组
线性无关，即此向量组的秩为4．
八．（本题满分10分）
已知是矩阵的一个特征向量．
⑴,试确定参数、及特征向量所对应的特征值；
⑵,问是否相似于对角阵？说明理由．
解：
⑴,由于是矩阵的一个特征向量，所以有
成立．即有
,
解得 ,
⑵,由⑴，得 ，所以，
因此是矩阵的3重特征根．而
从而所对应的线性无关的特征向量只有一个，因此矩阵不能相似于对角矩阵．
2002-2003学年第二学期线性代数（B）重修课考试试卷答案一．填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）请将合适的答案填在每题的空中
1．4阶行列式__________________．
应填：．
2．已知向量组
，，，，
则该向量组的秩是_________________．
应填：．
3．已知线性方程组
无解，则__________________．
应填：
4．设是阶矩阵，，是的伴随矩阵，是阶单位矩阵．若有特征值，则必有特征值是_________________．
应填：．
5．设矩阵
,,
其中都是4维列向量，且已知行列式，，则行列式 _________．
应填：．
二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）
1．设是一阶矩阵，是的伴随矩阵，又是常数，且，，则必有【 】．
, ； , ； , ； ,,
应选：．
2．设是4阶矩阵，且的行列式，则中【 】．
,必有一列元素全为0；
,必有两列元素成比例；
,必有一列向量是其余列向量的线性组合；
,任意列向量是其余列向量的线性组合．
应选：．
3．已知
,
为3阶非零矩阵，且满足，则【 】．
,时，的秩必为1； ,时，的秩必为2；
,时，的秩必为2； ,时，的秩必为1．
应选：．
4．阶矩阵具有个不同特征值是与对角阵相似的【 】．
,充分必要条件； ,充分而非必要条件；
,必要而非充分条件； ,既非充分也非必要条件．
应选：．
5．已知向量组线性无关，则向量组【 】．
,向量组线性无关；
,向量组线性无关；
,向量组线性无关；
,向量组线性无关．
应选：．
三．（本题满分10分）
已知
,
且，其中是3阶单位矩阵，求矩阵．
解：
由，得，而且
因此矩阵可逆，且
,
所以，由，得，因此,
,
四．（本题满分10分）
问为何值时，线性方程组
有解，并求出解的一般形式．
解：
将方程组的增广矩阵用初等行变换化为阶梯矩阵：
（第1行乘以、后分别加到第2、3行）
（第2行乘以后加到第3行）
所以，原线性方程组的系数矩阵的秩为．当时，其增广矩阵的秩为，因此此时原线性方程组无解．
当时，，故线性方程组有解．此时，上面的阶梯矩阵为
因此，原线性方程组的通解为
其中是任意实数．
写成基础解系的形式，有
,
其中是任意实数．
五．（本题满分10分）
设4阶矩阵
,
求的逆矩阵．
解：
记矩阵，，
则矩阵
这是一个分块对角矩阵，因此，
而
,
,
所以，,
六．（本题满分15分）
已知，其中
,
求及．
解：
先求出
,
因为，两端右乘，得
同样，
,
七．（本题满分15分）
已知向量组
（Ⅰ） ；
（Ⅱ） ；
（Ⅲ） ．
如果各向量组的秩分别为，，证明：向量组
（Ⅳ）
的秩为4,
解：
因为，所以向量组线性无关，而
线性相关，所以，存在数，使得
（*）
设有数，使得
将（*）式代入上式并化简，得
由于，所以向量组线性无关．因此，由上式，得
,
解此方程组，得,因此，向量组
线性无关，即此向量组的秩为4．
八．（本题满分10分）
已知是矩阵的一个特征向量．
⑴,试确定参数、及特征向量所对应的特征值；
⑵,问是否相似于对角阵？说明理由．
解：
⑴,由于是矩阵的一个特征向量，所以有
成立．即有
,
解得 ,
⑵,由⑴，得 ，所以，
因此是矩阵的3重特征根．而
从而所对应的线性无关的特征向量只有一个，因此矩阵不能相似于对角矩阵．
