2009-7-25
1
概率论第 8讲随机变量的相互独立性本文件可从网址
http://math.vip.sina.com
上下载
(单击 'ppt讲义 '后选择 '工程数学 '子目录 )
2009-7-25
2
第五节 随机变量的相互独立性
2009-7-25
3
设 x,h为随机变量,如果它们满足下列条件,
对于实轴上任意两个集合 S1,S2,如果事件 {x?S1},{h?S2}相互独立,那末,称 x,h
相互独立,直观地说,x,h相互独立就是它们取值时互不牵连,
2009-7-25
4
由定义,若取 S1,S2依次为 (-?,x),(-?,y),
立即推得,当 x,h相互独立时,对于任意实数 x,y,事件 {x<x},{h<y}是相互独立的,
即
P{x<x,h<y}=P{x<x}P{h<y},(14)
也就是说,对于任意实数 x,y,总有
F(x,y)=F1(x)F2(y),(15)
这里,F(x,y),F1(x),F2(y)依次表示 (x,h),x,
h的分布函数,
2009-7-25
5
反之,如果对于任意的 x,y,都有
F(x,y)=F1(x)F2(y),那末,可以证明,x,h是相互独立的,
下面进一步讨论离散型,连续型随机变量的相互独立的条件,
2009-7-25
6
设二维离散型随机变量 (x,h)的分布密度如下表所示,
x h b1,.,bj,..
a1 p11,.,p1j,..
,.,?,..
ai pi1,.,pij,..
,.,?,..
2009-7-25
7
x,h的边缘分布密度由下二表给出
x a1 a2,.,ai,..
概率 p1? p2?,.,pi?
h b1 b2,.,bj,..
概率 p?1 p?2,.,p?j,..
则 x,h相互独立的充要条件是
pij=pip?j (i,j=1,2,...) (16)
2009-7-25
8
例 6 设 (x,h)的分布密度为
1 0 2
1 2 1 2
2 20 20 20
2 1 2
1
20 20 20
424
2
20 20 20
h
x
-
证明 x,h相互独立,
2009-7-25
9
证 按下表算出边缘分布密度
1 0 2
1 2 1 2 1
2 20 20 20 4
2 1 2 1
1
20 20 20 4
4 2 4 2
2
20 20 20 4
2 1 2
555
h
x
-
直接验算可知
pij=pip?j
(i,j=1,2,3)
都成立,所以
x,h相互独立,
2009-7-25
10
设二维随机变量 (x,h)的分布密度为
j(x,y),j1(x),j2(y)是 x,h的边缘分布密度,
则连续型随机变量 x,h相互独立的充分必要条件为
j(x,y)=j1(x)j2(y) (17)
2009-7-25
11
相互独立性概念可以推广到多于两个的随机变量上去,例如,n个随机变量
x1,x2,...,xn相互独立,就是说,对于实轴上任意 n个集 S1,S2,...,Sn,诸事件 {x1?S1},
{x1?S1},...,{x1?Sn}相互独立,一系列随机变量 x1,x2,...,xn,...相互独立,就是说,如果对于任意有限个自然数 k1,k2,...,kn(诸 ki
互不相同,有
12
,,,
nk k k
x x x
相互独立
2009-7-25
12
第七章 随机变量的函数及其分布
2009-7-25
13
在分析及解决实际问题时,经常要用到由一些随机变量经过运算或变换而得到的某些变量 — 随机变量的函数,它们也是随机变量,例如,射击靶子上的点目标
O时,实际击中的点的坐标 (x,h)是二维随机变量,我们往往对于点 (x,h)与点 O的距离 z感兴趣,这里
22z x h
是 (x,h)的函数,它是一个新的随机变量
2009-7-25
14
本章中主要将说明如何从一些随机变量的分布来导出这些随机变量的函数的分布,
2009-7-25
15
第一节 一维随机变量的函数设 x为一维随机变量,f(x)为一元函数,那末,h=f(x)也是随机变量,现在要根据 x的分布来找出 h的分布,
2009-7-25
16
例 1 设 x的分布密度为 5
1 0 1 2
2
1 1 1 3 3
5 1 0 1 0 1 0 1 0
x -
概 率求表示 (1)x-1,(2)-2x,(3) x2的分布密度,
2009-7-25
17
解 由 x的分布密度可列出下表
2
1 1 1 3 3
5 10 10 10 10
5
1 0 1 2
2
3
1 2 1 0 1
2
2 2 0 2 4 5
25
1 0 1 4
4
x
x
x
x
-
- - -
- - - -
概 率
2009-7-25
18
(1) x-1的分布密度为 31 2 1 0 1
2
1 1 1 3 3
5 10 10 10 10
x - - -
概 率
(2) -2x的分布密度为
2 2 0 2 4 5
1 1 1 3 3
5 10 10 10 10
x- - - -
概 率
(3) x2的分布密度
2 25
0 1 4
4
1 3 3 3
1 0 1 0 1 0 1 0
x
概 率
2009-7-25
19
例 2 设 x为服从正态分布的随机变量,它的分布密度函数为
2
2
1 ( )( ) e x p,
22
xaxxj

-? - -


求
axh
-?
的分布函数,
2009-7-25
20
解 设 h的分布函数为 Fh(y),于是
2
2
2
( ) { } { }
1 ( )
e xp
22
1
e xp,
22
ya
xa
t
y
a
F y P y P y P y a
xa
dx
t
dt
h
x
h x?

-?
-
-?
-


-
-



-


因此,h服从 N(0,1),分布密度为
21
e x p
22
y

-

2009-7-25
21
一般地,可以仿照这个例子的做法推得,
服从正态分布的随机变量的线性函数仍旧服从正态分布,
2009-7-25
22
例 3 设 x服从 N(0,1),求 h=x2的分布密度,
解 由于 h只取非负值,所以,当 y?0时,
Fh(y)=P{h<y}=P{x2<y}=0,
当 0<y时,
22
2
2
22
0
1
2 2 2
00
( ) { } { }
{}
12
22
21
.
2 2 2
tt
yy
y
uu
tu
yy
F y P y P y
P y y
e dt e dt
du
e e u du
u
h
hx
x


--
-
- - -

-




2009-7-25
23
因此,h=x2的分布函数为
1
22
0
0,0,
() 1
,0,
2
u
y
y
Fy
e u d u y
h
--



从而,h=x2的分布密度函数
1
22
0,0,
() 1
,0,
2
y
y
y
y e y
h
j
--



2009-7-25
24
一般地,如果随机变量 h是随机变量 x的函数,
h=f(x),
那末
P{h<y}=P{f(x)<y}=P{x?S},
其中 S为由所有能使 f(x)<y的 x值组成的集合,这样,就可以根据 x的分布来定出 h
的分布了
2009-7-25
25
第二节 二维随机变量的函数
2009-7-25
26
上节的内容可以推广到多维随机变量上去,譬如说,设 (x,h)为二维随机变量,f(x,y)
为二元函数,那末 z=f(x,h)是一维随机变量,且由 (x,h)的分布可定出 z的分布,
2009-7-25
27
例 4 设 (x,h)的分布密度为
1 1 2
5 2 6
1
20 20 20
3 3 1
2
20 20 20
h
x
-
-
来表示 (1)x?h,(2)x-h的分布密度,
2009-7-25
28
解 由 (x,h)的分布密度可得
5 2 6 3 3 1
2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0
(,) ( 1,1 ) ( 1,1 ) ( 1,2 ) ( 2,1 ) ( 2,1 ) ( 2,2 )
2 0 1 1 3 4
0 2 3 3 1 0
x
xh
h
xh
- - - - -
-
- - -
概 率
(1) x?h的分布密度为
2 0 1 3 4
5 2 9 3 1
20 20 20 20 20
xh?-
概 率
2009-7-25
29
(2) x-h 的分布密度为
5 2 6 3 3 1
2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0
(,) ( 1,1 ) ( 1,1 ) ( 1,2 ) ( 2,1 ) ( 2,1 ) ( 2,2 )
2 0 1 1 3 4
0 2 3 3 1 0
x
xh
h
xh
- - - - -
-
- - -
概 率
3 2 0 1 3
6 2 6 3 3
20 20 20 20 20
xh - - -
概 率
2009-7-25
30
例 5 设 x,h相互独立且依次服从 P (l1),
P (l2),证明,x+h服从 P (l1+l2)
解 记服从 P (l)的随机变量取值 i的概率为
()
!
i
i
e
p
i
l l
l
-
2009-7-25
31
则 x?h可能取的值为 0,1,2,...
12 12
12
0 1 2 1 1 1 2
1 0 2 1 2
0
()
12
12
00
()
1 2 1 2
{ } ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
! ( ) ! !
( ) ( )
!
ii
i
i j i j
j
j i jii
j i j
jj
i
i
P i p p p p
p p p p
iee e
jj i j i
e
p
i
ll ll
ll
x h l l l l
l l l l
ll
ll
l l l l
-
-
-- -?-
-

-?





-



从而 x?h服从 P (l1?l2).
2009-7-25
32
例 6 设 (x,h)的分布密度为 j(x,y),求 x+h的分布密度,
解 设 x+h的分布函数为 F*(z),则
* ( ) { } (,)
zD
F z P z x y dx h j
Dz
xO
y
x+y=z
2009-7-25
33
把上述积分化为二次积分,作变换 y=v-x,得



*
( ) (,)
(,)
(,),
zx
y v x
z
z
F z x y dy dx
x v x dv dx
x v x dx dv
j
j
j
-
-? -?
-

-? -?

-? -?
-
-



于是,x+h的分布密度为
* ( ) (,)z x z x d xjj
-?
-?
2009-7-25
34
下面根据上述结论证明,如果 x,h相互独立,且它们服从相同的分布 N(0,1),那末
x+h服从 N(0,2).
由于 x,h相互独立,所以 (x,h)的分布密度
22
21(,)
2
xy
x y ej
-
则 x+h的分布密度
22 ()
* 21( ) (,)
2
x z x
z x z x d x e d xjj
- -
-? -?
-
2009-7-25
35
令
22
2
2
22
* 2
2
2
2 2 2
1
()
2
11
22
x x z z
z
x
z
z e d x
e e d x
j

-?
-
-?

-


--
-?
2
2
z
xt-?
2009-7-25
36
得
22
2
2
* 2 2 2
2 ( 2 )
11
()
2 2 2
1
,
22
zt
z
z e e dt
e
j

--
-?
-
即 x+h服从 N(0,2).
相仿可证明,如果 x,h相互独立且依次服从
N(a1,?12),N(a2,?22),那么 x+h服从
N(a1+a2,?12+?22).
2009-7-25
37
一般地,如果随机变量 z是连续型二维随机变量 (x,h)的函数,
z=f(x,h)
要用 (x,h)的分布密度来表达 z的分布密度,那末可如下地求 z的分布函数,
* ( ) { } { (,) }
(,),
zD
F z P z P f z
x y d
z x h
j?


其中 j(x,y)是 (x,h)的分布密度,Dz为平面内由
f(x,y)<z所定的区域,
2009-7-25
38
求得 z的分布函数后,通过分布函数与分布密度的关系,即可求得 z的分布密度,
2009-7-25
39
例 7 设 (x,h)的分布密度为
22
2
1
(,)
2
xy
x y ej
-
求
22z x h
的分布密度
2009-7-25
40
解 设 z的分布函数为 F*(z)=P{z<z},当
z?0时,F*(z)=0,当 z>0时,
22
* 2 2
1
()
2
( ) { } (,)
1
,
2
z
z
D
xy
D
F z P z x y d
ed
x h j?
-?



其中 Dz为不等式
22x y z
所定的区域,
x
y
z
z
O
Dz
2009-7-25
41
利用极坐标,得
2
2
2
2
2
*
2
00
2
2
0
0
2
2
0
2
1
()
2
1
[]
2
1
( 1 )
2
1,
r
z
r
z
z
z
F z e rdr d
ed
ed
e
-
-
-
-




-
-
-

2009-7-25
42
即
2
*
2
0,0,
()
1,0,
z
z
Fz
ez
-


-
从而
22z x h
的分布密度为
2
*
2
0,0,
()
,0,
z
z
z
ze z
j
-



2009-7-25
43
1995年考研试题 (6分 )
设随机变量 X的概率密度为
,0
()
0,0
x
X
ex
fx
x
-


求随机变量 Y=eX的概率密度 fY(y).
2009-7-25
44
解 Y的分布函数 FY(y)=P{Y<y}=P{eX<y}
当 y?0时,FY(y)=0,所以 fY(y)=0
当 y>0时
ln
ln
0
( ) { l n } ( )
0,1,
0,1,
1
1,1,1
y
YX
y
x
F y P X Y f x d x
y
y
ye d x y
y
-?
-





-

因此
2
1
,1,
()
0,1.
Y
y
yfy
y



2009-7-25
45
作业,第 96页开始第 5,9题