2009-7-25
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概率论第 3讲第三章 随机事件的概率本文件可从网址
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(单击 'ppt讲义 '后选择 '工程数学 '子目录 )
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2
随机事件虽然有偶然性的一面,即它在一次试验中,可能发生,也可能不发生 ;
但是在大量重复试验中,人们还是可以发现它是有内在规律性的,即它出现的可能性的大小是可以 "度量 "的,随机事件的 概率 就是用来计量随机事件出现的可能性大小的一个数字,它是概率论中最基本的概念之一,
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3
第一节 古典概型 概率的古典定义
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4
讨论一类简单的随机试验,其特征是,
(1) 可能的试验结果的个数是有限的,把这些试验结果记作 e1,e2,...,en,其全体记作 U={e1,e2,...,en};
(2) 两两互斥的诸基本事件
{e1},{e2},...,{en}出现的可能性相等,
这时,称所讨论的问题是古典概型的,
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5
例如,在一个口袋中含有编号依次为
1,2,...,n的 n个球,从这袋中任取一球,以
ei表示试验结果 "取得号数为 i的球 "
(i=1,2,...,n),则 U={e1,e2,...,en},这里,由于取球是任意的,所以两两互斥的基本事件 {ei}(i=1,2,...,n)出现的可能性相等,因此,这问题属于古典概型,
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6
对于古典概型的情形,设所有可能的试验结果的全体为 U={e1,e2,...,en},
事件
12
{,,,}
rk k k
A e e e?
其中 k1,k2,...,kr为 1,2,...,n中指定的 r个不同的数,则定义事件 A的概率为总的试验结果的个数数中包含的试验结果的个A
n
rAP)(
概率的这种定义,称为 概率的古典定义
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7
例 1 从一批由 90件正品,3件次品组成的产品中,任取一件产品,求取得正品的概率,
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8
解 设想把这些产品进行编号,比如,把 90
件正品编为 1#,2#,...,90#,把 3件次品依次编成 91#,92#,93#,则所有可能的试验结果的全体为 U={1,2,...,93},其中 i表示 "取得编号为 i的一件产品 "(i=1,2,...,93),是两两互斥的,出现的可能性相等,取得正品就是事件 A={1,2,...,90}出现,所以取得正品的概率为
9 0 3 0( ) 0,9 6 8
9 3 3 1
PA
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9
例 2 从例 1的这批产品中,接连抽取两件产品,第一次抽出后的产品并不放回去,
求第一次取得次品且第二次取得正品的概率,
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10
解 设想将这些产品按例 1的办法编号,抽到的结果可用一对有序数组 (i,j)表示,i,j
表示第一,第二次取得的产品的号数,所有试验结果可由所有这种数组的全体表示,共有 93?92种,事件 A表示 "第一次取得次品且第二次取得正品 ",可由 i取 91到
93且 j取 1到 90的数组表示,共有 3?90种,
因此
3 9 0 4 5
( ) 0,0 3 1 6
9 3 9 2 1 4 2 6
PA
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11
为了计算各种复杂事件的概率,同时为了揭露概率的本质,在古典概型的情形下,证明如下定理,
定理 两个互斥事件 A与 B的和事件的概率,等于事件 A与事件 B的概率之和,即
P(A+B)=P(A)+P(B)
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12
证 设 U={e1,e2,...,en},
1 2 1 2{,,,},{,,,}rsk k k l l lA e e e B e e e
因此
( ),( ),rsP A P B
nn
按互斥性,A与 B没有共同元素,所以
1 2 1 2{,,,,,,,},rsk k k l l lA B e e e e e e
从而
( ) ( ) ( )r s r sP A B P A P B
n n n
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13
例 3 对于 例 2中的试验,求 "取得两件产品为一件正品,一件次品 "的概率,
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14
解 设事件 A为 "取得两件产品为一件正品,
一件次品 "; 事件 A1为 "第一次取得正品,
而且第二次取得次品,事件 A2为 "第一次取得次品且第二次取得正品 ",则 A1,A2互斥,且 A=A1+A2,因此
12
1 2 1 2
9 0 3 3 9 0
( ) ( )
9 3 9 2 9 3 9 2
( ) ( ) ( )
9 0 3 3 9 0 4 5
9 3 9 2 9 3 9 2 7 1 3
P A P A
P A P A A P A P A
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15
例 4 从 0,1,2,3这四个数字中任取三个进行排列,求 "取得的三个数是三位数且是偶数 "的概率,
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16
解 事件 A表示 "排成的数是三位数且是偶数 "; 事件 A0表示 "排成的数是末位为 0的三位数 "; 事件 A2表示 "排成的数是末位为 2的三位数 ",由于三位数的首位数不能为零,所以
02
3 2 1 2 2 1( ) ( )
4 3 2 4 3 2
P A P A
显然,A0,A2互斥,由上述定理得
0 2 0 2
5( ) ( ) ( ) ( )
12
P A P A A P A P A
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17
第二节 几何概率
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18
对于试验的可能结果有无穷多个的情形,
概率的古典定义显然是不适用了,为了克服这个局限性,我们仍以等可能性为基础把这个定义作必要的推广,使得推广后的定义能适用于有无穷多个不同试验结果且各个基本事件具有等可能性的情形,
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19
例如,在一个均匀陀螺的圆周上均匀地刻上区间 [0,3)上的诸数字,旋转这陀螺,
要合理地规定 "陀螺停下时其圆周与桌的概上间面接触点的刻度位于区 "2,
2
1
率,由于陀螺及刻度的均匀性,它停下时其圆周上各点与桌面接触的可能性相等,
即接触点的刻度位于在 [0,3)内的一个区间上的可能性与这区间的长度成比例,
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20
于是,所要的概率可规定为
2
1
03
2
1
2
)3,0[
2,
2
1
的长度区间的长度区间
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21
又如,设一个粒子位于容积为 V的容器内各点处的可能性相等,即位于容器内的任何部分的可能性与这部分的容积成比例,于是,这粒子位于这容器内体积为 v
的一个部分区域 D内的概率可规定为
V
vD
容器的容积的容积区域
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22
以上两个例子中,都以等可能性为基础,
借助于几何上的度量 (长度,面积,体积或容积等 )来合理地规定概率,用这种方法规定的概率称为 几何概率,
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23
例 5 甲,乙两人相约在 0到 T这段时间内,
在预定地点会面,先到的人等候另一个人,经过时间 t(t<T)后离去,设每人在 0到
T这段时间内各时刻到达该地是等可能的,且两人到达的时刻互不牵连,求甲,乙两人能会面的概率,
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24
解 以 x,y分别表示甲乙两人到达的时刻,
那末 0?x?T,0?y?T.
若以 x,y表示平面上点的坐标,则所有基本事件可以用一正方形内所有点表示,
两人能会面的条件是 |x?y|?t
y
O t T x
t
T
A
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25
所以所求概率为
O t T x
t
T
A
2
2
22
11
)(
T
t
T
tTT
p
正方形面积阴影部分面积
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第三节 随机事件的频率 概率的统计定义
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27
设随机事件 A在 n次试验中出现了 r次,则称比值 r/n为这 n次试验中事件 A出现的频率,记作 W(A),即
rWA
n
（ ）
显然,任何随机事件在 n次试验中出现的频率总是介于 0与 1之间的一个数,
0?W(A)?1
必然事件出现的频率总等于 1,不可能事件出现的频率总等于 0.
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28
下表是抛掷钱币的试验结果,n表示抛掷的次数,r为徽花向上的次数,W=r/n表示徽花向上的频率实验序号 n=5 n=50 n=500r W r W r W
1 2 0.4 22 0.44 251 0.502
2 3 0.6 25 0.50 249 0.498
3 1 0.2 21 0.42 256 0.512
4 5 1.0 25 0.50 253 0.506
5 1 0.2 24 0.48 251 0.502
6 2 0.4 21 0.42 246 0.492
7 4 0.8 18 0.36 244 0.488
8 2 0.4 24 0.48 258 0.516
9 3 0.6 27 0.54 262 0.524
10 3 0.6 31 0.62 247 0.494
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29
经验表明,只要试验是在相同条件下进行的,则随机事件出现的频率逐渐稳定于某个常数 p,这个数字 p是事件本身的一种属性,这种属性是可以对事件出现的可能性大小进行度量的客观基础,因此,在一般情形下,引进下面的概率定义,
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30
如果随着试验次数的增大,事件 A出现的频率 r/n在区间 [0,1]上的某个数字 p附近摆动,则定义事件 A的概率为
P(A)=p.
概率的这种定义,称为 概率的统计定义,
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31
由概率的统计定义可以得到概率的下列性质,
(1) 对任一事件 A,有
0?P(A)?1.
(2) P(U)=1,P(?)=0.
(3) 对于两两互斥的有限个随机事件
A1,A2,...,An有
P(A1+A2+...+An)=P(A1)+P(A2)+...+P(An).
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32
第四节 概率的公理化体系
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33
公理 1 对于任一随机事件 A,有
0?P(A)?1.
公理 2 P(U)=1,P(?)=0.
公理 3 对于两两互斥的可数多个随机事件 A1,A2,...,有
P(A1+A2+...)=P(A1)+P(A2)+....
定义 设函数 P(A)的定义域为所有随机事件组成的集合,且满足公理 1,2,3,则称函数 P(A)为 事件 A的概率,
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性质 1 设有限多个事件 A1,A2,...,An两两互斥,则
P(A1+A2+...+An)=P(A1)+P(A2)+...+P(An)
证 在公理 3中,令 An+1=An+2=...=?,由
P(?)=0得
P(A1+A2+...+An)=P(A1+A2+...+An+An+1+...)
=P(A1)+P(A2)+...+P(An)+0+...
=P(A1)+P(A2)+...+P(An)
习惯上,统称定理 3及性质 1为 加法定理,
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35
性质 2 设 A为任一事件,则
P(?A )=1?P(A)
证 由于 A与?A互斥,由性质 1得
P(A +?A)=P( A )+P(?A )
但 A +?A =U,P(U)=1,
所以 P( A )+P(?A ) =1
即 P(?A )=1?P(A)
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36
性质 3 如果 A?B,则
P(B?A)=P(B)?P(A).
证 当 A?B时,A(B?A)=?,所以
B=A+(B?A).
由性质 1得
P(B)=P(A)+P(B?A)
即
P(B?A)=P(B)?P(A).
因为 P(B?A)?0,所以由性质 3立即推得当 A?B时,P(A)?P(B)
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37
性质 4 设 A,B为任意两个随机事件,则
P(A?B)=P(A)+P(B)?P(AB)
BA
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38
证 先把 A?B表达成两个互斥事件 A及
(B?AB)的和 (见上图 ),即
A?B=A+(B?AB)
由性质 1得
P(A?B)=P(A)+P(B?AB).
而 AB?B,由性质 3得
P(B?AB)=P(B)?P(AB)
从而
P(A?B)=P(A)+P(B)?P(AB)
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39
P(A?B)=P(A)+P(B)?P(AB)
习惯上,称性质 4为 广义加法定理,
由于 P(AB)?0,所以由性质 4得
P(A?B)?P(A)+P(B)
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40
例 6 设事件 A,B的概率分别为 1/3和 1/2,
求在下列三种情况下 P(B?A)的值,
(1) A与 B互斥 ;
(2) A?B;
(3) P(AB)=1/8
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41
解 (1)由于 A与 B互斥,BA,所以
B?A=B,即得
1( ) ( )
2
P B A P B
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42
(2) 当 A?B时,
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
2 3 6
P B A P B A P B P A
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(3) 因为 A?B = A + B?A,而
( ) ( ) ( ) ( ),
( ) ( ) ( )
P A B P A P B P A B
P A B A P A P B A
上两式左边相等,即得
( ) ( ) ( )
1 1 3
2 8 8
P B A P B P A B
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作业,从第 29页开始第 1,2题第 9题选做
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随机事件虽然有偶然性的一面,即它在一次试验中,可能发生,也可能不发生 ;
但是在大量重复试验中,人们还是可以发现它是有内在规律性的,即它出现的可能性的大小是可以 "度量 "的,随机事件的 概率 就是用来计量随机事件出现的可能性大小的一个数字,它是概率论中最基本的概念之一,
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第一节 古典概型 概率的古典定义
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4
讨论一类简单的随机试验,其特征是,
(1) 可能的试验结果的个数是有限的,把这些试验结果记作 e1,e2,...,en,其全体记作 U={e1,e2,...,en};
(2) 两两互斥的诸基本事件
{e1},{e2},...,{en}出现的可能性相等,
这时,称所讨论的问题是古典概型的,
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5
例如,在一个口袋中含有编号依次为
1,2,...,n的 n个球,从这袋中任取一球,以
ei表示试验结果 "取得号数为 i的球 "
(i=1,2,...,n),则 U={e1,e2,...,en},这里,由于取球是任意的,所以两两互斥的基本事件 {ei}(i=1,2,...,n)出现的可能性相等,因此,这问题属于古典概型,
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对于古典概型的情形,设所有可能的试验结果的全体为 U={e1,e2,...,en},
事件
12
{,,,}
rk k k
A e e e?
其中 k1,k2,...,kr为 1,2,...,n中指定的 r个不同的数,则定义事件 A的概率为总的试验结果的个数数中包含的试验结果的个A
n
rAP)(
概率的这种定义,称为 概率的古典定义
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例 1 从一批由 90件正品,3件次品组成的产品中,任取一件产品,求取得正品的概率,
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解 设想把这些产品进行编号,比如,把 90
件正品编为 1#,2#,...,90#,把 3件次品依次编成 91#,92#,93#,则所有可能的试验结果的全体为 U={1,2,...,93},其中 i表示 "取得编号为 i的一件产品 "(i=1,2,...,93),是两两互斥的,出现的可能性相等,取得正品就是事件 A={1,2,...,90}出现,所以取得正品的概率为
9 0 3 0( ) 0,9 6 8
9 3 3 1
PA
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9
例 2 从例 1的这批产品中,接连抽取两件产品,第一次抽出后的产品并不放回去,
求第一次取得次品且第二次取得正品的概率,
2009-7-25
10
解 设想将这些产品按例 1的办法编号,抽到的结果可用一对有序数组 (i,j)表示,i,j
表示第一,第二次取得的产品的号数,所有试验结果可由所有这种数组的全体表示,共有 93?92种,事件 A表示 "第一次取得次品且第二次取得正品 ",可由 i取 91到
93且 j取 1到 90的数组表示,共有 3?90种,
因此
3 9 0 4 5
( ) 0,0 3 1 6
9 3 9 2 1 4 2 6
PA
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为了计算各种复杂事件的概率,同时为了揭露概率的本质,在古典概型的情形下,证明如下定理,
定理 两个互斥事件 A与 B的和事件的概率,等于事件 A与事件 B的概率之和,即
P(A+B)=P(A)+P(B)
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12
证 设 U={e1,e2,...,en},
1 2 1 2{,,,},{,,,}rsk k k l l lA e e e B e e e
因此
( ),( ),rsP A P B
nn
按互斥性,A与 B没有共同元素,所以
1 2 1 2{,,,,,,,},rsk k k l l lA B e e e e e e
从而
( ) ( ) ( )r s r sP A B P A P B
n n n
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13
例 3 对于 例 2中的试验,求 "取得两件产品为一件正品,一件次品 "的概率,
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14
解 设事件 A为 "取得两件产品为一件正品,
一件次品 "; 事件 A1为 "第一次取得正品,
而且第二次取得次品,事件 A2为 "第一次取得次品且第二次取得正品 ",则 A1,A2互斥,且 A=A1+A2,因此
12
1 2 1 2
9 0 3 3 9 0
( ) ( )
9 3 9 2 9 3 9 2
( ) ( ) ( )
9 0 3 3 9 0 4 5
9 3 9 2 9 3 9 2 7 1 3
P A P A
P A P A A P A P A
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例 4 从 0,1,2,3这四个数字中任取三个进行排列,求 "取得的三个数是三位数且是偶数 "的概率,
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解 事件 A表示 "排成的数是三位数且是偶数 "; 事件 A0表示 "排成的数是末位为 0的三位数 "; 事件 A2表示 "排成的数是末位为 2的三位数 ",由于三位数的首位数不能为零,所以
02
3 2 1 2 2 1( ) ( )
4 3 2 4 3 2
P A P A
显然,A0,A2互斥,由上述定理得
0 2 0 2
5( ) ( ) ( ) ( )
12
P A P A A P A P A
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第二节 几何概率
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对于试验的可能结果有无穷多个的情形,
概率的古典定义显然是不适用了,为了克服这个局限性,我们仍以等可能性为基础把这个定义作必要的推广,使得推广后的定义能适用于有无穷多个不同试验结果且各个基本事件具有等可能性的情形,
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19
例如,在一个均匀陀螺的圆周上均匀地刻上区间 [0,3)上的诸数字,旋转这陀螺,
要合理地规定 "陀螺停下时其圆周与桌的概上间面接触点的刻度位于区 "2,
2
1
率,由于陀螺及刻度的均匀性,它停下时其圆周上各点与桌面接触的可能性相等,
即接触点的刻度位于在 [0,3)内的一个区间上的可能性与这区间的长度成比例,
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20
于是,所要的概率可规定为
2
1
03
2
1
2
)3,0[
2,
2
1
的长度区间的长度区间
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21
又如,设一个粒子位于容积为 V的容器内各点处的可能性相等,即位于容器内的任何部分的可能性与这部分的容积成比例,于是,这粒子位于这容器内体积为 v
的一个部分区域 D内的概率可规定为
V
vD
容器的容积的容积区域
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22
以上两个例子中,都以等可能性为基础,
借助于几何上的度量 (长度,面积,体积或容积等 )来合理地规定概率,用这种方法规定的概率称为 几何概率,
2009-7-25
23
例 5 甲,乙两人相约在 0到 T这段时间内,
在预定地点会面,先到的人等候另一个人,经过时间 t(t<T)后离去,设每人在 0到
T这段时间内各时刻到达该地是等可能的,且两人到达的时刻互不牵连,求甲,乙两人能会面的概率,
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24
解 以 x,y分别表示甲乙两人到达的时刻,
那末 0?x?T,0?y?T.
若以 x,y表示平面上点的坐标,则所有基本事件可以用一正方形内所有点表示,
两人能会面的条件是 |x?y|?t
y
O t T x
t
T
A
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所以所求概率为
O t T x
t
T
A
2
2
22
11
)(
T
t
T
tTT
p
正方形面积阴影部分面积
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第三节 随机事件的频率 概率的统计定义
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设随机事件 A在 n次试验中出现了 r次,则称比值 r/n为这 n次试验中事件 A出现的频率,记作 W(A),即
rWA
n
（ ）
显然,任何随机事件在 n次试验中出现的频率总是介于 0与 1之间的一个数,
0?W(A)?1
必然事件出现的频率总等于 1,不可能事件出现的频率总等于 0.
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28
下表是抛掷钱币的试验结果,n表示抛掷的次数,r为徽花向上的次数,W=r/n表示徽花向上的频率实验序号 n=5 n=50 n=500r W r W r W
1 2 0.4 22 0.44 251 0.502
2 3 0.6 25 0.50 249 0.498
3 1 0.2 21 0.42 256 0.512
4 5 1.0 25 0.50 253 0.506
5 1 0.2 24 0.48 251 0.502
6 2 0.4 21 0.42 246 0.492
7 4 0.8 18 0.36 244 0.488
8 2 0.4 24 0.48 258 0.516
9 3 0.6 27 0.54 262 0.524
10 3 0.6 31 0.62 247 0.494
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29
经验表明,只要试验是在相同条件下进行的,则随机事件出现的频率逐渐稳定于某个常数 p,这个数字 p是事件本身的一种属性,这种属性是可以对事件出现的可能性大小进行度量的客观基础,因此,在一般情形下,引进下面的概率定义,
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30
如果随着试验次数的增大,事件 A出现的频率 r/n在区间 [0,1]上的某个数字 p附近摆动,则定义事件 A的概率为
P(A)=p.
概率的这种定义,称为 概率的统计定义,
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31
由概率的统计定义可以得到概率的下列性质,
(1) 对任一事件 A,有
0?P(A)?1.
(2) P(U)=1,P(?)=0.
(3) 对于两两互斥的有限个随机事件
A1,A2,...,An有
P(A1+A2+...+An)=P(A1)+P(A2)+...+P(An).
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第四节 概率的公理化体系
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公理 1 对于任一随机事件 A,有
0?P(A)?1.
公理 2 P(U)=1,P(?)=0.
公理 3 对于两两互斥的可数多个随机事件 A1,A2,...,有
P(A1+A2+...)=P(A1)+P(A2)+....
定义 设函数 P(A)的定义域为所有随机事件组成的集合,且满足公理 1,2,3,则称函数 P(A)为 事件 A的概率,
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性质 1 设有限多个事件 A1,A2,...,An两两互斥,则
P(A1+A2+...+An)=P(A1)+P(A2)+...+P(An)
证 在公理 3中,令 An+1=An+2=...=?,由
P(?)=0得
P(A1+A2+...+An)=P(A1+A2+...+An+An+1+...)
=P(A1)+P(A2)+...+P(An)+0+...
=P(A1)+P(A2)+...+P(An)
习惯上,统称定理 3及性质 1为 加法定理,
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性质 2 设 A为任一事件,则
P(?A )=1?P(A)
证 由于 A与?A互斥,由性质 1得
P(A +?A)=P( A )+P(?A )
但 A +?A =U,P(U)=1,
所以 P( A )+P(?A ) =1
即 P(?A )=1?P(A)
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性质 3 如果 A?B,则
P(B?A)=P(B)?P(A).
证 当 A?B时,A(B?A)=?,所以
B=A+(B?A).
由性质 1得
P(B)=P(A)+P(B?A)
即
P(B?A)=P(B)?P(A).
因为 P(B?A)?0,所以由性质 3立即推得当 A?B时,P(A)?P(B)
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性质 4 设 A,B为任意两个随机事件,则
P(A?B)=P(A)+P(B)?P(AB)
BA
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证 先把 A?B表达成两个互斥事件 A及
(B?AB)的和 (见上图 ),即
A?B=A+(B?AB)
由性质 1得
P(A?B)=P(A)+P(B?AB).
而 AB?B,由性质 3得
P(B?AB)=P(B)?P(AB)
从而
P(A?B)=P(A)+P(B)?P(AB)
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P(A?B)=P(A)+P(B)?P(AB)
习惯上,称性质 4为 广义加法定理,
由于 P(AB)?0,所以由性质 4得
P(A?B)?P(A)+P(B)
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例 6 设事件 A,B的概率分别为 1/3和 1/2,
求在下列三种情况下 P(B?A)的值,
(1) A与 B互斥 ;
(2) A?B;
(3) P(AB)=1/8
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解 (1)由于 A与 B互斥,BA,所以
B?A=B,即得
1( ) ( )
2
P B A P B
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(2) 当 A?B时,
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
2 3 6
P B A P B A P B P A
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(3) 因为 A?B = A + B?A,而
( ) ( ) ( ) ( ),
( ) ( ) ( )
P A B P A P B P A B
P A B A P A P B A
上两式左边相等,即得
( ) ( ) ( )
1 1 3
2 8 8
P B A P B P A B
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作业,从第 29页开始第 1,2题第 9题选做
