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2
§ 5 复变函数
3
1,复变函数的定义定义 设 G是一个复数 z=x+iy的集合,如果有一个确定的法则存在,按照这一法则,对于集合
G中的每一个复数 z,就有一个或几个复数
w=u+iv与之对应,则称复变数 w是复变数 z的函数 (简称 复变函数 ),记作
w=f(z)
如果 z的一个值对应着 w的一个值,则函数 f(z)
是 单值 的 ; 否则就是 多值 的,集合 G称为 f(z)的定义集合,对应于 G中所有 z对应的一切 w值所成的集合 G*,称为 函数值集合,
4
在以后的讨论中,定义集合 G常常是一个平面区域,称之为 定义域,并且,如无特别声明,所讨论的函数均为单值函数,
由于给定了一个复数 z=x+iy就相当于给定了两个实数 x和 y,而复数 w=u+iv亦同样地对应着一对实数 u和 v,所以复变函数 w和自变量 z之间的关系 w=f(z)相当于两个关系式,
u=u(x,y),v=v(x,y),
它们确定了自变量为 x和 y的两个二元实变函数,
5
例如,考察函数
w=z2
令 z=x+iy,w=u+iv,则
u+iv=(x+iy)2=x2-y2+2xyi,
因而函数 w=z2对应于两个二元函数,
u=x2-y2,v=2xy
6
2,映射的概念如用 z平面上的点表示自变量 z的值,而用另一个平面 w平面上的点表示函数 w的值,则函数
w=f(z)在几何上就可以看做是把 z平面上的一个点集 G(定义集合 )变到 w平面上的一个点集
G*(函数值集合 )的 映射 (或 变换 ),这个映射通常简称为 由函数 w=f(z)所构成的映射,如果 G
中的点 z被映射 w=f(z)映射成 G*中的点 w,则 w
称为 z的 象 (映象 ),而 z称为 w的 原象,
7
设函数 w=z,
x
y
O u
v
O
A B
C
z1
z2 A' B'
C'
w1
w2
8
2a
设函数 w=z2,
x
y
O u
v
Oz1
z2
w2
z3 w3
a
w1
9
假定函数 w=f(z)的定义集合为 z平面上的集合
G,函数值集合为 w平面上的集合 G*,则 G*中的每个点 w必将对应着 G中的一个 (或几个 )点,
按照函数的定义,在 G*上就确定了一个单值
(或多值 )函数 z=j(w),它称为函数 w=f(z)的 反函数,也称为映射 w=f(z)的 逆映射,
从反函数的定义可知,对任意的 w?G*,有
w=f[j(w)],
当反函数为单值函数时,也有
z=j[f(z)],z?G
10
今后,我们不再区分函数与映射 (变换 ),如果函数 (映射 )w=f(z)与它的反函数 (逆映射 )z=j(w)
都是单值的,则称函数 (映射 )w=f(z)是一一的,
此时,我们也称集合 G与集合 G*是一一对应的,
11
§ 6 复变函数的极限和连续性
12
1.函数的极限定义 设函数 w=f(z)定义在 z0的 去心邻域
0<|z-z0|<r内,如果有一确定的数 A存在,对于任意给定的 e>0,相应地必有一正数
d(e)(0<d?r),使得当 0<|z-z0|<d时有
|f(z)-A|<e,
则称 A为 f(z)当 z趋向于 z0时的 极限,记作
Azf
zz
)(lim
0
或记作当 z?z0时,f(z)?A
13
这个定义的几何意义是,当变点 z一旦进入 z0的充分小的 d邻域时,它的象点 f(z)就落 A的预先给定的 e邻域中,应当注意,z趋向于 z0的方式是任意的,无论以何种方式趋向于 z0,f(z)都要趋向于同一常数 A.
x
y
O
z0d
z
O u
v
Ae
f(z)
14
极限示意
x
y
O u
v
O
15
定理一 设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y),A=u0+iv0,
z0=x0+iy0,则
.),(lim,),(lim
)(lim
00
0
0
0
0
0
vyxvuyxu
Azf
yy
xx
yy
xx
zz
的充分必要条件是
16
证 必要性,
.),(lim,),(lim
||,||
,)()(0
.|)()(|
,|)()(|0
,0,0
,,)(lim
00
00
2
0
2
0
00
00
0
0
0
0
0
vyxvuyxu
vvuu
yyxx
ivuivu
iyxiyx
Azf
yy
xx
yy
xx
zz
-?-
-?-?
-?
-
这就是说时即当时当存在任给根据极限的定义有如果
ee
d
e
d
de
17
充分性,
AzfAzf
zz
vvuuvviuuAzf
vvuu
yyxx
vyxvuyxu
zz
yy
xx
yy
xx
-
-?
-?-?-?-?-
-?-
-?-?
)(lim,
22
|)(|
,||0
|||||)()(||)(|
2/||,2/||
,)()(0
,0,0
),(lim,),(lim
0
0
0
0
0
0
0000
00
2
0
2
0
00
即有时则当而时使当存在则任给如果
e
ee
d
ee
d
de
18
定理二
)0(
)(
)(
lim)3
)()(lim)2
)]()([lim)1
,)(lim,)(lim
0
0
0
00
B
B
A
zg
zf
ABzgzf
BAzgzf
BzgAzf
zz
zz
zz
zzzz
则如果
19
2,函数的连续性定义
)()(lim 0
0
zfzf
zz
如果则说 f(z)在 z0处 连续,如果 f(z)在区域 D内处处连续,我们说 f(z)在 D内连续,
定理三 函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在 z0=x0+iy0处连续的充要条件是 u(x,y)和 v(x,y)在 (x0,y0)处连续,
20
定理四 1) 在 z0连续的两个函数 f(z)与 g(z)的和,
差,积,商 (分母在 z0不为零 )在 z0处连续 ;
2)如果函数 h=g(z)在 z0处连续,函数 w=f(h)在
h0=g(z0)连续,则复合函数 w=f[g(z)]在 z0处连续,
由以上定理,可以推得有理整函数 (多项式 )
w=P(z)=a0+a1z+a2z2+...+anzn
对复平面内所有的 z都是连续的,而有理分式函数
,
)(
)(
zQ
zP
w?
其中 P(z)和 Q(z)都是多项式,在复平面分母不为零的点也是连续的
21
还应指出,所谓函数 f(z)在曲线 C上 z0点处连续的意义是指
Czzfzf
zz
),()(lim 0
0
在闭曲线或包括曲线端点在内的曲线段上连续的函数 f(z)在曲线上是有界的,即存在一正数 M,在曲线上恒有
|f(z)|?M
22
第二章 解析函数
23
§ 1 解析函数的概念
24
1,复变函数的导数与微分
i) 导数的定义定义 设函数 w=f(z)定义于 区域 D,z0为 D中一点,点 z0+Dz不出 D的范围,如果极限
z
zfzzf
z Δ
)()Δ(lim 00
0Δ
-?
存在,则就说 f(z)在 z0可导,此极限值就称为 f(z)
在 z0的导数,记作
)1.1.2(.Δ )()Δ(limdd)( 00
0Δ| 0 z
zfzzf
z
wzf
zzz
-
25
也就是说,对于任给的 e>0,存在 d(e)>0,使得当 0<|Dz|<d时,有
e-
-?
)(
Δ
)()Δ(
0
00 zf
z
zfzzf
.Δ )()Δ( 00 都趋于同一个数z zfzzf -?
应当注意,定义中 z0+Dz?z0(即 Dz?0)的方式是任意的,定义中极限值存在的要求与
z0+Dz?z0的方式无关,也就是说,当 z0+Dz在区域 D内以任何方式趋于 z0时,比值
26
如果 f(z)在区域 D内处处可导,就说 f(z)在 Ｄ 内可导,
例 1 求 f(z)=z2的导数
[解 ] 因为
.2)Δ2(lim
Δ
)Δ(
lim
Δ
)()Δ(
lim
0Δ
22
0Δ0Δ
zzz
z
zzz
z
zfzzf
z
zz
-?
-?
所以 f '(z)=2z.
28
ii)可导与连续 容易证明,在 z0点可导的函数必定在 z0点 连续,
事实上,由在 z0点可导的定义,对于任给的 e>0,
相应地有一个 d>0,使得当 0<|Dz|<d时,有
0)( Δlim
),(
Δ
)()Δ(
)( Δ
)(
Δ
)()Δ(
0Δ
0
00
0
00
-
-?
-
-?
z
zf
z
zfzzf
z
zf
z
zfzzf
z
r
r
e
则令连续在即所以 0000Δ )(),()Δ(lim zzfzfzzfz
由此得 f(z0+Dz)-f(z0)=f '(z0)Dz+r(Dz)Dz (2.1.2)
29
iii) 求导法则 与实函数同样的办法可得,
1) (c)'=0,其中 c为复常数,
2) (zn)'=nzn-1,其中 n为正整数,
3) [f(z)?g(z)]'=f '(z)?g'(z).
4) [f(z)g(z)]'=f '(z)g(z)+f(z)g'(z).
0)()],()()()([
)(
1
)(
)(
)5 2-
zgzgzfzfzg
zgzg
zf
.0)(,
)()(,
)(
1
)()7
w
wzzfw
w
zf
j
j
j
且数个互为反函数的单值函是两与其中
6) {f[g(z)]}'=f '(w)g'(z),其中 w=g(z).
30
iv)微分的概念 设函数 w=f(z)在 z0可导,则有
Dw=f(z0+Dz)-f(z0)=f '(z0)Dz+r(Dz)Dz,
,0)( Δlim
0Δ
z
z
r其中因此,|r(Dz)Dz|是 |Dz|的高阶无穷小量,
而 f '(z0)Dz是函数 w=f(z)的改变量 Dw的线性部分,称为函数 w=f(z)在点 z0的微分,记作
dw=f '(z0)Dz (2.1.3)
如果函数在 z0的微分存在,
则称 函数 f(z)在 z0可微,
31
dw=f '(z0)Dz (2.1.3)
特别,当 f(z)=z时,由 (2.1.3)得 dz=Dz,于是 (2.1.3)
变为
dw=f '(z)dz,
即
|
0d
d
)(
zzz
w
zf
由此可见,函数 w=f(z)在 z0可导与在 z0可微是等价的,
如果 f(z)在区域 D内处处可微,
则称 f(z)在 D内可微,
32
2,解析函数的概念定义 如果函数 f(z)在 z0及 z0的邻域内处处可导,则称 f(z)在 z0解析,如果 f(z)在区域 D内每一点解析,则称 f(z)在 D内解析,或称 f(z)是 D
内的一个 解析函数 (全纯函数 或 正则函数 )
如果 f(z)在 z0不解析,则称 z0为 f(z)的 奇点,
由定义可知,函数在区域内解析与在区域内可导是等价的,但是,函数在一点处解析和在一点处可导不等价,即,函数在一点处可导,
不一定在该点处解析,
33
根据求导法则可知定理 1)在区域 D内解析的两个函数 f(z)与 g(z)的和,
差,积,商 (除去分母为零的点 )在 D内解析,
2)设函数 h=g(z)在 z平面上的区域 D内解析,函数
w=f(h)在 h平面上的区域 G内解析,如果对 D内的每一个点 z,函数 g(z)的对应值 h都属于 G,则复合函数 w=f[g(z)]在 D内解析,
所有多项式在复平面内是处处解析的,任何一个有理分式函数 P(z)/Q(z)在不含分母为零的点的区域内是解析函数,使分母为零的点是它的奇点,
34
§ 2 函数解析的充要条件
35
在工程中,往往是要用复变函数来解决实际问题,而实际问题中遇到的复变函数,通常都是某个实变函数延拓而来的,即,如果原来有一个实变函数 f(x),自变量是实数,函数值也是实数,则将 x用一个复数代替,就产生了一个自变量和函数值都是复数的复变函数,
事实上我们只关心这样的复变函数,比如说实变函数 f(x)=x2-x+1,则相应的延拓的复变函数就是 f(z)=z2-z+1.
经常就是实变函数中的基本初等函数及组合构成的初等函数延拓到复变函数,
36
假设 f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函数,我们也可以将它看作是变量 x,y的二元函数,则对 x求偏导和对 y求偏导,得两个公式
y
yxu
x
yxv
y
yxv
x
yxu
uvvu
iuviyxf
ivu
y
yxv
i
y
yxu
iyxfi
ivu
x
yxv
i
x
yxu
iyxf
yxyx
yy
yy
xx
-?
-
-
),(),(
,
),(),(
)(
),(),(
)(
),(),(
)(
及由此得即
37
定理一 设函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)定义在区域 D
内,而 f(z)在 D内一点 z=x+iy可导的充分必要条件是,u(x,y)与 v(x,y)在点 (x,y)可微,并且在该点满足 柯西 -黎曼 (Cauchy-Riemann)方程
)2.2.2(
1
)(
)1.2.2(,
y
v
y
u
ix
v
i
x
u
zf
x
v
y
u
y
v
x
u
-?
这时定理二 函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其定义域 D内解析的充要条件是 u(x,y)与 v(x,y)在 D内可微,
并满足柯西 -黎曼方程 (2.2.1).
38
例 1 判断下列函数在何处可导,在何处解析,
)R e ()3);s i n( c o se)()2;)1 zzwyiyzfzw x
1,0,0,1 -?
y
v
x
v
y
u
x
u
[解 ] 1) 因为 u=x,v=-y,
可知柯西 -黎曼方程不满足,所以 w=z在复平面内处处不可导,处处不解析
39
2) 因为 u=excos y,v=exsin y,
y
y
v
y
x
v
y
y
u
y
x
u
xx
xx
c o se,s i ne
s i ne,c o se
-?
柯西 -黎曼方程成立,由于上面四个偏导数都是连续的,所以 f(z)在复平面内处处可导,处处解析,且根据 (2.2.2)式有
f '(z)=ex(cos y+isin y)=f(z)
今后将知道这个函数就是指数函数 ez.
40
3) 由 w=zRe(z)=x2+ixy,得 u=x2,v=xy,所以容易看出,这四个偏导数处处连续,但仅当
x=y=0时,它们才满足柯西 -黎曼方程,因而函数仅在 z=0可导,但在复平面内任何地方都不解析,
x
y
v
y
x
v
y
u
x
x
u
,
0,2
41
例 2 设函数 f(z)=x2+axy+by2+i(cx2+dxy+y2),问常数 a,b,c,d取何值时,f(z)在复平面内处处解析?
[解 ] 由于 ux=2x+ay,uy=ax+2by,
vx=2cx+dy,vy=dx+2y
从而要使 ux=vy,uy?-vx,
只需 2x+ay=dx+2y,2cx+dy?-ax-2by.
因此,当 a=2,b?-1,c?-1,d=2时,此函数在复平面内处处解析,这时
f(z)=x2+2xy-y2+i(-x2+2xy+y2)
=(1-i)(x+iy)2=(1-i)z2
42
例 3 如果 f '(z)在区域 D处处为零,则 f(z)在 D内为一常数,
[证 ] 因为
0
0)(
-
y
v
x
v
y
u
x
u
y
u
i
y
v
x
v
i
x
u
zf
故所以 u=常数,v=常数,因而 f(z)在 D内是常数,
43
例 4 如果 f(z)=u+iv为一解析函数,且 f '(z)?0,则曲线族 u(x,y)=c1和 v(x,y)=c2必互相正交,其中 c1,
c2为常数,
[证 ] 由于 f '(x)?-iuy+vy?0,故 uy与 vy不全为零,
如果在曲线的交点处 uy与 vy都不为零,由隐函数求导法则知曲线族中任一条曲线的斜率分别为 k1?-ux/uy和 k2?-vx/vy,
利用柯西 -黎曼方程得
k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)=(-vy/uy)(uy/vy)?-1
因此,二曲线族互相正交,如果 uy与 vy其中有一个为零,则另一个必不为零,此时易知交点的切线一条是垂直,一条是水平,仍然正交,
44
作业第 31页第 27,29题第 66页第 2,3题
45
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§ 5 复变函数
3
1,复变函数的定义定义 设 G是一个复数 z=x+iy的集合,如果有一个确定的法则存在,按照这一法则,对于集合
G中的每一个复数 z,就有一个或几个复数
w=u+iv与之对应,则称复变数 w是复变数 z的函数 (简称 复变函数 ),记作
w=f(z)
如果 z的一个值对应着 w的一个值,则函数 f(z)
是 单值 的 ; 否则就是 多值 的,集合 G称为 f(z)的定义集合,对应于 G中所有 z对应的一切 w值所成的集合 G*,称为 函数值集合,
4
在以后的讨论中,定义集合 G常常是一个平面区域,称之为 定义域,并且,如无特别声明,所讨论的函数均为单值函数,
由于给定了一个复数 z=x+iy就相当于给定了两个实数 x和 y,而复数 w=u+iv亦同样地对应着一对实数 u和 v,所以复变函数 w和自变量 z之间的关系 w=f(z)相当于两个关系式,
u=u(x,y),v=v(x,y),
它们确定了自变量为 x和 y的两个二元实变函数,
5
例如,考察函数
w=z2
令 z=x+iy,w=u+iv,则
u+iv=(x+iy)2=x2-y2+2xyi,
因而函数 w=z2对应于两个二元函数,
u=x2-y2,v=2xy
6
2,映射的概念如用 z平面上的点表示自变量 z的值,而用另一个平面 w平面上的点表示函数 w的值,则函数
w=f(z)在几何上就可以看做是把 z平面上的一个点集 G(定义集合 )变到 w平面上的一个点集
G*(函数值集合 )的 映射 (或 变换 ),这个映射通常简称为 由函数 w=f(z)所构成的映射,如果 G
中的点 z被映射 w=f(z)映射成 G*中的点 w,则 w
称为 z的 象 (映象 ),而 z称为 w的 原象,
7
设函数 w=z,
x
y
O u
v
O
A B
C
z1
z2 A' B'
C'
w1
w2
8
2a
设函数 w=z2,
x
y
O u
v
Oz1
z2
w2
z3 w3
a
w1
9
假定函数 w=f(z)的定义集合为 z平面上的集合
G,函数值集合为 w平面上的集合 G*,则 G*中的每个点 w必将对应着 G中的一个 (或几个 )点,
按照函数的定义,在 G*上就确定了一个单值
(或多值 )函数 z=j(w),它称为函数 w=f(z)的 反函数,也称为映射 w=f(z)的 逆映射,
从反函数的定义可知,对任意的 w?G*,有
w=f[j(w)],
当反函数为单值函数时,也有
z=j[f(z)],z?G
10
今后,我们不再区分函数与映射 (变换 ),如果函数 (映射 )w=f(z)与它的反函数 (逆映射 )z=j(w)
都是单值的,则称函数 (映射 )w=f(z)是一一的,
此时,我们也称集合 G与集合 G*是一一对应的,
11
§ 6 复变函数的极限和连续性
12
1.函数的极限定义 设函数 w=f(z)定义在 z0的 去心邻域
0<|z-z0|<r内,如果有一确定的数 A存在,对于任意给定的 e>0,相应地必有一正数
d(e)(0<d?r),使得当 0<|z-z0|<d时有
|f(z)-A|<e,
则称 A为 f(z)当 z趋向于 z0时的 极限,记作
Azf
zz
)(lim
0
或记作当 z?z0时,f(z)?A
13
这个定义的几何意义是,当变点 z一旦进入 z0的充分小的 d邻域时,它的象点 f(z)就落 A的预先给定的 e邻域中,应当注意,z趋向于 z0的方式是任意的,无论以何种方式趋向于 z0,f(z)都要趋向于同一常数 A.
x
y
O
z0d
z
O u
v
Ae
f(z)
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极限示意
x
y
O u
v
O
15
定理一 设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y),A=u0+iv0,
z0=x0+iy0,则
.),(lim,),(lim
)(lim
00
0
0
0
0
0
vyxvuyxu
Azf
yy
xx
yy
xx
zz
的充分必要条件是
16
证 必要性,
.),(lim,),(lim
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,)()(0
.|)()(|
,|)()(|0
,0,0
,,)(lim
00
00
2
0
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00
00
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0
vyxvuyxu
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yyxx
ivuivu
iyxiyx
Azf
yy
xx
yy
xx
zz
-?-
-?-?
-?
-
这就是说时即当时当存在任给根据极限的定义有如果
ee
d
e
d
de
17
充分性,
AzfAzf
zz
vvuuvviuuAzf
vvuu
yyxx
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zz
yy
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yy
xx
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-?-?-?-?-
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2/||,2/||
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),(lim,),(lim
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即有时则当而时使当存在则任给如果
e
ee
d
ee
d
de
18
定理二
)0(
)(
)(
lim)3
)()(lim)2
)]()([lim)1
,)(lim,)(lim
0
0
0
00
B
B
A
zg
zf
ABzgzf
BAzgzf
BzgAzf
zz
zz
zz
zzzz
则如果
19
2,函数的连续性定义
)()(lim 0
0
zfzf
zz
如果则说 f(z)在 z0处 连续,如果 f(z)在区域 D内处处连续,我们说 f(z)在 D内连续,
定理三 函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在 z0=x0+iy0处连续的充要条件是 u(x,y)和 v(x,y)在 (x0,y0)处连续,
20
定理四 1) 在 z0连续的两个函数 f(z)与 g(z)的和,
差,积,商 (分母在 z0不为零 )在 z0处连续 ;
2)如果函数 h=g(z)在 z0处连续,函数 w=f(h)在
h0=g(z0)连续,则复合函数 w=f[g(z)]在 z0处连续,
由以上定理,可以推得有理整函数 (多项式 )
w=P(z)=a0+a1z+a2z2+...+anzn
对复平面内所有的 z都是连续的,而有理分式函数
,
)(
)(
zQ
zP
w?
其中 P(z)和 Q(z)都是多项式,在复平面分母不为零的点也是连续的
21
还应指出,所谓函数 f(z)在曲线 C上 z0点处连续的意义是指
Czzfzf
zz
),()(lim 0
0
在闭曲线或包括曲线端点在内的曲线段上连续的函数 f(z)在曲线上是有界的,即存在一正数 M,在曲线上恒有
|f(z)|?M
22
第二章 解析函数
23
§ 1 解析函数的概念
24
1,复变函数的导数与微分
i) 导数的定义定义 设函数 w=f(z)定义于 区域 D,z0为 D中一点,点 z0+Dz不出 D的范围,如果极限
z
zfzzf
z Δ
)()Δ(lim 00
0Δ
-?
存在,则就说 f(z)在 z0可导,此极限值就称为 f(z)
在 z0的导数,记作
)1.1.2(.Δ )()Δ(limdd)( 00
0Δ| 0 z
zfzzf
z
wzf
zzz
-
25
也就是说,对于任给的 e>0,存在 d(e)>0,使得当 0<|Dz|<d时,有
e-
-?
)(
Δ
)()Δ(
0
00 zf
z
zfzzf
.Δ )()Δ( 00 都趋于同一个数z zfzzf -?
应当注意,定义中 z0+Dz?z0(即 Dz?0)的方式是任意的,定义中极限值存在的要求与
z0+Dz?z0的方式无关,也就是说,当 z0+Dz在区域 D内以任何方式趋于 z0时,比值
26
如果 f(z)在区域 D内处处可导,就说 f(z)在 Ｄ 内可导,
例 1 求 f(z)=z2的导数
[解 ] 因为
.2)Δ2(lim
Δ
)Δ(
lim
Δ
)()Δ(
lim
0Δ
22
0Δ0Δ
zzz
z
zzz
z
zfzzf
z
zz
-?
-?
所以 f '(z)=2z.
28
ii)可导与连续 容易证明,在 z0点可导的函数必定在 z0点 连续,
事实上,由在 z0点可导的定义,对于任给的 e>0,
相应地有一个 d>0,使得当 0<|Dz|<d时,有
0)( Δlim
),(
Δ
)()Δ(
)( Δ
)(
Δ
)()Δ(
0Δ
0
00
0
00
-
-?
-
-?
z
zf
z
zfzzf
z
zf
z
zfzzf
z
r
r
e
则令连续在即所以 0000Δ )(),()Δ(lim zzfzfzzfz
由此得 f(z0+Dz)-f(z0)=f '(z0)Dz+r(Dz)Dz (2.1.2)
29
iii) 求导法则 与实函数同样的办法可得,
1) (c)'=0,其中 c为复常数,
2) (zn)'=nzn-1,其中 n为正整数,
3) [f(z)?g(z)]'=f '(z)?g'(z).
4) [f(z)g(z)]'=f '(z)g(z)+f(z)g'(z).
0)()],()()()([
)(
1
)(
)(
)5 2-
zgzgzfzfzg
zgzg
zf
.0)(,
)()(,
)(
1
)()7
w
wzzfw
w
zf
j
j
j
且数个互为反函数的单值函是两与其中
6) {f[g(z)]}'=f '(w)g'(z),其中 w=g(z).
30
iv)微分的概念 设函数 w=f(z)在 z0可导,则有
Dw=f(z0+Dz)-f(z0)=f '(z0)Dz+r(Dz)Dz,
,0)( Δlim
0Δ
z
z
r其中因此,|r(Dz)Dz|是 |Dz|的高阶无穷小量,
而 f '(z0)Dz是函数 w=f(z)的改变量 Dw的线性部分,称为函数 w=f(z)在点 z0的微分,记作
dw=f '(z0)Dz (2.1.3)
如果函数在 z0的微分存在,
则称 函数 f(z)在 z0可微,
31
dw=f '(z0)Dz (2.1.3)
特别,当 f(z)=z时,由 (2.1.3)得 dz=Dz,于是 (2.1.3)
变为
dw=f '(z)dz,
即
|
0d
d
)(
zzz
w
zf
由此可见,函数 w=f(z)在 z0可导与在 z0可微是等价的,
如果 f(z)在区域 D内处处可微,
则称 f(z)在 D内可微,
32
2,解析函数的概念定义 如果函数 f(z)在 z0及 z0的邻域内处处可导,则称 f(z)在 z0解析,如果 f(z)在区域 D内每一点解析,则称 f(z)在 D内解析,或称 f(z)是 D
内的一个 解析函数 (全纯函数 或 正则函数 )
如果 f(z)在 z0不解析,则称 z0为 f(z)的 奇点,
由定义可知,函数在区域内解析与在区域内可导是等价的,但是,函数在一点处解析和在一点处可导不等价,即,函数在一点处可导,
不一定在该点处解析,
33
根据求导法则可知定理 1)在区域 D内解析的两个函数 f(z)与 g(z)的和,
差,积,商 (除去分母为零的点 )在 D内解析,
2)设函数 h=g(z)在 z平面上的区域 D内解析,函数
w=f(h)在 h平面上的区域 G内解析,如果对 D内的每一个点 z,函数 g(z)的对应值 h都属于 G,则复合函数 w=f[g(z)]在 D内解析,
所有多项式在复平面内是处处解析的,任何一个有理分式函数 P(z)/Q(z)在不含分母为零的点的区域内是解析函数,使分母为零的点是它的奇点,
34
§ 2 函数解析的充要条件
35
在工程中,往往是要用复变函数来解决实际问题,而实际问题中遇到的复变函数,通常都是某个实变函数延拓而来的,即,如果原来有一个实变函数 f(x),自变量是实数,函数值也是实数,则将 x用一个复数代替,就产生了一个自变量和函数值都是复数的复变函数,
事实上我们只关心这样的复变函数,比如说实变函数 f(x)=x2-x+1,则相应的延拓的复变函数就是 f(z)=z2-z+1.
经常就是实变函数中的基本初等函数及组合构成的初等函数延拓到复变函数,
36
假设 f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函数,我们也可以将它看作是变量 x,y的二元函数,则对 x求偏导和对 y求偏导,得两个公式
y
yxu
x
yxv
y
yxv
x
yxu
uvvu
iuviyxf
ivu
y
yxv
i
y
yxu
iyxfi
ivu
x
yxv
i
x
yxu
iyxf
yxyx
yy
yy
xx
-?
-
-
),(),(
,
),(),(
)(
),(),(
)(
),(),(
)(
及由此得即
37
定理一 设函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)定义在区域 D
内,而 f(z)在 D内一点 z=x+iy可导的充分必要条件是,u(x,y)与 v(x,y)在点 (x,y)可微,并且在该点满足 柯西 -黎曼 (Cauchy-Riemann)方程
)2.2.2(
1
)(
)1.2.2(,
y
v
y
u
ix
v
i
x
u
zf
x
v
y
u
y
v
x
u
-?
这时定理二 函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其定义域 D内解析的充要条件是 u(x,y)与 v(x,y)在 D内可微,
并满足柯西 -黎曼方程 (2.2.1).
38
例 1 判断下列函数在何处可导,在何处解析,
)R e ()3);s i n( c o se)()2;)1 zzwyiyzfzw x
1,0,0,1 -?
y
v
x
v
y
u
x
u
[解 ] 1) 因为 u=x,v=-y,
可知柯西 -黎曼方程不满足,所以 w=z在复平面内处处不可导,处处不解析
39
2) 因为 u=excos y,v=exsin y,
y
y
v
y
x
v
y
y
u
y
x
u
xx
xx
c o se,s i ne
s i ne,c o se
-?
柯西 -黎曼方程成立,由于上面四个偏导数都是连续的,所以 f(z)在复平面内处处可导,处处解析,且根据 (2.2.2)式有
f '(z)=ex(cos y+isin y)=f(z)
今后将知道这个函数就是指数函数 ez.
40
3) 由 w=zRe(z)=x2+ixy,得 u=x2,v=xy,所以容易看出,这四个偏导数处处连续,但仅当
x=y=0时,它们才满足柯西 -黎曼方程,因而函数仅在 z=0可导,但在复平面内任何地方都不解析,
x
y
v
y
x
v
y
u
x
x
u
,
0,2
41
例 2 设函数 f(z)=x2+axy+by2+i(cx2+dxy+y2),问常数 a,b,c,d取何值时,f(z)在复平面内处处解析?
[解 ] 由于 ux=2x+ay,uy=ax+2by,
vx=2cx+dy,vy=dx+2y
从而要使 ux=vy,uy?-vx,
只需 2x+ay=dx+2y,2cx+dy?-ax-2by.
因此,当 a=2,b?-1,c?-1,d=2时,此函数在复平面内处处解析,这时
f(z)=x2+2xy-y2+i(-x2+2xy+y2)
=(1-i)(x+iy)2=(1-i)z2
42
例 3 如果 f '(z)在区域 D处处为零,则 f(z)在 D内为一常数,
[证 ] 因为
0
0)(
-
y
v
x
v
y
u
x
u
y
u
i
y
v
x
v
i
x
u
zf
故所以 u=常数,v=常数,因而 f(z)在 D内是常数,
43
例 4 如果 f(z)=u+iv为一解析函数,且 f '(z)?0,则曲线族 u(x,y)=c1和 v(x,y)=c2必互相正交,其中 c1,
c2为常数,
[证 ] 由于 f '(x)?-iuy+vy?0,故 uy与 vy不全为零,
如果在曲线的交点处 uy与 vy都不为零,由隐函数求导法则知曲线族中任一条曲线的斜率分别为 k1?-ux/uy和 k2?-vx/vy,
利用柯西 -黎曼方程得
k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)=(-vy/uy)(uy/vy)?-1
因此,二曲线族互相正交,如果 uy与 vy其中有一个为零,则另一个必不为零,此时易知交点的切线一条是垂直,一条是水平,仍然正交,
44
作业第 31页第 27,29题第 66页第 2,3题
45
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