2009-7-25
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2
线性代数部分
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3
例 (保留 a12,将第 2列其余元素变为 0)
5220
010
2416
7216
112
648
72016
1102
6408
2113
3351
1102
4315
2113







D
2009-7-25
4
404080202516
520
216
5220
010
2416




D
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5
例



1199
129
431
102
311
014
,
2012
1301
ABC
BA
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6
例 求方阵的逆阵
343
122
321
A


222
563
462
2
1
||
1 *1
A
A
A
解 求得 |A|=2?0,知 A?1存在,再计算
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7


103620
012520
001321
3
2
100343
010122
001321
)|(
,
343
122
321
13
12
1
rr
rr
EA
AA
解求设例
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8









111100
563020
231001
5
2
111100
012520
011201
103620
012520
001321
32
31
23
21
rr
rr
rr
rr
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9







111
2/532/3
231
111100
2/532/3010
231001
)1(
)2/1(
111100
563020
231001
1
1
2
A
r
r
最后得
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例 求解方程组



032
03
0
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
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11
解 对系数矩阵施行行变换,有







0000
2100
1011
2
2100
4200
1111
3211
3111
1111
21
23
2
13
12
rr
rr
r
rr
rr
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12

1
2
0
1
0
0
1
1
,,
2
21
4
3
2
1
2142
44
43
22
421
kk
x
x
x
x
kkxx
xx
xx
xx
xxx
则等于任意实数令即得
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例 求解方程组



2
1
32
13
0
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
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解 对增广矩阵 B进行变换,











00000
2/12100
2/11011
2/12100
2/12100
01111
2
2/12100
14200
01111
2/13211
13111
01111
23
21
2
13
12
rr
rr
r
rr
rr
B
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最后的方程为





43
421
43
421
2
2
1
2
1
,
2
1
2
2
1
00000
2/12100
2/11011
~
xx
xxx
xx
xxx
B
即
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写成向量形式有



1
2
0
1
0
0
1
1
0
2/1
0
2/1
2
2
1
2
1
,,,,,
2
2
1
2
1
21
2
2
1
21
4
3
2
1
212412
4
4
2
42
4
3
2
1
kk
k
k
k
kk
x
x
x
x
kkkxkx
x
x
x
xx
x
x
x
x
则为任意实数令
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解 A的特征多项式为的特征值和特征向量求例?


31
13A





2
4
3236
2
1
2
6
2
4
681)3(
31
13
2
2,1
22
a
acbb

公式有利用一元二次方程的解所以 A的特征值为?1=2,?2=4.
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对?1=2




1
1
1
1
,
,,
00
11
11
11
2
1
2
1
221
12
p
对应的特征向量可取为则为任意数令最简形对应的方程为
k
k
k
x
x
k
kxxx
rr
EA
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19
对?2=4









1
1
1
1
,
,,
00
11
)1(
11
11
4
1
2
1
221
1
12
p
k
k
k
x
x
k
kxxx
r
rr
EA
对应的特征向量可取为则为任意数令最简形对应的方程为
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20
例 6 求矩阵
.
201
034
011
的特征值和特征向量
A





34
11
)2(
201
034
011
解 因 A的特征多项式为
2必是特征值之一,
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21
而后面的二阶行列式,令其为零可以解出剩余的两个特征值,
222
)1(12423
1)4()3)(1(
34
11






所以 A的特征值为?1=2,?2=?3=1.
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22
对于?1=2,对 A?2E作行初等变换,





1
0
0
1
0
0
0
0
,,0,0
000
010
001
010
010
001
3
4
013
014
001
001
014
013
2
1
3
2
1
3321
2313
12
31
p即基础解系为为任意数令为自由变元得
k
kx
x
x
kxxxx
rrrr
rr
rr
EA
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对于?2=?3=1,对 A?E作行初等变换是对应的特征向量则为任意实数令得





1
2
1
,
1
2
1
2
,2,
000
210
101
2
210
420
101
2
4
012
024
101
101
024
012
2
3
2
1
33231
23
2
13
12
31
pk
k
k
k
x
x
x
kxxxxx
rr
r
rr
rr
rr
EA
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概率论部分
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若事件 A包含 k个基本事件,即
}{}{}{
21 kiii
eeeA

n
k
ePAP
k
j
i j
1
})({)(
这里 i1,i2,...,ik是 1,2,...,n中某 k个不同的数,则有
(4.1)式就是等可能概型中事件 A的概率的计算公式
)1.4(
中基本事件的总数包含的基本事件数
S
A?
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加法法则如果 A与 B事件互斥,即在一次试验中不可能都发生,则有一次试验中,A与 B至少有一件发生的概率为
P(A+B)=P(A)+P(B)
而对于任意的事件 A与 B则成立一般的加法法则为
P(A?B)=P(A)+P(B)?P(AB)
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经常使用的加法法则为
( ) 1 ( )P A P A
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28
在事件 A条件下,事件 B发生的条件概率定义为
()
( | )
()
P A B
P B A
PA
因此有乘法法则
P(AB)=P(A)P(B|A)
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如果事件 A与 B相互独立,则有
P(AB)=P(A)P(B)
如果事件 A与 B与 C相互独立,则有
P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
依此类推,
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30
如果事件 A,B,C相互独立,且
P(A),P(B),P(C)为已知,要想求 A,B,C至少有一件发生的概率,可考虑
( ) 1 ( )
1 ( ) ( ) ( )
1 [ 1 ( ) ] [ 1 ( ) ] [ 1 ( ) ]
P A B C P A B C
P A P B P C
P A P B P C



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随机变量及其分布离散型随机变量 P{X=xk}=pk (k=1,2,...)
性质
1
k
kp
22
22
)]([)()(
)(,)(
XEXEXD
pxXEpxXE
k
kk
k
kk


数学期望和方差,
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连续型随机变量
.d)(}{,
1d)(),(~



b
a
xxbXaPba
xxxX

任给性质
22
22
)]([)()(
d)()(,d)()(
XEXEXD
xxxXExxxXE







数学期望和方差,
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几种常用的分布二项分布 X~B (n,p)是指
nkqp
k
n
kXP knk,,1,0,}{


它描述了贝努里独立试验概型中,事件
A发生 k次的概率,试验可以同时进行,
也可以依次进行,
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正态分布 X~N(m,s2)
,)(,)(
)(,e
2
1
)(~
2
2
)(
2
2
sm
s?
s
m


XDXE
xxfX
x
)1,0(~ N
X
s
m?
重要性质,