2009-7-25
1
线性代数第 11讲向量空间与线性变换本文件可从网址
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4.1 Rn的基与向量关于基的坐标
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3
Rn中的 n个 单位向量
e1=[1,0,0,...,0]
e2=[0,1,0,...,0]
...
en=[0,0,0,...,1]
是线性无关的一个 n阶实矩阵 A=[aij]n?n,如果 |A|?0,则 A的 n个行向量和 n个列向量也都是线性无关的,此外,
Rn中任何 n+1个向量都是线性相关的,因此 Rn
中任一向量 a都可用 Rn中 n个线性无关的向量来表示,且表示法唯一,由此给出 基 和 坐标 的概念,
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4
定义 1 设有序向量组 B={b1,b2,...,bn}?Rn,如果
B线性无关,则任给 a?Rn有
a=a1b1+a2b2+...+anbn,(4.1)
就称 B是 Rn的一组 基 (或 基底 ),有序数组
(a1,a2,...,an)是向量 a关于基 B(或说在基 B下 )的坐标,记作
aB=[a1,a2,...,an]或 aB=[a1,a2,...,an]T,
并称之为 a的 坐标向量,
显然 Rn的基不是唯一的,而 a关于给定的基的坐标是唯一的,以后把 n个单位向量组成的基称为 自然基 或 标准基,
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在三维几何向量空间 R3中,i,j,k是一组标准基,
R3中任一向量 a可唯一地表示为
a=xi+yj+zk,
这里有序数组 (x,y,z)称为 a在基 i,j,k下的坐标,
如果 a的起点在原点,(x,y,z)就是 a的终点 P的直角坐标,(以后常用 R3中向量 a与空间点 P的一一对应关系,对 Rn中的一些问题及其结论在
R3中作几何解释 ).
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为讨论方便,对向量及其坐标常采用列向量的形式 [a1,a2,...,an]T,则式子
a=a1b1+a2b2+...+anbn,(4.1)
可表示为分块矩阵相乘的形式
1
2
12
[,,,] ( 4,2 )
n
n
a
a
a
a b b b
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设 B1={a1,a2,...,an}和 B2={h1,h2,...,hn}是 Rn的两组基,则 h1,h2,...,hn也都能被 B1唯一地表示
1 1 1 1 2 1 1 1
2 1 2 1 2 2 2 2
1 1 2 2
( 4,3 )
nn
nn
n n n n n n
a a a
a a a
a a a
h a a a
h a a a
h a a a
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
1 2 1 2
12
[,,,] [,,,]
( 4,5 )
n
n
nn
n n n n
a a a
a a a
a a a
h h h a a a
可用分块矩阵表示为
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定义 2 设 Rn的两组基 B1={a1,a2,...,an}和
B2={h1,h2,...,hn}满足矩阵 A称为旧基 B1到新基 B2的过渡矩阵,
过渡矩阵一定是可逆的,
11 12 1
21 22 2
1 2 1 2
12
1 2 1 2
[,,,] [,,,]
[,,,] [,,,] ( 4.6 )
n
n
nn
n n nn
nn
a a a
a a a
a a a
A
h h h a a a
h h h a a a
或
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9
定理 2 设向量 a在两组基 B1={a1,a2,...,an}和
B2={h1,h2,...,hn}下的坐标向量分别为
x=[x1,x2,...,xn]T和 y=[y1,y2,...,yn]T.
基 B1到基 B2的过渡矩阵为 A,则
Ay=x 或 y=A-1x.
证 由已知条件,有 (4.6)式成立,且
a=x1a1+x2a2+...+xnan
=y1h1+y2h2+...+ynhn,
故
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10
由于 a在基 a1,a2,...,an下的坐标是唯一的,所以
Ay=x 或 y=A-1x.
11
22
1 2 1 2
11
22
1 2 1 2
[,,,] [,,,]
( [,,,] ) [,,,]
nn
nn
nn
nn
xy
xy
xy
yy
yy
AA
yy
a a a a h h h
a a a a a a
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11
在 R2中,任意两个不在一条直线上 (线性无关 )
的向量 a1,a2都可以构成一斜角坐标系,
a1
a2
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12
但是在实际应用中更希望获得直角的坐标系,
即希望 a1,a2相互垂直,且 a1和 a2的长度都是 1.
a1a2
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4.2 Rn中向量的内积 标准正交基和正交矩阵
4.2.1 n维实向量的内积,欧氏空间
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14
前面讨论 n维实向量空间中只定义了向量的线性运算,它不能描述向量的度量性质,如长度,
夹角等,在三维几何空间中,向量的内积 (即点积或数量积 )描述了内积与向量的长度及夹角间的关系,由内积定义
| | | | c o s,a b a b a b
c o s,
| | | |
||
ab
ab
ab
a a a
可以得到
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若 a=a1i+a2j+a3k,简记为 a=(a1,a2,a3),
b=b1i+b2j+b3k,简记为 b=(b1,b2,b3).
由内积的运算性质和内积的定义,可得
a? b=a1b1+a2b2+a3b3.
现在把三维向量的内积推广到 n维实向量,在 n
维实向量空间中定义内积运算,进而定义向量的长度和夹角,使 n维实向量具有度量性,
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定义 1 设 a=[a1,a2,...,an]T和 b=[b1,b2,...,bn]T?Rn,
规定 a与 b的 内积 为,
(a,b)=a1b1+a2b2+...+anbn
当 a,b为列向量时,(a,b)=aTb=bTa.
根据定义,容易证明内积具有以下的运算性质,
(i) (a,b)=(b,a)
(ii) (a+b,g)=(a,g)+(b,g) (4.8)
(iii) (ka,b)=k(a,b);
(iv) (a,a)?0,等号成立当且仅当 a=0
其中 a,b,g?Rn,k?R
由于性质 (iv),可用内积定义 n维向量 a的长度,
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定义 2 向量 a的 长度
| | (,),( 4,9 )a a a?
定理 1 向量的内积满足
|(a,b)|?|a| |b|.
(4.10)
(4.10)式称为 Couchy-Schwarz(柯西 -许瓦兹 )不等式,
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证 当 b=0时,(a,b)=0,|b|=0,(4.10)式显然成立,
当 b?0时,作向量 a+tb(t?R),由性质 (iv)得
(a+tb,a+tb)?0.
再由性质 (i),(ii),(iii)得,
(a,a)+2(a,b)t+(b,b)t2?0.
上式左端是 t的二次三项式,且 t2系数 (b,b)>0,
因此 4(a,b)2-4(a,a)(b,b)?0,
即 (a,b)2?(a,a)(b,b)=|a|2|b|2,
故 |(a,b)|?|a||b|.
不难证明 (4.10)式等号成立的充分必要条件为
a与 b线性相关,
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当 a=[a1,a2,...,an]T,b=[b1,b2,...,bn]T时,利用定理
1可得
2
22
1 1 1
,( 4,1 1 )
n n n
i i i i
i i i
a b a b
(,),a r c c o s ( 4,1 2 )
| | | |
abab
ab
由于内积满足 Cauchy-Schwarz不等式,于是可以利用内积定义向量之间的夹角,
定义 3 向量 a,b之间的夹角
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定理 2 非零向量 a,b正交 (或垂直 )的充分必要条件是 (a,b)=0.
由于零向量与任何向量的内积为 0,因此,也说零向量与任何向量正交,
在三维几何空间中,向量 a,b,a+b构成三角形,
三个向量的长度满足三角形不等式
|a+b|?|a|+|b|,(4.13)
当 a?b时,满足勾股定理
|a+b|2=|a|2+|b|2,(4.14)
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下面证明,在定义了内积运算的 n维向量空间中,三角形不等式和勾股定理仍然成立,下面给出它们的证明,
|a+b|2=(a+b,a+b)=(a,a)+2(a,b)+(b,b) (1)
|a|2+2|a||b|+|b|2 (2)
=(|a|+|b|)2,
故 |a+b|?|a|+|b|
上面的 (1)到 (2)利用了 Cauchy-Schwarz不等式,
当 a?b时,(1)式中的 (a,b)=0,于是就有
|a+b|2=|a|2+|b|2.
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定义 4 定义了内积运算的 n维实向量空间称为
n维欧氏空间,仍记作 Rn.
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4.2.2 标准正交基在 n维欧氏空间 Rn中,长度为 1的单位向量组
e1=[1,0,0,...,0]T,e2=[0,1,0,...,0]T,...,
en=[0,0,0,...,1]T.
显然是两两正交的线性无关的向量组,称它为
Rn的一组标准正交基,然而,n维欧氏空间的标准正交基不是唯一的,为了说清楚这个问题,
首先证明两两正交不含零向量的向量组线性无关,再给出标准正交基的定义,最后给出由
Rn中 n个线性无关的向量构造成一组标准正交基的施密特正交化方法,
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定理 3 Rn中两两正交且不含零向量的向量组
(称为非零正交向量组 )a1,a2,...,as是线性无关的,
证 设 k1a1+k2a2+...+ksas=0,
则
1
(,) (,) 0,1,2,,.
s
i j j i i i
j
k k i sa a a a
由于 (ai,ai)>0,故 ki=0,i=1,2,...,s,因此,
a1,a2,...,as线性无关,
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定义 5 设 a1,a2,...,an?Rn,若
1,,(,),1,2,,( 4,1 5 )0,,ij ij i j nijaa
则称 {a1,a2,...,an}是 Rn的一组 标准正交基,
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例 1 设 B={a1,a2,...,an}是 Rn的一组标准正交基,
求 Rn中向量 b在基 B下的坐标,
解 设 b=x1a1+x2a2+...+xnan,
将上式两边对 aj(j=1,2,...,n)分别求内积,得
1 1 2 2
1
(,) (,)
(,),
j n n j
n
i i j j
i
x x x
xx
b a a a a a
aa
故 b在标准正交基 a1,a2,...,an下的坐标向量的第 j个分量为
xj=(b,aj),j=1,2,...,n.
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在 R3中取 i,j,k为标准正交基,例 1中的 x1,x2,x3就是 a在 i,j,k上的投影,
4.2.3 施密特 (Schmidt)正交化方法施密特正交化方法是将 Rn中一组线性无关的向量 a1,a2,...,an,作一种特定的线性运算,构造出一组标准正交向量组的方法,
先从 R3的一组基 a1,a2,a3构造出一组标准正交基,以揭示施密特正交化方法的思路和过程,
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令 b1=a1,将 a2在 b1上的投影向量记作
g12=k12b1
21
12
11
(,)
(,)
k
ab
bb
再取 b2=a2-g12=a2-k12b1,则 b2?b1
O g12 a1=b1
a2
b2=a2-g12
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由于 a3与 a1,a2不共面,所以 a3与 b1,b2不共面,
如果记 a3在 b1,b2平面上的投影向量为 g3,即
g3=g13+g23=k13b1+k23b2.
并取 b3=a3-g3=a3-k13b1-k23b2,
则 b3?b1,b3?b2,a
3
b2
b1
b3=a3-g3
g13
g23
g3
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如此求得的 b1,b2,b3是两两正交的非零向量组,
再将 b1,b2,b3单位化,即取
1
,1,2,3
||jj j
jhb
b
则 h1,h2,h3就是 R3的一组标准正交基,
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由 Rn中线性无关向量组 a1,a2,...,am也可类似地构造出一组标准正交的向量组 h1,h2,...,hm,步骤为,取
b1=a1,
b2=a2+k12b1,
由于 b1,a2线性无关,所以 b2?O,为使 b1,b2正交,
即
(b2,b1)=(a2+k12b1,b1)
=(a2,b1)+k12(b1,b1)=0,
便得
21
12
11
(,)
(,)
k
ab
bb
-
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32
再取 b3=a3+k23b2+k13b1,
使 (b3,b1)=(b3,b2)=0,又得
3 1 3 2
1 3 2 3
1 1 2 2
(,) (,),.
(,) (,)
kk a b a b
b b b b
-? -
(,)
,1,2,,1
(,)
ji
ij
ii
k i j
ab
bb
-? -
假定已求出两两正交的非零向量 b1,b2,...,bj-1,再取 bj=aj+kj-1,jbj-1+...+k2jb2+k1jb1,
为使 bj与 bi(i=1,2,...,j-1)正交,即
(bj,bi)=(aj,bi)+kij(bi,bi)=0,
即得
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因此,令 b1=a1,并在 (4.16)式中取 j=2,3,...,m,就得到两两正交的非零向量组 b1,b2,...,bm,再将它们单位化为,h1,h2,...,hm,其中
1 2 1
1 2 1
1 1 2 2 1 1
(,) (,) (,)
(,) (,) (,)
( 4,1 6 )
j j j j
j j j
jj
a b a b a b
b a b b b
b b b b b b
-
-
--
- - - -
1,1,2,,,
||jj j
jmhb
b
这就由线性无关的 a1,a2,...,am构造出了标准正交向量组 h1,h2,...,hm,这个正交化过程称为 施密特正交化方法,
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如果 a1,a2,...,an是 Rn的一组基,按施密特正交化方法,必可构造出 Rn的一组标准正交基
h1,h2,...,hn,由此可见,Rn的标准正交基不唯一,
例 2 已知 B={a1,a2,a3}是 R3的一组基,其中
a1=[1,-1,0],a2=[1,0,1],a3=[1,-1,1].
试用 Schmidt正交化方法,由 B构造 R3的一组标准正交基,
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a1=[1,-1,0],a2=[1,0,1],a3=[1,-1,1].
解 取 b1=a1=[1,-1,0],
21
2 2 1
11
3 2 3 1
3 3 2 1
2 2 1 1
(,)
(,)
1 1 1
[ 1,0,1 ] [ 1,1,0],,1,
2 2 2
(,) (,)
(,) (,)
2 1 1 2 1 1 1
[ 1,1,1 ],,1 [ 1,1,0],,
3 2 2 2 3 3 3
aa
ab
b a b
bb
bb
b a b b
b b b b
-
- -?
- -
- - - -? - -
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b1=[1,-1,0],b2=[1/2,1/2,1],b3=[-1/3,-1/3,1/3]
再将 b1,b2,b3单位化,得 R3的标准正交基,
11
1
22
2
33
3
1 1 1
,,0,
|| 22
1 1 1 2
,,,
|| 666
1 1 1 1
,,.
|| 3 3 3
hb
b
hb
b
hb
b
-
- -
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今天作业,第 211页开始第 8,9题
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4.1 Rn的基与向量关于基的坐标
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3
Rn中的 n个 单位向量
e1=[1,0,0,...,0]
e2=[0,1,0,...,0]
...
en=[0,0,0,...,1]
是线性无关的一个 n阶实矩阵 A=[aij]n?n,如果 |A|?0,则 A的 n个行向量和 n个列向量也都是线性无关的,此外,
Rn中任何 n+1个向量都是线性相关的,因此 Rn
中任一向量 a都可用 Rn中 n个线性无关的向量来表示,且表示法唯一,由此给出 基 和 坐标 的概念,
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4
定义 1 设有序向量组 B={b1,b2,...,bn}?Rn,如果
B线性无关,则任给 a?Rn有
a=a1b1+a2b2+...+anbn,(4.1)
就称 B是 Rn的一组 基 (或 基底 ),有序数组
(a1,a2,...,an)是向量 a关于基 B(或说在基 B下 )的坐标,记作
aB=[a1,a2,...,an]或 aB=[a1,a2,...,an]T,
并称之为 a的 坐标向量,
显然 Rn的基不是唯一的,而 a关于给定的基的坐标是唯一的,以后把 n个单位向量组成的基称为 自然基 或 标准基,
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5
在三维几何向量空间 R3中,i,j,k是一组标准基,
R3中任一向量 a可唯一地表示为
a=xi+yj+zk,
这里有序数组 (x,y,z)称为 a在基 i,j,k下的坐标,
如果 a的起点在原点,(x,y,z)就是 a的终点 P的直角坐标,(以后常用 R3中向量 a与空间点 P的一一对应关系,对 Rn中的一些问题及其结论在
R3中作几何解释 ).
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6
为讨论方便,对向量及其坐标常采用列向量的形式 [a1,a2,...,an]T,则式子
a=a1b1+a2b2+...+anbn,(4.1)
可表示为分块矩阵相乘的形式
1
2
12
[,,,] ( 4,2 )
n
n
a
a
a
a b b b
2009-7-25
7
设 B1={a1,a2,...,an}和 B2={h1,h2,...,hn}是 Rn的两组基,则 h1,h2,...,hn也都能被 B1唯一地表示
1 1 1 1 2 1 1 1
2 1 2 1 2 2 2 2
1 1 2 2
( 4,3 )
nn
nn
n n n n n n
a a a
a a a
a a a
h a a a
h a a a
h a a a
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
1 2 1 2
12
[,,,] [,,,]
( 4,5 )
n
n
nn
n n n n
a a a
a a a
a a a
h h h a a a
可用分块矩阵表示为
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定义 2 设 Rn的两组基 B1={a1,a2,...,an}和
B2={h1,h2,...,hn}满足矩阵 A称为旧基 B1到新基 B2的过渡矩阵,
过渡矩阵一定是可逆的,
11 12 1
21 22 2
1 2 1 2
12
1 2 1 2
[,,,] [,,,]
[,,,] [,,,] ( 4.6 )
n
n
nn
n n nn
nn
a a a
a a a
a a a
A
h h h a a a
h h h a a a
或
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9
定理 2 设向量 a在两组基 B1={a1,a2,...,an}和
B2={h1,h2,...,hn}下的坐标向量分别为
x=[x1,x2,...,xn]T和 y=[y1,y2,...,yn]T.
基 B1到基 B2的过渡矩阵为 A,则
Ay=x 或 y=A-1x.
证 由已知条件,有 (4.6)式成立,且
a=x1a1+x2a2+...+xnan
=y1h1+y2h2+...+ynhn,
故
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10
由于 a在基 a1,a2,...,an下的坐标是唯一的,所以
Ay=x 或 y=A-1x.
11
22
1 2 1 2
11
22
1 2 1 2
[,,,] [,,,]
( [,,,] ) [,,,]
nn
nn
nn
nn
xy
xy
xy
yy
yy
AA
yy
a a a a h h h
a a a a a a
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11
在 R2中,任意两个不在一条直线上 (线性无关 )
的向量 a1,a2都可以构成一斜角坐标系,
a1
a2
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12
但是在实际应用中更希望获得直角的坐标系,
即希望 a1,a2相互垂直,且 a1和 a2的长度都是 1.
a1a2
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4.2 Rn中向量的内积 标准正交基和正交矩阵
4.2.1 n维实向量的内积,欧氏空间
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14
前面讨论 n维实向量空间中只定义了向量的线性运算,它不能描述向量的度量性质,如长度,
夹角等,在三维几何空间中,向量的内积 (即点积或数量积 )描述了内积与向量的长度及夹角间的关系,由内积定义
| | | | c o s,a b a b a b
c o s,
| | | |
||
ab
ab
ab
a a a
可以得到
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若 a=a1i+a2j+a3k,简记为 a=(a1,a2,a3),
b=b1i+b2j+b3k,简记为 b=(b1,b2,b3).
由内积的运算性质和内积的定义,可得
a? b=a1b1+a2b2+a3b3.
现在把三维向量的内积推广到 n维实向量,在 n
维实向量空间中定义内积运算,进而定义向量的长度和夹角,使 n维实向量具有度量性,
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16
定义 1 设 a=[a1,a2,...,an]T和 b=[b1,b2,...,bn]T?Rn,
规定 a与 b的 内积 为,
(a,b)=a1b1+a2b2+...+anbn
当 a,b为列向量时,(a,b)=aTb=bTa.
根据定义,容易证明内积具有以下的运算性质,
(i) (a,b)=(b,a)
(ii) (a+b,g)=(a,g)+(b,g) (4.8)
(iii) (ka,b)=k(a,b);
(iv) (a,a)?0,等号成立当且仅当 a=0
其中 a,b,g?Rn,k?R
由于性质 (iv),可用内积定义 n维向量 a的长度,
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定义 2 向量 a的 长度
| | (,),( 4,9 )a a a?
定理 1 向量的内积满足
|(a,b)|?|a| |b|.
(4.10)
(4.10)式称为 Couchy-Schwarz(柯西 -许瓦兹 )不等式,
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18
证 当 b=0时,(a,b)=0,|b|=0,(4.10)式显然成立,
当 b?0时,作向量 a+tb(t?R),由性质 (iv)得
(a+tb,a+tb)?0.
再由性质 (i),(ii),(iii)得,
(a,a)+2(a,b)t+(b,b)t2?0.
上式左端是 t的二次三项式,且 t2系数 (b,b)>0,
因此 4(a,b)2-4(a,a)(b,b)?0,
即 (a,b)2?(a,a)(b,b)=|a|2|b|2,
故 |(a,b)|?|a||b|.
不难证明 (4.10)式等号成立的充分必要条件为
a与 b线性相关,
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当 a=[a1,a2,...,an]T,b=[b1,b2,...,bn]T时,利用定理
1可得
2
22
1 1 1
,( 4,1 1 )
n n n
i i i i
i i i
a b a b
(,),a r c c o s ( 4,1 2 )
| | | |
abab
ab
由于内积满足 Cauchy-Schwarz不等式,于是可以利用内积定义向量之间的夹角,
定义 3 向量 a,b之间的夹角
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定理 2 非零向量 a,b正交 (或垂直 )的充分必要条件是 (a,b)=0.
由于零向量与任何向量的内积为 0,因此,也说零向量与任何向量正交,
在三维几何空间中,向量 a,b,a+b构成三角形,
三个向量的长度满足三角形不等式
|a+b|?|a|+|b|,(4.13)
当 a?b时,满足勾股定理
|a+b|2=|a|2+|b|2,(4.14)
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下面证明,在定义了内积运算的 n维向量空间中,三角形不等式和勾股定理仍然成立,下面给出它们的证明,
|a+b|2=(a+b,a+b)=(a,a)+2(a,b)+(b,b) (1)
|a|2+2|a||b|+|b|2 (2)
=(|a|+|b|)2,
故 |a+b|?|a|+|b|
上面的 (1)到 (2)利用了 Cauchy-Schwarz不等式,
当 a?b时,(1)式中的 (a,b)=0,于是就有
|a+b|2=|a|2+|b|2.
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定义 4 定义了内积运算的 n维实向量空间称为
n维欧氏空间,仍记作 Rn.
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4.2.2 标准正交基在 n维欧氏空间 Rn中,长度为 1的单位向量组
e1=[1,0,0,...,0]T,e2=[0,1,0,...,0]T,...,
en=[0,0,0,...,1]T.
显然是两两正交的线性无关的向量组,称它为
Rn的一组标准正交基,然而,n维欧氏空间的标准正交基不是唯一的,为了说清楚这个问题,
首先证明两两正交不含零向量的向量组线性无关,再给出标准正交基的定义,最后给出由
Rn中 n个线性无关的向量构造成一组标准正交基的施密特正交化方法,
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定理 3 Rn中两两正交且不含零向量的向量组
(称为非零正交向量组 )a1,a2,...,as是线性无关的,
证 设 k1a1+k2a2+...+ksas=0,
则
1
(,) (,) 0,1,2,,.
s
i j j i i i
j
k k i sa a a a
由于 (ai,ai)>0,故 ki=0,i=1,2,...,s,因此,
a1,a2,...,as线性无关,
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定义 5 设 a1,a2,...,an?Rn,若
1,,(,),1,2,,( 4,1 5 )0,,ij ij i j nijaa
则称 {a1,a2,...,an}是 Rn的一组 标准正交基,
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例 1 设 B={a1,a2,...,an}是 Rn的一组标准正交基,
求 Rn中向量 b在基 B下的坐标,
解 设 b=x1a1+x2a2+...+xnan,
将上式两边对 aj(j=1,2,...,n)分别求内积,得
1 1 2 2
1
(,) (,)
(,),
j n n j
n
i i j j
i
x x x
xx
b a a a a a
aa
故 b在标准正交基 a1,a2,...,an下的坐标向量的第 j个分量为
xj=(b,aj),j=1,2,...,n.
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在 R3中取 i,j,k为标准正交基,例 1中的 x1,x2,x3就是 a在 i,j,k上的投影,
4.2.3 施密特 (Schmidt)正交化方法施密特正交化方法是将 Rn中一组线性无关的向量 a1,a2,...,an,作一种特定的线性运算,构造出一组标准正交向量组的方法,
先从 R3的一组基 a1,a2,a3构造出一组标准正交基,以揭示施密特正交化方法的思路和过程,
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令 b1=a1,将 a2在 b1上的投影向量记作
g12=k12b1
21
12
11
(,)
(,)
k
ab
bb
再取 b2=a2-g12=a2-k12b1,则 b2?b1
O g12 a1=b1
a2
b2=a2-g12
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由于 a3与 a1,a2不共面,所以 a3与 b1,b2不共面,
如果记 a3在 b1,b2平面上的投影向量为 g3,即
g3=g13+g23=k13b1+k23b2.
并取 b3=a3-g3=a3-k13b1-k23b2,
则 b3?b1,b3?b2,a
3
b2
b1
b3=a3-g3
g13
g23
g3
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如此求得的 b1,b2,b3是两两正交的非零向量组,
再将 b1,b2,b3单位化,即取
1
,1,2,3
||jj j
jhb
b
则 h1,h2,h3就是 R3的一组标准正交基,
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由 Rn中线性无关向量组 a1,a2,...,am也可类似地构造出一组标准正交的向量组 h1,h2,...,hm,步骤为,取
b1=a1,
b2=a2+k12b1,
由于 b1,a2线性无关,所以 b2?O,为使 b1,b2正交,
即
(b2,b1)=(a2+k12b1,b1)
=(a2,b1)+k12(b1,b1)=0,
便得
21
12
11
(,)
(,)
k
ab
bb
-
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再取 b3=a3+k23b2+k13b1,
使 (b3,b1)=(b3,b2)=0,又得
3 1 3 2
1 3 2 3
1 1 2 2
(,) (,),.
(,) (,)
kk a b a b
b b b b
-? -
(,)
,1,2,,1
(,)
ji
ij
ii
k i j
ab
bb
-? -
假定已求出两两正交的非零向量 b1,b2,...,bj-1,再取 bj=aj+kj-1,jbj-1+...+k2jb2+k1jb1,
为使 bj与 bi(i=1,2,...,j-1)正交,即
(bj,bi)=(aj,bi)+kij(bi,bi)=0,
即得
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因此,令 b1=a1,并在 (4.16)式中取 j=2,3,...,m,就得到两两正交的非零向量组 b1,b2,...,bm,再将它们单位化为,h1,h2,...,hm,其中
1 2 1
1 2 1
1 1 2 2 1 1
(,) (,) (,)
(,) (,) (,)
( 4,1 6 )
j j j j
j j j
jj
a b a b a b
b a b b b
b b b b b b
-
-
--
- - - -
1,1,2,,,
||jj j
jmhb
b
这就由线性无关的 a1,a2,...,am构造出了标准正交向量组 h1,h2,...,hm,这个正交化过程称为 施密特正交化方法,
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如果 a1,a2,...,an是 Rn的一组基,按施密特正交化方法,必可构造出 Rn的一组标准正交基
h1,h2,...,hn,由此可见,Rn的标准正交基不唯一,
例 2 已知 B={a1,a2,a3}是 R3的一组基,其中
a1=[1,-1,0],a2=[1,0,1],a3=[1,-1,1].
试用 Schmidt正交化方法,由 B构造 R3的一组标准正交基,
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a1=[1,-1,0],a2=[1,0,1],a3=[1,-1,1].
解 取 b1=a1=[1,-1,0],
21
2 2 1
11
3 2 3 1
3 3 2 1
2 2 1 1
(,)
(,)
1 1 1
[ 1,0,1 ] [ 1,1,0],,1,
2 2 2
(,) (,)
(,) (,)
2 1 1 2 1 1 1
[ 1,1,1 ],,1 [ 1,1,0],,
3 2 2 2 3 3 3
aa
ab
b a b
bb
bb
b a b b
b b b b
-
- -?
- -
- - - -? - -
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b1=[1,-1,0],b2=[1/2,1/2,1],b3=[-1/3,-1/3,1/3]
再将 b1,b2,b3单位化,得 R3的标准正交基,
11
1
22
2
33
3
1 1 1
,,0,
|| 22
1 1 1 2
,,,
|| 666
1 1 1 1
,,.
|| 3 3 3
hb
b
hb
b
hb
b
-
- -
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今天作业,第 211页开始第 8,9题
