2009-7-25
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第四章 条件概率 事件的相互独立性及试验的相互独立性第一节 条件概率 乘法定理
2009-7-25
3
在许多问题中,我们往往会遇到事件 A已经出现的条件下求事件 B的概率,这时由于有了附加条件,因此称这种概率为事件
A出现下事件 B的 条件概率,记作 P(B|A)
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4
例如,两台车床加工同一种机械零件如下表,
正品数 次品数 总计第一台车床加工的零件数 35 5 40
第二台车床加工的零件数 50 10 60
总计 85 15 100
从这 100个零件中任取一个零件,则 "取得的零件为正品 "(设为事件 B)的概率为
85( ) 0,8 5
100
PB
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5
正品数 次品数 总计第一台车床加工的零件数 35 5 40
第二台车床加工的零件数 50 10 60
总计 85 15 100
如果已知取出的零件是第一台车床加工的
(设为事件 A),则我们有事件 A出现下事件 B
的条件概率为
35( | ) 0,8 7 5
40
P B A
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6
在古典概型下,设 U={e1,e2,...,en},其中导致事件 A出现的试验结果有 m个,导致事件 B出现的试验结果有 k个,导致事件 AB
出现的试验结果有 r个,事件 A出现,就是说导致 A出现的 m个试验结果中有一个出现,在这条件下导致 B出现的试验结果有且仅有 r个,所以
/ ( )
( | ),
/ ( )
r r n P A B
P B A
m m n P A
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7
在一般情形下,如果 P(A)>0,也定义事件
A出现下事件 B的条件概率为
()( | ),( ( ) 0 )
()
P A BP B A P A
PA
乘法定理 两事件的积事件的概率等于其中一事件的概率与另一事件在前一事件出现下的条件概率的乘积,
P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)
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例 1 一批零件共 100个,次品率为 10%,接连两次从这批零件中任取一个零件,第一次取出的零件不再放回去,求第二次才取得正品的概率,
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9
解 按题意,即第一次取出的零件是次品
(设为事件 A),第二次取出的零件是正品
(设为事件 B),容易知道
1 0 9 0( ),( | )
1 0 0 9 9
P A P B A
由此得到所求的概率为
1 0 9 0 1( ) ( ) ( | )
1 0 0 9 9 1 1
P A B P A P B A
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10
例 2 设某种动物由出生算起活 20岁以上的概率为 0.8,活 25岁以上的概率为 0.4,
如果现在有一个 20岁的这种动物,问它能活到 25岁以上的概率是多少?
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11
解 设 A表示 "能活 20岁以上 "的事件 ;B表示 "能活 25岁以上 "的事件,按题意,
P(A)=0.8,由于 B?A,所以 AB=B,因此
P(AB)=P(B)=0.4,按条件概率定义,
( ) 0,4 1( | )
( ) 0,8 2
P A BP B A
PA
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12
乘法定理可以推广到有限多个事件的情形,例如,对于 A,B,C三个事件,有
P(ABC)=P((AB)C)=P(AB)P(C|AB)
=P(A)P(B|A)P(C|AB),(P(AB)>0)
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第二节 全概率公式
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14
设诸事件 A1,A2,...,An两两互斥且事件 B为事件 A1+A2+...+An的子事件,于是
B=B(A1+A2+...+An)=BA1+BA2+...+BAn
由于诸 Ai(i=1,2,...,n)两两互斥,所以诸 BAi
也两两互斥,从而,由加法定理,得
P(B)=P(BA1+BA2+...+BAn)
=P(BA1)+ P(BA2) +...+ P(BAn)
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15
P(B)=P(BA1)+ P(BA2) +...+ P(BAn)
再由乘法定理,得
P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai),(i=1,2,...,n)
即得
P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+...
+P(An)P(B|An).
这个公式称为 全概率公式,它是概率论的一个基本公式,有着多方面的应用,当诸 P(Ai)和 P(B|Ai)容易计算时,可利用这公式来计算 P(B)
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16
例 3 设一个仓库中有十箱同样规格的产品,已知其中有五箱,三箱,二箱依次是甲厂,乙厂,丙厂生产的,且甲厂,乙厂,
丙厂生产的该种产品的次品率依次为
1/10,1/15,1/20,从这十箱产品中任取一箱,再从取得的这箱中任取一件产品,求取得正品的概率,
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17
解 依次以 A1,A2,A3表示诸事件 "取得的这箱产品是甲厂,乙厂,丙厂生产 "; 以 B表示事件 "取得的产品为正品 ",于是
1 2 3
1 2 3
5 3 2
( ),( ),( ),
10 10 10
9 14 19
( | ),( | ),( | ),
10 15 20
P A P A P A
P B A P B A P B A
按全概率公式,有
P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)+P(B|A3)P(A3)
=0.92
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第三节 贝叶斯公式
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19
例 4 如果例 3中抽到的产品是正品,问所抽到的箱子依次是甲厂,乙厂,丙厂的概率各为多少?
解 仍采用例 3的记号,现在已知
1 2 3
1 2 3
5 3 2
( ),( ),( ),
10 10 10
9 14 19
( | ),( | ),( | ),
10 15 20
P A P A P A
P B A P B A P B A
要计算 P(A1|B),P(A2|B),P(A3|B).
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20
1 2 3
1 2 3
5 3 2
( ),( ),( ),
10 10 10
9 14 19
( | ),( | ),( | ),
10 15 20
P A P A P A
P B A P B A P B A
要计算 P(A1|B),P(A2|B),P(A3|B),按乘法定理,
P(A1B)=P(A1)P(B|A1)=P(B)P(A1|B)
11
1
11
1 1 2 2 3 3
( ) ( | )
( | )
()
( ) ( | )
( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | )
45
92
P A P B A
P A B
PB
P A P B A
P A P B A P A P B A P A P B A
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一般地,诸事件 A1,A2,...,An两两互斥,事件 B为事件 A1+...+An的子事件,且
P(Ai)>0(i=1,2,...,n),P(B)>0,则按乘法定理,有
P(B)P(Ai|B)=P(Ai)P(B|Ai)
所以
( ) ( | )
( | )
()
ii
i
P A P B A
P A B
PB
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又按全概率公式,得
P(B)=P(A1)P(B|A1) +...+P(An)P(B|An)
因此得到
( ) ( | )( | )
()
ii
i
P A P B AP A B
PB
11
( ) ( | )
( | )
( ) ( | ) ( ) ( | )
( 1,2,,)
ii
i
nn
P A P B A
P A B
P A P B A P A P B A
in
称此公式为 贝叶斯公式,
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实用上称 P(A1),P(A2),...,P(An)的值为验前概率,称 P(A1|B),P(A2|B),...,P(An|B)的值为验后概率,贝叶斯公式就是从验前概率推算验后概率的公式,
11
( ) ( | )
( | )
( ) ( | ) ( ) ( | )
( 1,2,,)
ii
i
nn
P A P B A
P A B
P A P B A P A P B A
in
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第四节 事件的相互独立性
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一般说来,条件概率 P(B|A)与概率 P(B)是不等的,但在某些情形下,它们是相等的,
例如,在一批有一定次品率的产品中,接连两次抽取产品,每次任取一件,如果第一次抽取后仍放回这批产品中,设 A为事件 "第一次取得正品 ",B为事件 "第二次取得正品 ",那末,P(B|A)=P(B).
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当 P(B|A)=P(B)时,乘法定理可表示为
P(AB)=P(A)P(B).
如果两事件 A,B的积事件的概率等于这两事件的概率的乘积,则称两事件 A,B是相互独立的,
当 P(A),P(B)都不为零时,从事件 A,B相互独立能推得
P(B|A)=P(B),P(A|B)=P(A)
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例 5 甲,乙各自同时向一敌机射击,已知甲击中敌机的概率为 0.6,乙击中敌机的概率为 0.5,求敌机被击中的概率,
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解 设 A为事件 "甲击中敌机 ",B为事件 "乙击中敌机 ",C为事件 "敌机被击中 ",由广义加法定理知
P(C)=P(A?B)=P(A)+P(B)-P(AB)
根据题意可认为 A,B事件相互独立,因此有
P(AB)=P(A)P(B)=0.6?0.5=0.3
于是
P(C)=0.6+0.5-0.3=0.8
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定理 若四对事件 A,B; A,?B;?A B;
A,?B中有一对是相互独立的,则另外三对也是相互独立的 (即这四对事件或者都相互独立,或者都不相互独立 ).
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30
证 仅证明当 A,B相互独立时,?A,B也相互独立,因为
P(?A B)=P(B-AB)=P(B)-P(AB)
=P(B)-P(A)P(B)=P(B)[1-P(A)]
=P( B ) P(?A )
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设 A1,A2,...,An为 n个事件,如果对于任一组 k1,k2,...,ks(2?s?n,每组 k1,k2,...,ks取
1,2,...,n中的 S个不同的值 ),等式
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )ssk k k k k kP A A A P A P A P A?
总成立,那末称事件 A1,A2,...,An总起来相互独 立,简称 相互独立,
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称一个元件能正常工作的概率 p为这个元件的可靠性,称由元件组成的一个系统能正常工作的概率为这系统的可靠性,
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例 6 设有 3个元件按照下面两种不同联接方式构成两个系统,若每个元件的可靠性均为 r(0<r<1),且各元件能否正常工作是相互独立的,求每个系统的可靠性,
1 2 3
1
2
3
系统 I(串联情况 )
系统 II(并联情况 )
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解 先讨论系统 I
1 2 3系统 I(串联情况 )
设 Ai为事件 "第 i个元件能正常工作 "
(i=1,2,3); A为事件 "整个系统能正常工作 ".
A=A1A2A3,则按照相互独立性,故
P(A)=P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=r3
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35
对系统 II,设 Ai为事件 "第 i个元件能正常工作 "(i=1,2,3); A为事件 "整个并联系统能正常工作 ".
则 A=A1?A2?A3
故
1
2
3
系统 II(并联情况 )
1 2 3 1 2 3
3
( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( )
1 ( 1 )
P A P A A A P A P A P A
r
-? -
- -
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除了总起来讲相互独立外,以后还要用到 A1,A2,...,An两两相互独立的概念,这就是说,A1,A2,...,An中任意两个都是相互独立的,A1,A2,...,An总起来讲相互独立当然保证它们两两相互独立 ; 但 A1,A2,...,An两两相互独立并不保证它们总起来讲相互独立,
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37
第五节 重复独立试验 二项概率公式
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38
实用上往往用到下列类型的试验,做几个试验,它们是完全同样一个试验的重复,且它们是相互独立的,即相应于每一次试验的随机事件的概率都不依赖于其它各次试验的结果,称这类试验是 重复独立试验,
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39
例如,从有一定次品率的一批产品中逐件地抽取产品,如果每次取出后都立即放回这批产品中再抽下一件 (放回抽样 ),
那末,可以把每取一件产品作为一个试验,由于每次取出后立即放回这批产品中去,所以各次取得的结果都不影响其余各次抽取时取得的产品是正品或次品的概率,又因每次抽取时面对的产品的次品率是相同的,所以现在各次抽取的试验是即相互独立又重复进行的,因此,
是重复独立试验,
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40
现在讨论关于重复独立试验的一个重要问题,
设每个试验中事件 A出现的概率为 p,要计算 n次重复独立试验中事件 A恰好出现
k次的概率 Pn(k)(0?k?n).
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由于这 n次试验的独立性,事件 A在指定的 k次试验中出现而在其余 n-k次试验中不出现的概率应该是
pk(1-p)n-k.
因只考虑事件 A在 n次试验中出现 k次,而不论在哪 k次出现,所以按组合计算法知
).,2,1,0(,)1()(
,.
nkpp
k
n
kP
k
n
knk
n
-
-
求的概率为所按概率的加法定理种出现方式应有
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如令 q=1-p,则上式可写为
( ),( 0,1,2,,)k n kn
n
P k p q k n
k
-
正好是 (p+q)n按二项公式展开时的各项,
所以上述公式称为 二项概率公式,
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43
例 8 一批产品中有 20%的次品,进行重复抽样检查,共取五件样品,计算这五件样品中恰好有三件次品,至多有三件次品的概率,
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44
解 设 A0,A1,A2,A3依次为五件样品中恰好有 0件,一件,二件,三件次品,现在 n=5,
p=0.2,q=0.8,按二项概率公式,得
32
35
0 1 2 3 5 5 5 5
5 4 2 3 3 2
5
( ) ( 3 ) ( 0,2) ( 0,8 ) 0,05 12
3
( ) ( 0) ( 1 ) ( 2) ( 3 )
5 4 5 4 3
( 0,8 ) 5 ( 0,2) ( 0,8 ) ( 0,2) ( 0,8 ) ( 0,2) ( 0,8 )
2 2 3
0,32 77 0,40 96 0,20 48 0,05 12 0,99 33
P A P
P A A A A P P P P
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例 9 在某一车间里有 12台车床,每台车床由于工艺上的原因,时常需要停车,设各台车床的停车 (或开车 )是相互独立的,设每台车床在任一时刻处于停车状态的概率为 1/3,计算在任一指定时刻车间里有
2台车床处于停车状态的概率,
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46
解 把任一指定时刻对一台车床的观察看作一次试验,由于各台车床的停车或开车是相互独立的,所以可按二项概率公式计算,得到
2 1 0
12
12 11
( 2 ) 1 0,1 2 7 2
2 33
P
-
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例 10 自一工厂的产品中进行重复抽样检查,共取 200件样品,检查结果发现其中有四件废品,问我们能否相信此工厂出废品的概率不超过 0.005.
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48
解 设此工厂出废品的概率为 0.005,计算
200件产品中出现 4件废品的概率为
4 1 9 6
200
200
( 4 ) ( 0,0 0 4 ) ( 0,9 9 5 ) 0,0 1 5
4
P
概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不可能发生的 (概率论上称为小概率事件的实际不可能性原理 ),现在,可以认为,当工厂废品率为 0.005时,检查 200件产品出现
4件废品是一概率很小的事件 (约为 0.015),
在试验中竟然发生了,因此有理由怀疑工厂的废品率不超过 0.005不可信,
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作业 习题四 从 43页开始
1,3,5,12,16,18
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第四章 条件概率 事件的相互独立性及试验的相互独立性第一节 条件概率 乘法定理
2009-7-25
3
在许多问题中,我们往往会遇到事件 A已经出现的条件下求事件 B的概率,这时由于有了附加条件,因此称这种概率为事件
A出现下事件 B的 条件概率,记作 P(B|A)
2009-7-25
4
例如,两台车床加工同一种机械零件如下表,
正品数 次品数 总计第一台车床加工的零件数 35 5 40
第二台车床加工的零件数 50 10 60
总计 85 15 100
从这 100个零件中任取一个零件,则 "取得的零件为正品 "(设为事件 B)的概率为
85( ) 0,8 5
100
PB
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5
正品数 次品数 总计第一台车床加工的零件数 35 5 40
第二台车床加工的零件数 50 10 60
总计 85 15 100
如果已知取出的零件是第一台车床加工的
(设为事件 A),则我们有事件 A出现下事件 B
的条件概率为
35( | ) 0,8 7 5
40
P B A
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6
在古典概型下,设 U={e1,e2,...,en},其中导致事件 A出现的试验结果有 m个,导致事件 B出现的试验结果有 k个,导致事件 AB
出现的试验结果有 r个,事件 A出现,就是说导致 A出现的 m个试验结果中有一个出现,在这条件下导致 B出现的试验结果有且仅有 r个,所以
/ ( )
( | ),
/ ( )
r r n P A B
P B A
m m n P A
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7
在一般情形下,如果 P(A)>0,也定义事件
A出现下事件 B的条件概率为
()( | ),( ( ) 0 )
()
P A BP B A P A
PA
乘法定理 两事件的积事件的概率等于其中一事件的概率与另一事件在前一事件出现下的条件概率的乘积,
P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)
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例 1 一批零件共 100个,次品率为 10%,接连两次从这批零件中任取一个零件,第一次取出的零件不再放回去,求第二次才取得正品的概率,
2009-7-25
9
解 按题意,即第一次取出的零件是次品
(设为事件 A),第二次取出的零件是正品
(设为事件 B),容易知道
1 0 9 0( ),( | )
1 0 0 9 9
P A P B A
由此得到所求的概率为
1 0 9 0 1( ) ( ) ( | )
1 0 0 9 9 1 1
P A B P A P B A
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例 2 设某种动物由出生算起活 20岁以上的概率为 0.8,活 25岁以上的概率为 0.4,
如果现在有一个 20岁的这种动物,问它能活到 25岁以上的概率是多少?
2009-7-25
11
解 设 A表示 "能活 20岁以上 "的事件 ;B表示 "能活 25岁以上 "的事件,按题意,
P(A)=0.8,由于 B?A,所以 AB=B,因此
P(AB)=P(B)=0.4,按条件概率定义,
( ) 0,4 1( | )
( ) 0,8 2
P A BP B A
PA
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12
乘法定理可以推广到有限多个事件的情形,例如,对于 A,B,C三个事件,有
P(ABC)=P((AB)C)=P(AB)P(C|AB)
=P(A)P(B|A)P(C|AB),(P(AB)>0)
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13
第二节 全概率公式
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14
设诸事件 A1,A2,...,An两两互斥且事件 B为事件 A1+A2+...+An的子事件,于是
B=B(A1+A2+...+An)=BA1+BA2+...+BAn
由于诸 Ai(i=1,2,...,n)两两互斥,所以诸 BAi
也两两互斥,从而,由加法定理,得
P(B)=P(BA1+BA2+...+BAn)
=P(BA1)+ P(BA2) +...+ P(BAn)
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15
P(B)=P(BA1)+ P(BA2) +...+ P(BAn)
再由乘法定理,得
P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai),(i=1,2,...,n)
即得
P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+...
+P(An)P(B|An).
这个公式称为 全概率公式,它是概率论的一个基本公式,有着多方面的应用,当诸 P(Ai)和 P(B|Ai)容易计算时,可利用这公式来计算 P(B)
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例 3 设一个仓库中有十箱同样规格的产品,已知其中有五箱,三箱,二箱依次是甲厂,乙厂,丙厂生产的,且甲厂,乙厂,
丙厂生产的该种产品的次品率依次为
1/10,1/15,1/20,从这十箱产品中任取一箱,再从取得的这箱中任取一件产品,求取得正品的概率,
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17
解 依次以 A1,A2,A3表示诸事件 "取得的这箱产品是甲厂,乙厂,丙厂生产 "; 以 B表示事件 "取得的产品为正品 ",于是
1 2 3
1 2 3
5 3 2
( ),( ),( ),
10 10 10
9 14 19
( | ),( | ),( | ),
10 15 20
P A P A P A
P B A P B A P B A
按全概率公式,有
P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)+P(B|A3)P(A3)
=0.92
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第三节 贝叶斯公式
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19
例 4 如果例 3中抽到的产品是正品,问所抽到的箱子依次是甲厂,乙厂,丙厂的概率各为多少?
解 仍采用例 3的记号,现在已知
1 2 3
1 2 3
5 3 2
( ),( ),( ),
10 10 10
9 14 19
( | ),( | ),( | ),
10 15 20
P A P A P A
P B A P B A P B A
要计算 P(A1|B),P(A2|B),P(A3|B).
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20
1 2 3
1 2 3
5 3 2
( ),( ),( ),
10 10 10
9 14 19
( | ),( | ),( | ),
10 15 20
P A P A P A
P B A P B A P B A
要计算 P(A1|B),P(A2|B),P(A3|B),按乘法定理,
P(A1B)=P(A1)P(B|A1)=P(B)P(A1|B)
11
1
11
1 1 2 2 3 3
( ) ( | )
( | )
()
( ) ( | )
( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | )
45
92
P A P B A
P A B
PB
P A P B A
P A P B A P A P B A P A P B A
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21
一般地,诸事件 A1,A2,...,An两两互斥,事件 B为事件 A1+...+An的子事件,且
P(Ai)>0(i=1,2,...,n),P(B)>0,则按乘法定理,有
P(B)P(Ai|B)=P(Ai)P(B|Ai)
所以
( ) ( | )
( | )
()
ii
i
P A P B A
P A B
PB
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又按全概率公式,得
P(B)=P(A1)P(B|A1) +...+P(An)P(B|An)
因此得到
( ) ( | )( | )
()
ii
i
P A P B AP A B
PB
11
( ) ( | )
( | )
( ) ( | ) ( ) ( | )
( 1,2,,)
ii
i
nn
P A P B A
P A B
P A P B A P A P B A
in
称此公式为 贝叶斯公式,
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实用上称 P(A1),P(A2),...,P(An)的值为验前概率,称 P(A1|B),P(A2|B),...,P(An|B)的值为验后概率,贝叶斯公式就是从验前概率推算验后概率的公式,
11
( ) ( | )
( | )
( ) ( | ) ( ) ( | )
( 1,2,,)
ii
i
nn
P A P B A
P A B
P A P B A P A P B A
in
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24
第四节 事件的相互独立性
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25
一般说来,条件概率 P(B|A)与概率 P(B)是不等的,但在某些情形下,它们是相等的,
例如,在一批有一定次品率的产品中,接连两次抽取产品,每次任取一件,如果第一次抽取后仍放回这批产品中,设 A为事件 "第一次取得正品 ",B为事件 "第二次取得正品 ",那末,P(B|A)=P(B).
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当 P(B|A)=P(B)时,乘法定理可表示为
P(AB)=P(A)P(B).
如果两事件 A,B的积事件的概率等于这两事件的概率的乘积,则称两事件 A,B是相互独立的,
当 P(A),P(B)都不为零时,从事件 A,B相互独立能推得
P(B|A)=P(B),P(A|B)=P(A)
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例 5 甲,乙各自同时向一敌机射击,已知甲击中敌机的概率为 0.6,乙击中敌机的概率为 0.5,求敌机被击中的概率,
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28
解 设 A为事件 "甲击中敌机 ",B为事件 "乙击中敌机 ",C为事件 "敌机被击中 ",由广义加法定理知
P(C)=P(A?B)=P(A)+P(B)-P(AB)
根据题意可认为 A,B事件相互独立,因此有
P(AB)=P(A)P(B)=0.6?0.5=0.3
于是
P(C)=0.6+0.5-0.3=0.8
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定理 若四对事件 A,B; A,?B;?A B;
A,?B中有一对是相互独立的,则另外三对也是相互独立的 (即这四对事件或者都相互独立,或者都不相互独立 ).
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证 仅证明当 A,B相互独立时,?A,B也相互独立,因为
P(?A B)=P(B-AB)=P(B)-P(AB)
=P(B)-P(A)P(B)=P(B)[1-P(A)]
=P( B ) P(?A )
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设 A1,A2,...,An为 n个事件,如果对于任一组 k1,k2,...,ks(2?s?n,每组 k1,k2,...,ks取
1,2,...,n中的 S个不同的值 ),等式
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )ssk k k k k kP A A A P A P A P A?
总成立,那末称事件 A1,A2,...,An总起来相互独 立,简称 相互独立,
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称一个元件能正常工作的概率 p为这个元件的可靠性,称由元件组成的一个系统能正常工作的概率为这系统的可靠性,
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例 6 设有 3个元件按照下面两种不同联接方式构成两个系统,若每个元件的可靠性均为 r(0<r<1),且各元件能否正常工作是相互独立的,求每个系统的可靠性,
1 2 3
1
2
3
系统 I(串联情况 )
系统 II(并联情况 )
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解 先讨论系统 I
1 2 3系统 I(串联情况 )
设 Ai为事件 "第 i个元件能正常工作 "
(i=1,2,3); A为事件 "整个系统能正常工作 ".
A=A1A2A3,则按照相互独立性,故
P(A)=P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=r3
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对系统 II,设 Ai为事件 "第 i个元件能正常工作 "(i=1,2,3); A为事件 "整个并联系统能正常工作 ".
则 A=A1?A2?A3
故
1
2
3
系统 II(并联情况 )
1 2 3 1 2 3
3
( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( )
1 ( 1 )
P A P A A A P A P A P A
r
-? -
- -
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除了总起来讲相互独立外,以后还要用到 A1,A2,...,An两两相互独立的概念,这就是说,A1,A2,...,An中任意两个都是相互独立的,A1,A2,...,An总起来讲相互独立当然保证它们两两相互独立 ; 但 A1,A2,...,An两两相互独立并不保证它们总起来讲相互独立,
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第五节 重复独立试验 二项概率公式
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38
实用上往往用到下列类型的试验,做几个试验,它们是完全同样一个试验的重复,且它们是相互独立的,即相应于每一次试验的随机事件的概率都不依赖于其它各次试验的结果,称这类试验是 重复独立试验,
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例如,从有一定次品率的一批产品中逐件地抽取产品,如果每次取出后都立即放回这批产品中再抽下一件 (放回抽样 ),
那末,可以把每取一件产品作为一个试验,由于每次取出后立即放回这批产品中去,所以各次取得的结果都不影响其余各次抽取时取得的产品是正品或次品的概率,又因每次抽取时面对的产品的次品率是相同的,所以现在各次抽取的试验是即相互独立又重复进行的,因此,
是重复独立试验,
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现在讨论关于重复独立试验的一个重要问题,
设每个试验中事件 A出现的概率为 p,要计算 n次重复独立试验中事件 A恰好出现
k次的概率 Pn(k)(0?k?n).
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由于这 n次试验的独立性,事件 A在指定的 k次试验中出现而在其余 n-k次试验中不出现的概率应该是
pk(1-p)n-k.
因只考虑事件 A在 n次试验中出现 k次,而不论在哪 k次出现,所以按组合计算法知
).,2,1,0(,)1()(
,.
nkpp
k
n
kP
k
n
knk
n
-
-
求的概率为所按概率的加法定理种出现方式应有
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如令 q=1-p,则上式可写为
( ),( 0,1,2,,)k n kn
n
P k p q k n
k
-
正好是 (p+q)n按二项公式展开时的各项,
所以上述公式称为 二项概率公式,
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例 8 一批产品中有 20%的次品,进行重复抽样检查,共取五件样品,计算这五件样品中恰好有三件次品,至多有三件次品的概率,
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解 设 A0,A1,A2,A3依次为五件样品中恰好有 0件,一件,二件,三件次品,现在 n=5,
p=0.2,q=0.8,按二项概率公式,得
32
35
0 1 2 3 5 5 5 5
5 4 2 3 3 2
5
( ) ( 3 ) ( 0,2) ( 0,8 ) 0,05 12
3
( ) ( 0) ( 1 ) ( 2) ( 3 )
5 4 5 4 3
( 0,8 ) 5 ( 0,2) ( 0,8 ) ( 0,2) ( 0,8 ) ( 0,2) ( 0,8 )
2 2 3
0,32 77 0,40 96 0,20 48 0,05 12 0,99 33
P A P
P A A A A P P P P
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例 9 在某一车间里有 12台车床,每台车床由于工艺上的原因,时常需要停车,设各台车床的停车 (或开车 )是相互独立的,设每台车床在任一时刻处于停车状态的概率为 1/3,计算在任一指定时刻车间里有
2台车床处于停车状态的概率,
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解 把任一指定时刻对一台车床的观察看作一次试验,由于各台车床的停车或开车是相互独立的,所以可按二项概率公式计算,得到
2 1 0
12
12 11
( 2 ) 1 0,1 2 7 2
2 33
P
-
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例 10 自一工厂的产品中进行重复抽样检查,共取 200件样品,检查结果发现其中有四件废品,问我们能否相信此工厂出废品的概率不超过 0.005.
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解 设此工厂出废品的概率为 0.005,计算
200件产品中出现 4件废品的概率为
4 1 9 6
200
200
( 4 ) ( 0,0 0 4 ) ( 0,9 9 5 ) 0,0 1 5
4
P
概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不可能发生的 (概率论上称为小概率事件的实际不可能性原理 ),现在,可以认为,当工厂废品率为 0.005时,检查 200件产品出现
4件废品是一概率很小的事件 (约为 0.015),
在试验中竟然发生了,因此有理由怀疑工厂的废品率不超过 0.005不可信,
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作业 习题四 从 43页开始
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