2009-7-25
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线性代数第 8讲
n维向量及其线性相关性本文件可从网址
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附录 2 数域 命题 量词
1.数域一个含有数 0,1的数集 F,如果其中任意两个数关于数的四则运算封闭 (除法的除数不为零 ),即它们的和,差,积,商仍是 F中的数,则数集 F就称为一个 数域,
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3
全体有理数,实数,复数级成的数集都是数域,称为有理数域,实数域,复数域,分别记作 Q,R,C,
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4
II 命题命题是一个陈述句,这个陈述句可以用
"是 "或者 "否 "来判定其真伪,可以转换为一个 "是 /否 "问题,
如,雪是白的,雪不是白的,两个三角形相似当且仅当两个三角形三个内角分别相等,
命题有简单命题和复合命题两种,
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5
逻辑连接词
析取词,? 合取词,
蕴含词,双蕴含词?
否定词
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6
例如假设 p为 "刮风 ",q为 "下雨 "
p?q,刮风且下雨
p?q,刮风或下雨
p?q,如果刮风,则必下雨
p?q,刮风是下雨的充分必要条件
p,没有刮风
(p?q),如果刮风,也未见得就会下雨,
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条件命题 p?q(若 p则 q)与其逆否命题
(?q)?(?p)(可简写为?qp)是等价命题设 p为刮风,q为下雨
p?q 如刮风必下雨和
qp 如不下雨必无刮风是等价命题,
用反证法证明一个数学定理 "若 p则 q",
就是证明它的逆否命题 "若非 q则非 p"
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III 量词有些命题常用两种断言,"集 X中每个元素具有性质 p"; "集 X中至少存在一个元素具有性质 p",为表述简便,用逻辑符号,"?x?X,p" (或 "(?x?X)p") 和
"?x?X,p" (或 "(?x?X)p)表示,
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9
例如,对于集合 A与 B,A?B的含义是 "若
a?A,则 a?B",这可表述为
a?A,a?B
A?B的否定为 A?B,含义是
a?A,a?B
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一般地,含有量词的命题的否定命题,
满足下面两个基本的等价规则,
非 (?x?X)p,等价于 (?x?X)非 p;
非 (?x?X)p,等价于 (?x?X)非 p.
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定义 1 数域 F上的 n个数 a1,a2,...,an构成的有序数组,称为数域 F上的一个 n元向量 (以后常称 n
维向量 ),记作
a=[a1,a2,...,an],(3.2)
其中 ai称为 a的第 i个分量,
向量写作 (3.2)的形式,称为 行向量 ; 向量写作列的形式 (也用矩阵的转置记号表示 )
a=[a1,a2,...,an]T (3.3)
称为 列向量 ((3.2),(3.3)式的方括号也可用圆括号 ).
数域 F上全体 n元向量级成的集合,记作 Fn.
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定义 2 设 a=[a1,a2,...,an],b=[b1,b2,...,bn]?Fn,
k?F,定义
(i) a=b,当且仅当 ai=bi(i=1,2,...,n)
(ii) 向量加法 (或 a与 b之和 )为
a+b=[a1+b1,a2+b2,...,an+bn];
(iii) 向量的数量乘法 (简称数乘 )为
ka=[ka1,ka2,...,kan],
ka称为向量 a与数 k的数量乘积,
取 k=-1,(-1)a=[-a1,-a2,...,-an],(3.4)
称右端为 a的负向量,记作 -a,则向量减法定义为 b -a=b + (-a).
分量全为零的向量称作零向量,记作 0n或 0.
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上述在 Fn中定义的向量加法和数乘运算称为向量的线性运算,满足八条运算规则,
(1) a+b=b+a (加法交换律 );
(2) (a+b)+g=a+(b+g) (加法结合律 );
(3) 对任一向量 a,a+0=a;
(4) 对任一向量 a,存在负向量 -a,使 a+(-a)=0
(5) 1a=a;
(6) k(la)=(kl)a (数乘结合律 );
(7) k(a+b)=ka+kb (数乘分配律 );
(8) (k+l)a=ka+la (数乘分配律 );
其中 a,b,g?Fn,1,k,l?F,0为零向量,
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除上面八条规则外,还有下面三个性质,
(1) 0a=0,k0=0 (其中 0为数零,k为任意数 );
(2) 若 ka=0,则或者 k=0,或者 a=0;
(3) 向量方程 a+x=b有唯一解 x=b-a.
定义 3 数域 F上的全体 n元向量,在其中定义了上述向量的加法和数乘运算,就称之为数域 F
上的 n维向量空间,仍记作 Fn,当 F=R(实数域 )
时,叫做 n维实向量空间,记作 Rn.
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定义 4 设 ai?Fn,ki?F(i=1,2,...,m),则向量
1 1 2 2
1
n
i i m m
i
k k k ka a a a
=
=
称为向量组 a1,a2,...,am在数域 F上的一个 线性组合,如果记
1
m
ii
i
kba
=
=?
就说 b可由 a1,a2,...,am线性表示 (或 线性表出 ).
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向量的线性相关性是向量在线性运算下的一种性质,它是线性代数中极为重要的基本概念,
为了更好地理解这个概念,先讲一下它在三维实向量中的某些几何背景,然后给以一般定义,
若两个向量 a1和 a2共线,则 a2=la1(l?R),这等于存在不全为零的数 k1,k2使 k1a1+k2a2=0; 若 a1
和 a2不共线,则?l?R,有 a2?la1,它等价于,只有当 k1,k2全为 0时,才有 k1a1+k2a2=0.
a1
a2
a1
a2
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若三个向量 a1,a2,a3共面,则其中至少有一个向量可由另两个向量线性表示,
O a1
a2a
3
a3=l1a1+l2a2
O a1
a2
a3a1=l3a3+0a2
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两种情况都等价于,存在不全为 0的数 k1,k2,k3,
使 k1a1+k2a2+k3a3=0;
若 a1,a2,a3不共面,则任一个向量都不能由另两个向量线性表示,即只有当 k1,k2,k3全为零时,
才有 k1a1+k2a2+k3a3=0.
O
a3=k
a2=j
a1=i
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定义 5 如果对 m个向量 a1,a2,...,am?Fn,有 m个不全为零的数 k1,k2,...,km?F,使
k1a1+k2a2+...+kmam=0 (3.5)
成立,则称 a1,a2,...,am线性相关 ; 否则,称
a1,a2,...,am线性无关,即只有当 k1,k2,...,km全为零时,才有
k1a1+k2a2+...+kmam=0
成立,就称 a1,a2,...,am线性无关,
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定理 1 向量组 a1,a2,...,am(m?2)线性相关的充分必要条件是 a1,a2,...,am中至少有一个向量可由其余 m-1个向量线性表示,
证 设 a1,a2,...,am线性相关,则存在 m个不全为 0
的数 k1,k2,...,km,使
k1a1+k2a2+...+kmam=0.
不妨设 k1?0,于是由向量的线性运算性质得
32
12
1 1 1
.m mkkk
k k k
a a a a?= - - - -
必要性得证,
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再证充分性,不妨设 a1可用 a2,a3,...,am线性表示,即
a1=l2a2+l3a3+...+lmam,
于是有
1a1-l2a2-l3a3-...-lmam=0,
显然 1,-l2,-l3,...,-lm不全为 0,故 a1,a2,...,am线性相关,
定理 1的等价命题 (逆否命题 )是,向量组
a1,a2,...,am(m?2)线性无关的充分必要条件是其中任一个向量都不能由其余向量线性表示,
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例 1 设 n维向量 ei=[0,...,0,1,0,...,0],其中第 i个分量为 1,其余分量为 0,则 e1,e2,...,en是线性无关的,
证 设存在 n个数 k1,k2,...,kn使
k1e1+k2e2+...+knen=0,
即 [k1,k2,...,kn]=0,
则必须 k1=k2=...=kn=0,故 e1,e2,...,en线性无关,
以后,称 e1,e2,...,en为 基本向量,
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例 2 设 n维向量 a=[a1,a2,...,an],e1,e2,...,en为基本向量,则向量组 a,e1,e2,...,en是线性相关的,
证 由于
a=[a1,a2,...,an]=a1e1+a2e2+...+anen,
根据定理 1,向量组 a,e1,e2,...,en线性相关,
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例 3 包含零向量的任何向量组是线性相关的,
证 设向量组 a1,a2,...,as(其中 a1=0),于是存在不全为零的数 1,0,...,0,使
1a1+0a2+...+0as=0,
故线性相关,
根据定义不难证明,单个向量 a线性相关 (无关 ),当且仅当 a为零向量 (非零向量 ).
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定理 2 设 a1,a2,...,ar?Fn,其中,
a1=[a11,a21,...,an1]T,a2=[a12,a22,...,an2]T,...,
ar=[a1r,a2r,...,anr]T,则向量组 a1,a2,...,ar线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组
AX=0 (3.6)
有非零解,其中
1 1 1 2 1 1
2 1 2 2 2 2
12
12
| | |
,.
| | |
r
r
r
n n n r r
a a a x
a a a x
A a a a X
a a a x
= = =
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证 设 x1a1+x2a2+...+xrar=0,(3.7)
即 1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
12
0
0
,( 3,8 )
0
r
r
r
n n n r
a a a
a a a
x x x
a a a
=
将 (3.8)式左端作线性运算,再与右端相等,即得方程 (3.6),因此,如果 a1,a2,...,ar线性相关,
就必有不全为零的数 x1,x2,...,xr使 (3.7)成立,即齐次线性方程组 (3.6)有非零解,反之,如 (3.6)
有非零解,即有不全为零的数 x1,x2,...,xr使 (3.7)
成立,故 a1,a2,...,ar线性相关,
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定理 2的等价命题是,a1,a2,...,ar线性无关的充分必要条件是齐次线性方程组 (3.6)只有零解,
因此,判定一组向量是否线性相关或者线性无关的基本技术是求解齐次线性方程组 (3.6).
在定理 2中,如果 n<r,由高斯消元法可知,方程组 (3.6)求解必有自由未知量,即必有非零解,
因此,任何 n+1个 n维向量都是线性相关的,所以在 Rn中,任何一组线性无关的向量最多只能含 n个向量,
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定理 3 若向量组 a1,a2,...,ar线性无关,而 b,
a1,a2,...,ar线性相关,则 b可由 a1,a2,...,ar线性表示,且表示法唯一,
证 因 b,a1,a2,...,ar线性相关,存在不全为零的数 k,k1,k2,...,kr,使得
kb+k1a1+k2a2+...+krar=0,(3.9)
其中 k?0(如 k=0,则由线性无关又得必须全为零,这与不全为零矛盾 ),于是
12
12,
r
r
k k k
k k k
b a a a= - - - -
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再证表示法唯一,设有两种表示法,
b=l1a1+l2a2+...+lrar
=h1a1+h2a2+...+hrar,
于是
(l1-h1)a1+(l2-h2)a2+...+(lr-hr)ar=0.
由于 a1,a2,...,ar线性无关,所以必有
li-hi=0,即 li=hi,i=1,2,...,r,
故 b由 a1,a2,...,ar线性表示的表示法唯一,证毕,
由定理 2和定理 3可得如下推论,
推论 如果 Fn中 n个向量 a1,a2,...,an线性无关,则
Fn中任一向量可由 a1,a2,...,an唯一地线性表示,
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例 4 设 a1=[1,-1,1],a2=[1,2,0],a3=[1,0,3],
a4=[2,-3,7],问,(1)a1,a2,a3是否线性相关? (2)
a4可否由 a1,a2,a3线性表示? 如能表示求其表示式,
解 (1)根据定理 (2),作矩阵
1 2 3
| | | 1 1 1
1 2 0
1 0 3| | |
A a a a
= = -
用高斯消元法易得方程组 AX=O只有零解,故 a1,a2,a3线性无关,
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(2) 根据定理 2和定理 3的推论,a4可由 a1,a2,a3
线性表示,且表示法唯一,设
x1a1+x2a2+x3a3=a4,
即 x1[1,-1,1]+x2[1,2,0]+x1[1,0,3]=[2,-3,7].
于是得
11
1 2 3 2 2
33
| | | 1 1 1 2
1 2 0 3,
1 0 3 7| | |
xx
xx
a a a
= - = -
即 AX=a4,解此方程组得唯一解,x1=1,x2=-1,x3=2,故 a4=a1-a2+2a3.
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例 5 设向量组 a1,a2,a3线性无关,又
b1=a1+a2+2a3,b2=a1-a2,b3=a1+a3,证明
b1,b2,b3线性相关,
证 设 x1b1+x2b2+x3b3=0 (3.10)
即 x1(a1+a2+2a3)+x2(a1-a2)+x3(a1+a3)=0,
(x1+x2+x3)a1+(x1-x2)a2+(2x1+x3)a3=0
由于 a1,a2,a3线性无关,必有
1 2 3
12
13
0,
0
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x x x
xx
xx
=?
-=?
=?
此方程有非零解,因此 b1,b2,b3线性相关,
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例 6 证明,若向量组 a1,a2,...,as中有一部分向量线性相关,则该向量组线性相关,
证 不妨设 a1,a2,...,ar线性相关 (r<s),于是有不全为零的数 k1,k2,...,kr使
k1a1+k2a2+...+krar=0,
从而有
k1a1+k2a2+...+krar+0ar+1+...+0as=0,
这就证明了 a1,a2,...,as线性相关,
例 6的等价命题是,若向量组 a1,a2,...,as线性无关,则其任一部分组都是线性无关的,
对一向量组,如部分相关,则整体相关,如整体无关,则任一部分必无关,
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利用定理 2的结论可以证明,如果一组 n维向量
a1,a2,...,as线性无关,那么把这些向量各任意添加 m个分量所得到的新向量组也是线性无关的 ; 如果 a1,a2,...,as线性相关,则它们各去掉第 i个分量所得到的新向量组也是线性相关的,
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今天作业,第 146页开始
1,2,3,4,5题
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附录 2 数域 命题 量词
1.数域一个含有数 0,1的数集 F,如果其中任意两个数关于数的四则运算封闭 (除法的除数不为零 ),即它们的和,差,积,商仍是 F中的数,则数集 F就称为一个 数域,
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全体有理数,实数,复数级成的数集都是数域,称为有理数域,实数域,复数域,分别记作 Q,R,C,
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II 命题命题是一个陈述句,这个陈述句可以用
"是 "或者 "否 "来判定其真伪,可以转换为一个 "是 /否 "问题,
如,雪是白的,雪不是白的,两个三角形相似当且仅当两个三角形三个内角分别相等,
命题有简单命题和复合命题两种,
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逻辑连接词
析取词,? 合取词,
蕴含词,双蕴含词?
否定词
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6
例如假设 p为 "刮风 ",q为 "下雨 "
p?q,刮风且下雨
p?q,刮风或下雨
p?q,如果刮风,则必下雨
p?q,刮风是下雨的充分必要条件
p,没有刮风
(p?q),如果刮风,也未见得就会下雨,
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7
条件命题 p?q(若 p则 q)与其逆否命题
(?q)?(?p)(可简写为?qp)是等价命题设 p为刮风,q为下雨
p?q 如刮风必下雨和
qp 如不下雨必无刮风是等价命题,
用反证法证明一个数学定理 "若 p则 q",
就是证明它的逆否命题 "若非 q则非 p"
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III 量词有些命题常用两种断言,"集 X中每个元素具有性质 p"; "集 X中至少存在一个元素具有性质 p",为表述简便,用逻辑符号,"?x?X,p" (或 "(?x?X)p") 和
"?x?X,p" (或 "(?x?X)p)表示,
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例如,对于集合 A与 B,A?B的含义是 "若
a?A,则 a?B",这可表述为
a?A,a?B
A?B的否定为 A?B,含义是
a?A,a?B
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一般地,含有量词的命题的否定命题,
满足下面两个基本的等价规则,
非 (?x?X)p,等价于 (?x?X)非 p;
非 (?x?X)p,等价于 (?x?X)非 p.
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定义 1 数域 F上的 n个数 a1,a2,...,an构成的有序数组,称为数域 F上的一个 n元向量 (以后常称 n
维向量 ),记作
a=[a1,a2,...,an],(3.2)
其中 ai称为 a的第 i个分量,
向量写作 (3.2)的形式,称为 行向量 ; 向量写作列的形式 (也用矩阵的转置记号表示 )
a=[a1,a2,...,an]T (3.3)
称为 列向量 ((3.2),(3.3)式的方括号也可用圆括号 ).
数域 F上全体 n元向量级成的集合,记作 Fn.
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定义 2 设 a=[a1,a2,...,an],b=[b1,b2,...,bn]?Fn,
k?F,定义
(i) a=b,当且仅当 ai=bi(i=1,2,...,n)
(ii) 向量加法 (或 a与 b之和 )为
a+b=[a1+b1,a2+b2,...,an+bn];
(iii) 向量的数量乘法 (简称数乘 )为
ka=[ka1,ka2,...,kan],
ka称为向量 a与数 k的数量乘积,
取 k=-1,(-1)a=[-a1,-a2,...,-an],(3.4)
称右端为 a的负向量,记作 -a,则向量减法定义为 b -a=b + (-a).
分量全为零的向量称作零向量,记作 0n或 0.
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上述在 Fn中定义的向量加法和数乘运算称为向量的线性运算,满足八条运算规则,
(1) a+b=b+a (加法交换律 );
(2) (a+b)+g=a+(b+g) (加法结合律 );
(3) 对任一向量 a,a+0=a;
(4) 对任一向量 a,存在负向量 -a,使 a+(-a)=0
(5) 1a=a;
(6) k(la)=(kl)a (数乘结合律 );
(7) k(a+b)=ka+kb (数乘分配律 );
(8) (k+l)a=ka+la (数乘分配律 );
其中 a,b,g?Fn,1,k,l?F,0为零向量,
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除上面八条规则外,还有下面三个性质,
(1) 0a=0,k0=0 (其中 0为数零,k为任意数 );
(2) 若 ka=0,则或者 k=0,或者 a=0;
(3) 向量方程 a+x=b有唯一解 x=b-a.
定义 3 数域 F上的全体 n元向量,在其中定义了上述向量的加法和数乘运算,就称之为数域 F
上的 n维向量空间,仍记作 Fn,当 F=R(实数域 )
时,叫做 n维实向量空间,记作 Rn.
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定义 4 设 ai?Fn,ki?F(i=1,2,...,m),则向量
1 1 2 2
1
n
i i m m
i
k k k ka a a a
=
=
称为向量组 a1,a2,...,am在数域 F上的一个 线性组合,如果记
1
m
ii
i
kba
=
=?
就说 b可由 a1,a2,...,am线性表示 (或 线性表出 ).
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向量的线性相关性是向量在线性运算下的一种性质,它是线性代数中极为重要的基本概念,
为了更好地理解这个概念,先讲一下它在三维实向量中的某些几何背景,然后给以一般定义,
若两个向量 a1和 a2共线,则 a2=la1(l?R),这等于存在不全为零的数 k1,k2使 k1a1+k2a2=0; 若 a1
和 a2不共线,则?l?R,有 a2?la1,它等价于,只有当 k1,k2全为 0时,才有 k1a1+k2a2=0.
a1
a2
a1
a2
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若三个向量 a1,a2,a3共面,则其中至少有一个向量可由另两个向量线性表示,
O a1
a2a
3
a3=l1a1+l2a2
O a1
a2
a3a1=l3a3+0a2
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两种情况都等价于,存在不全为 0的数 k1,k2,k3,
使 k1a1+k2a2+k3a3=0;
若 a1,a2,a3不共面,则任一个向量都不能由另两个向量线性表示,即只有当 k1,k2,k3全为零时,
才有 k1a1+k2a2+k3a3=0.
O
a3=k
a2=j
a1=i
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定义 5 如果对 m个向量 a1,a2,...,am?Fn,有 m个不全为零的数 k1,k2,...,km?F,使
k1a1+k2a2+...+kmam=0 (3.5)
成立,则称 a1,a2,...,am线性相关 ; 否则,称
a1,a2,...,am线性无关,即只有当 k1,k2,...,km全为零时,才有
k1a1+k2a2+...+kmam=0
成立,就称 a1,a2,...,am线性无关,
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定理 1 向量组 a1,a2,...,am(m?2)线性相关的充分必要条件是 a1,a2,...,am中至少有一个向量可由其余 m-1个向量线性表示,
证 设 a1,a2,...,am线性相关,则存在 m个不全为 0
的数 k1,k2,...,km,使
k1a1+k2a2+...+kmam=0.
不妨设 k1?0,于是由向量的线性运算性质得
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1 1 1
.m mkkk
k k k
a a a a?= - - - -
必要性得证,
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再证充分性,不妨设 a1可用 a2,a3,...,am线性表示,即
a1=l2a2+l3a3+...+lmam,
于是有
1a1-l2a2-l3a3-...-lmam=0,
显然 1,-l2,-l3,...,-lm不全为 0,故 a1,a2,...,am线性相关,
定理 1的等价命题 (逆否命题 )是,向量组
a1,a2,...,am(m?2)线性无关的充分必要条件是其中任一个向量都不能由其余向量线性表示,
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例 1 设 n维向量 ei=[0,...,0,1,0,...,0],其中第 i个分量为 1,其余分量为 0,则 e1,e2,...,en是线性无关的,
证 设存在 n个数 k1,k2,...,kn使
k1e1+k2e2+...+knen=0,
即 [k1,k2,...,kn]=0,
则必须 k1=k2=...=kn=0,故 e1,e2,...,en线性无关,
以后,称 e1,e2,...,en为 基本向量,
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例 2 设 n维向量 a=[a1,a2,...,an],e1,e2,...,en为基本向量,则向量组 a,e1,e2,...,en是线性相关的,
证 由于
a=[a1,a2,...,an]=a1e1+a2e2+...+anen,
根据定理 1,向量组 a,e1,e2,...,en线性相关,
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例 3 包含零向量的任何向量组是线性相关的,
证 设向量组 a1,a2,...,as(其中 a1=0),于是存在不全为零的数 1,0,...,0,使
1a1+0a2+...+0as=0,
故线性相关,
根据定义不难证明,单个向量 a线性相关 (无关 ),当且仅当 a为零向量 (非零向量 ).
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定理 2 设 a1,a2,...,ar?Fn,其中,
a1=[a11,a21,...,an1]T,a2=[a12,a22,...,an2]T,...,
ar=[a1r,a2r,...,anr]T,则向量组 a1,a2,...,ar线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组
AX=0 (3.6)
有非零解,其中
1 1 1 2 1 1
2 1 2 2 2 2
12
12
| | |
,.
| | |
r
r
r
n n n r r
a a a x
a a a x
A a a a X
a a a x
= = =
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证 设 x1a1+x2a2+...+xrar=0,(3.7)
即 1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
12
0
0
,( 3,8 )
0
r
r
r
n n n r
a a a
a a a
x x x
a a a
=
将 (3.8)式左端作线性运算,再与右端相等,即得方程 (3.6),因此,如果 a1,a2,...,ar线性相关,
就必有不全为零的数 x1,x2,...,xr使 (3.7)成立,即齐次线性方程组 (3.6)有非零解,反之,如 (3.6)
有非零解,即有不全为零的数 x1,x2,...,xr使 (3.7)
成立,故 a1,a2,...,ar线性相关,
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定理 2的等价命题是,a1,a2,...,ar线性无关的充分必要条件是齐次线性方程组 (3.6)只有零解,
因此,判定一组向量是否线性相关或者线性无关的基本技术是求解齐次线性方程组 (3.6).
在定理 2中,如果 n<r,由高斯消元法可知,方程组 (3.6)求解必有自由未知量,即必有非零解,
因此,任何 n+1个 n维向量都是线性相关的,所以在 Rn中,任何一组线性无关的向量最多只能含 n个向量,
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定理 3 若向量组 a1,a2,...,ar线性无关,而 b,
a1,a2,...,ar线性相关,则 b可由 a1,a2,...,ar线性表示,且表示法唯一,
证 因 b,a1,a2,...,ar线性相关,存在不全为零的数 k,k1,k2,...,kr,使得
kb+k1a1+k2a2+...+krar=0,(3.9)
其中 k?0(如 k=0,则由线性无关又得必须全为零,这与不全为零矛盾 ),于是
12
12,
r
r
k k k
k k k
b a a a= - - - -
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再证表示法唯一,设有两种表示法,
b=l1a1+l2a2+...+lrar
=h1a1+h2a2+...+hrar,
于是
(l1-h1)a1+(l2-h2)a2+...+(lr-hr)ar=0.
由于 a1,a2,...,ar线性无关,所以必有
li-hi=0,即 li=hi,i=1,2,...,r,
故 b由 a1,a2,...,ar线性表示的表示法唯一,证毕,
由定理 2和定理 3可得如下推论,
推论 如果 Fn中 n个向量 a1,a2,...,an线性无关,则
Fn中任一向量可由 a1,a2,...,an唯一地线性表示,
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例 4 设 a1=[1,-1,1],a2=[1,2,0],a3=[1,0,3],
a4=[2,-3,7],问,(1)a1,a2,a3是否线性相关? (2)
a4可否由 a1,a2,a3线性表示? 如能表示求其表示式,
解 (1)根据定理 (2),作矩阵
1 2 3
| | | 1 1 1
1 2 0
1 0 3| | |
A a a a
= = -
用高斯消元法易得方程组 AX=O只有零解,故 a1,a2,a3线性无关,
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(2) 根据定理 2和定理 3的推论,a4可由 a1,a2,a3
线性表示,且表示法唯一,设
x1a1+x2a2+x3a3=a4,
即 x1[1,-1,1]+x2[1,2,0]+x1[1,0,3]=[2,-3,7].
于是得
11
1 2 3 2 2
33
| | | 1 1 1 2
1 2 0 3,
1 0 3 7| | |
xx
xx
a a a
= - = -
即 AX=a4,解此方程组得唯一解,x1=1,x2=-1,x3=2,故 a4=a1-a2+2a3.
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例 5 设向量组 a1,a2,a3线性无关,又
b1=a1+a2+2a3,b2=a1-a2,b3=a1+a3,证明
b1,b2,b3线性相关,
证 设 x1b1+x2b2+x3b3=0 (3.10)
即 x1(a1+a2+2a3)+x2(a1-a2)+x3(a1+a3)=0,
(x1+x2+x3)a1+(x1-x2)a2+(2x1+x3)a3=0
由于 a1,a2,a3线性无关,必有
1 2 3
12
13
0,
0
20
x x x
xx
xx
=?
-=?
=?
此方程有非零解,因此 b1,b2,b3线性相关,
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例 6 证明,若向量组 a1,a2,...,as中有一部分向量线性相关,则该向量组线性相关,
证 不妨设 a1,a2,...,ar线性相关 (r<s),于是有不全为零的数 k1,k2,...,kr使
k1a1+k2a2+...+krar=0,
从而有
k1a1+k2a2+...+krar+0ar+1+...+0as=0,
这就证明了 a1,a2,...,as线性相关,
例 6的等价命题是,若向量组 a1,a2,...,as线性无关,则其任一部分组都是线性无关的,
对一向量组,如部分相关,则整体相关,如整体无关,则任一部分必无关,
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利用定理 2的结论可以证明,如果一组 n维向量
a1,a2,...,as线性无关,那么把这些向量各任意添加 m个分量所得到的新向量组也是线性无关的 ; 如果 a1,a2,...,as线性相关,则它们各去掉第 i个分量所得到的新向量组也是线性相关的,
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今天作业,第 146页开始
1,2,3,4,5题
