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复变函数
3
第一章 复数与复变函数
§ 1 复数及代数运算
4
1,复数的概念在实数范围,方程
x2=-1
是无解的,因此引进一个新数 i,称为虚数单位,
并规定
i2 =-1
从而 i是方程 x2=-1的一个根,
对于任意二实数 x,y,称 z=x+iy或 z=x+yi为 复数,
x,y分别称为 z的 实部 和 虚部,记作
x=Re(z),y=Im(z)
5
当 x=0,y?0时,z=iy称为 纯虚数 ; 当 y=0时 z=x+0i,
将其看作是实数 x.
两个复数 相等,是指的它的实部和虚部分别相等,复数 z=0,是指的实部和虚部都是 0.
2,复数的代数运算 两个复数 z1=x1+iy1,
z2=x2+iy2的加法,减法和乘法定义为
(x1+iy1)?(x2+iy2)=(x1?x2)+i(y1?y2) (1.1.1)
(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)
(1.1.2)
称上面二式右端为 z1,z2的 和,差 与 积当 z1,z2为实数时,上二式与实数的运算一致,
6
称满足
z2z=z1 (z2?0)
的复数 z=x+iy为 z1除以 z2的 商,
)3.1.1(
,
2
2
2
2
2112
2
2
2
2
2121
2
1
2
1
yx
yxyx
i
yx
yyxx
z
z
z
z
z
z
-
==
= 因此记作复数运算满足交换律,结合律和分配律,
z1+z2=z2+z1,z1z2=z2z1;
z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3),z1(z2z3)=(z1z2)z3;
z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
7
把实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为 共轭复数,与 z共轭的复数记作 z
)I m (2),R e (2)iv;)I m ()R e ()iii;)ii;,,)i
:
,
22
2
1
2
1
21212121
zizzzzz
zzzz
zz
z
z
z
z
zzzzzzzz
iyxziyxz
=-=?
=
=
=
=?=?
-=?=
共轭复数的性质则如果
8
§ 2 复数的几何表示
1,复平面 由于一个复数 z=x+iy由一对有序实数 (x,y)碓一确定,所以对于平面上的直角坐标系,复数的全体与该平面上的点的全体成一一对应关系,从而复数 z=x+iy可以用该平面上的坐标为 (x,y)的点来表示,这是复数的一个常用表示方法,此时,x轴称为 实轴,y轴称为 虚轴,
两轴所在的平面称为 复平面 或 z平面,这样,复数与复平面上的点成一一对应,并且把 "点 z"
作为 "数 z"的同义词,从而使我们能借助于几何语言和方法研究复变函数问题,
9
在复平面上,复数 z还与从原点指向点 z=x+iy
的平面向量一一对应,因此复数 z也能用向量
OP来表示,向量的长度称为 z的 模 或 绝对值,
记作
)1.2.1(|| 22 yxrz?==
O x
y
x
y
q
Pz=x+iy
10
显然,下列各式成立
||||
|,|||||
|,||||,|||
22
zzzz
yxz
zyzx
==
O x
y
x
y
q
Pz=x+iy
11
在 z?0的情况,以正实轴为始边,以表示 z的向量 OP为终边的角的弧度 q称为 z的 轴角,记作
Arg z=q
这时,有
)2.2.1()t g ( A r g xyz =
O x
y
x
y
q
Pz=x+iy
12
任何一个复数 z?0有无穷多个幅角,如果 q1是其中的一个,则
Arg z=q1+2kp(k为任意整数 ) (1.2.3)
给出了 z的全部幅角,在 z(?0)的幅角中,将满足
-p<q0?p的 q0称为 Arg z的主值,记作
q0=arg z
O x
y
x
y
q
Pz=x+iy
13
当 z=0时,|z|=0,而幅角不确定,
arg z可由下列关系确定,
.
2
a r g t g
2
0,0,
0,0,a r c t g
0,0,
2
0,a r c t g
a r g
pp
p
p
p
-
=?
=?
=
x
y
yx
yx
x
y
yx
x
x
y
z
其中
14
由复数运算法则,两个复数 z1和 z2的加减法和相应的向量的加减法一致,
O x
y
z1
z2 z1+z2
成立不等式
|z1+z2|?|z1|+|z2| (三角不等式 ),(1.2.5)
15
减法,
O x
y
z1
z2
z1-z2-z
2
|z1-z2|?||z1|-|z2|| (1.2.6)
16
一对共轭复数 z和 z在复平面内的位置是关于实数轴对称的,因而 |z|=| z |,如果 z不在负实轴和原点上,还有 arg z = -arg z
O x
y
iyxz?=
iyxz -=
17
利用直角坐标与极坐标的关系,
x = r cosq,y = r sinq,
可以将 z表示成 三角表示式,
z = r(cosq +i sinq),(1.2.7)
利用欧拉公式 eiq=cosq +i sinq得 指数表示式,
z=r eiq (1.2.8)
O x
y
x
y
q
Pz=x+iy
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2,复球面
N
S O
x
y
P
z
19
除了复数的平面表示方法外,还可以用球面上的点来表示复数,
取一个与复平面切于原点 z=0的球面,球面上的一点 S与原点重合,通过 S作垂直于复平面的直线与球面相交于另一点 N,称 N为北极,S为南极,
对复平面内任一点 z,用直线将 z与 N相连,与球面相交于 P点,则球面上除 N点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系,
而 N点本身可代表无穷远点,记作?.
这样的球面称作 复球面,
20
关于?的四则运算作如下规定,
加法,a+?=?+a=? (a)
减法,a-?=?-a=? (a)
乘法,a=a=? (a?0)
其它运算不确定但可为除法
),0(
0
),(,0:
=
=
=
a
a
a
a
a
21
§ 3 复数的乘幂与方根
22
乘积与商 设有两个复数
z1=r1(cosq1+isinq1),z2=r2(cosq2+isinq2),
z1z2=r1r2(cosq1+isinq1)(cosq2+isinq2)
= r1r2[(cosq1cosq2-sinq1sinq2)
+i(sinq1cosq2+cosq1sinq2)]
= r1r2[cos(q1+q2)+isin(q1+q2)]
于是 |z1z2|=|z1||z2| (1.3.1)
Arg(z1z2)=Arg z1+Arg z2,(1.3.2)
定理 1 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积,两个复数乘积的幅角等于它们幅角的和,
23
z1z2相当于将 z1的模扩大 |z2|倍并旋转一个角度
Arg z2
q2
z2 q1
z1
z1z2
1O x
y
24
如果用指数形式表示复数,
)(
2121
2211
21
21
e
e,e
qq
qq
=
==
i
ii
rrzz
rzrz
为则定理一可简明地表示
)4.3.1(e
)]s i n (
)[ c o s (
),,,2,1(),s i n( c o s
)(
21
21
212121
21 n
k
i
n
n
nnn
kkk
i
kk
rrr
i
rrrzzz
nkirerz
qqq
q
qqq
qqq
qq
=
=
=?==
则由此逐步可证,如果
25
按照商的定义,当 z1?0时,有
12
1
2
1
2
1
2
1
1
2
21
1
2
2
1
1
2
2
A r gA r gA r g,
||
||
A r gA r gA r g|,|||
zz
z
z
z
z
z
z
z
z
z
zz
z
z
z
z
z
z
z
-=?
=
==
=
于是因此定理二 两个复数的商的模等于它们的模的商,
两个复数的商的辐角等于被除数与除数的幅角之差,
26
如果用指数形式表示复数,
,e,e 21 2211 qq ii rzrz ==
)(
1
2
1
2 12e qq -= i
r
r
z
z
定理二可简明地表示为
27
2,幂与根 n个相同复数 z的乘积称为 z的 n次幂,
记作 zn
.
个n
n
zzzz?=
为负整数时上式也成立则当如定义 n
z
z nn,1=-
则根据 (1.3.4),对任意正整数 n,我们有
zn=rn(cos nq+isin nq),(1.3.7)
如 |z|=1,则 (棣莫弗 (De Moivre)公式 ).
(cos q+isin q)n = cos nq+isin nq,(1.3.8)
28
设 z为己知,方程 wn=z的根 w称为 z的 n次根,
为整数记作 nzz nn,/1=
1ee1ee
11
e,e,1,1
2
3
3
2
2
3
3
2
3
3
2
3
2
3
==
==
=
-
-
-
p
p
p
p
pp
i
i
i
i
ii
及这是因为有三个值如 n为正整数,则一个复数的 n次根不止有一个,
而是有 n个,这是很麻烦的事情,例如在几何上,z1/n的 n个值就是以原点为中心,r1/n
为半径的圆的内接正 n边形的 n个顶点
29
§ 4 区域
30
1,区域的概念平面上以 z0为中心,d(任意的正数 )为半径的圆,
|z-z0|<d
内部的点的集合称为 z0的 邻域,而称由不等式
0<|z-z0|<d所确定的点集为 z0的 去心邻域,
d
z0
31
包括无穷远点自身在内且满足 |z|>M的所有点的集合,其中实数 M>0,称为 无穷远点的邻域,
即它是圆 |z|=M的外部且包含无穷远点本身,
不包括无穷远点本身的仅满足 |z|>M的所有点称为 无穷远点的去心邻域,也记作 M<|z|<?.
M
0 |z|>M
32
设 G为一平面点集,z0为 G中任意一点,如果存在 z0的一个邻域,该邻域内的所有点都属于 G,
则称 z0为 G的内点,
如果 G内的每个点都是它的内点,则称 G为开集
33
平面点集 D称为一个区域,如果它满足下列两个条件,
1) D是一个开集 ;
2) D是连通的,就是说 D中任何两点都可以用完全属于 D的一条折线连接起来,
区域
z2
z1
不连通
34
设 D为复平面内的一个 区域,如果点 P不属于 D,
但在 P的任意小的 邻域 内总包含有 D中的点,
这样的点 P称为 D的 边界点,D的所有边界点组成 D的 边界,区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的,
C3
C2
z g1
g2
C1
35
区域 D与它的边界一起构成闭区域或闭域,记作?D.
如果一个区域可以被包含在一个以原点为中心的圆里面,即存在正数 M,使区域 D的每个点
z都满足 |z|<M,则称 D为 有界的,否则称为无界的,
x
y
D
O
36
满足不等式 r1<|z-z0|<r2的所有点构成一个区域,
而且是有界的,区域的边界由两个圆周
|z-z0|=r1和 |z-z0|=r2构成,称为圆环域,如果在圆环域内去掉一个 (或几个 )点,它仍然构成区域,
只是区域的边界由两个圆周和一个 (或几个 )孤立的点所构成
z0
r2
r1
37
无界区域的例子
x
y
x
y
x
y
上半平面,Im z>0
角形域,0<arg z<j
j
a
b
带形域,a<Im z<b
38
2,单连通域与多连通域平面曲线 在数学上,经常用参数方程来表示各种平面曲线,如果 x(t)和 y(t)是两个连续的实变函数,则方程组
x=x(t),y=y(t),(a?t?b)
代表一条平面曲线,称为 连续曲线,如果令
z(t)=x(t)+iy(t)
则此曲线可用一个方程
z=z(t) (a?t?b)
来代表,这就是平面曲线的复数表示式,
39
如果在区间 a?t?b上 x '(t)和 y '(t)都是连续的,且对于 t的每一个值,有
[x '(t)]2+[y '(t)]2?0
这曲线称为 光滑的,由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线,称为 按段光滑曲线,
连续不连续光滑不光滑
40
设 C:z=z(t)(a?t?b)为一条连续曲线,z(a)与 z(b)
分别为 C的 起点 与 终点,对于满足 a<t1<b,
a?t2?b的 t1与 t2,当 t1?t2而有 z(t1)=z(t2)时,点 z(t1)
称为曲线 C的 重点,没有重点的连续曲线 C,称为 简单曲线 或 若尔当 (Jardan)曲线,如果简单曲线 C的起点与终点闭合,即 z(a)=z(b),则曲线
C称为 简单闭曲线,
z(a)=z(b)
简单,闭
z(a) z(b)
简单,不闭 z(a)=z(b)
不简单,闭不简单,不闭
z(a)
z(b)
41
任意一条简单闭曲线 C把整个复平面唯一地分成三个互不相交的点集,其中除去 C外,一个是有界区域,称为 C的 内部,另一个是无界区域,称为 C的 外部,C为它们的公共边界,简单闭曲线的这一性质,其几何直观意义是很清楚的,
内部 外部
C
42
定义 复平面上的一个 区域 B,如果在其中任作一条简单闭曲线,而曲线的内部总属于 B,就称为 单连通域,一个区域如果不是单连通域,就称为 多连通域,
单连通域 多连通域
43
作业 第一章习题第 31页第 1,8,22题
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复变函数
3
第一章 复数与复变函数
§ 1 复数及代数运算
4
1,复数的概念在实数范围,方程
x2=-1
是无解的,因此引进一个新数 i,称为虚数单位,
并规定
i2 =-1
从而 i是方程 x2=-1的一个根,
对于任意二实数 x,y,称 z=x+iy或 z=x+yi为 复数,
x,y分别称为 z的 实部 和 虚部,记作
x=Re(z),y=Im(z)
5
当 x=0,y?0时,z=iy称为 纯虚数 ; 当 y=0时 z=x+0i,
将其看作是实数 x.
两个复数 相等,是指的它的实部和虚部分别相等,复数 z=0,是指的实部和虚部都是 0.
2,复数的代数运算 两个复数 z1=x1+iy1,
z2=x2+iy2的加法,减法和乘法定义为
(x1+iy1)?(x2+iy2)=(x1?x2)+i(y1?y2) (1.1.1)
(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)
(1.1.2)
称上面二式右端为 z1,z2的 和,差 与 积当 z1,z2为实数时,上二式与实数的运算一致,
6
称满足
z2z=z1 (z2?0)
的复数 z=x+iy为 z1除以 z2的 商,
)3.1.1(
,
2
2
2
2
2112
2
2
2
2
2121
2
1
2
1
yx
yxyx
i
yx
yyxx
z
z
z
z
z
z
-
==
= 因此记作复数运算满足交换律,结合律和分配律,
z1+z2=z2+z1,z1z2=z2z1;
z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3),z1(z2z3)=(z1z2)z3;
z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
7
把实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为 共轭复数,与 z共轭的复数记作 z
)I m (2),R e (2)iv;)I m ()R e ()iii;)ii;,,)i
:
,
22
2
1
2
1
21212121
zizzzzz
zzzz
zz
z
z
z
z
zzzzzzzz
iyxziyxz
=-=?
=
=
=
=?=?
-=?=
共轭复数的性质则如果
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§ 2 复数的几何表示
1,复平面 由于一个复数 z=x+iy由一对有序实数 (x,y)碓一确定,所以对于平面上的直角坐标系,复数的全体与该平面上的点的全体成一一对应关系,从而复数 z=x+iy可以用该平面上的坐标为 (x,y)的点来表示,这是复数的一个常用表示方法,此时,x轴称为 实轴,y轴称为 虚轴,
两轴所在的平面称为 复平面 或 z平面,这样,复数与复平面上的点成一一对应,并且把 "点 z"
作为 "数 z"的同义词,从而使我们能借助于几何语言和方法研究复变函数问题,
9
在复平面上,复数 z还与从原点指向点 z=x+iy
的平面向量一一对应,因此复数 z也能用向量
OP来表示,向量的长度称为 z的 模 或 绝对值,
记作
)1.2.1(|| 22 yxrz?==
O x
y
x
y
q
Pz=x+iy
10
显然,下列各式成立
||||
|,|||||
|,||||,|||
22
zzzz
yxz
zyzx
==
O x
y
x
y
q
Pz=x+iy
11
在 z?0的情况,以正实轴为始边,以表示 z的向量 OP为终边的角的弧度 q称为 z的 轴角,记作
Arg z=q
这时,有
)2.2.1()t g ( A r g xyz =
O x
y
x
y
q
Pz=x+iy
12
任何一个复数 z?0有无穷多个幅角,如果 q1是其中的一个,则
Arg z=q1+2kp(k为任意整数 ) (1.2.3)
给出了 z的全部幅角,在 z(?0)的幅角中,将满足
-p<q0?p的 q0称为 Arg z的主值,记作
q0=arg z
O x
y
x
y
q
Pz=x+iy
13
当 z=0时,|z|=0,而幅角不确定,
arg z可由下列关系确定,
.
2
a r g t g
2
0,0,
0,0,a r c t g
0,0,
2
0,a r c t g
a r g
pp
p
p
p
-
=?
=?
=
x
y
yx
yx
x
y
yx
x
x
y
z
其中
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由复数运算法则,两个复数 z1和 z2的加减法和相应的向量的加减法一致,
O x
y
z1
z2 z1+z2
成立不等式
|z1+z2|?|z1|+|z2| (三角不等式 ),(1.2.5)
15
减法,
O x
y
z1
z2
z1-z2-z
2
|z1-z2|?||z1|-|z2|| (1.2.6)
16
一对共轭复数 z和 z在复平面内的位置是关于实数轴对称的,因而 |z|=| z |,如果 z不在负实轴和原点上,还有 arg z = -arg z
O x
y
iyxz?=
iyxz -=
17
利用直角坐标与极坐标的关系,
x = r cosq,y = r sinq,
可以将 z表示成 三角表示式,
z = r(cosq +i sinq),(1.2.7)
利用欧拉公式 eiq=cosq +i sinq得 指数表示式,
z=r eiq (1.2.8)
O x
y
x
y
q
Pz=x+iy
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2,复球面
N
S O
x
y
P
z
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除了复数的平面表示方法外,还可以用球面上的点来表示复数,
取一个与复平面切于原点 z=0的球面,球面上的一点 S与原点重合,通过 S作垂直于复平面的直线与球面相交于另一点 N,称 N为北极,S为南极,
对复平面内任一点 z,用直线将 z与 N相连,与球面相交于 P点,则球面上除 N点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系,
而 N点本身可代表无穷远点,记作?.
这样的球面称作 复球面,
20
关于?的四则运算作如下规定,
加法,a+?=?+a=? (a)
减法,a-?=?-a=? (a)
乘法,a=a=? (a?0)
其它运算不确定但可为除法
),0(
0
),(,0:
=
=
=
a
a
a
a
a
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§ 3 复数的乘幂与方根
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乘积与商 设有两个复数
z1=r1(cosq1+isinq1),z2=r2(cosq2+isinq2),
z1z2=r1r2(cosq1+isinq1)(cosq2+isinq2)
= r1r2[(cosq1cosq2-sinq1sinq2)
+i(sinq1cosq2+cosq1sinq2)]
= r1r2[cos(q1+q2)+isin(q1+q2)]
于是 |z1z2|=|z1||z2| (1.3.1)
Arg(z1z2)=Arg z1+Arg z2,(1.3.2)
定理 1 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积,两个复数乘积的幅角等于它们幅角的和,
23
z1z2相当于将 z1的模扩大 |z2|倍并旋转一个角度
Arg z2
q2
z2 q1
z1
z1z2
1O x
y
24
如果用指数形式表示复数,
)(
2121
2211
21
21
e
e,e
=
==
i
ii
rrzz
rzrz
为则定理一可简明地表示
)4.3.1(e
)]s i n (
)[ c o s (
),,,2,1(),s i n( c o s
)(
21
21
212121
21 n
k
i
n
n
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kkk
i
kk
rrr
i
rrrzzz
nkirerz
qqq
q
qqq
qqq
=
=
=?==
则由此逐步可证,如果
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按照商的定义,当 z1?0时,有
12
1
2
1
2
1
2
1
1
2
21
1
2
2
1
1
2
2
A r gA r gA r g,
||
||
A r gA r gA r g|,|||
zz
z
z
z
z
z
z
z
z
z
zz
z
z
z
z
z
z
z
-=?
=
==
=
于是因此定理二 两个复数的商的模等于它们的模的商,
两个复数的商的辐角等于被除数与除数的幅角之差,
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如果用指数形式表示复数,
,e,e 21 2211 qq ii rzrz ==
)(
1
2
1
2 12e qq -= i
r
r
z
z
定理二可简明地表示为
27
2,幂与根 n个相同复数 z的乘积称为 z的 n次幂,
记作 zn
.
个n
n
zzzz?=
为负整数时上式也成立则当如定义 n
z
z nn,1=-
则根据 (1.3.4),对任意正整数 n,我们有
zn=rn(cos nq+isin nq),(1.3.7)
如 |z|=1,则 (棣莫弗 (De Moivre)公式 ).
(cos q+isin q)n = cos nq+isin nq,(1.3.8)
28
设 z为己知,方程 wn=z的根 w称为 z的 n次根,
为整数记作 nzz nn,/1=
1ee1ee
11
e,e,1,1
2
3
3
2
2
3
3
2
3
3
2
3
2
3
==
==
=
-
-
-
p
p
p
p
pp
i
i
i
i
ii
及这是因为有三个值如 n为正整数,则一个复数的 n次根不止有一个,
而是有 n个,这是很麻烦的事情,例如在几何上,z1/n的 n个值就是以原点为中心,r1/n
为半径的圆的内接正 n边形的 n个顶点
29
§ 4 区域
30
1,区域的概念平面上以 z0为中心,d(任意的正数 )为半径的圆,
|z-z0|<d
内部的点的集合称为 z0的 邻域,而称由不等式
0<|z-z0|<d所确定的点集为 z0的 去心邻域,
d
z0
31
包括无穷远点自身在内且满足 |z|>M的所有点的集合,其中实数 M>0,称为 无穷远点的邻域,
即它是圆 |z|=M的外部且包含无穷远点本身,
不包括无穷远点本身的仅满足 |z|>M的所有点称为 无穷远点的去心邻域,也记作 M<|z|<?.
M
0 |z|>M
32
设 G为一平面点集,z0为 G中任意一点,如果存在 z0的一个邻域,该邻域内的所有点都属于 G,
则称 z0为 G的内点,
如果 G内的每个点都是它的内点,则称 G为开集
33
平面点集 D称为一个区域,如果它满足下列两个条件,
1) D是一个开集 ;
2) D是连通的,就是说 D中任何两点都可以用完全属于 D的一条折线连接起来,
区域
z2
z1
不连通
34
设 D为复平面内的一个 区域,如果点 P不属于 D,
但在 P的任意小的 邻域 内总包含有 D中的点,
这样的点 P称为 D的 边界点,D的所有边界点组成 D的 边界,区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的,
C3
C2
z g1
g2
C1
35
区域 D与它的边界一起构成闭区域或闭域,记作?D.
如果一个区域可以被包含在一个以原点为中心的圆里面,即存在正数 M,使区域 D的每个点
z都满足 |z|<M,则称 D为 有界的,否则称为无界的,
x
y
D
O
36
满足不等式 r1<|z-z0|<r2的所有点构成一个区域,
而且是有界的,区域的边界由两个圆周
|z-z0|=r1和 |z-z0|=r2构成,称为圆环域,如果在圆环域内去掉一个 (或几个 )点,它仍然构成区域,
只是区域的边界由两个圆周和一个 (或几个 )孤立的点所构成
z0
r2
r1
37
无界区域的例子
x
y
x
y
x
y
上半平面,Im z>0
角形域,0<arg z<j
j
a
b
带形域,a<Im z<b
38
2,单连通域与多连通域平面曲线 在数学上,经常用参数方程来表示各种平面曲线,如果 x(t)和 y(t)是两个连续的实变函数,则方程组
x=x(t),y=y(t),(a?t?b)
代表一条平面曲线,称为 连续曲线,如果令
z(t)=x(t)+iy(t)
则此曲线可用一个方程
z=z(t) (a?t?b)
来代表,这就是平面曲线的复数表示式,
39
如果在区间 a?t?b上 x '(t)和 y '(t)都是连续的,且对于 t的每一个值,有
[x '(t)]2+[y '(t)]2?0
这曲线称为 光滑的,由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线,称为 按段光滑曲线,
连续不连续光滑不光滑
40
设 C:z=z(t)(a?t?b)为一条连续曲线,z(a)与 z(b)
分别为 C的 起点 与 终点,对于满足 a<t1<b,
a?t2?b的 t1与 t2,当 t1?t2而有 z(t1)=z(t2)时,点 z(t1)
称为曲线 C的 重点,没有重点的连续曲线 C,称为 简单曲线 或 若尔当 (Jardan)曲线,如果简单曲线 C的起点与终点闭合,即 z(a)=z(b),则曲线
C称为 简单闭曲线,
z(a)=z(b)
简单,闭
z(a) z(b)
简单,不闭 z(a)=z(b)
不简单,闭不简单,不闭
z(a)
z(b)
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任意一条简单闭曲线 C把整个复平面唯一地分成三个互不相交的点集,其中除去 C外,一个是有界区域,称为 C的 内部,另一个是无界区域,称为 C的 外部,C为它们的公共边界,简单闭曲线的这一性质,其几何直观意义是很清楚的,
内部 外部
C
42
定义 复平面上的一个 区域 B,如果在其中任作一条简单闭曲线,而曲线的内部总属于 B,就称为 单连通域,一个区域如果不是单连通域,就称为 多连通域,
单连通域 多连通域
43
作业 第一章习题第 31页第 1,8,22题
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