2009-7-25
1
线性代数第 2讲行列式的计算,克莱姆法则本文件可从网址
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2
例 1 上三角行列式 (i>j时,aij=0)
这是因为上三角行列式的转置是下三角行列式,
1 1 1 2 1
2 2 2
1 1 2 2
0
n
n
nn
nn
a a a
aa
D a a a
a

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3
例 2 计算 4阶行列式
1 1 1 2
1 1 4 1
2 4 6 1
1 2 4 2
D

1 1 1 2 1 1 1 2
1 1 4 1 0 0 5 3
2 4 6 1 0 2 4 3
1 2 4 2 0 1 5 0
D




解
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4
24
3 2
1 1 1 2 1 1 1 2
0 0 5 3 0 1 5 0
0 2 4 3 0 2 4 3
0 1 5 0 0 0 5 3
1 1 1 2
0 1 5 0( 2)
0 0 14 3
0 0 5 3
D






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5
34
1 1 1 2
0 1 5 0
0 0 14 3
0 0 5 3
1 1 1 2
5
0 1 5 014
0 0 14 3
0 0 0 57 /14
( 1 ) 1 1 ( 14 ) ( 57 / 14 ) 57








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6
例 3
22
1 4 1 4 7 0 17 8
2 1 4 3 2 1 4 3
4 2 3 11 0 0 5 5
3 0 9 2 3 0 9 2
7 17 8
( 1 ) 1 0 5 5
3 9 2
D




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7
21
7 17 8 7 25 8
0 5 5 0 0 5
3 9 2 3 11 2
7 25
( 1 ) 5
3 11
5 ( 77 75 ) 10
D





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例 4 行列式 D= 的元素满足 aijaji
(i,j=1,2,...,n),就称 D是反对称行列式,证明奇数阶反对称行列式的值为零,
证 设
1||
n
ija
1 2 1 3 1
1 2 2 3 2
1 2 3
0
0
0
n
n
n n n
a a a
a a a
D
a a a

将 D转置再每一行都乘?1.
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9
12 13 1
12 23 2
1 2 3
12 13 1
12 23 2
1 2 3
0
0
0
0
0
( 1 )
0
0
n
n
n n n
n
n n
n n n
a a a
a a a
D
a a a
a a a
a a a
D
a a a
DD





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10
例 5 证明
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3 3
2
a b b c c a a b c
a b b c c a a b c
a b b c c a a b c



1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3
22
a b c a b c a b
a b c a b c a b
a b c a b c a b



左 式右 式证 把左端行列式的第 2,3列加到第 1列,提取公因子 2,再把第 1列乘?1加到第 2,3列得
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例 6 计算 n阶行列式
x a a a
a x a a
D a a x a
a a a x
解 把各列都加到第一列,提出第一列的公因子 [x+(n?1)a],然后将第一行乘?1分别加到其余各行,D就化为上三角行列式,
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12
1
1
1
[ ( 1 ) ] 1
1
1
0 0 0
[ ( 1 ) ] 0 0 0
0 0 0
[ ( 1 ) ] ( )
n
a a a
x a a
D x n a a x a
a a x
a a a
xa
x n a xa
xa
x n a x a



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例 8 证明范德蒙行列式
1 2 3
2 2 2 2
1 2 3
1 1 1 1
1 2 3
1
1 1 1 1
()
n
nn
n n n n
n
ij
j i n
x x x x
V x x x x
x x x x
xx



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例如
1 2 3 2 1 3 1 3 2
222
1 2 3
1 2 3 4
2222
1 2 3 4
3333
1 2 3 4
2 1 3 1 4 1 3 2 4 2 4 3
111
( ) ( ) ( )
1111
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x x x x x x x x x
xxx
x x x x
xxxx
xxxx
x x x x x x x x x x x x


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证 用数学归纳法证明,当 n=2时,
2 2 1
1212
11
( ) ( )ij
ji
V x x x x
xx

结论成立,假设结论对 n?1阶范德蒙行列式成立,证明对 n阶范德蒙行列式结论也成立,
在 Vn中,从第 n行起,依次将前一行乘?x1加到后一行,得
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按第一列展开,并分别提取公因子,得
2 1 3 1 1
2 2 1 3 3 1 1
2 2 2
2 2 1 3 3 1 1
1 1 1 1
0
0 ( ) ( ) ( )
0 ( ) ( ) ( )
n
n n n
n n n
nn
x x x x x x
V x x x x x x x x x
x x x x x x x x x




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根据归纳假设可得结论,
23
2 2 2
2 1 3 1 1 2 3
2 2 2
23
1 1 1
( ) ( ) ( )
n
n n n
n n n
n
x x x
V x x x x x x x x x
x x x


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1.3 克莱姆 (Cramer)法则
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定理 (Cramer法则 ) 设线性齐次方程组
1 1 1 1 2 2 1 1
2 1 1 2 2 2 2 2
1 1 2 2
,
,
( 1,2 3 )
,
nn
nn
n n n n n n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b



1
,1,2,,( 1,2 4 )
n
i j j i
j
a x b i n

或简记为
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20
其系数行列式
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
0
n
n
n n n n
a a a
a a a
D
a a a

1,2,,,( 1,2 5 )jj
D
x j n
D

则方程组 (1.23)有唯一解
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21
其中 Dj是用常数项 b1,b2,...,bn替换 D中第 j列所成的行列式,即
1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 2 1 2 2 1 2
1 1 1
( 1,2 6 )
j j n
j j n
j
n n j n n j n n
a a b a a
a a b a a
D
a a b a a



1,2,,,( 1,2 5 )jj
D
x j n
D

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证 先证 (1.25)是方程组 (1.23)的解,根据 (1.26)
式,
1 1 2 2
1
n
j j j n n j k k j
k
D b A b A b A b A

1
1
1
( 1,2,,)
( 1,2,,)
n
j k k j
k
n
ij j i
j
x b A j n
D
a x b i n


代 入其中 Akj是系数行列式中元素 akj的代数余子式,将
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23
得
1 1 1 1
1 1 1 1
1
11
11
11
( 1 ) ( 1,2,,)
n n n n
ij k k j ij k j k
j k j k
n n n n
ij k j k k ij k j
k j k j
n
k ik i i
k
a b A a A b
DD
a A b b a A
DD
b D b D b i n
DD












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证解的唯一性,设 c1,c2,...,cn是一组解,即
1 1 1 1 2 2 1 1
2 1 1 2 2 2 2 2
1 1 2 2
nn
nn
n n n n n n
a c a c a c b
a c a c a c b
a c a c a c b



11
1 1 1
1
n n n
i ij ij ij j in ij n
i i i
n
i ij
i
a A c a A c a A c
bA





在上面 n个等式两端,分别依次乘 A1j,A2j,...,
Anj,然后再把这 n个等式的两端相加,得
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上式左端除 cj的系数为 D外 c1,...,cn的系数全为零,右端等于 Dj,因此 Dcj=Dj,故
j
j
D
c
D
分别取 j=1,2,...,n就证明了解的唯一性,
11
1 1 1
1
n n n
i ij ij ij j in ij n
i i i
n
i ij
i
a A c a A c a A c
bA





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推论 1 若齐次线性方程组
),,2,1(,0
,0||
),,2,1(0
1
1
njx
aD
nixa
j
n
ij
n
j
jij



则方程只有零解的系数行列式
.0||
),,2,1(0
1
1


n
ij
n
j
jij
aD
nixa
系数行列式有非零解的必要条件是
推论 2 齐次线性方程组
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用 Cramer法则求解系数行列式不等于零的 n元非齐次线性方程组,需要计算 n+1个 n阶行列式,
它的计算工作量很大,实际上关于数字系数的线性方程组 (包括系数行列式等于零及方程个数和未知量个数不相同的线性方程组 )的解法,
一般都采用第 2章中介绍的高斯消元法,
Cramer法则主要是从理论上具有重要意义,特别是它明确地揭示了方程组的解和系数之间的关系,
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例 1 已知三次曲线 y=f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3在四个点 x=?1,x=?2处的值为,f(1)=f(?1)=f(2)=6,
f(?2)6,试求其系数 a0,a1,a2,a3.
解 将三次曲线在 4点处的值代入其方程,得到关于 a0,a1,a2,a3的非齐次线性方程组
0 1 2 3
23
0 1 2 3
23
0 1 2 3
23
0 1 2 3
6,
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 6,
( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 6,
( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 6,
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a




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它的系数行列式为范德蒙行列式
23
23
23
1 1 1 1
1 1 ( 1 ) ( 1 )
1 2 2 2
1 2 ( 2) ( 2)
( 1 1 ) ( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 2 2)
2 1 ( 3 ) 3 ( 1 ) ( 4) 72
D




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30
0
00
1
11
6 1 1 1
6 1 1 1 576
57 6,8
6 2 4 8 72
6 2 4 8
1 6 1 1
1 6 1 1 72
72,1
1 6 4 8 72
1 6 4 8
D
Da
D
D
Da
D






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31
2
22
3
33
1 1 6 1
1 1 6 1 144
14 4,2
1 2 6 8 72
1 2 6 8
1 1 1 6
1 1 1 6 72
72,1
1 2 4 6 72
1 2 4 6
D
Da
D
D
Da
D





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所以 a0=8,a11,a22,a3=1,即所求的三次曲线方程为
f(x)=8?x?2x2+x3.
由上述解题过程可知,过 n+1个 x坐标不同的点
(xi,yi),i=1,2,...,n+1,可以唯一地确定一个 n次曲线的方程 y=a0+a1x+a2x2+...+anxn.
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例 2 求四个平面 aix+biy+ciz+di=0(i=1,2,3,4)相交于一点的充分必要条件,
解 把平面方程写成
aix+biy+ciz+dit=0,
其中 t=1,于是四个平面交于一点,即 x,y,z,t的齐次线性方程组
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
4 4 4 4
0,
0,
0,
0,
a x b y c z d t
a x b y c z d t
a x b y c z d t
a x b y c z d t




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有唯一的一组非零解 (x0,y0,z0,1),根据齐次线性方程组有非零解的必要和充分的条件 (充分性以后将证明 )是系数行列式等于零,即得四平面相交于一点的充分必要条件为
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
4 4 4 4
0
a b c d
a b c d
a b c d
a b c d
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今天作业,
第 35页开始,第 27,31,33题