2009-7-25
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概率论第 2讲第二章 随机事件本文件可从网址
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2009-7-25
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第一节 随机事件的概念在科学研究或工程技术中,时常要在相同条件下重复进行多次试验,经常会遇到这样的情形,尽管试验是在相同条件下进行的,但各次试验结果却不相同,
2009-7-25
3
例 1 一口袋中含有编号分别为 1,2,...,n的 n
个球,从这袋中任取一球,观察后立即将球放回袋中,多次做这样的试验,各次取得的球的号数就不一定相同,每次取得的号数是 1,2,...,n中的一个数,
1 2
3 4
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4
例 2 在一个形状为旋转体的均匀陀螺的圆周上,均匀地刻上区间 [0,3)上的诸数字,旋转这陀螺,当它停下时,把圆周与桌面接触处的刻度记下来,多次做这种试验,各次刻度就不一定相同,每次刻度是区间 [0,3)上的一个数,
0
12
桌子陀螺
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5
例 3 从次品率为 p的一批产品中,一件接一件地抽取 n件产品 (抽得一件产品后,
立即放回这批产品中去,再抽下一件 ),
多次做这样的试验,各次取得的 n件产品中次品的件数不一定相同,每次取得的次品的件数是 0,1,2,...,n中的一个数,
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6
例 4 多次用指定的测量工具测量某物体的长度,由于种种因素的干扰,各次所量得的数值就不一定相同,每次的数值是实数范围内的一个值,
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7
例 5 多次用步枪射击靶子上的点目标,由于各种因素的影响,各次枪弹击中的位置就不一定是同一个点,每次击中的位置理解为包含靶子的平面上的一个点,
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8
所谓 随机试验 就是指这样的试验,它可以在相同条件下重复试验,试验的所有可能发生的结果是已知的,但每次试验到底是其中哪一个结果预先是不能确定的,以后说的试验都是指随机试验,
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9
在随机试验中,可能出现,也可能不出现的事件叫做 随机事件,例如,在例 1中,"
取得的球的号数小于 3"这事件是随机事件 ; 在例 2中,"陀螺的圆周与桌面接触处的刻度在区间 (1,2)内 "是随机事件 ; 在例
3中,"取得的次品件数不超过 3"是随机事件,
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10
在每次试验中必然出现的事件叫做 必然事件,必然不出现的事件叫做 不可能事件,以后简称随机事件为 事件,并用大写字母 A,B,C,等表示随机事件,用 U表示必然事件,用?表示不可能事件,
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11
第二节 事件间的关系及运算
2009-7-25
12
在实际问题中,往往要在一个随机试验下同时研究几个事件及它们之间的联系,
例如,在检查某些圆柱形产品时,要求它的长度及直径都符合规格才算合格,这时,要考虑 "产品合格 ","产品不合格 ","
直径合格但长度不合格 "等等事件,显然,
这些事件相互之间是有联系的,下面来引进事件之间的几种主要关系以及作用在事件上的运算,
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13
如果事件 A出现必然导致事件 B的出现,
则称事件 A是事件 B的 子事件,记作
A?B(或 B?A),
例如,"直径不合格 "必然导致 "产品不合格 ",所以 "直径不合格 "是产品不合格的子事件,
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14
规定对于任一事件 A,A,
显然,对于任一事件 A,A?U,
如果 A?B且 B?C,那末 A?C;
如果 A?B且 B?A,则称事件 A,B相等,记作 A=B
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15
事件 A,B的 和事件 是指这样的事件,它的出现就是事件 A与事件 B至少有一个出现,
把它记作 A?B.
例如,"产品不合格 "便是 "直径不合格 "与
"长度不合格 "两事件的和事件,
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16
事件 A,B的 积事件 是指这样的事件,它的出现就是事件 A,事件 B同时出现,把它记作 A?B或 AB,
例如,"产品合格 "便是 "直径合格 "与 "长度合格 "两事件的积事件,
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17
如果事件 A,B的积事件为不可能事件,即
AB=?,那末称 A,B两事件 互斥,或 互不相容,
对于互斥事件 A,B,可以把和事件 A?B记作 A+B,
如果一组事件 A1,A2,...中任意两个都互斥,
则称这两组事件 两两互斥,对一个两两互斥事件组 A1,A2,...,可以把和事件
A1?A2?...记作 A1+A2+...
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如果两个事件 A,B满足 A?B=U,AB=?,
则称 A,B两事件 互逆 或 对立,并称事件 A
是事件 B的 逆事件 (或 对立事件 或 余事件 ),或事件 B是事件 A的逆事件,
把事件 A的逆事件记作
A
例如,"直径合格 "与 "直径不合格 "是互逆事件,"产品合格 "与 "产品不合格 "是互逆事件,等等,
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对任一事件 A,有; ;,A A A A U A A
对立事件一定互斥,但反过来不一定,
互斥事件不一定对立,
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20
事件 A与事件 B的 差事件 是指这样的事件,
它的出现就是事件 A出现而事件 B不出现,
把它记作 A-B,
例如,事件 "直径合格但长度不合格 "便是事件 "直径合格 "与事件 "长度合格 "的差事件,显然
A B A B-?
事件 A的逆事件就是必然事件 U与事件 A
的差事件,即
A U A?-
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21
例 6 向指定的目标射三枪,以 A1,A2,A3分别表示事件 "第一,二,三枪击中目标 ",试用 A1,A2,A3表达以下各事件,
(1) 只击中第一枪 ; (2) 只击中一枪 ;
(3) 三枪都未击中 ; (4) 至少击中一枪,
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22
解 (1) 事件 "只击中第一枪 "意味着第二枪不中,第三枪也不中,所以事件 "只击中第一枪 "可表示成
1 2 3A A A
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23
(2) 事件 "只击中一枪 "并不指定哪一次击中,三个事件 "只击中第一枪 ","只击中第二枪 ","只击中第三枪 "中任意一个发生,
都意味着事件 "只击中一枪 "发生,同时,
因为上述三个事件是两两互斥的,所以事件 "只击中一枪 "可以表示成
1 2 3 1 2 3 1 2 3A A A A A A A A A
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24
(3) 事件 "三枪都未击中 "就是事件 "第一,
二,三枪都未击中 ",所以这事件可以表示成
1 2 3A A A
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25
(4) 事件 "至少击中一枪 "就是事件 "第一,
二,三枪至少有一次击中 ",所以这事件可以表示成
A1?A2?A3
也可表示成
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3
A A A A A A A A A A A A
A A A A A A A A A
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26
第三节 基本空间
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27
对于一个随机试验,各次试验的结果不一定相同,把由所有可能发生的试验结果组成的集合叫做 基本空间,或者 样本空间以后用 U表示基本空间,
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28
为了表达方便,可以用适当的记号或数字来表示试验结果,用这些记号或数字组成的集合来表示基本空间,
例如,在 例 1中,如果以 ei表示 "取得编号为 i的球 "这个试验结果,则 U={e1,e2,...,en}
便是由所有试验结果组成的集合,即 U就是基本空间 ; 在 例 2中,如果以数字 x表示
"陀螺圆周上接触桌面的点的刻度为 x"这个试验结果,则区间 U=[0,3)便是基本空间,等等,
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29
为了研究问题的需要,我们要考虑 "试验结果属于基本空间的某个子集 "这类事情,例如,在 例 1中,考虑 "取得的球的编号小于 3",即 "试验结果属于基本空间的子集 {e1,e2}这件事情 ; 在 例 2中,考虑 "陀螺圆周上接触桌面的点的刻度在区间
(1,2)内 ",即 "试验结果属于基本空间的子集 (1,2)"这事情,显然,它们都是随机事件,
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30
定义 设 D为 基本空间的一个子集,称 "试验结果属于 D"为一个 随机事件,为简单起见,就用 D表示这个事件,
为满足研究问题的需要,我们假定随机事件经过有限次或可数次求和,求积,求余后仍是一个随机事件,
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31
由上述定义可知,例 1中 "取得的球的编号小于 3"这事件可以用基本空间
{1,2,3,...,n}的子集 {1,2}来表示,
特殊地,必然事件可用基本空间 U(作为它自己的子集 )来表示,不可能事件可以用空集?来表示,我们称由基本空间中的单个元素组成的事件为 基本事件,
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32
随机事件可以用基本空间 U的子集来表示,把随机事件之间的关系及运算之间的关系与运算比较,可以看到随机事件之间的关系及运算与集合之间的关系及运算是一致的,所以关于集合的一些术语,记号也可描述事件之间的关系与运算,
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33
例如,设 A,B是基本空间 U的两个子集,它们依次表示事件 A及事件 B,集合 A是集合 B的子集 (A?B)表示事件 A是事件 B的子事件 ; 集合 A与集合 B的并集 A?B表示事件 A与事件 B的和事件 ; 集合 A,B的交集
AB表示事件 A,B的积事件 ; 集合 A在 U内的余集?A表示事件 A的逆事件 ; 集合 A与集合 B的差集 A-B表示事件 A与事件 B的差事件,
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34
从集合的运算规则可以得到随机事件的运算规则,例如,设 A,B,C为随机事件,则有
( ) ( ) ( ) ;;
A B C A C B C
A B A B
A B A B
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35
根据随机事件的运算规则,可以得到 例
6(4)中 "至少击中一枪 "这一事件的另一种表达式,
1 2 3 1 2 3 1 2 3A A A A A A A A A
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36
事件运算的最小项任给 n个事件 A1,A2,…,An,取这 n个事件中的每一个,然后将其中的一些取逆,
再将这 n个事件中取逆的和不取逆的事件相积得到的事件,称为这 n个事件的一个最小项,给定 n个事件可产生多个不同的最小项,各个最小项之间是互斥的,
而这 n个事件能够逻辑上构成的任何事件,可以由若干个最小项的并构成,
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37
例,二事件 A与 B可组成四个最小项为
ABBABABA
ABBABABA
BABA
BABAABBA
ABBAA
BA
ABBABABA
如个的并产生由这四个最小项中的几可以产生的任何逻辑式式都由,
,,,
2009-7-25
38
从图形上看,这四个最小项代表了四个区域
3,2,1,0 ABBABABA
A
B
0 1
2
3
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39
而三个事件 A,B,C可组成 8个最小项为
A B CCABCBABCA
BCACAB
A B CCABCBACBAA
CBA
A B CCABCBACBA
BCACBACBACBA
如产生个最小项中的几个的并由这可以产生的任何逻辑式式都由
8
,,
,,,
,,,
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40
这 8个最小项可以和所有的 3位二进制数一一对应
11 1
11 0
10 1
10 0
01 1
01 0
00 1
00 0
A B C
CAB
CBA
CBA
BCA
CBA
CBA
CBA
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41
一般地
n个事件 A1,A2,…,An共可组成 2n个最小项,每个最小项可以和一个 n位二进制数对应,如果此二进制数的第 i位为
0,对应在此最小项中的 Ai取逆,而第 j
位为 1对应在此最小项中的 Aj不取逆,
例如,假设 n=4,则有 4个事件 A1,A2,A3,
A4,则它们组成的最小项有
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4,,,A A A A A A A A A A A A
等等,
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作业 第 17页开始第 1,2,3,4,5题
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第一节 随机事件的概念在科学研究或工程技术中,时常要在相同条件下重复进行多次试验,经常会遇到这样的情形,尽管试验是在相同条件下进行的,但各次试验结果却不相同,
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例 1 一口袋中含有编号分别为 1,2,...,n的 n
个球,从这袋中任取一球,观察后立即将球放回袋中,多次做这样的试验,各次取得的球的号数就不一定相同,每次取得的号数是 1,2,...,n中的一个数,
1 2
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例 2 在一个形状为旋转体的均匀陀螺的圆周上,均匀地刻上区间 [0,3)上的诸数字,旋转这陀螺,当它停下时,把圆周与桌面接触处的刻度记下来,多次做这种试验,各次刻度就不一定相同,每次刻度是区间 [0,3)上的一个数,
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桌子陀螺
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例 3 从次品率为 p的一批产品中,一件接一件地抽取 n件产品 (抽得一件产品后,
立即放回这批产品中去,再抽下一件 ),
多次做这样的试验,各次取得的 n件产品中次品的件数不一定相同,每次取得的次品的件数是 0,1,2,...,n中的一个数,
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例 4 多次用指定的测量工具测量某物体的长度,由于种种因素的干扰,各次所量得的数值就不一定相同,每次的数值是实数范围内的一个值,
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例 5 多次用步枪射击靶子上的点目标,由于各种因素的影响,各次枪弹击中的位置就不一定是同一个点,每次击中的位置理解为包含靶子的平面上的一个点,
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所谓 随机试验 就是指这样的试验,它可以在相同条件下重复试验,试验的所有可能发生的结果是已知的,但每次试验到底是其中哪一个结果预先是不能确定的,以后说的试验都是指随机试验,
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在随机试验中,可能出现,也可能不出现的事件叫做 随机事件,例如,在例 1中,"
取得的球的号数小于 3"这事件是随机事件 ; 在例 2中,"陀螺的圆周与桌面接触处的刻度在区间 (1,2)内 "是随机事件 ; 在例
3中,"取得的次品件数不超过 3"是随机事件,
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在每次试验中必然出现的事件叫做 必然事件,必然不出现的事件叫做 不可能事件,以后简称随机事件为 事件,并用大写字母 A,B,C,等表示随机事件,用 U表示必然事件,用?表示不可能事件,
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第二节 事件间的关系及运算
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12
在实际问题中,往往要在一个随机试验下同时研究几个事件及它们之间的联系,
例如,在检查某些圆柱形产品时,要求它的长度及直径都符合规格才算合格,这时,要考虑 "产品合格 ","产品不合格 ","
直径合格但长度不合格 "等等事件,显然,
这些事件相互之间是有联系的,下面来引进事件之间的几种主要关系以及作用在事件上的运算,
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13
如果事件 A出现必然导致事件 B的出现,
则称事件 A是事件 B的 子事件,记作
A?B(或 B?A),
例如,"直径不合格 "必然导致 "产品不合格 ",所以 "直径不合格 "是产品不合格的子事件,
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规定对于任一事件 A,A,
显然,对于任一事件 A,A?U,
如果 A?B且 B?C,那末 A?C;
如果 A?B且 B?A,则称事件 A,B相等,记作 A=B
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15
事件 A,B的 和事件 是指这样的事件,它的出现就是事件 A与事件 B至少有一个出现,
把它记作 A?B.
例如,"产品不合格 "便是 "直径不合格 "与
"长度不合格 "两事件的和事件,
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16
事件 A,B的 积事件 是指这样的事件,它的出现就是事件 A,事件 B同时出现,把它记作 A?B或 AB,
例如,"产品合格 "便是 "直径合格 "与 "长度合格 "两事件的积事件,
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如果事件 A,B的积事件为不可能事件,即
AB=?,那末称 A,B两事件 互斥,或 互不相容,
对于互斥事件 A,B,可以把和事件 A?B记作 A+B,
如果一组事件 A1,A2,...中任意两个都互斥,
则称这两组事件 两两互斥,对一个两两互斥事件组 A1,A2,...,可以把和事件
A1?A2?...记作 A1+A2+...
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如果两个事件 A,B满足 A?B=U,AB=?,
则称 A,B两事件 互逆 或 对立,并称事件 A
是事件 B的 逆事件 (或 对立事件 或 余事件 ),或事件 B是事件 A的逆事件,
把事件 A的逆事件记作
A
例如,"直径合格 "与 "直径不合格 "是互逆事件,"产品合格 "与 "产品不合格 "是互逆事件,等等,
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对任一事件 A,有; ;,A A A A U A A
对立事件一定互斥,但反过来不一定,
互斥事件不一定对立,
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20
事件 A与事件 B的 差事件 是指这样的事件,
它的出现就是事件 A出现而事件 B不出现,
把它记作 A-B,
例如,事件 "直径合格但长度不合格 "便是事件 "直径合格 "与事件 "长度合格 "的差事件,显然
A B A B-?
事件 A的逆事件就是必然事件 U与事件 A
的差事件,即
A U A?-
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例 6 向指定的目标射三枪,以 A1,A2,A3分别表示事件 "第一,二,三枪击中目标 ",试用 A1,A2,A3表达以下各事件,
(1) 只击中第一枪 ; (2) 只击中一枪 ;
(3) 三枪都未击中 ; (4) 至少击中一枪,
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解 (1) 事件 "只击中第一枪 "意味着第二枪不中,第三枪也不中,所以事件 "只击中第一枪 "可表示成
1 2 3A A A
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(2) 事件 "只击中一枪 "并不指定哪一次击中,三个事件 "只击中第一枪 ","只击中第二枪 ","只击中第三枪 "中任意一个发生,
都意味着事件 "只击中一枪 "发生,同时,
因为上述三个事件是两两互斥的,所以事件 "只击中一枪 "可以表示成
1 2 3 1 2 3 1 2 3A A A A A A A A A
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(3) 事件 "三枪都未击中 "就是事件 "第一,
二,三枪都未击中 ",所以这事件可以表示成
1 2 3A A A
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(4) 事件 "至少击中一枪 "就是事件 "第一,
二,三枪至少有一次击中 ",所以这事件可以表示成
A1?A2?A3
也可表示成
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
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A A A A A A A A A A A A
A A A A A A A A A
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第三节 基本空间
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对于一个随机试验,各次试验的结果不一定相同,把由所有可能发生的试验结果组成的集合叫做 基本空间,或者 样本空间以后用 U表示基本空间,
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为了表达方便,可以用适当的记号或数字来表示试验结果,用这些记号或数字组成的集合来表示基本空间,
例如,在 例 1中,如果以 ei表示 "取得编号为 i的球 "这个试验结果,则 U={e1,e2,...,en}
便是由所有试验结果组成的集合,即 U就是基本空间 ; 在 例 2中,如果以数字 x表示
"陀螺圆周上接触桌面的点的刻度为 x"这个试验结果,则区间 U=[0,3)便是基本空间,等等,
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为了研究问题的需要,我们要考虑 "试验结果属于基本空间的某个子集 "这类事情,例如,在 例 1中,考虑 "取得的球的编号小于 3",即 "试验结果属于基本空间的子集 {e1,e2}这件事情 ; 在 例 2中,考虑 "陀螺圆周上接触桌面的点的刻度在区间
(1,2)内 ",即 "试验结果属于基本空间的子集 (1,2)"这事情,显然,它们都是随机事件,
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30
定义 设 D为 基本空间的一个子集,称 "试验结果属于 D"为一个 随机事件,为简单起见,就用 D表示这个事件,
为满足研究问题的需要,我们假定随机事件经过有限次或可数次求和,求积,求余后仍是一个随机事件,
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由上述定义可知,例 1中 "取得的球的编号小于 3"这事件可以用基本空间
{1,2,3,...,n}的子集 {1,2}来表示,
特殊地,必然事件可用基本空间 U(作为它自己的子集 )来表示,不可能事件可以用空集?来表示,我们称由基本空间中的单个元素组成的事件为 基本事件,
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32
随机事件可以用基本空间 U的子集来表示,把随机事件之间的关系及运算之间的关系与运算比较,可以看到随机事件之间的关系及运算与集合之间的关系及运算是一致的,所以关于集合的一些术语,记号也可描述事件之间的关系与运算,
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33
例如,设 A,B是基本空间 U的两个子集,它们依次表示事件 A及事件 B,集合 A是集合 B的子集 (A?B)表示事件 A是事件 B的子事件 ; 集合 A与集合 B的并集 A?B表示事件 A与事件 B的和事件 ; 集合 A,B的交集
AB表示事件 A,B的积事件 ; 集合 A在 U内的余集?A表示事件 A的逆事件 ; 集合 A与集合 B的差集 A-B表示事件 A与事件 B的差事件,
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从集合的运算规则可以得到随机事件的运算规则,例如,设 A,B,C为随机事件,则有
( ) ( ) ( ) ;;
A B C A C B C
A B A B
A B A B
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根据随机事件的运算规则,可以得到 例
6(4)中 "至少击中一枪 "这一事件的另一种表达式,
1 2 3 1 2 3 1 2 3A A A A A A A A A
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36
事件运算的最小项任给 n个事件 A1,A2,…,An,取这 n个事件中的每一个,然后将其中的一些取逆,
再将这 n个事件中取逆的和不取逆的事件相积得到的事件,称为这 n个事件的一个最小项,给定 n个事件可产生多个不同的最小项,各个最小项之间是互斥的,
而这 n个事件能够逻辑上构成的任何事件,可以由若干个最小项的并构成,
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例,二事件 A与 B可组成四个最小项为
ABBABABA
ABBABABA
BABA
BABAABBA
ABBAA
BA
ABBABABA
如个的并产生由这四个最小项中的几可以产生的任何逻辑式式都由,
,,,
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从图形上看,这四个最小项代表了四个区域
3,2,1,0 ABBABABA
A
B
0 1
2
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而三个事件 A,B,C可组成 8个最小项为
A B CCABCBABCA
BCACAB
A B CCABCBACBAA
CBA
A B CCABCBACBA
BCACBACBACBA
如产生个最小项中的几个的并由这可以产生的任何逻辑式式都由
8
,,
,,,
,,,
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这 8个最小项可以和所有的 3位二进制数一一对应
11 1
11 0
10 1
10 0
01 1
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00 1
00 0
A B C
CAB
CBA
CBA
BCA
CBA
CBA
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一般地
n个事件 A1,A2,…,An共可组成 2n个最小项,每个最小项可以和一个 n位二进制数对应,如果此二进制数的第 i位为
0,对应在此最小项中的 Ai取逆,而第 j
位为 1对应在此最小项中的 Aj不取逆,
例如,假设 n=4,则有 4个事件 A1,A2,A3,
A4,则它们组成的最小项有
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4,,,A A A A A A A A A A A A
等等,
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作业 第 17页开始第 1,2,3,4,5题
