2009-7-25
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线性代数第 9讲向量组的秩本文件可从网址
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在 R3中,给定四个共面向量 a1,a2,a3,a4,它们显然是线性相关的,但它们中存在两个线性无关的向量,而任一个向量都可由这两个线性无关的向量线性表示 (例如,a1,a2线性无关,a3,a4可由 a1,a2线性表示 ),此外它们中任意三个向量是线性相关的,即它们中任一个线性无关的部分组最多只含 2个向量,数 2就叫作这个向量组的秩,
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3
a1
a2a
3
a4
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定义 6 如果向量组 a1,a2,...,as中存在 r个线性无关的向量,且其中任一个向量可由这 r个线性无关的向量线性表示,则数 r称为 向量组的秩,
记作 秩 {a1,a2,...,as}=r.
显然,如果 a1,a2,...,as线性无关,则秩 {a1,a2,...,as}=s;
只含零向量的向量组的秩为零,
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定义 7 如果向量组 b1,b2,...,bt中每个向量可由向量组 a1,a2,...,as线性表示,就称前一个向量组可由后一个向量组线性表示,如果两个向量组可以互相线性表示,则称这两个向量组是 等价 的,
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定理 4 如果向量组 b1,b2,...,bt可由向量组
a1,a2,...,as线性表示,且 t>s,则 b1,b2,...,bt线性相关,
证 设
1
( 1,2,,),
s
j ij i
i
k j tba
1 1 1 1 1
0.
t t s s t
j j j i j i i j j i
j j i i j
x x k k xb a a
验证 b1,b2,...,bt线性相关,考察
x1b1+x2b2+...+xtbt=0,(3.11)
即
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7
当
1
0,1,2,,,( 3,1 2 )
t
i j j
j
k x i s
时,(3.11)式显然成立,而 (3.12)式是 t个未知量 x1,x2,...,xt的齐次线性方程组,由于 t>s(方程个数 ),故方程组 (3.12)式有非零解,即有不全为零的 x1,x2,...,xt使
(3.11)式成立,所以 b1,b2,...,bt线性相关,
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推论 1 如果向量组 b1,b2,...,bt可由向量组
a1,a2,...,as线性表示,且 b1,b2,...,bt线性无关,则
t?s.
推论 2 若秩 {a1,a2,...,as}=r,则 a1,a2,...,as中任何 r+1个向量都是线性相关的,
证 不妨设 a1,a2,...,ar是向量组 a1,a2,...,as中的 r
个线性无关的向量,由于该向量组中任一个向量可由 a1,a2,...,ar线性表示,由定理 4立即可得其中任何 r+1个向量都线性相关,
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如此,向量组的秩可等价地定义为,若向量组中存在 r个线性无关的向量,且任何 r+1个向量都线性相关,就称数 r为 向量组的秩,
由此可知,秩为 r的向量组中,任一个线性无关的部分组最多只含 r个向量,因此,秩为 r的向量组中含有 r个向量的线性无关组,称为该向量组的极大线性无关组,一般情况下,极大线性无关组不唯一,但不同的极大线性无关组所含向量个数是相同的,
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推论 3 设秩 {a1,...,as}=p,秩 {b1,...bt}=r,如果向量组 b1,...bt可由向量组 a1,...,as线性表示,则
r?p.
证 不妨设 a1,...,ap和 b1,...br分别是两个向量组的极大无关组,因此有
,
).,,,,1(
1 11 1
1
p
j
j
s
i
ijki
s
i
p
j
jijkik
s
i
ikik
cbcb
trkb
aab
ab
所以
1
( 1,,),
p
i i j j
j
c i saa
又已知
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即 b1,...br可由 a1,...,ap线性表示,于是由推论 1
可得 r?p.
由推论 3立即可得,等价的向量组的秩相等,
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3.2 矩阵的秩
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对于矩阵 A,把它的每一行 (列 )称为 A的一个行
(列 )向量,把 A的行 (列 )向量组的秩称为 A的行
(列 )秩,显然,m?n矩阵 A的行秩?m,列秩?n.
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阶梯形矩阵 11 12 13 14 15
23 24 25
34 35
00
0 0 0
0 0 0 0 0
a a a a a
a a a
A
aa
(其中 a11?0,a23?0,a34?0)的行秩 =3,列秩 =3,
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这是因为,把 A按行和按列分块为
1
2
1 2 3 4 5
3
4
,,,,,,AA
a
a
b b b b b
a
a
则 (i)由 x1a1+x2a2+x3a3=0可推出数 x1,x2,x3必须全为零,故 a1,a2,a3线性无关,而 a4=O,因此 A的行秩等于 3.
(ii)由 y1b1+y3b3+y4b4=0可推出数 y1,y2,y4必须全为零,故 b1,b3,b4线性无关,又易见 A的任意
4个列向量都线性相关 )则 A的列秩等于 3.
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由此例可得一般结论,阶梯形矩阵的行秩等于列秩,其值等于阶梯形矩阵的非零行的行数,
用高斯消元法解线性方程组 AX=b的消元步骤,
是对增广矩阵 [A,b]作初等行变换将其化为阶梯形矩阵,而初等行变换的倍乘,倍加变换实际是对行向量作线性运算,因此,需要研究初等行变换是否改变矩阵的行秩和列秩,
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定理 1 如果对矩阵 A作初等行变换将其化为 B,
则 B的行秩等于 A的行秩,
证 只需证明作一次行初等变换不改变矩阵的行秩,设 A是 m?n矩阵,
A的 m个行向量记作 a1,a2,...,am.
(i) 对换 A的某两行位置,所得到的矩阵 B的 m
个行向量是 A的 m个行向量,显然 B的行秩等于
A的行秩,
(ii) 把 A的第 i行乘非零常数 c得 B,则 B的 m个行向量 a1,a2,...,cai,...,am,显然 B的行向量组与 A
的行向量组是等价的,因此 B的行秩 等 于 A的行秩,
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显然 B的行向量组可由 A的行向量组线性表示,
又 aj?-czi+zj,ak=zk(k?j),所以 A的行向量组也可由 B的行向量组线性表示,因此 A与 B的行秩也相等,
B
c
Aiii
m
j
i
m
ji
i
jci
m
j
i
z
z
z
z
a
aa
a
a
a
a
a
a
111
)( 记作行加到行乘
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由定理 1可知,对线性方程组 AX=b的增广矩阵
[A,b],不论怎样作行初等变换将其化为阶梯形矩阵,其非零行的行数都等于 [A,b]的行秩,
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初等行变换也不改变矩阵的列秩,这是因为定理 2 对矩阵 A作初等行变换化为 B,则 A与 B
的任何对应的列向量组有相同的线性相关性,
即,
.)1(
,,,,,,
,,,,
,,,
21
21
21
2121
有相同的线性相关性与则向量组初等行变换
niii
B
A
r
iiiiii
n
n
rr
zzzaaa
zzz
aaa
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21
证 对 A作初等行变换化为 B,就是用若干初等阵 P1,...,Ps左乘 A使之等于 B,记 P=Ps...P2P1,即有 PA=B.
从而 Paj=zj,j=1,2,...,n.
取
1 2 1 2
12
11
1
[,,],[,,,],
[,,,]
rr
r
i i i i i i
T
i i i
AB
X x x x
a a a z z z
则齐次线性方程组 A1X1=O与 B1X1=O(即
PA1X1=O)显然是同解方程组,即 A1与 B1
的列向量组有相同的线性相关性,
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定理 2也提供了求向量组的秩及其极大线性无关组的一个简便而有效的方法,
即,如果要求一组给定的向量组的秩和极大无关组,则将这组向量组按列向量排成矩阵 A,
对矩阵 A作一系列行初等变换将其变为行简化阶梯矩阵,则首项变元所在的列,对应的列向量就是极大无关组,首项变元的个数就是向量组的秩,并容易从行简化阶梯矩阵中看出其余向量和极大无关组向量间的线性关系,
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例 1 设向量组,a1=[-1,-1,0,0]T,a2=[1,2,1,-1]T,
a3=[0,1,1,-1]T,a4=[1,3,2,1]T,a5=[2,6,4,-1]T,试求向量组的秩及其一个极大线性无关组,并将其余向量用这个极大线性无关组线性表示,
解 作矩阵 A=[a1,a2,a3,a4,a5],对 A作初等行变换将其化为行简化阶梯阵,即1 1 0 1 2
1 2 1 3 6
0 1 1 2 4
0 1 1 1 1
A
-
-
- - -
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1
21
1 1 0 1 2
1 2 1 3 6
0 1 1 2 4
0 1 1 1 1
1 1 0 1 2
0 1 1 2 4( 1 )
0 1 1 2 4
0 1 1 1 1
A
-
-
- - -
- - -
-
- - -
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32
42
1 1 0 1 2
0 1 1 2 4
0 1 1 2 4
0 1 1 1 1
1 1 0 1 2
0 1 1 2 4( 1 )
0 0 0 0 0
0 0 0 3 3
- - -
- - -
- - -
-
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4
34
1 1 0 1 2
0 1 1 2 4
0 0 0 0 0
0 0 0 3 3
1 1 0 1 21
0 1 1 2 4
3
0 0 0 1 1
0 0 0 0 0
- - -
- - -
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31
32
1 1 0 1 2
0 1 1 2 4
0 0 0 1 1
0 0 0 0 0
1 1 0 0 1
0 1 1 0 2
( 2) 0 0 0 1 1
0 0 0 0 0
- - -
--
-
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将 U记作 [z1,z2,z3,z4,z5],易见 z1,z2,z4是 U的一个极大无关组,
12
1 1 0 0 1
0 1 1 0 2
0 0 0 1 1
0 0 0 0 0
1 0 1 0 1
0 1 1 0 2
.
0 0 0 1 1
0 0 0 0 0
U
--
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易见 z1,z2,z4是 U的一个极大无关组,所以
a1,a2,a4也是 A的列向量组的一个极大无关组,
故秩 {a1,a2,a3,a4,a5}=3,令
x1a1+x2a2+x4a4=a3
y1a1+y2a2+y4a4=a5
用高斯消元法解这两个线性方程组可利用阶梯阵 U,得
1 2 3 4 5
1 0 1 0 1
0 1 1 0 2
[,,,,]
0 0 0 1 1
0 0 0 0 0
U z z z z z
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得
a3=a1+a2,
a5=a1+2a2+a4.
如果只需求向量组的秩和极大线性无关组,只要对 A作初等行变换将其化为一般的阶梯阵,
而不必化为行简化阶梯阵,
1 2 3 4 5
1 0 1 0 1
0 1 1 0 2
[,,,,]
0 0 0 1 1
0 0 0 0 0
U z z z z z
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由定理 1和定理 2可以推出,初等列变换也不改变矩阵的列秩和行秩,因为对 A作列变换就是对 AT作行变换,AT的行 (列 )秩就是 A的列 (行 )秩,
于是就有定理 3 初等变换不改变矩阵的行秩和列秩,
由定理 1和定理 2还可推出下面的定理,
定理 4 矩阵 A的行秩等于其列秩,
证 对 A作初等行变换将其化为阶梯阵 U,则有
A的行秩 =U的行秩
=U的列秩 =A的列秩,
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由于矩阵的行秩和列秩相等,给出下列定义,
定义 1 矩阵 A的行秩的数值称为矩阵 A的秩,记作,秩 (A)或 r(A).
定理 5 n阶矩阵 A的秩等于 n的充要条件是 A为非奇异矩阵 (即 |A|?0).
证 若 r(A)=n,则对 A作初等行变换可将其化为有 n个非零行的行简化阶梯矩阵 (即单位阵 I),
也就是,存在可逆阵 P使 PA=I,故 |A|?0,则齐次线性方程组 AX=O只有零解,故 A的 n个列向量线性无关,即 r(A)=n.
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定义 2 矩阵 A=[aij]m?n的任意 k个行 (i1,i2,...,ik行 )
和任意 k个列 (j1,j2,...jk列 )的交点上的 k2个元素按原顺序排成的 k阶行列式1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
( 3,1 3 )
k
k
k k k k
i j i j i j
i j i j i j
i j i j i j
a a a
a a a
a a a
称为 A的 k阶 子行列式,简称 A的 k阶 子式,其值等于零 (不等于零 )时,称为 零子式 (非零子式 ),如 j1=i1,j2=i2,...,jk=ik时,称为 A的 主子式,
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如矩阵 A存在 r阶非零子式,而所有 r+1阶子式
(如果存在 )都等于零,则矩阵 A的非零子式的最高阶数为 r,因为由所有 r+1阶子式都等于零可推出所有更高阶的子式都等于零,
定理 6 秩 (A)=r的充要条件是 A的非零子式的最高阶数为 r.
证 必要性,设秩 (A)=r,即 A的行秩为 r,不妨设 A
的前 r个行向量线性无关,把 A的前 r个行作成的矩阵记作 A1,则 A1的列秩 =A1的行秩 =r,不妨再设 A1的前 r个列向量线性无关,如此,由定理
5可知 A的左上角 r阶子式为非零子式,
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又因为 A的任意 r+1个行向量线性相关,因此,
在 A的任意 r+1个行中作成的任一个 r+1阶子式都是零子式,故 A的非零子式的最高阶数为 r.
充分性,不妨设 A的左上角 r阶子式为非零子式,
令 A的前 r个行作成的矩阵为 A1,由于 A1中前 r
个列作成的 r阶子式是非零子式,所以 A1的前 r
个列向量线性无关,但 A1的列秩 =A1的行秩?r,
所以 A1的列秩 =r,从而 A1的行秩 =r,因此 A的前
r个行向量线性无关,要证秩 (A)=r(即 A的行秩
=r),还需证明 A的其余各行可由 A的前 r行线性表示,
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这里用反证法,假设某行 (不妨假设第 r+1)行不能用前 r行线性表示,于是 A的前 r+1行线性无关,如此,由 A的前 r+1行作成的矩阵 A2的秩等于 r+1,由必要性的证明可知 A2存在 r+1阶非零子式,这与题设矛盾,故秩 (A)=r,证毕,
综上所述,关于矩阵的秩的基本结论是,矩阵的秩 =矩阵的行秩 =矩阵的列秩 =矩阵的非零子式的最高阶数 ; 初等变换不改变矩阵的秩,
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性质 1 r(A+B)?r(A)+r(B)
证 设 A,B均是 m?n矩阵,r(A)=p,r(B)=q,将 A,B
按列分块为
A=[a1,a2,...,an],B=[b1,b2,...,bn],
于是 A+B=[a1+b1,a2+b2,...,an+bn].
不妨设 A和 B的列向量组的极大无关组分别为
a1,a2,...,ap和 b1,b2,...,bq,于是 A+B的列向量组可由 a1,a2,...,ap,b1,b2,...,bq线性表示,因此,
r(A+B)=A+B的列秩
秩 (a1,a2,...,ap,b1,b2,...,bq)?p+q.
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性质 2 r(AB)?min(r(A),r(B))
证 设 A,B分别是 m?n,n?s矩阵,将 A按列分块 11 12 1
21 22 2
12
12
[,,,]
s
s
n
n n ns
b b b
b b b
AB
b b b
a a a
的列向量组 g1,...,gs可由 A的列向量组
a1,...,an线性表示,故 r(AB)=AB的列秩
A的列秩 =r(A),类似地,将 B按行分块可得 r(AB)?r(B).
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性质 3 设 A是 m?n矩阵,P,Q分别是 m阶,n阶可逆矩阵,则
r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ).
证 由于可逆阵 P,Q可以表示为若干个初等阵的乘积,而初等变换不改变矩阵的秩,故结论成立,
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40
例 2 设 A是 m?n矩阵,m<n,证明,|ATA|=0.
证 由于 r(A)=r(AT)?min(m,n)<n,根据性质 2,有
r(ATA)?min(r(AT),r(A))<n,
而 ATA是 n阶矩阵,利用定理 5或定理 6的结论,
即得 |ATA|=0.
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今天作业,第 142页开始
13,19,20题
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在 R3中,给定四个共面向量 a1,a2,a3,a4,它们显然是线性相关的,但它们中存在两个线性无关的向量,而任一个向量都可由这两个线性无关的向量线性表示 (例如,a1,a2线性无关,a3,a4可由 a1,a2线性表示 ),此外它们中任意三个向量是线性相关的,即它们中任一个线性无关的部分组最多只含 2个向量,数 2就叫作这个向量组的秩,
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3
a1
a2a
3
a4
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定义 6 如果向量组 a1,a2,...,as中存在 r个线性无关的向量,且其中任一个向量可由这 r个线性无关的向量线性表示,则数 r称为 向量组的秩,
记作 秩 {a1,a2,...,as}=r.
显然,如果 a1,a2,...,as线性无关,则秩 {a1,a2,...,as}=s;
只含零向量的向量组的秩为零,
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定义 7 如果向量组 b1,b2,...,bt中每个向量可由向量组 a1,a2,...,as线性表示,就称前一个向量组可由后一个向量组线性表示,如果两个向量组可以互相线性表示,则称这两个向量组是 等价 的,
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定理 4 如果向量组 b1,b2,...,bt可由向量组
a1,a2,...,as线性表示,且 t>s,则 b1,b2,...,bt线性相关,
证 设
1
( 1,2,,),
s
j ij i
i
k j tba
1 1 1 1 1
0.
t t s s t
j j j i j i i j j i
j j i i j
x x k k xb a a
验证 b1,b2,...,bt线性相关,考察
x1b1+x2b2+...+xtbt=0,(3.11)
即
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7
当
1
0,1,2,,,( 3,1 2 )
t
i j j
j
k x i s
时,(3.11)式显然成立,而 (3.12)式是 t个未知量 x1,x2,...,xt的齐次线性方程组,由于 t>s(方程个数 ),故方程组 (3.12)式有非零解,即有不全为零的 x1,x2,...,xt使
(3.11)式成立,所以 b1,b2,...,bt线性相关,
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推论 1 如果向量组 b1,b2,...,bt可由向量组
a1,a2,...,as线性表示,且 b1,b2,...,bt线性无关,则
t?s.
推论 2 若秩 {a1,a2,...,as}=r,则 a1,a2,...,as中任何 r+1个向量都是线性相关的,
证 不妨设 a1,a2,...,ar是向量组 a1,a2,...,as中的 r
个线性无关的向量,由于该向量组中任一个向量可由 a1,a2,...,ar线性表示,由定理 4立即可得其中任何 r+1个向量都线性相关,
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如此,向量组的秩可等价地定义为,若向量组中存在 r个线性无关的向量,且任何 r+1个向量都线性相关,就称数 r为 向量组的秩,
由此可知,秩为 r的向量组中,任一个线性无关的部分组最多只含 r个向量,因此,秩为 r的向量组中含有 r个向量的线性无关组,称为该向量组的极大线性无关组,一般情况下,极大线性无关组不唯一,但不同的极大线性无关组所含向量个数是相同的,
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推论 3 设秩 {a1,...,as}=p,秩 {b1,...bt}=r,如果向量组 b1,...bt可由向量组 a1,...,as线性表示,则
r?p.
证 不妨设 a1,...,ap和 b1,...br分别是两个向量组的极大无关组,因此有
,
).,,,,1(
1 11 1
1
p
j
j
s
i
ijki
s
i
p
j
jijkik
s
i
ikik
cbcb
trkb
aab
ab
所以
1
( 1,,),
p
i i j j
j
c i saa
又已知
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11
即 b1,...br可由 a1,...,ap线性表示,于是由推论 1
可得 r?p.
由推论 3立即可得,等价的向量组的秩相等,
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3.2 矩阵的秩
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对于矩阵 A,把它的每一行 (列 )称为 A的一个行
(列 )向量,把 A的行 (列 )向量组的秩称为 A的行
(列 )秩,显然,m?n矩阵 A的行秩?m,列秩?n.
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阶梯形矩阵 11 12 13 14 15
23 24 25
34 35
00
0 0 0
0 0 0 0 0
a a a a a
a a a
A
aa
(其中 a11?0,a23?0,a34?0)的行秩 =3,列秩 =3,
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15
这是因为,把 A按行和按列分块为
1
2
1 2 3 4 5
3
4
,,,,,,AA
a
a
b b b b b
a
a
则 (i)由 x1a1+x2a2+x3a3=0可推出数 x1,x2,x3必须全为零,故 a1,a2,a3线性无关,而 a4=O,因此 A的行秩等于 3.
(ii)由 y1b1+y3b3+y4b4=0可推出数 y1,y2,y4必须全为零,故 b1,b3,b4线性无关,又易见 A的任意
4个列向量都线性相关 )则 A的列秩等于 3.
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由此例可得一般结论,阶梯形矩阵的行秩等于列秩,其值等于阶梯形矩阵的非零行的行数,
用高斯消元法解线性方程组 AX=b的消元步骤,
是对增广矩阵 [A,b]作初等行变换将其化为阶梯形矩阵,而初等行变换的倍乘,倍加变换实际是对行向量作线性运算,因此,需要研究初等行变换是否改变矩阵的行秩和列秩,
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定理 1 如果对矩阵 A作初等行变换将其化为 B,
则 B的行秩等于 A的行秩,
证 只需证明作一次行初等变换不改变矩阵的行秩,设 A是 m?n矩阵,
A的 m个行向量记作 a1,a2,...,am.
(i) 对换 A的某两行位置,所得到的矩阵 B的 m
个行向量是 A的 m个行向量,显然 B的行秩等于
A的行秩,
(ii) 把 A的第 i行乘非零常数 c得 B,则 B的 m个行向量 a1,a2,...,cai,...,am,显然 B的行向量组与 A
的行向量组是等价的,因此 B的行秩 等 于 A的行秩,
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显然 B的行向量组可由 A的行向量组线性表示,
又 aj?-czi+zj,ak=zk(k?j),所以 A的行向量组也可由 B的行向量组线性表示,因此 A与 B的行秩也相等,
B
c
Aiii
m
j
i
m
ji
i
jci
m
j
i
z
z
z
z
a
aa
a
a
a
a
a
a
111
)( 记作行加到行乘
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由定理 1可知,对线性方程组 AX=b的增广矩阵
[A,b],不论怎样作行初等变换将其化为阶梯形矩阵,其非零行的行数都等于 [A,b]的行秩,
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初等行变换也不改变矩阵的列秩,这是因为定理 2 对矩阵 A作初等行变换化为 B,则 A与 B
的任何对应的列向量组有相同的线性相关性,
即,
.)1(
,,,,,,
,,,,
,,,
21
21
21
2121
有相同的线性相关性与则向量组初等行变换
niii
B
A
r
iiiiii
n
n
rr
zzzaaa
zzz
aaa
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证 对 A作初等行变换化为 B,就是用若干初等阵 P1,...,Ps左乘 A使之等于 B,记 P=Ps...P2P1,即有 PA=B.
从而 Paj=zj,j=1,2,...,n.
取
1 2 1 2
12
11
1
[,,],[,,,],
[,,,]
rr
r
i i i i i i
T
i i i
AB
X x x x
a a a z z z
则齐次线性方程组 A1X1=O与 B1X1=O(即
PA1X1=O)显然是同解方程组,即 A1与 B1
的列向量组有相同的线性相关性,
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定理 2也提供了求向量组的秩及其极大线性无关组的一个简便而有效的方法,
即,如果要求一组给定的向量组的秩和极大无关组,则将这组向量组按列向量排成矩阵 A,
对矩阵 A作一系列行初等变换将其变为行简化阶梯矩阵,则首项变元所在的列,对应的列向量就是极大无关组,首项变元的个数就是向量组的秩,并容易从行简化阶梯矩阵中看出其余向量和极大无关组向量间的线性关系,
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例 1 设向量组,a1=[-1,-1,0,0]T,a2=[1,2,1,-1]T,
a3=[0,1,1,-1]T,a4=[1,3,2,1]T,a5=[2,6,4,-1]T,试求向量组的秩及其一个极大线性无关组,并将其余向量用这个极大线性无关组线性表示,
解 作矩阵 A=[a1,a2,a3,a4,a5],对 A作初等行变换将其化为行简化阶梯阵,即1 1 0 1 2
1 2 1 3 6
0 1 1 2 4
0 1 1 1 1
A
-
-
- - -
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24
1
21
1 1 0 1 2
1 2 1 3 6
0 1 1 2 4
0 1 1 1 1
1 1 0 1 2
0 1 1 2 4( 1 )
0 1 1 2 4
0 1 1 1 1
A
-
-
- - -
- - -
-
- - -
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25
32
42
1 1 0 1 2
0 1 1 2 4
0 1 1 2 4
0 1 1 1 1
1 1 0 1 2
0 1 1 2 4( 1 )
0 0 0 0 0
0 0 0 3 3
- - -
- - -
- - -
-
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26
4
34
1 1 0 1 2
0 1 1 2 4
0 0 0 0 0
0 0 0 3 3
1 1 0 1 21
0 1 1 2 4
3
0 0 0 1 1
0 0 0 0 0
- - -
- - -
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27
31
32
1 1 0 1 2
0 1 1 2 4
0 0 0 1 1
0 0 0 0 0
1 1 0 0 1
0 1 1 0 2
( 2) 0 0 0 1 1
0 0 0 0 0
- - -
--
-
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将 U记作 [z1,z2,z3,z4,z5],易见 z1,z2,z4是 U的一个极大无关组,
12
1 1 0 0 1
0 1 1 0 2
0 0 0 1 1
0 0 0 0 0
1 0 1 0 1
0 1 1 0 2
.
0 0 0 1 1
0 0 0 0 0
U
--
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易见 z1,z2,z4是 U的一个极大无关组,所以
a1,a2,a4也是 A的列向量组的一个极大无关组,
故秩 {a1,a2,a3,a4,a5}=3,令
x1a1+x2a2+x4a4=a3
y1a1+y2a2+y4a4=a5
用高斯消元法解这两个线性方程组可利用阶梯阵 U,得
1 2 3 4 5
1 0 1 0 1
0 1 1 0 2
[,,,,]
0 0 0 1 1
0 0 0 0 0
U z z z z z
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得
a3=a1+a2,
a5=a1+2a2+a4.
如果只需求向量组的秩和极大线性无关组,只要对 A作初等行变换将其化为一般的阶梯阵,
而不必化为行简化阶梯阵,
1 2 3 4 5
1 0 1 0 1
0 1 1 0 2
[,,,,]
0 0 0 1 1
0 0 0 0 0
U z z z z z
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由定理 1和定理 2可以推出,初等列变换也不改变矩阵的列秩和行秩,因为对 A作列变换就是对 AT作行变换,AT的行 (列 )秩就是 A的列 (行 )秩,
于是就有定理 3 初等变换不改变矩阵的行秩和列秩,
由定理 1和定理 2还可推出下面的定理,
定理 4 矩阵 A的行秩等于其列秩,
证 对 A作初等行变换将其化为阶梯阵 U,则有
A的行秩 =U的行秩
=U的列秩 =A的列秩,
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由于矩阵的行秩和列秩相等,给出下列定义,
定义 1 矩阵 A的行秩的数值称为矩阵 A的秩,记作,秩 (A)或 r(A).
定理 5 n阶矩阵 A的秩等于 n的充要条件是 A为非奇异矩阵 (即 |A|?0).
证 若 r(A)=n,则对 A作初等行变换可将其化为有 n个非零行的行简化阶梯矩阵 (即单位阵 I),
也就是,存在可逆阵 P使 PA=I,故 |A|?0,则齐次线性方程组 AX=O只有零解,故 A的 n个列向量线性无关,即 r(A)=n.
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定义 2 矩阵 A=[aij]m?n的任意 k个行 (i1,i2,...,ik行 )
和任意 k个列 (j1,j2,...jk列 )的交点上的 k2个元素按原顺序排成的 k阶行列式1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
( 3,1 3 )
k
k
k k k k
i j i j i j
i j i j i j
i j i j i j
a a a
a a a
a a a
称为 A的 k阶 子行列式,简称 A的 k阶 子式,其值等于零 (不等于零 )时,称为 零子式 (非零子式 ),如 j1=i1,j2=i2,...,jk=ik时,称为 A的 主子式,
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如矩阵 A存在 r阶非零子式,而所有 r+1阶子式
(如果存在 )都等于零,则矩阵 A的非零子式的最高阶数为 r,因为由所有 r+1阶子式都等于零可推出所有更高阶的子式都等于零,
定理 6 秩 (A)=r的充要条件是 A的非零子式的最高阶数为 r.
证 必要性,设秩 (A)=r,即 A的行秩为 r,不妨设 A
的前 r个行向量线性无关,把 A的前 r个行作成的矩阵记作 A1,则 A1的列秩 =A1的行秩 =r,不妨再设 A1的前 r个列向量线性无关,如此,由定理
5可知 A的左上角 r阶子式为非零子式,
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又因为 A的任意 r+1个行向量线性相关,因此,
在 A的任意 r+1个行中作成的任一个 r+1阶子式都是零子式,故 A的非零子式的最高阶数为 r.
充分性,不妨设 A的左上角 r阶子式为非零子式,
令 A的前 r个行作成的矩阵为 A1,由于 A1中前 r
个列作成的 r阶子式是非零子式,所以 A1的前 r
个列向量线性无关,但 A1的列秩 =A1的行秩?r,
所以 A1的列秩 =r,从而 A1的行秩 =r,因此 A的前
r个行向量线性无关,要证秩 (A)=r(即 A的行秩
=r),还需证明 A的其余各行可由 A的前 r行线性表示,
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这里用反证法,假设某行 (不妨假设第 r+1)行不能用前 r行线性表示,于是 A的前 r+1行线性无关,如此,由 A的前 r+1行作成的矩阵 A2的秩等于 r+1,由必要性的证明可知 A2存在 r+1阶非零子式,这与题设矛盾,故秩 (A)=r,证毕,
综上所述,关于矩阵的秩的基本结论是,矩阵的秩 =矩阵的行秩 =矩阵的列秩 =矩阵的非零子式的最高阶数 ; 初等变换不改变矩阵的秩,
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性质 1 r(A+B)?r(A)+r(B)
证 设 A,B均是 m?n矩阵,r(A)=p,r(B)=q,将 A,B
按列分块为
A=[a1,a2,...,an],B=[b1,b2,...,bn],
于是 A+B=[a1+b1,a2+b2,...,an+bn].
不妨设 A和 B的列向量组的极大无关组分别为
a1,a2,...,ap和 b1,b2,...,bq,于是 A+B的列向量组可由 a1,a2,...,ap,b1,b2,...,bq线性表示,因此,
r(A+B)=A+B的列秩
秩 (a1,a2,...,ap,b1,b2,...,bq)?p+q.
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性质 2 r(AB)?min(r(A),r(B))
证 设 A,B分别是 m?n,n?s矩阵,将 A按列分块 11 12 1
21 22 2
12
12
[,,,]
s
s
n
n n ns
b b b
b b b
AB
b b b
a a a
的列向量组 g1,...,gs可由 A的列向量组
a1,...,an线性表示,故 r(AB)=AB的列秩
A的列秩 =r(A),类似地,将 B按行分块可得 r(AB)?r(B).
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性质 3 设 A是 m?n矩阵,P,Q分别是 m阶,n阶可逆矩阵,则
r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ).
证 由于可逆阵 P,Q可以表示为若干个初等阵的乘积,而初等变换不改变矩阵的秩,故结论成立,
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例 2 设 A是 m?n矩阵,m<n,证明,|ATA|=0.
证 由于 r(A)=r(AT)?min(m,n)<n,根据性质 2,有
r(ATA)?min(r(AT),r(A))<n,
而 ATA是 n阶矩阵,利用定理 5或定理 6的结论,
即得 |ATA|=0.
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今天作业,第 142页开始
13,19,20题
