2009-7-25
1
线性代数第 3讲第二章 矩阵本文件可从网址
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2
2.1 高斯消元法
2009-7-25
3
在实际应用中计算机采用的解线性方程组并不用克莱姆法则，而是采用高斯消元法。
高斯消元法其实就是中学里学的加减消元法的推广，现在我们将其用在 m个方程 n个未知元的一般情况。
消元法的基本思想是通过消元变形把方程组化成容易求解的同解方程组。
下面举例说明。
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4
例 1 解线性方程组
1 2 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 2 6 2
2 2 4 2
( 2,1 )
3 4 4 3
5 3 2 0 2
x x x
x x x x
x x x x
x x x x
解 将第一个方程乘 1/2,得
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5
将第 1个方程乘 (?2),(?3),(?5)分别加到 2,3,4个方程上,得
1 2 4
2 3 4
2 3 4
2 3 4
31
2 2 0
2 4 5 0
2 5 3
x x x
x x x
x x x
x x x
1 2 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
31
2 2 4 2
3 4 4 3
5 3 2 0 2
x x x
x x x x
x x x x
x x x x
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6
将第 2个方程乘 (?2)加到第 3,4个方程上
1 2 4
2 3 4
2 3 4
2 3 4
31
2 2 0
2 4 5 0
2 5 3
x x x
x x x
x x x
x x x
1 2 4
2 3 4
4
34
31
2 2 0
0
3 9 3
x x x
x x x
x
xx
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7
再将第 3,4方程乘 (?1),(?1/3),并交换位置
1 2 4
2 3 4
4
34
31
2 2 0
0
3 9 3
x x x
x x x
x
xx
1 2 4
2 3 4
34
4
31
2 2 0
31
0
x x x
x x x
xx
x
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8
由 (2.2)易知 x4=0,将其代入第 3方程得 x31,再回代前两个方程,分别得 x2=2,x1=1,所以 (1,2,?
1,0)是原方程组 (2.1)的解,
形如 (2.2)的方程组称为 阶梯形线性方程组,
1 2 4
2 3 4
34
4
31
2 2 0
( 2,2 )
31
0
x x x
x x x
xx
x
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9
将结果 (1,2,?1,0)回代到方程 (2.1)中验算,2 1 2 2 6 0 2
2 1 2 2 ( 1 ) 4 0 2
3 1 2 4 ( 1 ) 4 0 3
5 1 3 2 ( 1 ) 20 0 2
1 2 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 2 6 2
2 2 4 2
( 2,1 )
3 4 4 3
5 3 2 0 2
x x x
x x x x
x x x x
x x x x
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10
从上述解题过程可以看出,用高斯消元法解线性方程组的具体做法是对方程组反复施行下列三种变换,
用一个非零常数乘某一个方程,简称 倍乘初等变换 ;
把某个方程乘以常数再加到另一个方程上,简称为 倍加初等变换 ;
互换两个方程的位置,简称为 互换初等变换,
这三种变换称为方程组的 初等变换,可证明方程组经初等变换后得到的方程组是原方程组的同解方程组,任何一个方程组都可经上述初等变换化成容易求解的同解阶梯形方程组,
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11
在计算机中解方程组 (2.1)是将方程组保存为一个矩形数表,称之为方程的增广矩阵
2 2 0 6 2
2 1 2 4 2
3 1 4 4 3
5 3 1 20 2
1 2 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 2 6 2
2 2 4 2
( 2,1 )
3 4 4 3
5 3 2 0 2
x x x
x x x x
x x x x
x x x x
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12
2 2 0 6 2 1
2 1 2 4 2 2
3 1 4 4 3 3
5 3 1 20 2 4
1
1
2
1 1 0 3 1 1
2 1 2 4 2 2
3 1 4 4 3 3
5 3 1 20 2 4
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13
1 1 0 3 1 1
2 1 2 4 2 2
3 1 4 4 3 3
5 3 1 20 2 4
( 2 )21
( 3 )31
( 5)14
1 1 0 3 1 1
0 1 2 2 0 2
0 2 4 5 0 3
0 2 1 5 3 4
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14
1 1 0 3 1 1
0 1 2 2 0 2
0 2 4 5 0 3
0 2 1 5 3 4
2
32
4
1 1 0 3 1 1
0 1 2 2 0 2( 2 )
( 2 ) 0 0 0 1 0 3
0 0 3 9 3 4
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15
1 1 0 3 1 1
0 1 2 2 0 2
0 0 0 1 0 3
0 0 3 9 3 4
1 1 0 3 1 1
3 ( 1 )
0 1 2 2 0 24 ( 1 / 3 )
34 0 0 1 3 1 3
0 0 0 1 0 4
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16
1 1 0 3 1 1
0 1 2 2 0 2
0 0 1 3 1 3
0 0 0 1 0 4
4
42
14
3
1 1 0 0 1 1
3
0 1 2 0 0 22
( 3 ) 0 0 1 0 1 3
0 0 0 1 0 4
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17
1 1 0 0 1 1
0 1 2 0 0 2
0 0 1 0 1 3
0 0 0 1 0 4
23
1 1 0 0 1 1
0 1 0 0 2 2( 2 )
0 0 1 0 1 3
0 0 0 1 0 4
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18
1 1 0 0 1 1
0 1 0 0 2 2
0 0 1 0 1 3
0 0 0 1 0 4
12
1 0 0 0 1 1
0 1 0 0 2 21
0 0 1 0 1 3
0 0 0 1 0 4
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19
线性方程组
1 1 1 1 2 2 1 1
2 1 1 2 2 2 2 2
1 1 2 2
( 2,3 )
nn
nn
m m m n n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
1 1 1 2 1 1
2 1 2 2 2 2
12
( 2,4 )
n
n
m m m n n
a a a b
a a a b
a a a b
可用一张矩形数表表示
2009-7-25
20
定义 数域 F中 m?n个数 aij(i=1,2,...,m;j=1,2,....,n)
排成 m行 n列,并括以方括弧 (或圆括弧 )的数表
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
( 2,5 )
n
n
m m m n
a a a
a a a
a a a
称为 F上的 m?n矩阵,通常用大写字母记作 A或 Am?n,有时也记作
A=[aij]m?n (i=1,2,...,m;j=1,2,...,n)
其中 aij称为矩阵 A的第 i行第 j列 元素,
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21
m?n个元素全为零的矩阵称为 零矩阵,记作 0.
当 m=n时,称 A为 n阶矩阵 (或 n阶方阵 ).
线性方程组 (2.3)对应的矩阵 (2.4)称为方程组
(2.3)的 增广矩阵,记作 [A,b],其中由未知元的系数排成的矩阵 A称为方程组的 系数矩阵,
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22
例 2 求解线性方程组
1 2 3 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1
2
3
4
3 1,
2 2 2 4 2,
( 2,6 )
3 3 4 5 3,
8 2,
x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
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23
解 写出方程
1
2
3
4
1 1 1 0 3 1
2 2 1 2 4 2
[,]
3 3 1 4 5 3
1 1 1 1 8 2
Ab
的增广矩阵
1 2 3 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1
2
3
4
3 1,
2 2 2 4 2,
( 2,6 )
3 3 4 5 3,
8 2,
x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
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24
1
2
3
4
1 1 1 0 3 1
2 2 1 2 4 2
[,]
3 3 1 4 5 3
1 1 1 1 8 2
Ab
1
21
231
41
3
4
1 1 1 0 3 1
( 2)
0 0 1 2 2 0( 3 )
( 1 ) 0 0 2 4 4 0
0 0 2 1 5 3
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25
1
2
3
4
1 1 1 0 3 1
0 0 1 2 2 0
0 0 2 4 4 0
0 0 2 1 5 3
1
23 2
42
3
4
1 1 1 0 3 1
0 0 1 2 2 0( 2 )
( 2 ) 0 0 0 0 0 0
0 0 0 3 9 3
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26
1
2
3
4
1 1 1 0 3 1
0 0 1 2 2 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 3 9 3
1
4
2
34
3
4
1 1 1 0 3 1
1
()
0 0 1 2 2 0
3
0 0 0 1 3 1
0 0 0 0 0 0
2009-7-25
27
1
2
3
4
1 1 1 0 3 1
0 0 1 2 2 0
0 0 0 1 3 1
0 0 0 0 0 0
1
223
3
4
1 1 1 0 3 1
0 0 1 0 4 2( 2)
0 0 0 1 3 1
0 0 0 0 0 0
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28
1
2
3
4
1 1 1 0 3 1
0 0 1 0 4 2
0 0 0 1 3 1
0 0 0 0 0 0
1
2
12
3
4
1 1 0 0 7 1
0 0 1 0 4 2
0 0 0 1 3 1
0 0 0 0 0 0
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29
(2.8)式矩阵称为 行简化阶梯矩阵,它所对应的方程组 1 2 5
35
45
71
4 2 ( 2,8 ) '
31
x x x
xx
xx
其中 x1,x3,x4称作 首项变元,x2,x5称作 自由变元,
1
2
3
4
1 1 0 0 7 1
0 0 1 0 4 2
( 2,8 )
0 0 0 1 3 1
0 0 0 0 0 0
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30
将行简化阶梯矩阵的自由变元挪到等号右边,
1 2 5
35
45
17
24
13
x x x
xx
xx
就变为,
1 2 5
35
45
71
4 2 ( 2,8 ) '
31
x x x
xx
xx
2009-7-25
31
令 x2=k1,x5=k2,k1,k2为任意常数,则
1 2 5
35
45
17
24
13
x x x
xx
xx
1 1 2
32
42
17
24
13
x k k
xk
xk
方程的全部解就表示为,x1=1+k1?7k2,x2=k1,
x3=2?4k2,x41+3k2,x5=k2,其中 k1,k2为任意常数,以后常把方程组的解写成下面的形式,
(x1,x2,x3,x4,x5)
=(1+k1?7k2,k1,2?4k2,?1+3k2,k2)
2009-7-25
32
当方程组的常数项 b1=b2=...=bn=0时,称它为 齐次线性方程组,否则叫 非齐次线性方程组,
齐次线性方程组的解法与例 2相同,如果例 2
中四个方程的常数项全为零,其解为,
[x1,x2,x3,x4,x5]
=[k1?7k2,k1,?4k2,3k2,k2].
1 1 1 1 2 2 1 1
2 1 1 2 2 2 2 2
1 1 2 2
( 2,3 )
nn
nn
m m m n n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
2009-7-25
33
例 3 解线性方程组 1 2 3
1 2 3
1 2 3
1,
2 5 2,
2 3 4 5,
x x x
x x x
x x x
21
31
1 1 1 1
[,] 1 2 5 2
2 3 4 5
1 1 1 1
( 1 )
0 1 6 1
( 2)
0 1 6 3
Ab
解
2009-7-25
34
第三行表示的方程 0x1+0x2+0x3=2是无解的,故原方程组无解,
无解的方程组称为 不相容方程组,有解的方程组称作 相容方程组,
有时候会出现方程组中有多余的方程,称其为多余方程,
32
1 1 1 1 1 1 1 1
( 1 )
0 1 6 1 0 1 6 1
0 1 6 3 0 0 0 2
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35
不妨假设增广矩阵化为如下行简化阶梯矩阵,
11 1,1 1 1
22 2,1 2 2
,1
1
00
00
00
[,] ( 2.1 0)
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
rn
rn
r r r r r n r
r
c c c d
c c c d
c c c d
Ab
d
其中 cii=1,i=1,2,...,r,方程有解的充分必要条件是 dr+1=0.
2009-7-25
36
在有解的情况下,
(i)当 r=n时,有唯一解 x1=d1,x2=d2,...,xn=dn;
(ii)当 r<n时,有无穷多解,求解时把每行第一个非零元 cii(i=1,2,...,r)所在列对应的未知量 (这里是 x1,x2,...,xr)取为基本未知量,也叫首项变元,
其余未知量 (这里是 xr+1,xr+2,...,xn)取为自由未知量,也叫自由变元,并令自由未知量依次取任意常数 k1,k2,...,kn?r,将它们代入 (2.10)式所对应的方程组,
2009-7-25
37
最后得到的解为
1 1 1,1 1 1
2 2 2,1 1 2
,1 1
11
,
,
,( 2.1 1 )
,
r n n r
r n n r
r r r r rn n r
r
n n r
x d c k c k
x d c k c k
x d c k c k
xk
xk
其中 k1,k2,...,kn?r为相互独立的任意常数,
这是方程组的全部解,
2009-7-25
38
齐次线性方程组总是有解的,这是因为 (2.3)中的常数项 b1=b2=...=bm=0,从而 (2.11)中
d1=...=dr=dr+1=0,当 r=n时,只有零解,即
x1=x2=...=xn=0; 当 r<n时,有无穷多解,其解是
(2.11)式 中 d1=d2=...=dr=0的情形,
如果齐次线性方程组中方程个数 m小于未知量个数 n,则必有无穷多个非零解,
用不同的消元步骤,化成的阶梯矩阵的形式不是唯一的,但阶梯阵的非零行数是唯一确定的,
当方程组有解时,这表明解中任意常数的个数是相同的,但解的表示式不是唯一的,但每一种解表示的无穷解的集合又是相等的,
2009-7-25
39
今天作业,第 92页开始 习题第 1,2,3,4题
B组交作业
1
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2009-7-25
2
2.1 高斯消元法
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3
在实际应用中计算机采用的解线性方程组并不用克莱姆法则，而是采用高斯消元法。
高斯消元法其实就是中学里学的加减消元法的推广，现在我们将其用在 m个方程 n个未知元的一般情况。
消元法的基本思想是通过消元变形把方程组化成容易求解的同解方程组。
下面举例说明。
2009-7-25
4
例 1 解线性方程组
1 2 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 2 6 2
2 2 4 2
( 2,1 )
3 4 4 3
5 3 2 0 2
x x x
x x x x
x x x x
x x x x
解 将第一个方程乘 1/2,得
2009-7-25
5
将第 1个方程乘 (?2),(?3),(?5)分别加到 2,3,4个方程上,得
1 2 4
2 3 4
2 3 4
2 3 4
31
2 2 0
2 4 5 0
2 5 3
x x x
x x x
x x x
x x x
1 2 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
31
2 2 4 2
3 4 4 3
5 3 2 0 2
x x x
x x x x
x x x x
x x x x
2009-7-25
6
将第 2个方程乘 (?2)加到第 3,4个方程上
1 2 4
2 3 4
2 3 4
2 3 4
31
2 2 0
2 4 5 0
2 5 3
x x x
x x x
x x x
x x x
1 2 4
2 3 4
4
34
31
2 2 0
0
3 9 3
x x x
x x x
x
xx
2009-7-25
7
再将第 3,4方程乘 (?1),(?1/3),并交换位置
1 2 4
2 3 4
4
34
31
2 2 0
0
3 9 3
x x x
x x x
x
xx
1 2 4
2 3 4
34
4
31
2 2 0
31
0
x x x
x x x
xx
x
2009-7-25
8
由 (2.2)易知 x4=0,将其代入第 3方程得 x31,再回代前两个方程,分别得 x2=2,x1=1,所以 (1,2,?
1,0)是原方程组 (2.1)的解,
形如 (2.2)的方程组称为 阶梯形线性方程组,
1 2 4
2 3 4
34
4
31
2 2 0
( 2,2 )
31
0
x x x
x x x
xx
x
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9
将结果 (1,2,?1,0)回代到方程 (2.1)中验算,2 1 2 2 6 0 2
2 1 2 2 ( 1 ) 4 0 2
3 1 2 4 ( 1 ) 4 0 3
5 1 3 2 ( 1 ) 20 0 2
1 2 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 2 6 2
2 2 4 2
( 2,1 )
3 4 4 3
5 3 2 0 2
x x x
x x x x
x x x x
x x x x
2009-7-25
10
从上述解题过程可以看出,用高斯消元法解线性方程组的具体做法是对方程组反复施行下列三种变换,
用一个非零常数乘某一个方程,简称 倍乘初等变换 ;
把某个方程乘以常数再加到另一个方程上,简称为 倍加初等变换 ;
互换两个方程的位置,简称为 互换初等变换,
这三种变换称为方程组的 初等变换,可证明方程组经初等变换后得到的方程组是原方程组的同解方程组,任何一个方程组都可经上述初等变换化成容易求解的同解阶梯形方程组,
2009-7-25
11
在计算机中解方程组 (2.1)是将方程组保存为一个矩形数表,称之为方程的增广矩阵
2 2 0 6 2
2 1 2 4 2
3 1 4 4 3
5 3 1 20 2
1 2 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 2 6 2
2 2 4 2
( 2,1 )
3 4 4 3
5 3 2 0 2
x x x
x x x x
x x x x
x x x x
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12
2 2 0 6 2 1
2 1 2 4 2 2
3 1 4 4 3 3
5 3 1 20 2 4
1
1
2
1 1 0 3 1 1
2 1 2 4 2 2
3 1 4 4 3 3
5 3 1 20 2 4
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13
1 1 0 3 1 1
2 1 2 4 2 2
3 1 4 4 3 3
5 3 1 20 2 4
( 2 )21
( 3 )31
( 5)14
1 1 0 3 1 1
0 1 2 2 0 2
0 2 4 5 0 3
0 2 1 5 3 4
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14
1 1 0 3 1 1
0 1 2 2 0 2
0 2 4 5 0 3
0 2 1 5 3 4
2
32
4
1 1 0 3 1 1
0 1 2 2 0 2( 2 )
( 2 ) 0 0 0 1 0 3
0 0 3 9 3 4
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15
1 1 0 3 1 1
0 1 2 2 0 2
0 0 0 1 0 3
0 0 3 9 3 4
1 1 0 3 1 1
3 ( 1 )
0 1 2 2 0 24 ( 1 / 3 )
34 0 0 1 3 1 3
0 0 0 1 0 4
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16
1 1 0 3 1 1
0 1 2 2 0 2
0 0 1 3 1 3
0 0 0 1 0 4
4
42
14
3
1 1 0 0 1 1
3
0 1 2 0 0 22
( 3 ) 0 0 1 0 1 3
0 0 0 1 0 4
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17
1 1 0 0 1 1
0 1 2 0 0 2
0 0 1 0 1 3
0 0 0 1 0 4
23
1 1 0 0 1 1
0 1 0 0 2 2( 2 )
0 0 1 0 1 3
0 0 0 1 0 4
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18
1 1 0 0 1 1
0 1 0 0 2 2
0 0 1 0 1 3
0 0 0 1 0 4
12
1 0 0 0 1 1
0 1 0 0 2 21
0 0 1 0 1 3
0 0 0 1 0 4
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19
线性方程组
1 1 1 1 2 2 1 1
2 1 1 2 2 2 2 2
1 1 2 2
( 2,3 )
nn
nn
m m m n n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
1 1 1 2 1 1
2 1 2 2 2 2
12
( 2,4 )
n
n
m m m n n
a a a b
a a a b
a a a b
可用一张矩形数表表示
2009-7-25
20
定义 数域 F中 m?n个数 aij(i=1,2,...,m;j=1,2,....,n)
排成 m行 n列,并括以方括弧 (或圆括弧 )的数表
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
( 2,5 )
n
n
m m m n
a a a
a a a
a a a
称为 F上的 m?n矩阵,通常用大写字母记作 A或 Am?n,有时也记作
A=[aij]m?n (i=1,2,...,m;j=1,2,...,n)
其中 aij称为矩阵 A的第 i行第 j列 元素,
2009-7-25
21
m?n个元素全为零的矩阵称为 零矩阵,记作 0.
当 m=n时,称 A为 n阶矩阵 (或 n阶方阵 ).
线性方程组 (2.3)对应的矩阵 (2.4)称为方程组
(2.3)的 增广矩阵,记作 [A,b],其中由未知元的系数排成的矩阵 A称为方程组的 系数矩阵,
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22
例 2 求解线性方程组
1 2 3 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1
2
3
4
3 1,
2 2 2 4 2,
( 2,6 )
3 3 4 5 3,
8 2,
x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
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23
解 写出方程
1
2
3
4
1 1 1 0 3 1
2 2 1 2 4 2
[,]
3 3 1 4 5 3
1 1 1 1 8 2
Ab
的增广矩阵
1 2 3 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1
2
3
4
3 1,
2 2 2 4 2,
( 2,6 )
3 3 4 5 3,
8 2,
x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
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24
1
2
3
4
1 1 1 0 3 1
2 2 1 2 4 2
[,]
3 3 1 4 5 3
1 1 1 1 8 2
Ab
1
21
231
41
3
4
1 1 1 0 3 1
( 2)
0 0 1 2 2 0( 3 )
( 1 ) 0 0 2 4 4 0
0 0 2 1 5 3
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25
1
2
3
4
1 1 1 0 3 1
0 0 1 2 2 0
0 0 2 4 4 0
0 0 2 1 5 3
1
23 2
42
3
4
1 1 1 0 3 1
0 0 1 2 2 0( 2 )
( 2 ) 0 0 0 0 0 0
0 0 0 3 9 3
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26
1
2
3
4
1 1 1 0 3 1
0 0 1 2 2 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 3 9 3
1
4
2
34
3
4
1 1 1 0 3 1
1
()
0 0 1 2 2 0
3
0 0 0 1 3 1
0 0 0 0 0 0
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27
1
2
3
4
1 1 1 0 3 1
0 0 1 2 2 0
0 0 0 1 3 1
0 0 0 0 0 0
1
223
3
4
1 1 1 0 3 1
0 0 1 0 4 2( 2)
0 0 0 1 3 1
0 0 0 0 0 0
2009-7-25
28
1
2
3
4
1 1 1 0 3 1
0 0 1 0 4 2
0 0 0 1 3 1
0 0 0 0 0 0
1
2
12
3
4
1 1 0 0 7 1
0 0 1 0 4 2
0 0 0 1 3 1
0 0 0 0 0 0
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29
(2.8)式矩阵称为 行简化阶梯矩阵,它所对应的方程组 1 2 5
35
45
71
4 2 ( 2,8 ) '
31
x x x
xx
xx
其中 x1,x3,x4称作 首项变元,x2,x5称作 自由变元,
1
2
3
4
1 1 0 0 7 1
0 0 1 0 4 2
( 2,8 )
0 0 0 1 3 1
0 0 0 0 0 0
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30
将行简化阶梯矩阵的自由变元挪到等号右边,
1 2 5
35
45
17
24
13
x x x
xx
xx
就变为,
1 2 5
35
45
71
4 2 ( 2,8 ) '
31
x x x
xx
xx
2009-7-25
31
令 x2=k1,x5=k2,k1,k2为任意常数,则
1 2 5
35
45
17
24
13
x x x
xx
xx
1 1 2
32
42
17
24
13
x k k
xk
xk
方程的全部解就表示为,x1=1+k1?7k2,x2=k1,
x3=2?4k2,x41+3k2,x5=k2,其中 k1,k2为任意常数,以后常把方程组的解写成下面的形式,
(x1,x2,x3,x4,x5)
=(1+k1?7k2,k1,2?4k2,?1+3k2,k2)
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32
当方程组的常数项 b1=b2=...=bn=0时,称它为 齐次线性方程组,否则叫 非齐次线性方程组,
齐次线性方程组的解法与例 2相同,如果例 2
中四个方程的常数项全为零,其解为,
[x1,x2,x3,x4,x5]
=[k1?7k2,k1,?4k2,3k2,k2].
1 1 1 1 2 2 1 1
2 1 1 2 2 2 2 2
1 1 2 2
( 2,3 )
nn
nn
m m m n n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
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33
例 3 解线性方程组 1 2 3
1 2 3
1 2 3
1,
2 5 2,
2 3 4 5,
x x x
x x x
x x x
21
31
1 1 1 1
[,] 1 2 5 2
2 3 4 5
1 1 1 1
( 1 )
0 1 6 1
( 2)
0 1 6 3
Ab
解
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34
第三行表示的方程 0x1+0x2+0x3=2是无解的,故原方程组无解,
无解的方程组称为 不相容方程组,有解的方程组称作 相容方程组,
有时候会出现方程组中有多余的方程,称其为多余方程,
32
1 1 1 1 1 1 1 1
( 1 )
0 1 6 1 0 1 6 1
0 1 6 3 0 0 0 2
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35
不妨假设增广矩阵化为如下行简化阶梯矩阵,
11 1,1 1 1
22 2,1 2 2
,1
1
00
00
00
[,] ( 2.1 0)
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
rn
rn
r r r r r n r
r
c c c d
c c c d
c c c d
Ab
d
其中 cii=1,i=1,2,...,r,方程有解的充分必要条件是 dr+1=0.
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36
在有解的情况下,
(i)当 r=n时,有唯一解 x1=d1,x2=d2,...,xn=dn;
(ii)当 r<n时,有无穷多解,求解时把每行第一个非零元 cii(i=1,2,...,r)所在列对应的未知量 (这里是 x1,x2,...,xr)取为基本未知量,也叫首项变元,
其余未知量 (这里是 xr+1,xr+2,...,xn)取为自由未知量,也叫自由变元,并令自由未知量依次取任意常数 k1,k2,...,kn?r,将它们代入 (2.10)式所对应的方程组,
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37
最后得到的解为
1 1 1,1 1 1
2 2 2,1 1 2
,1 1
11
,
,
,( 2.1 1 )
,
r n n r
r n n r
r r r r rn n r
r
n n r
x d c k c k
x d c k c k
x d c k c k
xk
xk
其中 k1,k2,...,kn?r为相互独立的任意常数,
这是方程组的全部解,
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齐次线性方程组总是有解的,这是因为 (2.3)中的常数项 b1=b2=...=bm=0,从而 (2.11)中
d1=...=dr=dr+1=0,当 r=n时,只有零解,即
x1=x2=...=xn=0; 当 r<n时,有无穷多解,其解是
(2.11)式 中 d1=d2=...=dr=0的情形,
如果齐次线性方程组中方程个数 m小于未知量个数 n,则必有无穷多个非零解,
用不同的消元步骤,化成的阶梯矩阵的形式不是唯一的,但阶梯阵的非零行数是唯一确定的,
当方程组有解时,这表明解中任意常数的个数是相同的,但解的表示式不是唯一的,但每一种解表示的无穷解的集合又是相等的,
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今天作业,第 92页开始 习题第 1,2,3,4题
B组交作业
