2009-7-25
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若随机变量 x的分布函数 F(x)恰好是某个非负函数 j(x)在 (-?,x)上的积分,即
( ) ( ),
x
F x x d xj
-?

则称 x为 连续型随机变量,称 j(x)为 x的 分布密度 (简称 密度 ),也有称 概率密度 的,并称 x
的分布为 连续型分布,
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图示,j(x)
xxO
阴影面积为 F(x)
( ) ( ),
x
F x x d xj
-?

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积分记号
( ),
x
a
x d xj?
是
( ),
x
a
u d uj? 的简写例如
2 2 3 3
00
0
11
33
x
xx
x d x u d u u x
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中 x的分布函数例 7
0,0,
( ),0 1,
1,1,
x
F x x x
x



就是函数

.,0
,10,1
)(
其它
x
xj
在 (-?,x)上的积分,
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图示
xO 1
1
j(x)
xO 1
1
F(x)
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当 x?0时,
( ) 0 0 ;xxx d x d xj
-? -?

当 0<x?1时,
0
0
0
0
( ) ( ) ( )
0 1 ;
xx
x
x dx x dx x dx
dx dx x
j j j
-? -?
-?




当 1<x时,
01
01
01
01
( ) ( ) ( ) ( )
0 1 0 1
xx
x
x d x x d x x d x x d x
d x d x d x
j j j j
-? -?
-?




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可以证明,连续型随机变量的分布函数是连续函数,
分布密度 j(x)具有下列性质,( 1 ) ( ) 0 ;
( 2) ( ) 1 ;
( 3 ) { } ( )
b
a
x
x dx
P a b x dx
j
j
xj

-?

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直观上,以 x轴上的区间 [a,b)为底,曲线
y=j(x)为顶的曲边梯形的面积,就是
P{a?x<b}的值,
xO
y y=j(x)
阴影面积为 P{a?x<b}的值
a b
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由分布密度的定义,仿照高等数学中 "关于对积分上限的函数求导数的定理 "的证明,可得在 j(x)的连续点处有
F '(x)=j(x).
需要特别指出的是,对于连续型随机变量 x来说,它取任一指定实数值 a的概率为 0,即 P{x=a}=0.
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例 9 在例 7中,如果均匀陀螺的圆周上均匀地刻上区间 [a,b)的诸数字 (a<b),求相应的随机变量 x的分布函数和分布密度,
解 与例 7的解法相类似,可得 x的分布函数为
0,,
( ),,
1,.
xa
xa
F x a x b
ba
bx
-?

-
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从而,x的分布密度为
1
,,
( ) ( )
0,othe r,
a x b
x F x baj

-?
称这个连续型分布为区间 [a,b]上的 均匀分布,它依赖于两个常数 a和 b.
a bO x
j(x)
1
ba-
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例 10 验证函数
),(
,,0
,0,
)( 为正常数其余地方
k
xke
x
kx

-
j
是一个连续型分布的密度函数 (称这个分布为 指数分布 ),并计算,当 x的分布为
k=0.015的指数分布时,
(1) P{x>100};
(2) 如果要 P{x>x}<0.1,那末 x要在哪个范围内?
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j(x)的图形
x
j(x)
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解 由于 j(x)除了在 x=0处外,在整个实轴上都连续,且不为负,又
0
0
0
0
0
( ) ( ) ( )
0
01
kx
kx
x dx x dx x dx
dx k e dx
e
j j j

-? -?

-
-?

-


-?



所以 j(x)是一个连续型分布的密度函数,
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(1)
0,0 1 5
1 0 0 1 0 0
0,0 1 5 1,5
100
{ 1 0 0 } ( ) 0,0 1 5
0,2 2 3,
x
x
P x d x e d x
ee
xj

-

-

-

(2) 如果 P{x>x}<0.1,即
0,0 1 5 0,0 1 5( ) 0,0 1 5 0,1xx
xx
x d x e d x ej --
那末 -0.015x < ln0.1
即
l n 0,1 1 5 3,5
0,0 1 5
x -
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第五节 正态分布
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在许多实际问题中,遇到的随机变量受到众多的相互独立的随机变量的影响,而每一个别因素的影响都很微小,具有这样特点的随机变量可认为具有分布密度
2
2
()
21( ),
2
xa
x e x?j

--
-
其中 a,?都是常数,?>0,称这种分布为 正态分布,以后简记成 N(a,?2).
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现在证明 j(x)确为一密度函数,
j(x)非负且到处连续,通过作代换
z=(x-a)/?便得
2
2
()
21( ),
2
xa
x e x?j

--
-
2 2
2
()
2
11
()
22
1
21
2
xa z
x d x e d x e d z?j

-
- -
-? -? -?



从而,j(x)的确可以作为一个密度函数
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证明
2
2 2
x
e d x?
-
-?

这是因为
2 2 2
22
2
2
2 2 2
2
22
2
0 0 0
2
x x y
xy
r
e dx e dx e dy
e dx dy
e rdr d d


- - -
-? -? -?
-
-? -?
-











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以 2
21
2
x
e
-
为密度的分布 N(0,1)称为 标准正态分布,
它的分布密度
2
2
0,1
1
()
2
x
xej
-
分布函数为
2
2
0,1
1
()
2
x
x
F x e d x
-
-?

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j0,1(x)的图形,
-3 -2 -1 0 1 2 3
-3 -2 -1 0 1 2 3
j0,1(x)
F0,1(x)F0,1(x)的图形,
1
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因为 j0,1(x)为偶函数,所以0,1 0,1 0,1
0,1 0,1
0,1
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 ( )
x
x
x
F x x d x x d x
x d x x d x
Fx
jj
jj
-
-?

-? -?
-
-
-


为了便于计算,教材末附有 F0,1(x)的函数表,可从表中查出当 x>0时 F0,1(x)的函数值,而当 x<0时,可利用上式得
F0,1(x) =1-F0,1(-x),查表得 F0,1(-x)再计算出 F0,1(x)的值,
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设 x服从 N(0,1),那末
P{b1<x<b2}=P{b1?x<b2}
=P{x<b2}-P{x<b1}
=F0,1(b2)-F0,1(b1).
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设 x服从 N(a,?2),那末
2
2 2
1
()
2
12
1
{ },
2
xa
b
b
P b b e d x?x

-
-

令 (x-a)/? = t,便得
2
2
1
2
12
21
0,1 0,1
1
{}
2
ba t
ba
P b b e d t
b a b a
FF
x

-
-
-

--
-

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例 11 设 x服从 N(0,1),借助于标准正态分布的分布函数表计算,
(1) P{x<2.35};
(2) P{x<-1.24};
(3) P{|x|<1.54}.
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解 (1) P{x<2.35}=F0,1(2.35)=0.9906.
(2) P{x<-1.24}=F0,1(-1.24)=1-F0,1(1.24)
=1-0.8925=0.1075.
(3) P{|x|<1.54}=P{-1.54<x<1.54}
=F0,1(1.54)-F0,1(-1.54)
=F0,1(1.54)-[1-F0,1(1.54)]
=2F0,1(1.54)-1
=2?0.9382-1=0.8764.
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例 12 设 h服从 N(1.5,4),计算,
(1) P{h<3.5}
(2) P{h<-4}
(3) P{h>2}
(4) P{|h|<3}.
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解 (1)
0,1
0,1
3,5 1,5
{ 3,5 }
2
( 1 ) 0,84 03,
PF
F
h
-



(2)
0,1 0,1
0,1
4 1,5
{ 4 } ( 2,7 5 )
2
1 ( 2,7 5 ) 1 0,9 9 7 0 0,0 0 3 0,
P F F
F
h
--
- -

-? -?
(3)
0,1 0,1
2 1,5
{ 2 } 1 1 ( 0,2 5 )
2
1 0,5 9 8 7 0,4 0 1 3,
P F Fh
-
-? -

-?
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(4)
0,1 0,1
0,1 0,1
0,1 0,1
{ | | 3 } { 3 3 }
3 1.5 3 1.5
22
( 0.75 ) ( 2.25 )
( 0.75 ) [ 1 ( 2.25 ) ]
0.773 4 ( 1 0.987 8 )
0.7612.
PP
FF
FF
FF
hh -
- - -
-


- -
- -
- -
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特殊地,从 F0,1(x)的函数表中查得
P{|x|<1}=2F0,1(1)-1=0.6826
P{|x|<2}=2F0,1(2)-1=0.9544
P{|x|<3}=2F0,1(3)-1=0.9974
这三个数值在应用上是用得较多的,
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本书末的附表中还列出了当 x服从 N(0,1)
时能使
P{x<x}=F0,1(x)=0.90,0.95,...
的 x值及能使
P{|x|>x}=0.20,0.10,...
的 x值,这些值在应用上也要用到,
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例 13 已知从某批材料中任取一件时,取得的这件材料的强度 x~N(200,182).
(1) 计算取得的这件材料的强度不低于
180的概率 ;
(2) 如果所用的材料要求以 99%的概率保证强度不低于 150,问这批材料是否符合这个要求,
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解 (1) 0,1
0,1 0,1
0,1
180 200
{ 180 } 1 { 180 } 1
18
1 ( 1.11 ) 1 [ 1 ( 1.11 ) ]
( 1.11 ) 0.866 5.
PPF
FF
F
xx
-
- -

- -? - -

(2)
0,1
0,1 0,1
0,1
150 200
{ 150 } 1 { 150 } 1
18
1 ( 2.78 ) 1 [ 1 ( 2.78 ) ]
( 2.78 ) 0.997 3.
PPF
FF
F
xx
-
- -

- -? - -

即任取一件材料以概率 99.73%(大于 99%)保证强度不低于 150,所以这材料符合要求,
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记 ja,?(x)为服从 N(a,?2)的随机变量的分布密度,
x
y=j0,2.5(x)
y=j0,1(x)
y=j0,0.4(x)
y
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将函数 y=j0,?(x)的图形沿 x轴平移 a,就可以得到函数 y=ja,?(x)的图形,
x
y=j3,1(x)
y=j0,1(x)y
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作业 第 65页开始第 13,14,15,19题