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§ 3 初等函数
3
1,指数函数 希望能够在复平面内定义一个函数 f(z)具有实函数中的指数函数 ex的三个性质,
i) f(z)在复平面内解析 ;
ii) f '(z)=f(z)
iii) 当 Im(z)=0时,f(z)=ex,其中 x=Re(z)
前面的例 1中已经知道,函数
f(z)=ex(cos y+i sin y)
是一个在复平面处处解析的函数,且有
f '(z)=f(z),当 y=0时,f(z)=ex,f(z)称为指数函数,
记作 exp z=ex(cos y+isin y),(2.3.1)
等价于关系式,|exp z|=ex,
Arg(exp z)=y+2kp (2.3.2)
4
由 (2.3.2)中的第一式可知
exp z?0.
跟 ex一样,exp z也服从加法定理,
exp z1?exp z2 = exp(z1+z2) (2.3.3)
事实上,设 z1=x1+iy1,z2=x2+iy2,按定义有
)e x p(
)]s i n ()[ c os (e
)]s i nc osc os( s i n
)s i ns i nc os[ ( c ose
)s i n( c ose
)s i n( c osee x pe x p
21
2121
2121
2121
22
1121
21
21
2
1
zz
yyiyy
yyyyi
yyyy
yiy
yiyzz
xx
xx
x
x
5
鉴于 exp z满足条件 iii),且加法定理也成立,为了方便,往往用 ez代替 exp z,但是必须注意,这里的 ez没有幂的意义,仅仅作为代替 exp z的符号使用,因此我们就有
ez=ex(cos y+isin y) (2.3.4)
特别,当 x=0时,有
eiy=cos y+isin y (2.3.5)
由加法定理,我们可以推出 exp z的周期性,它的周期性是 2kpi,即
ez+2kpi=eze2kpi=ez
其中 k为任何整数,
6
2.对数函数 对数函数定义为指数函数的反函数,将满足方程
ew=z (z?0)
的函数 w=f(z)称为 对数函数,令 w=u+iv,z=reiq,
则 eu+iv=reiq,
所以 u=ln r,v=q.
因此 w=ln|z|+iArg z
由于 Arg z为多值函数,所以对数函数 w=f(z)为多值函数,并且每两个值相差 2pi的整数倍,记作
Ln z=ln|z|+iArg z (2.3.6)
7
Ln z=ln|z|+iArg z (2.3.6)
如果规定上式中的 Arg z取主值 arg z,则 Ln z为一单值函数,记作 ln z,称为 Ln z的 主值,因此
ln z = ln|z|+iarg z (2.3.7)
而其余各值可由
Ln z=ln z+2kpi (k=?1,?2,...) (2.3.8)
表达,对于每一个固定的 k,(2.3.8)式为一单值函数,称为 Ln z的一个 分支,
特别,当 z=x>0时,Ln z的主值 ln z=ln x,就是实变数对数函数,
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例 1 求 Ln 2,Ln(?1)以及它们相应的主值,
[解 ] 因为 Ln 2=ln 2+2kpi,所以它的主值就是
ln2,而 Ln(?1)=ln 1+iArg(?1)=(2k+1)pi(k为整数 ),所以它的主值是 ln(?1)=pi.
在实变函数中,负数无对数,此例说明在复数范围内不再成立,而且正实数的对数也是无穷多值的,因此,复变数对数函数是实变数对数函数的拓广,利用幅角的性质不难证明,
21
2
1
2121
LnLnLn
LnLn)L n (
zz
z
z
zzzz
9
对数函数的解析性,就主值 ln z而言,其中 ln|z|
除原点外在其它点都是连续的,而 arg z在原点与负实轴上都不连续,因为若设 z=x+iy,则当
z<0时,
.πa r glim,a r glim
00
zz
yy
p
z
w
z
z
w
1
d
de
1
d
lnd
所以,除去原点与负实轴,在复平面内其它点
ln z处处连续,综上所述,z=ew在区域
p<v=arg z<p内的反函数 w=ln z是单值的,由反函数求导法则可知,
10
所以,ln z在除去原点及负实轴的平面内解析,
由 (2.3.8)式就可知道,Ln z的各个分支在除去原点及负实轴的平面内也解析,并且有相同的导数值,
今后我们应用对数函数 Ln z时,指的都是它在除去原点及负实轴的平面内的某一单值分支,
11
3,乘幂 ab与幂函数 在高等数学中,如果 a为正数,b为实数,则乘幂 ab可表示为 ab=eblna,现在将它推广到复数的情形,设 a为不等于 0的一个复数,b为任意一个复数,定义乘幂 ab为 ebLna,
即
ab=ebLn a (2.3.9)
由于 Ln a=ln|a|+i(arg a+2kp)是多值的,因而 ab
也是多值的,当 b为整数时,由于
ab=ebLna=eb[ln|a|+i(arg a+2kp)]
=eb(ln|a|+iarg a)+2kbpi=eblna,
所以这时 ab具有单一的值,
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当 b=p/q(p和 q为互质的整数,q>0)时,由于
)10.3.2(
)],2( a r gs i n)2( a r g[ c o se
e
||ln
)2( a r g||ln
pp
p
ka
q
p
ika
q
p
a
a
q
p
ka
q
p
ia
q
p
b
ab具有 q个值,即当 k=0,1,...,(q?1)时相应的各个值,
除此而外,一般而论 ab具有无穷多个值,
13
2
2
2
2
2Ln
221Ln22
2
e,
).,2,1,0(,e
ee
);,2,1,0(
).22s i n ()22c os (
ee1][
.12
p
p
p
p
p
p
pp
它的主值是是正实数由此可见解的值和求例
i
k
ikii
iii
ik
i
i
k
i
k
kik
i
14
)(.
)(eee
)(ee
,)
.
1
,e,
LnLnLn
LnLnLnLn
Ln
个因子个因子项指数根据定义时为正整数当因为全一致的次根的定义是完的次幂及的时是与数及分为正整数当定义应当指出
naaa
n
na
nbi
nana
n
nba
aaa
aaaann
abb
15
.,
,
1;
,,
).1(,,2,1,0
)11.3.2(,
2a r g
s i n
2a r g
c os||
2a r g
s i n
2a r g
c osee
,
1
)
1
1
||ln
1
Ln
11
n
n
n
b
n
n
a
n
a
nn
zzwzw
n
nbzw
za
nk
a
n
ka
i
n
ka
a
n
ka
i
n
ka
a
n
bii
及幂函数就分别得到通常的时与当函数就得到一般的幂为一复变数如果所以其中有时为分数当
pp
pp
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zn在复平面内是单值解析函数,(zn)'=nzn?1.
,
1
,
,
Ln
,,
1
1
Ln
11
1
n
z
nnn
nn
z
n
ezz
z
nzz
且有也是解析的和负实轴的复平面内的各个分支在除去原点因而不难看出它析的负实轴的复平面内是解和的各个分支在除去原点由于对数函数个分支具有是一个多值函数幂函数
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.)(
,
,.
,,
)
1
(
1?
bb
b
bzz
b
n
nbzw
并且有是解析的和负实轴的复平面内也点它的各个分支在除去原同样的道理多值的是无穷为无理数或复数时当一个多值函数也是两种情况外与除去幂函数
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4,三角函数和双曲函数 根据 (2.3.5)我们有
eiy=cos y+isin y
e?iy=cos y?isin y
将这两式相加与相减,分别得到
)12.3.2(.2 ees i n,2 eec o s iyy
iyiyiyiy
现将其推广到自变数取复值的情形,定义
)13.3.2(.2 ees i n,2 eec o s izz
iziziziz
当 z为实数时,显然这与 (2.3.12)完全一致,
19
由于 ez是以 2pi为周期的周期函数,因此 cos z和
sin z以 2p为周期,即
cos(z+2p)=cos z,sin(z+2p)=sin z.
也容易推出 cos z是偶函数,
cos(?z)=cos z
而 sin z是奇函数,
sin(?z)sin z
由指数函数的导数公式可以求得
(cos z)'sin z,(sin z)'=cos z
由 (2.3.13),易知
eiz=cos z+isin z (2.3.14)
普遍正确,即对于复数,欧拉公式仍然成立,
20
由定义可知三角函数许多公式仍然成立
)15.3.2(
1c o ss i n
s i nc o sc o ss i n)s i n (
s i ns i nc o sc o s)c o s (
22
212121
212121
zz
zzzzzz
zzzzzz
)16.3.2(
sh
2
ee
s i n
ch
2
ee
c o s
yi
i
iy
yiy
yy
yy
由此得 cos(x+iy)=cosxcosiy?sinxsiniy,
sin(x+iy)=sinxcosiy+cosxsiniy.
但当 z为纯虚数 iy时,我们有
21
所以
)17.3.2(
.shc o schs i n)s i n (
,shs i nchc o s)c o s (
yxiyxiyx
yxiyxiyx
.
s i n
1
c s c,
c os
1
s e c
,
s i n
c os
c t g,
c os
s i n
tg
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
这两个公式对于计算 cos z与 sin z的值有用,
当 y时,|siniy|和 |cosiy|都趋于无穷大,因此,
|sinz|?1和 |cosz|?1在复数范围内不再成立,
其它复变数三角函数的定义如下,
22
与三角函数密切相关的是 双曲函数,定义
zz
zzzzzz
zzz?
ee
ee
th,
2
ee
sh,
2
ee
ch
)20.3.2(
.s i nchc o ssh)s h (
,s i nshc o sch)c h (
yxiyxiyx
yxiyxiyx
及分别称为 双曲余弦,正弦和正切函数,
chz和 shz都是以 2pi为周期的函数,chz为偶函数,shz为奇函数,它们都是复平面内的解析函数,导数分别为,
(chz)'=shz,(shz)'=chz (2.3.18)
不难证明 chiy=cosy,shiy=isiny (2.3.19)
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5,反三角函数与反双曲函数 反三角函数定义为三角函数的反函数,设
z=cos w,
则称 w为 z的反余弦函数,记作
w=Arccos z.
两端取对数得应理解为双值函数其中它的根为得二次方程由
.1
,1e
.01e2e
)e(e
2
1
c os
2
2
2
z
zz
z
wz
iw
iwiw
iwiw
24
用同样的方法可以定义反正弦和反正切函数,
并且重复上述步骤,可以得到它们的表达式,
.A r c c o s
)1L n (A r c c o s 2
是一个多值函数显然 z
zziz
.
1
1
Ln
2
A r c t g
),1L n (A r c s i n
2
iz
izi
z
ziziz
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反双曲函数定义为双曲函数的反函数,用与推导反三角函数表达式完全类似的步骤,可以得到各反双曲函数的表达式,
z
z
z
zzz
zzz
1
1
Ln
2
1
A r t h
)1L n (A r c h
)1L n (A r s h
2
2
反双曲正切反双曲余弦反双曲正弦它们都是多值函数,
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第三章 复变函数的积分
§ 1 复变函数积分的概念
27
1,积分的定义 设 C为平面上给定的一条光滑
(或按段光滑 )曲线,如果选定 C的两个可能方向中的一个作为正方向 (或正向 ),则将 C理解为带有方向的曲线,称为 有向曲线,设曲线 C
的两个端点为 A与 B,如果将 A到 B的方向作为
C的正方向,则从 B到 A的方向就是 C的负方向,
并记作 C?,常将两个端点中一个作为起点,另一个作为终点,则正方向规定为起点至终点的方向,而简单闭曲线的正方向是指当曲线上的点 P顺此方向沿该曲线前进时,邻近 P点的曲线内部始终位于 P点的左方,
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定义 设函数 w=f(z)定义在区域 D内,C为在区域 D内起点为 A终点为 B的一条光滑的有向曲线,把曲线 C任意分成 n个弧段,设分点为
A=z0,z1,...,zk?1,zk,...,zn=B
A
z1 z1
z2 z2
z3
z3
zk?1
zk zk
Dzk
B
x
y
O
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在每个弧段 zk?1,zk(k=1,2,...,n)上任意取一点 zk,
并作和式
)1.1.3(?)(limd)(
,)(,
,}.{?m ax
,?,?
)())((
1
1
11
11
1
ò
n
k
kk
nC
nk
nk
kkkkkk
n
k
kk
n
k
kkkn
zfzzf
Czf
Sns
zzszzz
zfzzfS
z
dd
zz
×÷μy ·×?úò 3a?aóD?¨òT
è÷óú áá?T?Tó?òμ±
μ? 3¤?èà à?
30
容易看出,当 C是 x轴上的区间 a?x?b,而
f(z)=u(x)时,这个积分定义就是一元实函数定积分的定义,
.d)(
,
)1.1.3(Δ)(limd)(
1
ò
ò
C
n
k
kk
n
C
zzf
C
zfzzf
作则沿此闭曲线的积分记为闭曲线如果
z
31
2,积分存在的条件及计算法 设光滑曲线 C由参数方程
z=z(t)=x(t)+iy(t),a?t?b (3.1.2)
给出,正方向为参数增加的方向,参数 a及 b对应于起点 A及终点 B,并且 z'(t)?0,a<t<b.
如果 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在 D内处处连续,则 u(x,y)
及 v(x,y)均为 D内的连续函数,设 zk=xk+ihk,由于
Dzk= zk?zk?1=xk+iyk?(xk?1+iyk?1)
=(xk?xk?1)+i(yk?yk?1)=Dxk+iDyk,
所以,
32
]Δ),(Δ),([
]Δ),(Δ),([
)Δ)]( Δ,(),([
Δ)(
1
1
1
1
kkkkkk
n
k
n
k
kkkkkk
n
k
kkkkkk
n
k
kk
yuxvi
yvxu
yixivu
zf
hxhx
hxhx
hxhx
z
33
由于 u,v都是连续函数,根据线积分的存在定理,我们知道当 n无限增大而弧段长度的最大值趋于零时,不论对 C的分法如何,点 (xk,hk)的取法如何,上式右端的两个和式的极限都是存在的,因此有
)3.1.3(
.ddd)( òòò
CCC
udyv d xiyvxuzzf
34
)4.1.3(
d)}()](),([)()](),([{
d)}()](),([)()](),([{d)(
.
d)()ii
.d)(
,)()i
ò
òò
ò
ò
b
a
b
a
ttytytxutxtytxvi
ttytytxvtxtytxuzzf
zzf
zzf
Czf
C
C
C
线积分来计算函数的可以通过两个二元实变是一定存在的积分是光滑曲线时是连续函数而当
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上式右端可以写成
)5.1.3(.d)()]([d)(
.d)()]([
d)}()() ] } {(),([)](),([{
òò
ò
ò
b
a
b
a
b
a
ttztzfzzf
ttztzf
ttyitxtytxivtytxu
C
所以
)6.1.3(
.d)(d)(d)(d)(
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òòòò
nCCCC
zzfzzfzzfzzf?
如果 C是由 C1,C2,...,Cn等光滑曲线首尾连接而成,则我们定义
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例 1 计算,其中 C为原点到点 3+4i的直线段,
[解 ]直线的方程可写作
x=3t,y=4t,0?t?1,
或 z=3t+i4t,0?t?1.
在 C上,z=(3+4i)t,dz=(3+4i)dt,于是
òC zz d
2
1
0
2
1
0
2
)43(
2
1
d)43(d)43(d
i
ttittizz
C
òòò
37
例 2 计算,其中 C为以 z0为中心,r为半径的正向圆周,n为整数,
òC nzz
z
1
0 )(
d
z0 r
q
z?z0=reiq
z
O x
y
38
[解 ] C的方程可写作
z=z0+reiq,0?q?2p,dz=ireiqdq
ò
ò
ò
òò
òò
.0,0
,0,π2
)(
d
.0)s i n( c os,0
,π2d,0
ded
e
d
e
e
)(
d
||
1
0
π2
0
π2
0
π2
0
π2
0
π2
0
)1(11
0
0
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zz
z
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r
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r
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zz
z
rzz
n
n
in
ninn
nin
i
C
n
所以结果为时当结果为时当
qqq
q
qq
q
q
q
q
q
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所以这个结果以后经常要用到,它的特点是与积分路线圆周的中心和半径无关,应当记住,
ò
.0,0
,0,π2
)(
d
||
1
0
0
n
ni
zz
z
rzz
n
40
3.积分的性质
MLszfzzf
MzfCzfLC
zzgzzfzzgzf
kzzfkzzkf
zzfzzf
CC
CCC
CC
CC
òò
òòò
òò
òò?
d|)(|d)(
|)(|)(,)iv
d)(d)(d)]()([)iii
)(;d)(d)()ii
d)(d)()i
则上满足在长度为设曲线为常数
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作业 第二章习题第 67页开始第 13题 1),2),3)小题第 15题
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请提问
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§ 3 初等函数
3
1,指数函数 希望能够在复平面内定义一个函数 f(z)具有实函数中的指数函数 ex的三个性质,
i) f(z)在复平面内解析 ;
ii) f '(z)=f(z)
iii) 当 Im(z)=0时,f(z)=ex,其中 x=Re(z)
前面的例 1中已经知道,函数
f(z)=ex(cos y+i sin y)
是一个在复平面处处解析的函数,且有
f '(z)=f(z),当 y=0时,f(z)=ex,f(z)称为指数函数,
记作 exp z=ex(cos y+isin y),(2.3.1)
等价于关系式,|exp z|=ex,
Arg(exp z)=y+2kp (2.3.2)
4
由 (2.3.2)中的第一式可知
exp z?0.
跟 ex一样,exp z也服从加法定理,
exp z1?exp z2 = exp(z1+z2) (2.3.3)
事实上,设 z1=x1+iy1,z2=x2+iy2,按定义有
)e x p(
)]s i n ()[ c os (e
)]s i nc osc os( s i n
)s i ns i nc os[ ( c ose
)s i n( c ose
)s i n( c osee x pe x p
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2121
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zz
yyiyy
yyyyi
yyyy
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yiyzz
xx
xx
x
x
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鉴于 exp z满足条件 iii),且加法定理也成立,为了方便,往往用 ez代替 exp z,但是必须注意,这里的 ez没有幂的意义,仅仅作为代替 exp z的符号使用,因此我们就有
ez=ex(cos y+isin y) (2.3.4)
特别,当 x=0时,有
eiy=cos y+isin y (2.3.5)
由加法定理,我们可以推出 exp z的周期性,它的周期性是 2kpi,即
ez+2kpi=eze2kpi=ez
其中 k为任何整数,
6
2.对数函数 对数函数定义为指数函数的反函数,将满足方程
ew=z (z?0)
的函数 w=f(z)称为 对数函数,令 w=u+iv,z=reiq,
则 eu+iv=reiq,
所以 u=ln r,v=q.
因此 w=ln|z|+iArg z
由于 Arg z为多值函数,所以对数函数 w=f(z)为多值函数,并且每两个值相差 2pi的整数倍,记作
Ln z=ln|z|+iArg z (2.3.6)
7
Ln z=ln|z|+iArg z (2.3.6)
如果规定上式中的 Arg z取主值 arg z,则 Ln z为一单值函数,记作 ln z,称为 Ln z的 主值,因此
ln z = ln|z|+iarg z (2.3.7)
而其余各值可由
Ln z=ln z+2kpi (k=?1,?2,...) (2.3.8)
表达,对于每一个固定的 k,(2.3.8)式为一单值函数,称为 Ln z的一个 分支,
特别,当 z=x>0时,Ln z的主值 ln z=ln x,就是实变数对数函数,
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例 1 求 Ln 2,Ln(?1)以及它们相应的主值,
[解 ] 因为 Ln 2=ln 2+2kpi,所以它的主值就是
ln2,而 Ln(?1)=ln 1+iArg(?1)=(2k+1)pi(k为整数 ),所以它的主值是 ln(?1)=pi.
在实变函数中,负数无对数,此例说明在复数范围内不再成立,而且正实数的对数也是无穷多值的,因此,复变数对数函数是实变数对数函数的拓广,利用幅角的性质不难证明,
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2
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LnLnLn
LnLn)L n (
zz
z
z
zzzz
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对数函数的解析性,就主值 ln z而言,其中 ln|z|
除原点外在其它点都是连续的,而 arg z在原点与负实轴上都不连续,因为若设 z=x+iy,则当
z<0时,
.πa r glim,a r glim
00
zz
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p
z
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z
z
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d
de
1
d
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所以,除去原点与负实轴,在复平面内其它点
ln z处处连续,综上所述,z=ew在区域
p<v=arg z<p内的反函数 w=ln z是单值的,由反函数求导法则可知,
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所以,ln z在除去原点及负实轴的平面内解析,
由 (2.3.8)式就可知道,Ln z的各个分支在除去原点及负实轴的平面内也解析,并且有相同的导数值,
今后我们应用对数函数 Ln z时,指的都是它在除去原点及负实轴的平面内的某一单值分支,
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3,乘幂 ab与幂函数 在高等数学中,如果 a为正数,b为实数,则乘幂 ab可表示为 ab=eblna,现在将它推广到复数的情形,设 a为不等于 0的一个复数,b为任意一个复数,定义乘幂 ab为 ebLna,
即
ab=ebLn a (2.3.9)
由于 Ln a=ln|a|+i(arg a+2kp)是多值的,因而 ab
也是多值的,当 b为整数时,由于
ab=ebLna=eb[ln|a|+i(arg a+2kp)]
=eb(ln|a|+iarg a)+2kbpi=eblna,
所以这时 ab具有单一的值,
12
当 b=p/q(p和 q为互质的整数,q>0)时,由于
)10.3.2(
)],2( a r gs i n)2( a r g[ c o se
e
||ln
)2( a r g||ln
pp
p
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q
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ika
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p
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p
b
ab具有 q个值,即当 k=0,1,...,(q?1)时相应的各个值,
除此而外,一般而论 ab具有无穷多个值,
13
2
2
2
2
2Ln
221Ln22
2
e,
).,2,1,0(,e
ee
);,2,1,0(
).22s i n ()22c os (
ee1][
.12
p
p
p
p
p
p
pp
它的主值是是正实数由此可见解的值和求例
i
k
ikii
iii
ik
i
i
k
i
k
kik
i
14
)(.
)(eee
)(ee
,)
.
1
,e,
LnLnLn
LnLnLnLn
Ln
个因子个因子项指数根据定义时为正整数当因为全一致的次根的定义是完的次幂及的时是与数及分为正整数当定义应当指出
naaa
n
na
nbi
nana
n
nba
aaa
aaaann
abb
15
.,
,
1;
,,
).1(,,2,1,0
)11.3.2(,
2a r g
s i n
2a r g
c os||
2a r g
s i n
2a r g
c osee
,
1
)
1
1
||ln
1
Ln
11
n
n
n
b
n
n
a
n
a
nn
zzwzw
n
nbzw
za
nk
a
n
ka
i
n
ka
a
n
ka
i
n
ka
a
n
bii
及幂函数就分别得到通常的时与当函数就得到一般的幂为一复变数如果所以其中有时为分数当
pp
pp
16
zn在复平面内是单值解析函数,(zn)'=nzn?1.
,
1
,
,
Ln
,,
1
1
Ln
11
1
n
z
nnn
nn
z
n
ezz
z
nzz
且有也是解析的和负实轴的复平面内的各个分支在除去原点因而不难看出它析的负实轴的复平面内是解和的各个分支在除去原点由于对数函数个分支具有是一个多值函数幂函数
17
.)(
,
,.
,,
)
1
(
1?
bb
b
bzz
b
n
nbzw
并且有是解析的和负实轴的复平面内也点它的各个分支在除去原同样的道理多值的是无穷为无理数或复数时当一个多值函数也是两种情况外与除去幂函数
18
4,三角函数和双曲函数 根据 (2.3.5)我们有
eiy=cos y+isin y
e?iy=cos y?isin y
将这两式相加与相减,分别得到
)12.3.2(.2 ees i n,2 eec o s iyy
iyiyiyiy
现将其推广到自变数取复值的情形,定义
)13.3.2(.2 ees i n,2 eec o s izz
iziziziz
当 z为实数时,显然这与 (2.3.12)完全一致,
19
由于 ez是以 2pi为周期的周期函数,因此 cos z和
sin z以 2p为周期,即
cos(z+2p)=cos z,sin(z+2p)=sin z.
也容易推出 cos z是偶函数,
cos(?z)=cos z
而 sin z是奇函数,
sin(?z)sin z
由指数函数的导数公式可以求得
(cos z)'sin z,(sin z)'=cos z
由 (2.3.13),易知
eiz=cos z+isin z (2.3.14)
普遍正确,即对于复数,欧拉公式仍然成立,
20
由定义可知三角函数许多公式仍然成立
)15.3.2(
1c o ss i n
s i nc o sc o ss i n)s i n (
s i ns i nc o sc o s)c o s (
22
212121
212121
zz
zzzzzz
zzzzzz
)16.3.2(
sh
2
ee
s i n
ch
2
ee
c o s
yi
i
iy
yiy
yy
yy
由此得 cos(x+iy)=cosxcosiy?sinxsiniy,
sin(x+iy)=sinxcosiy+cosxsiniy.
但当 z为纯虚数 iy时,我们有
21
所以
)17.3.2(
.shc o schs i n)s i n (
,shs i nchc o s)c o s (
yxiyxiyx
yxiyxiyx
.
s i n
1
c s c,
c os
1
s e c
,
s i n
c os
c t g,
c os
s i n
tg
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
这两个公式对于计算 cos z与 sin z的值有用,
当 y时,|siniy|和 |cosiy|都趋于无穷大,因此,
|sinz|?1和 |cosz|?1在复数范围内不再成立,
其它复变数三角函数的定义如下,
22
与三角函数密切相关的是 双曲函数,定义
zz
zzzzzz
zzz?
ee
ee
th,
2
ee
sh,
2
ee
ch
)20.3.2(
.s i nchc o ssh)s h (
,s i nshc o sch)c h (
yxiyxiyx
yxiyxiyx
及分别称为 双曲余弦,正弦和正切函数,
chz和 shz都是以 2pi为周期的函数,chz为偶函数,shz为奇函数,它们都是复平面内的解析函数,导数分别为,
(chz)'=shz,(shz)'=chz (2.3.18)
不难证明 chiy=cosy,shiy=isiny (2.3.19)
23
5,反三角函数与反双曲函数 反三角函数定义为三角函数的反函数,设
z=cos w,
则称 w为 z的反余弦函数,记作
w=Arccos z.
两端取对数得应理解为双值函数其中它的根为得二次方程由
.1
,1e
.01e2e
)e(e
2
1
c os
2
2
2
z
zz
z
wz
iw
iwiw
iwiw
24
用同样的方法可以定义反正弦和反正切函数,
并且重复上述步骤,可以得到它们的表达式,
.A r c c o s
)1L n (A r c c o s 2
是一个多值函数显然 z
zziz
.
1
1
Ln
2
A r c t g
),1L n (A r c s i n
2
iz
izi
z
ziziz
25
反双曲函数定义为双曲函数的反函数,用与推导反三角函数表达式完全类似的步骤,可以得到各反双曲函数的表达式,
z
z
z
zzz
zzz
1
1
Ln
2
1
A r t h
)1L n (A r c h
)1L n (A r s h
2
2
反双曲正切反双曲余弦反双曲正弦它们都是多值函数,
26
第三章 复变函数的积分
§ 1 复变函数积分的概念
27
1,积分的定义 设 C为平面上给定的一条光滑
(或按段光滑 )曲线,如果选定 C的两个可能方向中的一个作为正方向 (或正向 ),则将 C理解为带有方向的曲线,称为 有向曲线,设曲线 C
的两个端点为 A与 B,如果将 A到 B的方向作为
C的正方向,则从 B到 A的方向就是 C的负方向,
并记作 C?,常将两个端点中一个作为起点,另一个作为终点,则正方向规定为起点至终点的方向,而简单闭曲线的正方向是指当曲线上的点 P顺此方向沿该曲线前进时,邻近 P点的曲线内部始终位于 P点的左方,
28
定义 设函数 w=f(z)定义在区域 D内,C为在区域 D内起点为 A终点为 B的一条光滑的有向曲线,把曲线 C任意分成 n个弧段,设分点为
A=z0,z1,...,zk?1,zk,...,zn=B
A
z1 z1
z2 z2
z3
z3
zk?1
zk zk
Dzk
B
x
y
O
29
在每个弧段 zk?1,zk(k=1,2,...,n)上任意取一点 zk,
并作和式
)1.1.3(?)(limd)(
,)(,
,}.{?m ax
,?,?
)())((
1
1
11
11
1
ò
n
k
kk
nC
nk
nk
kkkkkk
n
k
kk
n
k
kkkn
zfzzf
Czf
Sns
zzszzz
zfzzfS
z
dd
zz
×÷μy ·×?úò 3a?aóD?¨òT
è÷óú áá?T?Tó?òμ±
μ? 3¤?èà à?
30
容易看出,当 C是 x轴上的区间 a?x?b,而
f(z)=u(x)时,这个积分定义就是一元实函数定积分的定义,
.d)(
,
)1.1.3(Δ)(limd)(
1
ò
ò
C
n
k
kk
n
C
zzf
C
zfzzf
作则沿此闭曲线的积分记为闭曲线如果
z
31
2,积分存在的条件及计算法 设光滑曲线 C由参数方程
z=z(t)=x(t)+iy(t),a?t?b (3.1.2)
给出,正方向为参数增加的方向,参数 a及 b对应于起点 A及终点 B,并且 z'(t)?0,a<t<b.
如果 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在 D内处处连续,则 u(x,y)
及 v(x,y)均为 D内的连续函数,设 zk=xk+ihk,由于
Dzk= zk?zk?1=xk+iyk?(xk?1+iyk?1)
=(xk?xk?1)+i(yk?yk?1)=Dxk+iDyk,
所以,
32
]Δ),(Δ),([
]Δ),(Δ),([
)Δ)]( Δ,(),([
Δ)(
1
1
1
1
kkkkkk
n
k
n
k
kkkkkk
n
k
kkkkkk
n
k
kk
yuxvi
yvxu
yixivu
zf
hxhx
hxhx
hxhx
z
33
由于 u,v都是连续函数,根据线积分的存在定理,我们知道当 n无限增大而弧段长度的最大值趋于零时,不论对 C的分法如何,点 (xk,hk)的取法如何,上式右端的两个和式的极限都是存在的,因此有
)3.1.3(
.ddd)( òòò
CCC
udyv d xiyvxuzzf
34
)4.1.3(
d)}()](),([)()](),([{
d)}()](),([)()](),([{d)(
.
d)()ii
.d)(
,)()i
ò
òò
ò
ò
b
a
b
a
ttytytxutxtytxvi
ttytytxvtxtytxuzzf
zzf
zzf
Czf
C
C
C
线积分来计算函数的可以通过两个二元实变是一定存在的积分是光滑曲线时是连续函数而当
35
上式右端可以写成
)5.1.3(.d)()]([d)(
.d)()]([
d)}()() ] } {(),([)](),([{
òò
ò
ò
b
a
b
a
b
a
ttztzfzzf
ttztzf
ttyitxtytxivtytxu
C
所以
)6.1.3(
.d)(d)(d)(d)(
21
òòòò
nCCCC
zzfzzfzzfzzf?
如果 C是由 C1,C2,...,Cn等光滑曲线首尾连接而成,则我们定义
36
例 1 计算,其中 C为原点到点 3+4i的直线段,
[解 ]直线的方程可写作
x=3t,y=4t,0?t?1,
或 z=3t+i4t,0?t?1.
在 C上,z=(3+4i)t,dz=(3+4i)dt,于是
òC zz d
2
1
0
2
1
0
2
)43(
2
1
d)43(d)43(d
i
ttittizz
C
òòò
37
例 2 计算,其中 C为以 z0为中心,r为半径的正向圆周,n为整数,
òC nzz
z
1
0 )(
d
z0 r
q
z?z0=reiq
z
O x
y
38
[解 ] C的方程可写作
z=z0+reiq,0?q?2p,dz=ireiqdq
ò
ò
ò
òò
òò
.0,0
,0,π2
)(
d
.0)s i n( c os,0
,π2d,0
ded
e
d
e
e
)(
d
||
1
0
π2
0
π2
0
π2
0
π2
0
π2
0
)1(11
0
0
n
ni
zz
z
dnin
r
i
n
iin
r
i
r
i
r
ir
zz
z
rzz
n
n
in
ninn
nin
i
C
n
所以结果为时当结果为时当
qqq
q
q
q
q
q
q
39
所以这个结果以后经常要用到,它的特点是与积分路线圆周的中心和半径无关,应当记住,
ò
.0,0
,0,π2
)(
d
||
1
0
0
n
ni
zz
z
rzz
n
40
3.积分的性质
MLszfzzf
MzfCzfLC
zzgzzfzzgzf
kzzfkzzkf
zzfzzf
CC
CCC
CC
CC
òò
òòò
òò
òò?
d|)(|d)(
|)(|)(,)iv
d)(d)(d)]()([)iii
)(;d)(d)()ii
d)(d)()i
则上满足在长度为设曲线为常数
41
作业 第二章习题第 67页开始第 13题 1),2),3)小题第 15题
42
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