2009-7-25
1
概率论第 1讲第一章 预备知识本文件可从网址
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2
概率论是研究随机事件的规律性的一个数学分支,直观地说是指这样的事件,在一次试验中,它出现与否是具有偶然性的,
但是在大量重复试验中,它却是具有内在的必然性即规律性的,
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3
第一章 预备知识第一节 排列与组合
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4
乘法原理,如果一个过程可以分成两个阶段进行,第一个阶段有 m种不同的做法,
第二个阶段有 n种不同的做法,且第一个阶段的任一种做法都可以与第二个阶段的任一种做法配成整个过程的一种做法,
那末整个过程应该有 m?n种的做法,
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5
一,排列从 n个不同的元素中,任意取出 r个不同的元素 (0 < r? n)按照一定的顺序排成一列,这样的一列元素叫做从 n个不同元素中取 r个不同元素组成的一种 排列,对于所有不同排列的种数,通常表示为
r
nP
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6
先设 0<r<n,每一种排列由在 r个有次序位置上各放上一个元素所组成,第一个位置上的元素有 n种不同的取法 ; 在它取定之后,第二个位置上的元素只有 n-1种不同的取法 ; 前两个元素取定之后,第三个位置上的元素只有 n-2种不同的取法 ;
依次类推,第 r个位置上的元素只有 n-
r+1种不同的取法,因此按乘法原理,所求排列种数为
( 1 ) ( 2 ) ( 1 )rnP n n n n r? - - -?
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7
或改写为
( 1 ) ( 2) ( 1 )
( 1 ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) 3 2 1
( ) ( 1 ) 3 2 1
!
( ) !
r
n
P n n n n r
n n n r n r n r
n r n r
n
nr
- - -?
- -? - - -
- - -
-
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8
当 r=n时,所求排列种数为 n!,若规定 0!=1,
则上式仍然成立,因此,当 0<r?n时,上述排列问题的答案总可以表达成
!
( ) !
r
n
n
P
nr
-
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9
例 1 计算从八个不同的元素中任取三个的排列种数,
解 所求排列种数为
3
8 8 7 6 3 3 6P
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10
例 2 从 1,2,3,4,5,6,7七个数中任取三个不同的数组成的三位数中有几个是偶数?
解 所得的三位数是偶数,它的个位上应是 2,4,6中的一个,因此,按置在个位上的数有三种不同的取法,而十位,百位上的数共有 6?5种不同的取法,从而所求的个数为
3?6?5=90
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11
以上排列问题中参加排列的元素是不允许重复的,但有时需要考虑允许重复的情况,例如电话号码就允许数字重复,现考虑从 n个各不相同的元素里任取一个,
然后放回去,再取一个,然后又放回去,
这样共进行 r次,问所得不同的排列共有多少种? 显然,这种情况下排列种数共有
r
n n n n
r
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12
例 3 用 0,1,2,...,9这十个数字组成三位数,
在这些三位数中,
(1) 如考虑数字可以重复,问可以组成多少不同的三位数?
(2) 三个数字没有重复的有几个?
(3) 三个数字都相同的有几个?
(4) 只有两个数字相同的有几个?
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13
解 (1) 在数字可以重复的情况下,计算能组成多少个不同的三位数时,由于百位数上不能放置 0,所以组成的不同的三位数的个数应为
9?10?10=900
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14
(2) 百位上的数字有 9种不同的取法,在百位上的数字取定后,十位上的数字有 9
种不同的取法,在百位和十位上的数字都取定后,个位上的数字只有 8种不同的取法,所以没有重复数字的三位数的个数为
9?9?8=648.
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15
(3) 由于百位上的数字有 9种不同的取法,
在百位上的数字取定后,十位上及个位上的数字随之而定,所以三个数字都相同的三位数的个数为 9.
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16
(4) 只有百位上与十位上的数字相同的三位数的个数为 9?9,只有十位上与个位上的数字相同的三位数的个数为 9?9,只有百位上与个位上的数字相同的三位数的个数为 9?9,所以只有两个相同数字的三位数的个数为
9?9+9?9+9?9=243
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17
二,组合设有 n个不同的元素,从它们中间任取 r
个 (0 < r? n)构成一组,这里,不考虑这 r
个元素的次序,只研究有多少种不同的取法,这就是 组合问题,称每一个取得的组为一个 组合,对于所有不同的组合的种数,通常把它记作
r
nCr
n 或?
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18
从 n个不同元素中任取 r个元素出来,得到一个组合,对这 r个元素进行各种排列,
共得 r!种不同的排列,但所有这些排列均是由一种组合变来的,所以排列的种数
r
nP
是组合种数 n
r
的 r!倍,即
!
! ( ) ! !
r
n
nnP n
r n rr n r r
--
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19
例 4 有五本不同的数学书,八本不同的物理书,从中任取两本数学书,四本物理书,
问有多少种不同的取法?
解 从五本数学书中任取两本,种数为
5 54
10
2 12
从八本物理书中任取四本,种数为
8 8 7 6 5
70
4 1 2 3 4
因此所求总数为 10?70=700.
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20
第二节 集合
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21
集合,有时简称为 集,是具有某种特定性质的事物所组成的集体,通常用大写字母 A,B,C,...来表示集合,组成集合的各个事物称为这集合的 元素,如果 e是集合 A
的一个元素,便记作 e?A,如果 e不是 A的元素记作 e?A,如果集合 A是由元素
e1,e2,...等组成的,记作
A={e1,e2,...}
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22
集合的元素可以是任意种类的对象,点,
数,函数,事件,人等等,例如,
(1) 全体自然数组成的集合 A,表示为,
A={1,2,...};
(2)在给定直线上全体点组成的集合 ;
(3)平面上区域 D中所有点组成的集合 ;
(4)数轴上所有区间组成的一个集合 ;
(5)定义域为区间 (a,b)的所有连续函数 ;
(6)某地区所有学龄前儿童组成的一个集合,
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23
在讨论集合时,重复的元素只算一次,例如把 {1,2,2,3}与 {1,2,3}看作是同一个集合,
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24
如果一个集合中只有有限多个元素,称这集合为 有限集,如果一个集合中有无限多个元素,称这集合为 无限集,
如果一个无限集中的诸元素能与全体自然数构成一一对应关系,则称这无限集为 可数集 或 可列集,否则为 不可数集,
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25
.
),,(,)(;,
4
1
,
3
1
,
2
1
},
4
1
,
3
1
,
2
1
{;3,2,1}3,2,1{,
集它也是一个不可数无限称它为区间的实数组成一个集合于小所有大于数的无限集所有实数组成一个不可为元素的可数集是以数字为元素的有限集是以三个数字例如
babab
a
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集合之间的关系与集合的运算
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27
一,子集如果属于集合 A的任一元素都属于集合 B,
则称集合 A是集合 B的 子集,记作 A?B(或
B?A),读作 A含于 B(或 B包含 A).
B
A
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28
例如,由所有偶数组成的集合是由所有整数组成的集合的子集 ; 区间 (1,2)是区间 (1,4)的子集,特别地,一个集合 A是它自己的一个子集,显然,当 A?B且 B?C时,
A?C.
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29
为了讨论方便,把不含任何元素的集合称为 空集,记作?,把空集?作为任一集合 A的子集,即对任一集合 A,A.
如果 A?B且 B?A,则称集合 A,B相等,记作 A=B
书上印错
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30
二,并集由至少属于集合 A或集合 B二者之一的所有元素所组成的集合称为集合 A与集合 B的并集,记作 A?B,
A
B
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31
例如,
集合 {1,2,3}与集合 {3,4,5}的并集为集合 {1,2,3,4,5};
区间 (1,3)与 (2,4)的并集为区间 (1,4);
区间 (-?,3)与区间 (-?,1)的并集为区间 (-?,3)
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32
由平面上坐标满足 1<x<2的点的全体组成的集合与由坐标满足 2<y<4的点的全体组成的集合的并集如图所示,
O 1 2
2
4
y
x
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33
三,交集由同时属于集合 A及集合 B的所有元素所组成的集合称为集合 A与集合 B的 交集,
记作 A?B
A
B
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34
例如,区间 (-?,3)与区间 (1,+?)的交集为区间 (1,3); 由平面上圆 x2+y2=1内的所有点的集合与由横坐标大于零的所有点组成的集合的交集如图所示的右半圆,
x
y
1
1
O
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35
如果 A?B=?,即 A,B无公共元素,就称集合 A与集合 B互不相交,
例如,由所有正数组成的集合与由所有负数组成的集合互不相交 ; 区间 (1,2)与区间 (2,3)互不相交,
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36
集合的并与交满足如下的分配率,
(A?B)?C=(A?C)?(B?C).
A B
C
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37
证 下列诸关系式是相互等价的,
e?(A?B)?C,
e?A?B且 e?C,
e?A?C或 e?B?C,
e?(A?C)?(B?C).
从而上述分配律成立,
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38
集合的并及交可以从两个推广到有限多个或可数多个集合上去,诸集合 A1,A2,...
的并集 A1?A2?...就是由至少属于 A1,A2,...
中一个的所有元素组成的集合 ; 诸集合
A1,A2,...的交集 A1?A2?...就是由同时属于 A1,A2,...的所有元素组成的集合,分配律对于有限个或可数多个集合的并集也成立,即
(A1?A2?...)?C=(A1?C)?(A2?C)?...
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39
四,差集 余集设 A,B为任意两个集合,称由属于集合 A
而不属于集合 B的所有元素组成的集合为集合 A与集合 B的 差集,记作 A-B
A B
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40
例如,区间 (1,4)与区间 (0,2)的差集为区间 [2,4),特殊地,如果 A与 B不相交,则
A-B=A
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41
设 B?U,称 U-B为 B在 U内的余集,记作
UB
B
U
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42
例如,当 U为整个数轴时,区间 (-?,a)在 U
内的余集为 [a,+?)
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43
下面给出几条关于余集的性质,设 A,B,...
等都是 U的子集,为简便起见,略去表达余集时的下标 U.
BABA
BABA
BABA
AA
)3(
,)2(
)1(
那末如果
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作业,第 10页开始第 1,2,3,4,5,6,7,8题
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概率论是研究随机事件的规律性的一个数学分支,直观地说是指这样的事件,在一次试验中,它出现与否是具有偶然性的,
但是在大量重复试验中,它却是具有内在的必然性即规律性的,
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第一章 预备知识第一节 排列与组合
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4
乘法原理,如果一个过程可以分成两个阶段进行,第一个阶段有 m种不同的做法,
第二个阶段有 n种不同的做法,且第一个阶段的任一种做法都可以与第二个阶段的任一种做法配成整个过程的一种做法,
那末整个过程应该有 m?n种的做法,
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5
一,排列从 n个不同的元素中,任意取出 r个不同的元素 (0 < r? n)按照一定的顺序排成一列,这样的一列元素叫做从 n个不同元素中取 r个不同元素组成的一种 排列,对于所有不同排列的种数,通常表示为
r
nP
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先设 0<r<n,每一种排列由在 r个有次序位置上各放上一个元素所组成,第一个位置上的元素有 n种不同的取法 ; 在它取定之后,第二个位置上的元素只有 n-1种不同的取法 ; 前两个元素取定之后,第三个位置上的元素只有 n-2种不同的取法 ;
依次类推,第 r个位置上的元素只有 n-
r+1种不同的取法,因此按乘法原理,所求排列种数为
( 1 ) ( 2 ) ( 1 )rnP n n n n r? - - -?
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或改写为
( 1 ) ( 2) ( 1 )
( 1 ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) 3 2 1
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P n n n n r
n n n r n r n r
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nr
- - -?
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- - -
-
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当 r=n时,所求排列种数为 n!,若规定 0!=1,
则上式仍然成立,因此,当 0<r?n时,上述排列问题的答案总可以表达成
!
( ) !
r
n
n
P
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例 1 计算从八个不同的元素中任取三个的排列种数,
解 所求排列种数为
3
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例 2 从 1,2,3,4,5,6,7七个数中任取三个不同的数组成的三位数中有几个是偶数?
解 所得的三位数是偶数,它的个位上应是 2,4,6中的一个,因此,按置在个位上的数有三种不同的取法,而十位,百位上的数共有 6?5种不同的取法,从而所求的个数为
3?6?5=90
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以上排列问题中参加排列的元素是不允许重复的,但有时需要考虑允许重复的情况,例如电话号码就允许数字重复,现考虑从 n个各不相同的元素里任取一个,
然后放回去,再取一个,然后又放回去,
这样共进行 r次,问所得不同的排列共有多少种? 显然,这种情况下排列种数共有
r
n n n n
r
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12
例 3 用 0,1,2,...,9这十个数字组成三位数,
在这些三位数中,
(1) 如考虑数字可以重复,问可以组成多少不同的三位数?
(2) 三个数字没有重复的有几个?
(3) 三个数字都相同的有几个?
(4) 只有两个数字相同的有几个?
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解 (1) 在数字可以重复的情况下,计算能组成多少个不同的三位数时,由于百位数上不能放置 0,所以组成的不同的三位数的个数应为
9?10?10=900
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14
(2) 百位上的数字有 9种不同的取法,在百位上的数字取定后,十位上的数字有 9
种不同的取法,在百位和十位上的数字都取定后,个位上的数字只有 8种不同的取法,所以没有重复数字的三位数的个数为
9?9?8=648.
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(3) 由于百位上的数字有 9种不同的取法,
在百位上的数字取定后,十位上及个位上的数字随之而定,所以三个数字都相同的三位数的个数为 9.
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(4) 只有百位上与十位上的数字相同的三位数的个数为 9?9,只有十位上与个位上的数字相同的三位数的个数为 9?9,只有百位上与个位上的数字相同的三位数的个数为 9?9,所以只有两个相同数字的三位数的个数为
9?9+9?9+9?9=243
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二,组合设有 n个不同的元素,从它们中间任取 r
个 (0 < r? n)构成一组,这里,不考虑这 r
个元素的次序,只研究有多少种不同的取法,这就是 组合问题,称每一个取得的组为一个 组合,对于所有不同的组合的种数,通常把它记作
r
nCr
n 或?
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从 n个不同元素中任取 r个元素出来,得到一个组合,对这 r个元素进行各种排列,
共得 r!种不同的排列,但所有这些排列均是由一种组合变来的,所以排列的种数
r
nP
是组合种数 n
r
的 r!倍,即
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r
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nnP n
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例 4 有五本不同的数学书,八本不同的物理书,从中任取两本数学书,四本物理书,
问有多少种不同的取法?
解 从五本数学书中任取两本,种数为
5 54
10
2 12
从八本物理书中任取四本,种数为
8 8 7 6 5
70
4 1 2 3 4
因此所求总数为 10?70=700.
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第二节 集合
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集合,有时简称为 集,是具有某种特定性质的事物所组成的集体,通常用大写字母 A,B,C,...来表示集合,组成集合的各个事物称为这集合的 元素,如果 e是集合 A
的一个元素,便记作 e?A,如果 e不是 A的元素记作 e?A,如果集合 A是由元素
e1,e2,...等组成的,记作
A={e1,e2,...}
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集合的元素可以是任意种类的对象,点,
数,函数,事件,人等等,例如,
(1) 全体自然数组成的集合 A,表示为,
A={1,2,...};
(2)在给定直线上全体点组成的集合 ;
(3)平面上区域 D中所有点组成的集合 ;
(4)数轴上所有区间组成的一个集合 ;
(5)定义域为区间 (a,b)的所有连续函数 ;
(6)某地区所有学龄前儿童组成的一个集合,
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在讨论集合时,重复的元素只算一次,例如把 {1,2,2,3}与 {1,2,3}看作是同一个集合,
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如果一个集合中只有有限多个元素,称这集合为 有限集,如果一个集合中有无限多个元素,称这集合为 无限集,
如果一个无限集中的诸元素能与全体自然数构成一一对应关系,则称这无限集为 可数集 或 可列集,否则为 不可数集,
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.
),,(,)(;,
4
1
,
3
1
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2
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},
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{;3,2,1}3,2,1{,
集它也是一个不可数无限称它为区间的实数组成一个集合于小所有大于数的无限集所有实数组成一个不可为元素的可数集是以数字为元素的有限集是以三个数字例如
babab
a
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集合之间的关系与集合的运算
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27
一,子集如果属于集合 A的任一元素都属于集合 B,
则称集合 A是集合 B的 子集,记作 A?B(或
B?A),读作 A含于 B(或 B包含 A).
B
A
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例如,由所有偶数组成的集合是由所有整数组成的集合的子集 ; 区间 (1,2)是区间 (1,4)的子集,特别地,一个集合 A是它自己的一个子集,显然,当 A?B且 B?C时,
A?C.
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29
为了讨论方便,把不含任何元素的集合称为 空集,记作?,把空集?作为任一集合 A的子集,即对任一集合 A,A.
如果 A?B且 B?A,则称集合 A,B相等,记作 A=B
书上印错
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二,并集由至少属于集合 A或集合 B二者之一的所有元素所组成的集合称为集合 A与集合 B的并集,记作 A?B,
A
B
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31
例如,
集合 {1,2,3}与集合 {3,4,5}的并集为集合 {1,2,3,4,5};
区间 (1,3)与 (2,4)的并集为区间 (1,4);
区间 (-?,3)与区间 (-?,1)的并集为区间 (-?,3)
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由平面上坐标满足 1<x<2的点的全体组成的集合与由坐标满足 2<y<4的点的全体组成的集合的并集如图所示,
O 1 2
2
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y
x
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33
三,交集由同时属于集合 A及集合 B的所有元素所组成的集合称为集合 A与集合 B的 交集,
记作 A?B
A
B
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34
例如,区间 (-?,3)与区间 (1,+?)的交集为区间 (1,3); 由平面上圆 x2+y2=1内的所有点的集合与由横坐标大于零的所有点组成的集合的交集如图所示的右半圆,
x
y
1
1
O
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35
如果 A?B=?,即 A,B无公共元素,就称集合 A与集合 B互不相交,
例如,由所有正数组成的集合与由所有负数组成的集合互不相交 ; 区间 (1,2)与区间 (2,3)互不相交,
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36
集合的并与交满足如下的分配率,
(A?B)?C=(A?C)?(B?C).
A B
C
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37
证 下列诸关系式是相互等价的,
e?(A?B)?C,
e?A?B且 e?C,
e?A?C或 e?B?C,
e?(A?C)?(B?C).
从而上述分配律成立,
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集合的并及交可以从两个推广到有限多个或可数多个集合上去,诸集合 A1,A2,...
的并集 A1?A2?...就是由至少属于 A1,A2,...
中一个的所有元素组成的集合 ; 诸集合
A1,A2,...的交集 A1?A2?...就是由同时属于 A1,A2,...的所有元素组成的集合,分配律对于有限个或可数多个集合的并集也成立,即
(A1?A2?...)?C=(A1?C)?(A2?C)?...
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四,差集 余集设 A,B为任意两个集合,称由属于集合 A
而不属于集合 B的所有元素组成的集合为集合 A与集合 B的 差集,记作 A-B
A B
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40
例如,区间 (1,4)与区间 (0,2)的差集为区间 [2,4),特殊地,如果 A与 B不相交,则
A-B=A
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设 B?U,称 U-B为 B在 U内的余集,记作
UB
B
U
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例如,当 U为整个数轴时,区间 (-?,a)在 U
内的余集为 [a,+?)
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下面给出几条关于余集的性质,设 A,B,...
等都是 U的子集,为简便起见,略去表达余集时的下标 U.
BABA
BABA
BABA
AA
)3(
,)2(
)1(
那末如果
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