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2
复变函数
3
复数的运算
22
22
1
e
c os,sin
,tg,sin
i
i
z x iy r
x r y r
yy
r x y
x xy






4
计算幅角要注意 z在复平面所在的象限
x
y
O
5
例
22
22
1 3 2 3 2
3 2 ( 3 2 ) ( 3 2 ) 3 2
32
13 13
3 2 13
13 13 13
2
a r c t g
3
ii
i i i
i
r












6
a r gt g,0 ;
,0,0 ;
2
a r g
a r c t g,0,0 ;
,0,0
y
x
x
xy
z
y
xy
x
xy



7
复变函数的一个重要方面,就是说明实变函数的微积分的许多结论,复变函数也照样用,
例如,在实变函数中函数的导数有
3 2 2 2( ) 3,( s i n ) c o s,( e ) 2 exxx x x x
则上面的变元 x统统改成复数 z也成立
3 2 2 2( ) 3,( s i n ) c o s,( e ) 2 ezzz z z z
8
在实变函数中,一些函数可以按泰勒级数展开,
例如
23
0
23
0
1
2 3! !
||
1
1
1
| | 1
n
x
n
n
n
x x x
ex
n
z
x x x x
x
x



9
在复变函数中结果也一样,
23
0
23
0
1
2 3! !
||
1
1
1
| | 1
n
z
n
n
n
z z z
ez
n
z
z z z z
z
z



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复变函数还可以展开为洛朗级数,如
2 3 3
33
0
2
23
1
1,
2 3! !
0 | |
1 1 1 1 1 1
1
11
1
1 1 1
,| | 1
zn
n
e z z z
z
z z n
z
z z z z z
z
z
z z z











11
实变函数中的定积分经常用牛 -莱公式计算的,
例如
1
1
23
0
0
11
d
33
x x x
在复变函数中同样也有
3
23
0
0
11
d
3 3 3
i
i i
z z z i
但积分的含义不同,上式代表从复平面的 0点以任意路径积分到点 i.
12
对实变函数的定积分,如果上限和下限相等,
则积分值为零,例如
3
3
3
c o s d 0x x x
对复变函数也同样
2
3
2
c o s d 0
i
i
z z z

13
但是在复变函数中,
2
3
2
c o s d 0
i
i
z z z

通常写成
3
c o s d 0
C
z z z
C为通过点 2+i的任意一条闭合曲线
14
因此,我们就有
2
2
34
2
2
3
3
2
3
3
1
d0
4
11
d0
i
i
i
i
z z z
z
zz


15
一般地,只要 n1,则函数 zn的原函数就是
11
1
nz
n
它是单值函数,因此就有,只要 n1,函数
zn沿任何闭合曲线的积分为 0.
d 0,1n
C
z z n
16
而当对于函数 z?1,麻烦在于,它的原函数是 Ln z,它是一个多值函数,假设 z = rei?,
则
Ln z = Ln rei? = ln r + i?,幅角是不唯一的,
这个时候
11
d d L n?
a a
aa
C
z z z
zz

这要看积分路线有没有绕过原点,是正绕还是反绕,绕了几圈,一般而言是 2? i
的整数倍,
17
因此就有,假设 C为正向绕原点的一条闭合曲线,则
2,1,
d
0,1.
n
C
in
zz
n



或更一般,假设 C为正向绕 z0点的一条闭合正向曲线,则
0
2,1,
( ) d
0,1,
n
C
in
z z z
n



18
函数不解析的点为奇点,如果函数 f(z)在
z0点不解析,但是在 z0的某个去心领域处处解析,z0就是 f(z)的孤立奇点,例如
22
23
()
( 1 ) ( 1 )
zze
fz
zz

z=1是它的一个三级极点,z=?i都是它的一级极点,
19
如 z0是 f(z)的孤立奇点,则 f(z)在 z0的去心邻域处可展开成洛朗级数
1
0 1 0
0 1 0 0
( ) ( ) ( )
( ) ( )
n
n
n
n
f z c z z c z z
c c z z c z z



设 C为此邻域包含 z0的正向简单闭曲线,对
f(z)沿 C积分,得
1( ) d 2
C
f z z ic
称 c?1为 f(z)在 z0处的留数,Res[f(z),z0]=c?1
20
因此,根据复合闭路定理,设函数 f(z)在区域 D内除有限个孤立奇点 z1,z2,...,zn外处处解析,C是 D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线,则
1
( ) d 2 R e s [ ( ),]
n
k
kC
f z z i f z z?

21
如果 z0是 f(z)的 m级极点,则
0
1
00 1
1d
R e s [ ( ),] l i m { ( ) ( ) }
( 1 ) ! d
m
m
mzzf z z z z f zmz

如果 z0是 f(z)的一级极点,则
0
00R e s [ ( ),] l i m ( ) ( )zzf z z z z f z
22
设
()()
()
Pzfz
Qz
P(z)和 Q(z)都在 z0解析,如 P(z0)?0,
Q(z0)=0,Q'(z0)?0,则 z0为 f(z)的一级极点,
而
0
0
0
()
Re s[ ( ),]
()
Pz
f z z
Qz
23
概率论部分
24
若事件 A包含 k个基本事件,即
}{}{}{
21 kiii
eeeA

n
k
ePAP
k
j
i j
1
})({)(
这里 i1,i2,...,ik是 1,2,...,n中某 k个不同的数,则有
(4.1)式就是等可能概型中事件 A的概率的计算公式
)1.4(
中基本事件的总数包含的基本事件数
S
A?
25
随机变量及其分布离散型随机变量 P{X=xk}=pk (k=1,2,...)
性质
1
k
kp
22
22
)]([)()(
)(,)(
XEXEXD
pxXEpxXE
k
kk
k
kk


数学期望和方差,
26
连续型随机变量
.d)(}{,
1d)(),(~



b
a
xxfbXaPba
xxfxfX
任给性质
22
22
)]([)()(
d)()(,d)()(
XEXEXD
xxfxXExxxfXE






数学期望和方差,
27
几种常用的分布二项分布 X~b(n,p)是指
nkqp
k
n
kXP knk,,1,0,}{


它描述了贝努里独立试验概型中,事件 A发生
k次的概率,试验可以同时进行,也可以依次进行,
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正态分布 X~N(m,s2)
,)(,)(
)(,e
2
1
)(~
2
2
)(
2
2
sm
s?
s
m


XDXE
xxfX
x
)1,0(~ N
X
s
m?
重要性质,
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统计量 假设 X是总体,E(X)=m,D(X)=s2,
(X1,X2,...,Xn)是取自 X的样本,样本容量为 n.
E(Xk)=m,D(Xk)=s2,样本均值为
n
XDXEX
n
X
n
k
k
2
1
)(,)(,
1 s
m
2
22
1
22
)(,)(
1
1
SS
SEXX
n
S
n
k
k


样本标准差
s
样本方差为
30
区间估计 假设正态总体 X~N(m,s2),如果 s2为已知,给定检验水平 a,查标准正态分布表获
,
2
1)(,
2 2/02/
a?a
aazz 即分位点得上
),( 2/2/2/ aaa
sss
z
n
Xz
n
Xz
n
X
或由样本 X1,X2,...,Xn计算出样本均值 `X,则 m的置信度为 a的置信区间为
31
还是假设 X~N(m,s2),但 s2为未知,获得 n个样本 X1,X2,...,Xn,n为样本容量,对于给定的检验水平 a,查自由度为 n?1的 t-分布表,获得上
a/2的分位点 ta/2(n?1),计算出样本均值 `X和样本标准差 S,则置信度为 1?a的置信区间为
))1(),1((
)1(
2/2/
2/


nt
n
S
Xnt
n
S
X
nt
n
S
X
aa
a
或
32
假设检验 假设总体 X~N(m,s2),在 s2或 s已知的条件下,通过样本 X1,X2,...,Xn检验 H0:m=m0,
成立的条件则在选取统计量 00,H
n
X
Z
s
m?
.,
||,,
2
00
2/2/
HH
zzzz
否则接受绝拒如计算统计量分位点上
aa
a
的条件下,Z~N(0,1),查表获得标准正态分布
33
假设总体 X~N(m,s2),在 s2或 s已知的条件下,
通过样本 X1,X2,...,Xn检验 H0:m=m0,选取统计量查表获为真时则当 ),1(~,,00?
nttH
nS
X
t
m
得 t-分布中的上 a/2分位点 ta/2(n?1),根据样本值计算样本均值样本方差和 t的值,如果
|t| > ta/2(n?1)
则拒绝 H0,否则接收 H0.
34
请提问