2009-7-25
1
概率论第 9讲随机变量的数字特征本文件可从网址
http://math.vip.sina.com
上下载
(单击 'ppt讲义 '后选择 '工程数学 '子目录 )
2009-7-25
2
第八章 随机变量的数字特征随机变量是按一定的规律 (即分布 )来取值的,实用上,有时并不需要了解这个规律的全貌,而只需要知道它的某个侧面,这时,
往往可以用一个或几个数字来描述这个侧面,这种数字是按分布而定的,它部分地描述了分布的性态,称这种数字为随机变量的 数字特征,本章介绍最常用的几个数字特征,
2009-7-25
3
第一节 数学期望
2009-7-25
4
为了描述一组事物的大致情况,经常使用平均值这个概念,例如,设十根钢筋的抗拉指标依次为
110,120,120,125,125,125,130,130,135,140,
那末它们的平均抗拉指标为
11 0 12 0 12 0 12 5 12 5 12 5 13 0 13 0 13 5 14 0
10
1 2 3 2 1 1
11 0 12 0 12 5 13 0 13 5 14 0
10 10 10 10 10 10
126
2009-7-25
5
从例子看出,所要找的平均抗拉指标并不是这十根钢筋所取到的抗拉指标值
110,120,125,130,135,140的简单平均,而是进行了 加权平均,即所求的平均值为诸抗拉指标值与取这些值的比值的加权平均,
11 0 12 0 12 0 12 5 12 5 12 5 13 0 13 0 13 5 14 0
10
1 2 3 2 1 1
11 0 12 0 12 5 13 0 13 5 14 0
10 10 10 10 10 10
126
2009-7-25
6
对于一个随机变量 x取的值也有同样的问题,我们时常要问,随机变量 x平均取什么值? 通常就用 "随机变量 x能取的各个值,以取这些值的概率为加权数的加权平均 "来计算随机变量 x平均取什么值,
称这种平均值为随机变量 x的数学期望,
下面就离散型,连续型随机变量给出数学期望的具体表达式,
2009-7-25
7
设 x为离散型随机变量,它的分布密度是用表格
x a1 a2,.,ai,..
概率 p1 p2,.,pi,..
表示的,规定 x的数学期望 E(x)为
() ii
i
E a px
在不致引起误会时,可以把 E(x)简写成
Ex.
2009-7-25
8
当 x可能取的值不是有限个时,等式右端是一个无穷级数,由于平均值应该与
a1,a2,...的排列次序无关,因此要求这级数绝对收敛,所以,只有当此级数绝对收敛时才说 x的数学期望存在,
() ii
i
E a px
2009-7-25
9
当 x服从取值 a的退化分布时,Ex=a; 当 x
服从参数为 p的零 -壹分布时,Ex=p.
对于 x的函数 f(x)的数学期望,有如下结论,
() ii
i
E a px
( ) ( )ii
i
E f f a px
其中 pi=P{x=ai} (i=1,2,...),前提也是上述级数绝对收敛,
2009-7-25
10
例 1 设 x的分布密度为
1 0 2 3
1 1 3 1
8 4 8 4
x?
概 率求 Ex,Ex2,E(?2x+1)
解
2 2 2 2 2
1 1 3 1 11
( 1 ) 0 2 3 ;
8 4 8 4 8
1 1 3 1 31
( 1 ) 0 2 3 ;
8 4 8 4 8
1 1 3 1 7
( 2 1 ) 3 1 3 5 ;
8 4 8 4 4
E
E
E
x
x
x
2009-7-25
11
例 2 设 x服从 P (l),求 Ex.
解 x的分布密度为
2
0 1 2
2 ! !
i
i
ee
ee
i
ll
ll
x
ll
l
概 率于是
01
1
10
!!
( 1 ) ! !
ii
ii
in
in
E i e i e
ii
e e e e
in
ll
l l l l
ll
x
ll
l l l l
2009-7-25
12
设 x为连续型随机变量,它的分布密度为
j(x),规定 x的数学期望 Ex为
()E x x d xxj
与离散型时相类似,这里只有在右端的广义积分绝对收敛时才说 Ex存在
2009-7-25
13
设 f(x)为 x的函数,则有
( ) ( ) ( )E f f x x d xxj
其中 j(x)为 x的分布密度,上式当然要在右端的广义积分绝对收敛的情况下才成立,
2009-7-25
14
例 3 设 x服从 N(a,s2),求 Ex.
解 x的分布密度为
2
2
()
2
1
( ) ( 0 ),
2
xa
xe sjs
s
从而
2
2
()
2,
2
xa
x
E e d xsx
s
2009-7-25
15
作变换
2
2
()
2,
2
xa
x
E e d xsx
s
,xat
s
得
2
22
2
22
2
22
t
tt
at
E e dt
a
e dt te dt
a
s
x
s
2009-7-25
16
例 4 已知 x服从 [0,2?]上的均匀分布,求
E(sinx).
解 按公式 ( ) ( ) ( )E f f x x d xxj
并有
1
,0 2,
() 2
0,.
x
x
j?
其 它 地 方得
2
0
1( sin ) sin 0,
2
E x d x
x
2009-7-25
17
当然此题也可先求出 h=sinx的分布密度
jh(y),再由 求出 E(sinx)=0,
然而,求 jh(y)是很麻烦的,所以一般不采用后一种方法,
()y y d yhj
2009-7-25
18
设 (x,h)为二维离散型随机变量,且
P{x=ai,h=bj}=pij,(i,j=1,2,...),则 x,h的函数 f(x,h)的数学期望
,
(,) (,)i j ij
ij
E f f a b pxh
条件是上式等号右端的级数绝对收敛,
2009-7-25
19
设二维连续型随机变量 (x,h)的分布密度为 j(x,y),则 x,h的函数 f(x,h)的数学期望为
(,) (,) (,)E f f x y x y d x d yx h j
条件是上式右边的积分绝对收敛,
2009-7-25
20
例 5 设 (x,h)服从在 A上的均匀分布,其中
A为 x轴,y轴及直线 x+(y/2)=1所围成的三角形区域 (如图所示 ),求 x,h,xh的数学期望,
x
y
2
1O
1
2
yx
A
2009-7-25
21
解
1 2 ( 1 ) 1
0 0 0
2 ( 1 )
2
1 2 ( 1 ) 1
0 0 0
0
1
2
0
2 ( 1 )
2
1 2 ( 1 ) 1
0 0 0
0
1
2
0
1
2 ( 1 )
3
2
2
2 ( 1 )
3
()
2
1
2 ( 1 )
6
x
A
x
x
A
x
x
A
E x d x dy dx x x dx
y
E y d y dy dx dx
x dx
xy
E x y d x y dy dx dx
x x dx
xs
hs
x h s
2009-7-25
22
数学期望具有下列性质,
(1) 当 k为常数时,E(kx)=kEx;
(2) E(x?h)=Ex?Eh;
(3) 当 x,h相互独立时,E(xh)=Ex?Eh.
证 下面就连续型情形列出证明,离散型情形的证明与此类似,
2009-7-25
23
(1)设 x的分布密度为 j(x),根据
( ) ( )k x x d x k x x d xjj
即得所要证明的等式,
(2)设 (x,h)的分布密度为 j(x,y),则( ) ( ) (,)
(,) (,)
E x y x y d y d x
x x y d y d x y x y d y d x
EE
x h j
jj
xh
2009-7-25
24
(3) 当 x,h相互独立时,j(x,y)=j1(x)j2(y),
其中 j(x,y),j1(x),j2(y)依次为 (x,h),x,h的分布密度,从而
12
12
( ) (,)
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
E x y x y dy dx
x y x y dy dx
x x dx y y dy
EE
x h j
jj
jj
xh
2009-7-25
25
第二节 方差 标准差
2009-7-25
26
实用上除了要了解一组事物中各个事物的某方面指标的平均值外,还需要弄清楚这组事物中各个事物的实际指标与这平均值的偏差情况,
2009-7-25
27
例如,有两批钢筋,每批各十根,它们的抗拉指标依次为第一批,110,120,120,125,125,125,130,
130,135,140
第二批,90,100,120,125,125,130,135,
145,145,145
这两批的抗拉指标的平均值都是 120,但是,在使用钢筋时,一般要求抗拉指标不低于一个指定数值,例如 115,那末,第二批钢筋的诸抗拉指标由于与平均值偏差较大,即取值分散,质量要差一些,
2009-7-25
28
对于随机变量 x,希望了解 x取值时以 Ex
为中心的分散程度,通常用 (x?Ex)2来计量 x与 Ex的偏差,这里,取平方的目的是要避免正负偏差相互抵消,因为不论正偏差大或负偏差大同样都认为是分散程度大,由于 (x?Ex)2也是一个随机变量,所以通常用它的数学期望 E(x?Ex)2来计量 x
取值时以它的数学期望 Ex为中心的分散程度,
2009-7-25
29
把这个数字特征叫做 x的 方差,记作
s2(x)(或记作 D(x)),即规定
s2(x)=E(x?Ex)2.
按数学期望的性质,由于 Ex是一个常数,
因此
s2(x)=E(x?Ex)2
=E[x2?2(Ex)x+(Ex)2]
=Ex2?2(Ex)E(x)+(Ex)2
=Ex2?(Ex)2
通常用这个式子计算 s2(x).
2009-7-25
30
例 7 设 x服从 P (l),求 s2(x).
解 前面已经求出 Ex=l,则这里先求
E[x(x?1)]的值,E[x(x?1)]=Ex2?Ex
02
2
2 2 2
20
[ ( 1 ) ] ( 1 ) ( 1 )
!!
( 2) ! !
ii
ii
in
in
E i i e i i e
ii
ee
in
ll
ll
ll
xx
ll
l l l
因此 Ex2=l2+l,
s2(x)=Ex2?(Ex)2=l2+l?l2=l
2009-7-25
31
例 8 设 x服从 N(a,s2),求 s2(x).
解 在此,Ex=a,所以
2
2
2 2 2
()2
2
( ) ( ) ( )
()
2
xa
E E E a
xa
e dxs
s x x x x
s
作变换 得xa t
s
22
22 2()
2
t
t e dt
s
sx
2009-7-25
32
令
22
22 2()
2
t
t e dt
s
sx
22
,,,
tt
u e v t d u te d t d v d t
利用分部积分公式 bb b
aaav d u u v u d v
22
2
22 22()
2
tt
te e d t
s
s x s
2009-7-25
33
从而看出,一般正态分布中的参数 a,s2依次是相应的随机变量的数学期望及方差,
即对于正态分布,只要利用数学期望及方差这两个数字特征便能完全定出这一分布,
2009-7-25
34
方差具有下列性质,
(1)当 k为常数时,s2(kx)=k2s2(x);
(2)当 x,h相互独立时,
s2(x?h)=s2(x)+s2(h).
证 可以利用数学期望的性质来证明,
(1) s2(kx)=E[kx?E(kx)]2=E[k(x?Ex)]2
=E[k2(x?Ex)2]=k2E(x?Ex)2
=k2s2(x)
2009-7-25
35
(2) s2(x?h)=E[(x?h)?E(x?h)]2
=E[(x?Ex)?(h?Eh)]2
=E[(x?Ex)2?2(x?Ex)(h?Eh)]
+(h?Eh)2]
=E(x?Ex)2?2E[(x?Ex)(h?Eh)]
+E(h?Eh)2
2009-7-25
36
s2(x?h)=E(x?Ex)2?2E[(x?Ex)(h?Eh)]
+E(h?Eh)2
因为 x,h相互独立,因此 x?Ex,h?Eh也相互独立,所以
E[(x?Ex)(h?Eh)]=E[(x?Ex)]E[(h?Eh)]
=(Ex?Ex)(Eh?Eh)]=0
从而
s2(x?h)= s2(x)+s2(h)
2009-7-25
37
方差 s2(x)表示了随机变量 x取值时以 Ex
为中心的分散程度,但是,它的单位是 x
的单位的平方,为了单位一致,还经常使用方差的算术平方根来计算随机变量 x
取值时以 Ex为中心的分散程度,称这个数字特征为 x的标准差,记作 s(x),即规定
x的标准差为
2( ) ( )EEs x x x
2009-7-25
38
例 假设 x服从 B (n,p)求 Ex和 Dx.
解 已知
{ } ( 1 )i n ii
n
P i p p p
i
x
则
01
1
1 ( 1 ) ( 1 )
1
11
( 1 )
0
( 1 )
!
( 1 )
! ( ) !
( 1 ) !
( 1 )
( 1 ) ! ( ) !
1
( 1 )
nn
i n i
i
ii
n
i n i
i
n
i n i
i
nji
j n j
j
n
E ip i p p
i
n
i p p
i n i
n
np p p
i n i
n
np p p np
j
x
2009-7-25
39
为求方差 Dx先求 E[x(x?1)]=Ex2?Ex
2
22
2
22
2 2 2 2
0
2 2 2
[ ( 1 ) ] ( 1 ) ( 1 )
( 2) !
( 1 ) ( 1 )
( 2) ! ( ) !
2
( ) ( 1 )
n
i n i
i
n
i n i
i
nji
j n j
j
n
E i i p p
i
n
n n p p p
i n i
n
n p np p p
j
n p np
xx
因此 Ex2=n2p2?np2+np
Dx=Ex2?(Ex)2=np?np2=np(1?p)
2009-7-25
40
作业 第 119页开始第 1,2,3,4题
1
概率论第 9讲随机变量的数字特征本文件可从网址
http://math.vip.sina.com
上下载
(单击 'ppt讲义 '后选择 '工程数学 '子目录 )
2009-7-25
2
第八章 随机变量的数字特征随机变量是按一定的规律 (即分布 )来取值的,实用上,有时并不需要了解这个规律的全貌,而只需要知道它的某个侧面,这时,
往往可以用一个或几个数字来描述这个侧面,这种数字是按分布而定的,它部分地描述了分布的性态,称这种数字为随机变量的 数字特征,本章介绍最常用的几个数字特征,
2009-7-25
3
第一节 数学期望
2009-7-25
4
为了描述一组事物的大致情况,经常使用平均值这个概念,例如,设十根钢筋的抗拉指标依次为
110,120,120,125,125,125,130,130,135,140,
那末它们的平均抗拉指标为
11 0 12 0 12 0 12 5 12 5 12 5 13 0 13 0 13 5 14 0
10
1 2 3 2 1 1
11 0 12 0 12 5 13 0 13 5 14 0
10 10 10 10 10 10
126
2009-7-25
5
从例子看出,所要找的平均抗拉指标并不是这十根钢筋所取到的抗拉指标值
110,120,125,130,135,140的简单平均,而是进行了 加权平均,即所求的平均值为诸抗拉指标值与取这些值的比值的加权平均,
11 0 12 0 12 0 12 5 12 5 12 5 13 0 13 0 13 5 14 0
10
1 2 3 2 1 1
11 0 12 0 12 5 13 0 13 5 14 0
10 10 10 10 10 10
126
2009-7-25
6
对于一个随机变量 x取的值也有同样的问题,我们时常要问,随机变量 x平均取什么值? 通常就用 "随机变量 x能取的各个值,以取这些值的概率为加权数的加权平均 "来计算随机变量 x平均取什么值,
称这种平均值为随机变量 x的数学期望,
下面就离散型,连续型随机变量给出数学期望的具体表达式,
2009-7-25
7
设 x为离散型随机变量,它的分布密度是用表格
x a1 a2,.,ai,..
概率 p1 p2,.,pi,..
表示的,规定 x的数学期望 E(x)为
() ii
i
E a px
在不致引起误会时,可以把 E(x)简写成
Ex.
2009-7-25
8
当 x可能取的值不是有限个时,等式右端是一个无穷级数,由于平均值应该与
a1,a2,...的排列次序无关,因此要求这级数绝对收敛,所以,只有当此级数绝对收敛时才说 x的数学期望存在,
() ii
i
E a px
2009-7-25
9
当 x服从取值 a的退化分布时,Ex=a; 当 x
服从参数为 p的零 -壹分布时,Ex=p.
对于 x的函数 f(x)的数学期望,有如下结论,
() ii
i
E a px
( ) ( )ii
i
E f f a px
其中 pi=P{x=ai} (i=1,2,...),前提也是上述级数绝对收敛,
2009-7-25
10
例 1 设 x的分布密度为
1 0 2 3
1 1 3 1
8 4 8 4
x?
概 率求 Ex,Ex2,E(?2x+1)
解
2 2 2 2 2
1 1 3 1 11
( 1 ) 0 2 3 ;
8 4 8 4 8
1 1 3 1 31
( 1 ) 0 2 3 ;
8 4 8 4 8
1 1 3 1 7
( 2 1 ) 3 1 3 5 ;
8 4 8 4 4
E
E
E
x
x
x
2009-7-25
11
例 2 设 x服从 P (l),求 Ex.
解 x的分布密度为
2
0 1 2
2 ! !
i
i
ee
ee
i
ll
ll
x
ll
l
概 率于是
01
1
10
!!
( 1 ) ! !
ii
ii
in
in
E i e i e
ii
e e e e
in
ll
l l l l
ll
x
ll
l l l l
2009-7-25
12
设 x为连续型随机变量,它的分布密度为
j(x),规定 x的数学期望 Ex为
()E x x d xxj
与离散型时相类似,这里只有在右端的广义积分绝对收敛时才说 Ex存在
2009-7-25
13
设 f(x)为 x的函数,则有
( ) ( ) ( )E f f x x d xxj
其中 j(x)为 x的分布密度,上式当然要在右端的广义积分绝对收敛的情况下才成立,
2009-7-25
14
例 3 设 x服从 N(a,s2),求 Ex.
解 x的分布密度为
2
2
()
2
1
( ) ( 0 ),
2
xa
xe sjs
s
从而
2
2
()
2,
2
xa
x
E e d xsx
s
2009-7-25
15
作变换
2
2
()
2,
2
xa
x
E e d xsx
s
,xat
s
得
2
22
2
22
2
22
t
tt
at
E e dt
a
e dt te dt
a
s
x
s
2009-7-25
16
例 4 已知 x服从 [0,2?]上的均匀分布,求
E(sinx).
解 按公式 ( ) ( ) ( )E f f x x d xxj
并有
1
,0 2,
() 2
0,.
x
x
j?
其 它 地 方得
2
0
1( sin ) sin 0,
2
E x d x
x
2009-7-25
17
当然此题也可先求出 h=sinx的分布密度
jh(y),再由 求出 E(sinx)=0,
然而,求 jh(y)是很麻烦的,所以一般不采用后一种方法,
()y y d yhj
2009-7-25
18
设 (x,h)为二维离散型随机变量,且
P{x=ai,h=bj}=pij,(i,j=1,2,...),则 x,h的函数 f(x,h)的数学期望
,
(,) (,)i j ij
ij
E f f a b pxh
条件是上式等号右端的级数绝对收敛,
2009-7-25
19
设二维连续型随机变量 (x,h)的分布密度为 j(x,y),则 x,h的函数 f(x,h)的数学期望为
(,) (,) (,)E f f x y x y d x d yx h j
条件是上式右边的积分绝对收敛,
2009-7-25
20
例 5 设 (x,h)服从在 A上的均匀分布,其中
A为 x轴,y轴及直线 x+(y/2)=1所围成的三角形区域 (如图所示 ),求 x,h,xh的数学期望,
x
y
2
1O
1
2
yx
A
2009-7-25
21
解
1 2 ( 1 ) 1
0 0 0
2 ( 1 )
2
1 2 ( 1 ) 1
0 0 0
0
1
2
0
2 ( 1 )
2
1 2 ( 1 ) 1
0 0 0
0
1
2
0
1
2 ( 1 )
3
2
2
2 ( 1 )
3
()
2
1
2 ( 1 )
6
x
A
x
x
A
x
x
A
E x d x dy dx x x dx
y
E y d y dy dx dx
x dx
xy
E x y d x y dy dx dx
x x dx
xs
hs
x h s
2009-7-25
22
数学期望具有下列性质,
(1) 当 k为常数时,E(kx)=kEx;
(2) E(x?h)=Ex?Eh;
(3) 当 x,h相互独立时,E(xh)=Ex?Eh.
证 下面就连续型情形列出证明,离散型情形的证明与此类似,
2009-7-25
23
(1)设 x的分布密度为 j(x),根据
( ) ( )k x x d x k x x d xjj
即得所要证明的等式,
(2)设 (x,h)的分布密度为 j(x,y),则( ) ( ) (,)
(,) (,)
E x y x y d y d x
x x y d y d x y x y d y d x
EE
x h j
jj
xh
2009-7-25
24
(3) 当 x,h相互独立时,j(x,y)=j1(x)j2(y),
其中 j(x,y),j1(x),j2(y)依次为 (x,h),x,h的分布密度,从而
12
12
( ) (,)
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
E x y x y dy dx
x y x y dy dx
x x dx y y dy
EE
x h j
jj
jj
xh
2009-7-25
25
第二节 方差 标准差
2009-7-25
26
实用上除了要了解一组事物中各个事物的某方面指标的平均值外,还需要弄清楚这组事物中各个事物的实际指标与这平均值的偏差情况,
2009-7-25
27
例如,有两批钢筋,每批各十根,它们的抗拉指标依次为第一批,110,120,120,125,125,125,130,
130,135,140
第二批,90,100,120,125,125,130,135,
145,145,145
这两批的抗拉指标的平均值都是 120,但是,在使用钢筋时,一般要求抗拉指标不低于一个指定数值,例如 115,那末,第二批钢筋的诸抗拉指标由于与平均值偏差较大,即取值分散,质量要差一些,
2009-7-25
28
对于随机变量 x,希望了解 x取值时以 Ex
为中心的分散程度,通常用 (x?Ex)2来计量 x与 Ex的偏差,这里,取平方的目的是要避免正负偏差相互抵消,因为不论正偏差大或负偏差大同样都认为是分散程度大,由于 (x?Ex)2也是一个随机变量,所以通常用它的数学期望 E(x?Ex)2来计量 x
取值时以它的数学期望 Ex为中心的分散程度,
2009-7-25
29
把这个数字特征叫做 x的 方差,记作
s2(x)(或记作 D(x)),即规定
s2(x)=E(x?Ex)2.
按数学期望的性质,由于 Ex是一个常数,
因此
s2(x)=E(x?Ex)2
=E[x2?2(Ex)x+(Ex)2]
=Ex2?2(Ex)E(x)+(Ex)2
=Ex2?(Ex)2
通常用这个式子计算 s2(x).
2009-7-25
30
例 7 设 x服从 P (l),求 s2(x).
解 前面已经求出 Ex=l,则这里先求
E[x(x?1)]的值,E[x(x?1)]=Ex2?Ex
02
2
2 2 2
20
[ ( 1 ) ] ( 1 ) ( 1 )
!!
( 2) ! !
ii
ii
in
in
E i i e i i e
ii
ee
in
ll
ll
ll
xx
ll
l l l
因此 Ex2=l2+l,
s2(x)=Ex2?(Ex)2=l2+l?l2=l
2009-7-25
31
例 8 设 x服从 N(a,s2),求 s2(x).
解 在此,Ex=a,所以
2
2
2 2 2
()2
2
( ) ( ) ( )
()
2
xa
E E E a
xa
e dxs
s x x x x
s
作变换 得xa t
s
22
22 2()
2
t
t e dt
s
sx
2009-7-25
32
令
22
22 2()
2
t
t e dt
s
sx
22
,,,
tt
u e v t d u te d t d v d t
利用分部积分公式 bb b
aaav d u u v u d v
22
2
22 22()
2
tt
te e d t
s
s x s
2009-7-25
33
从而看出,一般正态分布中的参数 a,s2依次是相应的随机变量的数学期望及方差,
即对于正态分布,只要利用数学期望及方差这两个数字特征便能完全定出这一分布,
2009-7-25
34
方差具有下列性质,
(1)当 k为常数时,s2(kx)=k2s2(x);
(2)当 x,h相互独立时,
s2(x?h)=s2(x)+s2(h).
证 可以利用数学期望的性质来证明,
(1) s2(kx)=E[kx?E(kx)]2=E[k(x?Ex)]2
=E[k2(x?Ex)2]=k2E(x?Ex)2
=k2s2(x)
2009-7-25
35
(2) s2(x?h)=E[(x?h)?E(x?h)]2
=E[(x?Ex)?(h?Eh)]2
=E[(x?Ex)2?2(x?Ex)(h?Eh)]
+(h?Eh)2]
=E(x?Ex)2?2E[(x?Ex)(h?Eh)]
+E(h?Eh)2
2009-7-25
36
s2(x?h)=E(x?Ex)2?2E[(x?Ex)(h?Eh)]
+E(h?Eh)2
因为 x,h相互独立,因此 x?Ex,h?Eh也相互独立,所以
E[(x?Ex)(h?Eh)]=E[(x?Ex)]E[(h?Eh)]
=(Ex?Ex)(Eh?Eh)]=0
从而
s2(x?h)= s2(x)+s2(h)
2009-7-25
37
方差 s2(x)表示了随机变量 x取值时以 Ex
为中心的分散程度,但是,它的单位是 x
的单位的平方,为了单位一致,还经常使用方差的算术平方根来计算随机变量 x
取值时以 Ex为中心的分散程度,称这个数字特征为 x的标准差,记作 s(x),即规定
x的标准差为
2( ) ( )EEs x x x
2009-7-25
38
例 假设 x服从 B (n,p)求 Ex和 Dx.
解 已知
{ } ( 1 )i n ii
n
P i p p p
i
x
则
01
1
1 ( 1 ) ( 1 )
1
11
( 1 )
0
( 1 )
!
( 1 )
! ( ) !
( 1 ) !
( 1 )
( 1 ) ! ( ) !
1
( 1 )
nn
i n i
i
ii
n
i n i
i
n
i n i
i
nji
j n j
j
n
E ip i p p
i
n
i p p
i n i
n
np p p
i n i
n
np p p np
j
x
2009-7-25
39
为求方差 Dx先求 E[x(x?1)]=Ex2?Ex
2
22
2
22
2 2 2 2
0
2 2 2
[ ( 1 ) ] ( 1 ) ( 1 )
( 2) !
( 1 ) ( 1 )
( 2) ! ( ) !
2
( ) ( 1 )
n
i n i
i
n
i n i
i
nji
j n j
j
n
E i i p p
i
n
n n p p p
i n i
n
n p np p p
j
n p np
xx
因此 Ex2=n2p2?np2+np
Dx=Ex2?(Ex)2=np?np2=np(1?p)
2009-7-25
40
作业 第 119页开始第 1,2,3,4题
