2009-7-25
1
概率论第 7讲第六章 二维随机变量本文件可从网址
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2009-7-25
2
在实际问题中,试验结果往往需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述,要研究这些随机变量及其取值规律 — 多维分布,本章将介绍有关这方面的内容,为简明起见,只介绍二维情形,有关内容可以类推到多于二维的情形,
2009-7-25
3
第一节 二维随机变量及其分布函数
2009-7-25
4
在研究某族人的身长与体重之间的联系时,要从这族人中抽出若干个来,测量他们的身高与体重,每抽一个人出来,就有一个由身长,体重组成的有序数组 (x,h),
这个有序数组是根据试验结果 (抽到的人 )而确定的,
2009-7-25
5
一般地说,如果由两个变量所组成的有序数组即二维变量 (x,h),它的取值是随着试验结果而确定的,那末称这个二维变量 (x,h)为 二维随机变量,相应地,称
(x,h)的取值规律为 二维分布,
2009-7-25
6
也就是说,对于平面上任意一个集 D,
{(x,h)?D}代表了一个随机事件,D确定后,P{(x,h)?D}随之唯一确定,由这个对应关系定出,以平面上的集 D为自变量,
函数值在区间 [0,1]上的函数,称为 二维随机变量 (x,h)的分布,它表明了二维随机变量 (x,h)取数组的规律,简称二维随机变量的分布为二维分布,
2009-7-25
7
与一维时相仿,定义二维分布的分布函数为
F(x,y)=P{x<x,h<y},(1)
其中 x,y是任意实数,
x
y
y
x
D
O
图 6-1
2009-7-25
8
第二节 二维离散型随机变量
2009-7-25
9
设 (x,h)为一个二维随机变量,如果它可能取的值的全体是有限个或可数多个数组,则称 (x,h)为 二维离散型随机变量,称它的分布为 二维离散型分布,
2009-7-25
10
设二维离散型随机变量 (x,h)可能取的值为
(a1,b1),...,(a1,bj),...,(ai,b1),...,(ai,bj),...,
且事件 {x=ai,h=bj}的概率为 pij(i,j=1,2,...),
即
P{x=ai,h=bj}=pij,
2009-7-25
11
那末 (x,h)的 分布密度 为表格
x h b1,.,bj,..
a1 p11,.,p1j,..
,.,?,..
ai pi1,.,pij,..
,.,?,..
,
,
0 1,1,i j i j
ij
pp
(2)
2009-7-25
12
例 1 一口袋中有三个球,它们依次标有数字 1,2,2,从这袋中任取一球后,不放回袋中,再从袋中任取一球,设每次取球时,
袋中各个球被取到的可能性相同,以 x,h
分别记第一次,第二次取得的球上标有的数字,求 (x,h)的分布密度,
2009-7-25
13
解 (x,h)可能取的值为数组 (1,2),(2,1),
(2,2),不难算出
11
{(,) ( 1,2) } 1
33
2 1 1
{(,) ( 2,1 ) }
3 2 3
2 1 1
{(,) ( 2,2) }
3 2 3
P
P
P
xh
xh
xh
2009-7-25
14
所求分布密度为
x h 1 2
1 0 1/3
2 1/3 1/3
2009-7-25
15
第三节 二维连续型随机变量
2009-7-25
16
与一维连续型随机变量类似,设 (x,h)为一个二维随机变量,如果存在着一个定义域为整个 xOy平面的非负函数 j(x,y),使 (x,h)
的分布函数可表为
(,) (,)
(,)
D
xy
F x y x y d
x y d y d x
j?
j
D如 图 6-1所示,则称 (x,h)为 二维连续型随机变量,称它的分布为 二维连续型分布,称
j(x,y)为 (x,h)的分布密度,
2009-7-25
17
这里的积分涉及广义二重积分,区域为无界的广义二重积分的定义如下,设 D是
xOy平面内的无界区域,则函数 f(x,y)在 D
上的广义二重积分定义为
1
1
(,) l im (,),
DD
DD
f x y d f x y d
其中 D1为 D内的任意有界区域,
2009-7-25
18
二维分布密度具有下列性质,
( 1 ) (,) 0 ;
( 2 ) (,) 1 ;
( 3 ) {(,) } (,),
D
xy
x y d y d x
P D x y d
j
j
x h j?
(4)
其中 D为 xOy平面内任一区域,
2009-7-25
19
最常遇到的二维连续型分布是 二维正态分布,它的分布密度为 22
2 2 2
1212
1 ( ) 2 ( ) ( ) ( )
2 ( 1 )
2
12
1
(,)
21
(,),
x a x a y b y b
x y e
xy
j
(5)
其中 a,b,?1,?2,?均为常数,
且?1>0,?1>0,?1<?<1
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20
例 2 已知二维随机变量 (x,h)的分布密度为
1
( 6 ),0 2,2 4,
(,) 8
0,othe r,
x y x y
xyj
又 (1)D为 xOy平面内由不等式 x<1,y<3所定的区域 ; (2) D为 xOy平面内由不等式 x+y<3
所定的区域,求 P{(x,h)?D}
2009-7-25
21
(1)和 (2)中 D的示意图
xO 1 2
2
3
4
y
xO 1 2
2
3
4
y
2009-7-25
22
解 (1)
13
02
{ (,) } (,)
1
( 6 )
8
3
8
D
P D x y d
x y dy dx
x h j
(2)
13
02
{(,) } (,)
15
( 6 )
8 24
D
x
P D x y d
x y dy dx
x h j?
2009-7-25
23
第四节 边缘分布
2009-7-25
24
设 (x,h)为一个二维随机变量,事件 {x<x}
就是指事件 {x<x,h<+?},由 (x,h)的分布函数可以定出 x的分布函数,
P{x<x}=P{x<x,h<+?}.
这样定出的一维分布称为 关于 x的边缘分布,
类似地,关于 h的边缘分布 的分布函数为
P{h<y}=P{x<+?,h<y}.
2009-7-25
25
设 (x,h)的分布函数为 F(x,y),那末关于 x
的边缘分布函数为
1 ( ) { } {,}
l im (,),
y
F x P x P x
F x y
x x h
(6)
同理可得,关于 h的边缘分布函数为
2 ( ) l im (,)xF y F x y
(7)
下面分别讨论离散型,连续型分布中的边缘分布,
2009-7-25
26
设 (x,h)为二维离散型随机变量,它的分布密度如 表 (2)所示,则
12
12
{ } {,} {,}
{,}
( 1,2,)
i i i
ij
i i ij
ij i
j
P a P a b P a b
P a b
p p p
p p i
x x h x h
xh
因此 x的分布密度为
x a1 a2,.,ai,..
概率 p1? p2?,.,pi?
(8)
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27
同理可得,关于 h的边缘分布也是离散型的,且它的分布密度为
h b1 b2,.,bj,..
概率 p?1 p?2,.,p?j,..
其中
( 1,2,)j i j
i
p p j
(9)
2009-7-25
28
例 3 设二维离散型随机变量 (x,h)的分布密度为
1 1 2
13
00
12 12
3 2 1 1
2 12 12 12
31
20
12 12
h
x
求关于 x及关于 h的边缘分布的分布密度
2009-7-25
29
解 按表 (8),(9)分别得所要求的分布密度为
1 1 2
13
00
12 12
3 2 1 1
2 12 12 12
31
20
12 12
h
x
3
02
2
111
333
x
概 率
1 1 2
3 1 2
6 6 6
h?
概 率
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30
设二维连续型随机变量 (x,h)的分布密度为 j(x,y),按 式 (6)有
1 ( ) (,),xF x x y d y d xj
可见关于 x的边缘分布也是连续型的,它的分布密度为
1 ( ) (,)x x y d yjj
(10)
2009-7-25
31
同理可得,关于 h的边缘分布也是连续型的,它的分布密度为
2 ( ) (,)y x y d xjj
(11)
2009-7-25
32
例 4 设 (x,h)服从区域 A上的均匀分布,即它的分布密度
1
,(,),
()(,)
0,
x y A
SAxyj
其 余 地 方,
(12)
其中 S(A)为区域 A的面积,
如果 A是由 x轴,y轴及直线
x+(y/2)=1所围成的三角形区域,求关于 x及关于 h
的边缘分布密度,O x1
2
A
y
12yx
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33
解 因 S(A)=1,所以
1
1,(,),
()
0,
x y A
xj
其 余 地 方,
按 式 (10),得关于 x的边缘分布密度为
2 ( 1 )
0
1
1 2 ( 1 ),0 1,
()
0,.
x
d y x x
xj
其 余 地 方按式 (11),得关于 h的边缘分布密度为
1
2
0
2
1 1,0 2,
() 2
0,.
y
y
dx y
yj
其 余 地 方
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34
例 5 设 (x,h)服从二维正态分布,它的分布密度为 22
2
1
( 2 )
2 ( 1 )
2
1
(,)
21
(,)
x x y y
x y e
xy
j
(13)
求关于 x及关于 h的边缘分布密度,
2009-7-25
35
解 按 式 (10)有
22
2
2
2
2
1
1
( 2 )
2 ( 1 )
2
()
2
2 ( 1 )
2
( ) (,)
1
21
1
.
2
1
x x y y
x
yx
x x y dy
e dy
e
e dy
jj
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作代换
2
,
1
yxv?
便得关于 x的边缘分布密度为 2 22
2
22
1
1
()
2 2
( ),
x
vx
e
x e d v e
x
j
即这边缘分布为 N(0,1).
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37
按 式 (11),同理可得关于 h的边缘分布密度为
2
2
2
1
( ) ( ),
2
y
y e yj
即这边缘分布也是 N(0,1).
从这个例子可以看到,二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,而且这两个边缘分布都不依赖于参数?,这一事实表明,单单由关于 x及关于 h的边缘分布,一般说来是不能确定二维随机变量 (x,h)的分布的,
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2003年考研数学试题 (数一,一 (5)):
设二维随机变量 (X,Y)的概率密度为
6,0 1,
(,)
0,.
x x y
f x y
其 他则 P{X+Y?1}=_______,(分值,4分 )
y=x
y=1
x
y
0?x?y?1
x+y=1
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39
解 所求概率为
1
0.5 1 0.5
1
00
0.5
0
0.5 0.5
2 2 3
00
{ 1 } (,)
66
6 [ ( 1 ) ]
6 2 ( 3 4 )
3 1 1
4 2 4
x
x
x
x
x
P X Y f x y dy dx
x dy dx x y dx
x x x dx
x x dx x x
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作业,从 83页开始第 1,3,4,5题
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2
在实际问题中,试验结果往往需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述,要研究这些随机变量及其取值规律 — 多维分布,本章将介绍有关这方面的内容,为简明起见,只介绍二维情形,有关内容可以类推到多于二维的情形,
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3
第一节 二维随机变量及其分布函数
2009-7-25
4
在研究某族人的身长与体重之间的联系时,要从这族人中抽出若干个来,测量他们的身高与体重,每抽一个人出来,就有一个由身长,体重组成的有序数组 (x,h),
这个有序数组是根据试验结果 (抽到的人 )而确定的,
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5
一般地说,如果由两个变量所组成的有序数组即二维变量 (x,h),它的取值是随着试验结果而确定的,那末称这个二维变量 (x,h)为 二维随机变量,相应地,称
(x,h)的取值规律为 二维分布,
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6
也就是说,对于平面上任意一个集 D,
{(x,h)?D}代表了一个随机事件,D确定后,P{(x,h)?D}随之唯一确定,由这个对应关系定出,以平面上的集 D为自变量,
函数值在区间 [0,1]上的函数,称为 二维随机变量 (x,h)的分布,它表明了二维随机变量 (x,h)取数组的规律,简称二维随机变量的分布为二维分布,
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7
与一维时相仿,定义二维分布的分布函数为
F(x,y)=P{x<x,h<y},(1)
其中 x,y是任意实数,
x
y
y
x
D
O
图 6-1
2009-7-25
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第二节 二维离散型随机变量
2009-7-25
9
设 (x,h)为一个二维随机变量,如果它可能取的值的全体是有限个或可数多个数组,则称 (x,h)为 二维离散型随机变量,称它的分布为 二维离散型分布,
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10
设二维离散型随机变量 (x,h)可能取的值为
(a1,b1),...,(a1,bj),...,(ai,b1),...,(ai,bj),...,
且事件 {x=ai,h=bj}的概率为 pij(i,j=1,2,...),
即
P{x=ai,h=bj}=pij,
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11
那末 (x,h)的 分布密度 为表格
x h b1,.,bj,..
a1 p11,.,p1j,..
,.,?,..
ai pi1,.,pij,..
,.,?,..
,
,
0 1,1,i j i j
ij
pp
(2)
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12
例 1 一口袋中有三个球,它们依次标有数字 1,2,2,从这袋中任取一球后,不放回袋中,再从袋中任取一球,设每次取球时,
袋中各个球被取到的可能性相同,以 x,h
分别记第一次,第二次取得的球上标有的数字,求 (x,h)的分布密度,
2009-7-25
13
解 (x,h)可能取的值为数组 (1,2),(2,1),
(2,2),不难算出
11
{(,) ( 1,2) } 1
33
2 1 1
{(,) ( 2,1 ) }
3 2 3
2 1 1
{(,) ( 2,2) }
3 2 3
P
P
P
xh
xh
xh
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14
所求分布密度为
x h 1 2
1 0 1/3
2 1/3 1/3
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15
第三节 二维连续型随机变量
2009-7-25
16
与一维连续型随机变量类似,设 (x,h)为一个二维随机变量,如果存在着一个定义域为整个 xOy平面的非负函数 j(x,y),使 (x,h)
的分布函数可表为
(,) (,)
(,)
D
xy
F x y x y d
x y d y d x
j?
j
D如 图 6-1所示,则称 (x,h)为 二维连续型随机变量,称它的分布为 二维连续型分布,称
j(x,y)为 (x,h)的分布密度,
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17
这里的积分涉及广义二重积分,区域为无界的广义二重积分的定义如下,设 D是
xOy平面内的无界区域,则函数 f(x,y)在 D
上的广义二重积分定义为
1
1
(,) l im (,),
DD
DD
f x y d f x y d
其中 D1为 D内的任意有界区域,
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18
二维分布密度具有下列性质,
( 1 ) (,) 0 ;
( 2 ) (,) 1 ;
( 3 ) {(,) } (,),
D
xy
x y d y d x
P D x y d
j
j
x h j?
(4)
其中 D为 xOy平面内任一区域,
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19
最常遇到的二维连续型分布是 二维正态分布,它的分布密度为 22
2 2 2
1212
1 ( ) 2 ( ) ( ) ( )
2 ( 1 )
2
12
1
(,)
21
(,),
x a x a y b y b
x y e
xy
j
(5)
其中 a,b,?1,?2,?均为常数,
且?1>0,?1>0,?1<?<1
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20
例 2 已知二维随机变量 (x,h)的分布密度为
1
( 6 ),0 2,2 4,
(,) 8
0,othe r,
x y x y
xyj
又 (1)D为 xOy平面内由不等式 x<1,y<3所定的区域 ; (2) D为 xOy平面内由不等式 x+y<3
所定的区域,求 P{(x,h)?D}
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21
(1)和 (2)中 D的示意图
xO 1 2
2
3
4
y
xO 1 2
2
3
4
y
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22
解 (1)
13
02
{ (,) } (,)
1
( 6 )
8
3
8
D
P D x y d
x y dy dx
x h j
(2)
13
02
{(,) } (,)
15
( 6 )
8 24
D
x
P D x y d
x y dy dx
x h j?
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第四节 边缘分布
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24
设 (x,h)为一个二维随机变量,事件 {x<x}
就是指事件 {x<x,h<+?},由 (x,h)的分布函数可以定出 x的分布函数,
P{x<x}=P{x<x,h<+?}.
这样定出的一维分布称为 关于 x的边缘分布,
类似地,关于 h的边缘分布 的分布函数为
P{h<y}=P{x<+?,h<y}.
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25
设 (x,h)的分布函数为 F(x,y),那末关于 x
的边缘分布函数为
1 ( ) { } {,}
l im (,),
y
F x P x P x
F x y
x x h
(6)
同理可得,关于 h的边缘分布函数为
2 ( ) l im (,)xF y F x y
(7)
下面分别讨论离散型,连续型分布中的边缘分布,
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26
设 (x,h)为二维离散型随机变量,它的分布密度如 表 (2)所示,则
12
12
{ } {,} {,}
{,}
( 1,2,)
i i i
ij
i i ij
ij i
j
P a P a b P a b
P a b
p p p
p p i
x x h x h
xh
因此 x的分布密度为
x a1 a2,.,ai,..
概率 p1? p2?,.,pi?
(8)
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27
同理可得,关于 h的边缘分布也是离散型的,且它的分布密度为
h b1 b2,.,bj,..
概率 p?1 p?2,.,p?j,..
其中
( 1,2,)j i j
i
p p j
(9)
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例 3 设二维离散型随机变量 (x,h)的分布密度为
1 1 2
13
00
12 12
3 2 1 1
2 12 12 12
31
20
12 12
h
x
求关于 x及关于 h的边缘分布的分布密度
2009-7-25
29
解 按表 (8),(9)分别得所要求的分布密度为
1 1 2
13
00
12 12
3 2 1 1
2 12 12 12
31
20
12 12
h
x
3
02
2
111
333
x
概 率
1 1 2
3 1 2
6 6 6
h?
概 率
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30
设二维连续型随机变量 (x,h)的分布密度为 j(x,y),按 式 (6)有
1 ( ) (,),xF x x y d y d xj
可见关于 x的边缘分布也是连续型的,它的分布密度为
1 ( ) (,)x x y d yjj
(10)
2009-7-25
31
同理可得,关于 h的边缘分布也是连续型的,它的分布密度为
2 ( ) (,)y x y d xjj
(11)
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32
例 4 设 (x,h)服从区域 A上的均匀分布,即它的分布密度
1
,(,),
()(,)
0,
x y A
SAxyj
其 余 地 方,
(12)
其中 S(A)为区域 A的面积,
如果 A是由 x轴,y轴及直线
x+(y/2)=1所围成的三角形区域,求关于 x及关于 h
的边缘分布密度,O x1
2
A
y
12yx
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33
解 因 S(A)=1,所以
1
1,(,),
()
0,
x y A
xj
其 余 地 方,
按 式 (10),得关于 x的边缘分布密度为
2 ( 1 )
0
1
1 2 ( 1 ),0 1,
()
0,.
x
d y x x
xj
其 余 地 方按式 (11),得关于 h的边缘分布密度为
1
2
0
2
1 1,0 2,
() 2
0,.
y
y
dx y
yj
其 余 地 方
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34
例 5 设 (x,h)服从二维正态分布,它的分布密度为 22
2
1
( 2 )
2 ( 1 )
2
1
(,)
21
(,)
x x y y
x y e
xy
j
(13)
求关于 x及关于 h的边缘分布密度,
2009-7-25
35
解 按 式 (10)有
22
2
2
2
2
1
1
( 2 )
2 ( 1 )
2
()
2
2 ( 1 )
2
( ) (,)
1
21
1
.
2
1
x x y y
x
yx
x x y dy
e dy
e
e dy
jj
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作代换
2
,
1
yxv?
便得关于 x的边缘分布密度为 2 22
2
22
1
1
()
2 2
( ),
x
vx
e
x e d v e
x
j
即这边缘分布为 N(0,1).
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按 式 (11),同理可得关于 h的边缘分布密度为
2
2
2
1
( ) ( ),
2
y
y e yj
即这边缘分布也是 N(0,1).
从这个例子可以看到,二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,而且这两个边缘分布都不依赖于参数?,这一事实表明,单单由关于 x及关于 h的边缘分布,一般说来是不能确定二维随机变量 (x,h)的分布的,
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2003年考研数学试题 (数一,一 (5)):
设二维随机变量 (X,Y)的概率密度为
6,0 1,
(,)
0,.
x x y
f x y
其 他则 P{X+Y?1}=_______,(分值,4分 )
y=x
y=1
x
y
0?x?y?1
x+y=1
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解 所求概率为
1
0.5 1 0.5
1
00
0.5
0
0.5 0.5
2 2 3
00
{ 1 } (,)
66
6 [ ( 1 ) ]
6 2 ( 3 4 )
3 1 1
4 2 4
x
x
x
x
x
P X Y f x y dy dx
x dy dx x y dx
x x x dx
x x dx x x
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作业,从 83页开始第 1,3,4,5题
