1
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2
第八章 假设检验
§ 1 假设检验
3
统计推断的另一类重要问题是假设检验问题,
在总体的分布函数完全未知或只知其形式,但不知道参数的情况,为了推断总体的某些未知特性,提出某些关于总体的假设,例如,提出总体服从泊松分布的假设,又如,对正态总体提出数学期望等于 m0的假设等,我们是要根据样本对所提出的假设作出是接受,还是拒绝的决策,假设检验是作出这一决策的过程,
4
例 1 某车间用一台包装机包装葡萄糖,包得的袋装糖重是一个随机变量,它服从正态分布,
当机器正常时,其均值为 0.5公斤,标准差为
0.015公斤,某日开工后为检验包装机是否正常,随机地抽取它所包装的糖 9袋,称得净重为
(公斤 ):
0.497,0.506,0.518,0.524,0.498,0.511,0.520,
0.515,0.512
问机器是否正常?
5
以 m,s分别表示这一天袋装糖重总体 X的均值和标准差,由于长期实践表明标准差比较稳定,
就设 s=0.015,于是 X~N(m,0.0152),这里 m未知,
问题是根据样本值来判断 m=0.5还是 m?0.5,为此,我们提出两个相互对立的假设
H0:m=m0=0.5
和
H1:m?0.5.
然后给一个合理的法则,利用已知样本作出是接受假设 H0,还是接收假设 H1,如果接受 H0,
则认为机器工作正常,否则不正常,
6
由于要检验的假设涉及总体均值 m,故首先想到是否可借助样本均值 `X这一统计量来进行判断,`X是 m的无偏估计,其观察值的大小在一定程度上反映 m的大小,如果假设 H0为真,
则观察值 `x与 m0的偏差 |`x-m0|一般不应太大,
若 |`x-m|过分大,就怀疑假设 H0的正确性而拒
.||
),1,0(~,
0
00
的大小的大小可归结为衡量量而衡为真时考虑到当绝
n
x
x
N
n
X
HH
s
m
m
s
m
-
-
-
7
因此,可适当选定一正数 k,使当观察值 `x满足
.,
||
0
0 Hk
n
x
就接受假设?
-
s
m
}.{
}{}{
0
000
0
0
HP
HPHHP
H 拒绝或拒绝或为真拒绝当
m
m
然而,因为决策的依据是样本,当实际上 H0为真时仍可能做出拒绝 H0的决策 (这种可能性是无法消除的 ),这是一种错误,犯这种错误的概率记为
8
因无法排除犯这类错误的可能性,因此自然希望将犯这类错误的概率控制在一定的限度之类,即给出一个较小的数 a(0<a<1),使犯这类错误的概率不超过 a,即使得
P{当 H0为真拒绝 H0}?a,(1.1)
由于只允许考虑统计量为确定常数,,0
n
X
k
s
m-
.}{ 000
0
a
s
m
m?
-
k
n
X
PHHP 为真拒绝当犯这类错误的概率最大为 a,令 (1.1)式取等号,
9
态分布分位点的定义得,k=za/2.
由标准正为真时由于当为真拒绝当
),1,0(~,
.}{
0
0
0
00
0
N
n
X
ZH
k
n
X
PHHP
s
m
a
s
m
m
-
-
0
a/2
za/2
a/2
-za/2
10
因而,若 Z的观察值满足
,|| 2/0 a
s
m
zk
n
x
z
-
则拒绝 H0,而若
,|| 2/0 a
s
m
zk
n
x
z
-
则接受 H0
11
例如,在本例中取 a=0.05,则有
k=z0.05/2=z0.025=1.96,又已知 n=9,s=0.015,再由样本算得 `x=0.511,即有
,96.12.2
90 1 5.0
5.05 1 1.00
-
-
n
x
s
m
于是拒绝 H0,认为这天包装机工作不正常,
12
上例中所采用的检验法则是符合实际推断原理的,因通常 a总是取得较小,一般取 a=0.01,
0.05,因而若 H0为真,即当 m=m0时,
根据实际推是一个小概率事件,2/0
-
a
s
m
z
n
X
现在居然发生几乎是不会发生的,2/0 a
s
m
z
n
x
-
断原理,就可以认为,如果 H0为真,则由一次试验得到的观察值 `x,满足不等式了,则我们有理由怀疑 H0为假,拒绝 H0.
13
上例中,当样本容量固定时,选定 a后,可确定的观察值的然后按照统计量数
n
X
Zk
s
m 0
,
-
绝对值 |z|大于等于 k还是小于 k来作出决策,数
k是检验上述假设的一个门槛值,如果 |z|?k,则称 `x与 m0的差异是显著的,这时拒绝 H0; 反之,
如果 |z|<k,则称 `x与 m0的差异是不显著的,这时接受 H0,数 a称为 显著性水平,上面关于 `x
与 m0有无显著差异的判断是在显著性水平 a
之下作出的,统计量 Z称为 检验统计量,
14
前面的检验问题常叙述成,在显著性水平 a下,
检验假设
H0:m=m0,H1:m?m0,(1.2)
也常说成 "在显著性水平 a下,针对 H1,检验
H0",H0称为 原假设 或 零假设,H1称为 备择假设,要进行的工作是,根据样本,按上述检验方法作出决策,在 H0与 H1中择其一,
当检验统计量取某个区域 C中的值时,我们拒绝原假设 H0,则 C称为 拒绝域,拒绝域的边界点称为 临界点,如上例中拒绝域为 |z|?za/2,而
z?-za/2,z=za/2为临界点,
15
由于检验法则是根据样本作出的,总有可能作出错误的决策,如上面所说,在假设 H0实际上为真时,可能犯拒绝 H0的错误,称这类 "弃真 "
错误为第 I类错误,又当 H0实际上不真时,也有可能接受 H0,称这类 "取伪 "错误为第 II类错误,
犯第 II类错误的概率记为
}.{}{ 000 1 HPHHP H 接受或不真接受当?m
16
一般来说,当样本容量固定时,若减少犯一类错误的概率,则犯有另一类错误的概率往往增大,一般来说,总是控制第 I类错误的概率,使它不大于 a,a的大小视具体情况而定,通常 a
取 0.1,0.05,0.01,0.005等值,这种只对犯第 I类错误的概率加以控制,而不考虑犯第 II类错误的概率的检验,称为 显著性检验,
形如 (1.2)式 中的备择假设 H1,表示 m1可能大于也可能小于 m0,称为 双边备择假设,而称形如
(1.2)式的假设检验为 双边假设检验,
17
有时只关心总体均值是否增大,例如试验新工艺以提高材料的强度,这时,所考虑的总体的均值应该越大越好,此时,我们需要检验假设
H0:m?m0,H1:m>m0,(1.3)
形如 (1.3)的假设检验,称为右边检验,类似地,
有时需要检验假设
H0:m?m0,H1:m<m0,(1.4)
形如 (1.4)的假设检验,称为左边检验,右边检验和左边检验统称为单边检验,
18
下面讨论单边检验的拒绝域,
设总体 X~N(m,s2),s为已知,X1,X2,...,Xn是来自
X的样本,给定显著性水平 a,来求检验问题
H0:m?m0,H1:m>m0 (1.3)
的拒绝域,
因 H0中的全部 m都比 H1中的 m要小,当 H1为真时,观察值 `x往往偏大,因此,拒绝域的形式为
`x?k (k是某一正常数 ).
19
下面来确定常数 k
-
-
-
-
n
k
n
X
P
n
k
n
X
P
kXPHHP
H
s
m
s
m
s
m
s
m
mm
mm
m
0
00
00
0
0
0
}{}{ 为真拒绝当
)5.1(.0
0
a
s
m
s
m
mm?
-
-
n
k
n
X
P
令
20
)6.1(.
,
,
),1,0(~
)5.1(.
0
0
0
0
0
0
a
a
a
a
mm
s
m
s
m
s
m
s
m
s
m
a
s
m
s
m
z
n
x
z
z
n
x
z
n
k
z
n
k
N
n
X
n
k
n
X
P
-
--
-
-
即即拒绝域为由上式得到由于
21
)6.1(.0 a
s
m
z
n
x
z?
-
0
a
za
22
类似地,可得左边检验问题
H0:m?m0,H1:m<m0 (1.4)
的拒绝域为
)7.1(0 a
s
m
z
n
x
z -?
-
23
例 2 某工厂生产的固体燃料推进器的燃烧率服从正态分布 N(m,s2),m=40cm/s,s=2cm/s,现在用新方法生产了一批推进器,从中随机取
n=25只,测得燃烧率的样本均值为
`x=41.25cm/s,设在新方法下总体均方差仍为
2cm/s,问用新方法生产的推进器的燃烧率是否较以往生产的推进器的燃烧率有显著的提高? 取显著性水平 a=0.05.
24
解 按题意需检验假设
H0:m?m0=40 (假设新方法没有提高燃烧率 ),
H1:m>m0 (假设新方法提高了燃烧率 ).
这是右边检验问题,其拒绝域如 (1.6)式 所示,
6 45.11 25.3
252
4025.41
.6 45.1
05.0
0
-
-
z
z
n
x
z
而现在
s
m
z的值落在拒绝域中,所以在显著性水平
a=0.05下拒绝 H0,认为新法的燃烧率有显著提高,
25
综上所述,处理参数的假设检验问题步骤为,
1,根据实际问题的要求,提出原假设 H0及备择假设 H1;
2,给定显著性水平 a以及样本容量 n;
3,确定检验统计量以及拒绝域的形式 ;
4,按 P{当 H0为真拒绝 H0}<a求出拒绝域 ;
5,取样,根据样本观察值作出决策,是接受 H0
还是拒绝 H0.
26
§ 2 正态总体均值的假设检验
27
(一 ) 单个总体 N(m,s2)均值 m的检验
1,s2已知,关于 m的检验 (Z检验 )
在 § 1中已讨论过正态总体 N(m,s2)当 s2已知时关于 m的检验问题 (1.2),(1.3),(1.4),在这些检验问题中,我们都是利用统计量
.0 来确定拒绝域的
n
X
Z
s
m-
这种检验法常称为 Z检验法,
28
2,s2未知,关于 m的检验 (t检验 )
设总体 X~N(m,s2),其中 m,s2未知,我们来求检验问题
H0:m=m0,H1:m?m0
的拒绝域 (显著性水平为 a).
设 X1,X2,...,Xn是来自总体 X的样本,由于 s2未注意来确定拒绝域了现在不能利用知,,
n
X
s
m-
.0 作为检验统计量
nS
X
t
m-
到 S2是 s2的无偏估计,我们用 S来代替 s,采用
29
域的形式为拒绝过分大时就拒绝当观察值,|| 0H
ns
x
t
m-
.|| 0 k
ns
x
t?
-
m
而当 H0为真时,
),1(~0 -
-
nt
nS
X m
30
故由
a
m
m?
-
k
nS
X
PHHP 000
0
}{ 为真拒绝当
)1.2().1(|| 2/0 -?
-
nt
ns
x
t a
m
得 k=ta/2(n-1),即得拒绝域为对于正态总体 N(m,s2),当 s2未知关于 m的单边检验的拒绝域在书上表 8.1中给出,
上述利用 t 统计量的检验法称为 t 检验法
31
例 1 某种元件的寿命 X(以小时计 )服从正态分布 N(m,s2),m,s2均未知,现测得 16只元件的寿命如下,
159,280,101,212,224,379,179,264
222,362,168,250,149,260,485,170
问是否有理由认为元件的平均寿命大于 225小时?
32
解 按题意需检验
H0:m?m0=225,H1:m>225.
取 a=0.05,由表 8.1知此检验问题的拒绝域为
).1(0 -?
-
nt
ns
x
t a
m
.7 5 3 1.16 6 8 5.00
-
ns
x
t
m
现在 n=16,t0.05(15)=1.7531,又算得 `x=241.5,
s=98.7259,即有
t没有落在拒绝域中,故接受 H0,认为元件寿命不大于 225小时,
33
(二 )两个正态总体均值差的检验 (t检验 )
),(,,,,
),(,,,
2
221
2
121
2
1
sm
sm
NYYY
NXXX
n
n
是来自正态总体样本的是来自正态总体设
设两样本独立,又分别记它们的样本均值为
`X,`Y,记样本方差为 S12,S22,设 m1,m2,s2均为未知,要特别注意二总体方差相等,求检验问题,
H0:m1-m2=d,H1:m1-m2?d
(d为已知常数 )的拒绝域,取显著性水平为 a.
34
引用下述 t统计量作为检验统计量,
2
21
2
22
2
112
21
,
2
)1()1(
,
11
)(
www
w
SS
nn
SnSn
S
nn
S
YX
t
-?
-?-
--
其中
d
当 H0为真时,由第六章定理四知 t~t(n1+n2-2)
35
与单个总体的 t检验法相仿,其拒绝域的形式为
.11
)(
21
k
nn
S
YX
w
-- d
a
d
dmm
--
-
k
nn
S
YX
P
w
21
11
)(
21
由 P{当 H0为真拒绝 H0}=
可得 k=ta/2(n1+n2-2).
36
于是得拒绝域为
)2.2().2(
11
|)(|
212/
21
-
--
nnt
nn
s
yx
t
w
a
d
而两个单边检验的问题的拒绝域在表 8.1中给出,常用的是 d=0的情况,
当两个正态总体的方差均为已知 (不一定相等 )
时,我们可用 Z检验法来检验两正态总体均值差的假设问题,也见表 8.1.
37
例 2 在平炉上进行一项试验以确定新方法是否比标准方法增加钢的得率,用标准方法和新方法各炼 10炉钢,其得率为
(1) 标准方法 78.1,72.4,76.2,74.3,77.4,78.4,
76.0,75.5,76.7,77.3
(2) 新方法 79.1,81.0,77.3,79.1,80.0,79.1,
79.1,77.3,80.2,82.1
设这两个样本相互独立,且分别来自正态总体
N(m1,s2),N(m2,s2),m1,m2,s2均未知,问建议的新操作方法能否提高得到率?(取 a=0.05.)
38
解 需要检验假设
H0:m1-m2?0,H1:m1-m2<0.
分别求出标准方法和新方法下的样本均值和样本方差如下,
n1=10,`x=76.23,s12=3.325,n2=10,`y=79.43,
s22=2.225,sw2=2.775,t0.05(18)=1.7341,
故拒绝域为
7341.1)18(
10
1
10
1
05.0
-?-?
-
t
s
yx
t
w
而现 t?-4.295<-1.7341,所以拒绝 H0,即认为新方法比原方法优,
39
(三 )基于成对数据的检验 (t检验 )
有时为了比较两种产品,或两种仪器,两种方法等的差异,常在相同的条件下作对比试验,
得到一批成对的观察值,然后分析观察数据作出推断,这种方法常称为 逐对比较法,
40
例 3 有两台光谱仪 Ix,Iy,用来测量材料中某种金属的含量,为鉴定它们的测量结果有无显著的差异,制备了 9件试块 (成份,金属含量,均匀性等均各不相同,现在分别用这两台仪器对每一试块测量一次,得到 9对观察值如下,
x(%) 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00
y(%) 0.10 0.21 0.52 0.32 0.78 0.59 0.68 0.77 0.89
d=x-y(%) 0.10 0.09 -0.12 0.18 -0.18 0.11 0.12 0.13 0.11
问能否认为这两台仪器的测量结果有显著差异 (取 a=0.01)?
41
解 本题中的数据是成对的,而对于同一试块测出一对数据,由于各试块的特性有广泛的差异,不能将仪器 Ix对 9个试块的测量结果看成是同分布随机变量的观察值,即不能将表的第一行和第二行的数据看作是一个样本的样本值,但是这两行数据之差可以认为是由这两个仪器的性能之差引起的,因此可以将第 3行看作是来自于一个正态总体的样本,
42
一般,设有 n对相互独立的观察结果,(X1,Y1),
(X2,Y2),...,(Xn,Yn),令 D1=X1-Y1,D2=X2-Y2,...,
Dn=Xn-Yn,则 D1,D2,...,Dn相互独立,并可认为它们来自同一总体,假设 Di~N(mD,sD2),
i=1,2,...,n,其中 mD,sD2未知,我们需要基于这一样本假设,
(1)H0:mD=0,H1:mD?0;
(2)H0:mD?0,H1:mD>0;
(3)H0:mD?0,H1:mD<0.
43
分别记 D1,D2,...,Dn的样本均值和样本方差的观察值为 `d,sD2,按表 8.1中单个正态总体均值的 t 检验,知检验问题 (1),(2),(3),的拒绝域分别为 (检验水平为 a):
).1(
),1(
),1(||
2/
--
-
-
nt
ns
d
t
nt
ns
d
t
nt
ns
d
t
D
D
D
a
a
a
44
现考虑本例问题,将每一对数据之差算出,按题意需检验假设
H0:mD=0,H1:mD?0.
现在 n=9,ta/2(8)=t0.005(8)=3.3554即知拒绝域为
.3554.3||
ns
d
t
D
由观察值得 `d=0.06,sD=0.1227,
|t|=1.467<3.3554,现 |t|的值不落在拒绝域内,
故接受 H0,认为两台仪器的测量结果并无显著差异,
45
§ 3 正态总体方差的假设检验
46
(一 )单个总体的情况设总体 X~N(m,s2),m,s2均未知,X1,X2,...,Xn是来自 X的样本,要求检验假设 (显著性水平为 a):
H0:s2=s02,H1:s2?s02,
s02为已知常数,
由于 S2是 s2的无偏估计,当 H0为真时,观察值而附近摆动一般来说应在的比值与,12
0
2
2
0
2
s
s
s
s
),1(~
)1( 2
2
0
2
-
-
n
Sn
s
不应过分大于 1或过分小于 1,由第六章的定理知,当 H0为真时
47
则取
2
0
2
2 )1(
s
Sn -
a
ss
ss
s
-
-
-
-
22
0
2
12
0
2
00
22
0
2
12
0
2
)1()1(
}{
,
)1()1(
2
0
k
Sn
k
Sn
P
HHP
k
sn
k
sn
为真拒绝当使得或作为检验统计量,如上知拒绝域有如下形式,
48
为计算方便起见,习惯上取
)1.3().1(
)1(
)1(
)1(
).1(),1(
.
2
)1()1(
2
2/2
0
2
2
2/12
0
2
2
2
2
2/11
22
0
2
12
0
2
2
0
2
0
-?
-
-?
-
-?-?
-
-
-
-
n
sn
n
sn
nknk
k
Sn
Pk
Sn
P
a
a
aa
ss
s
s
a
ss
或于是拒绝域为故得
49
下面讨论单边检验问题 (显著性水平为 a)
H0:s2?s02,H1:s2>s02 (3.2)
拒绝域的形式为 s2?k.
下面确定常数 k.
).(
)1()1(
)1()1(
}{}{
2
0
2
2
0
2
2
2
0
2
0
2
2
00
2
0
2
2
0
2
2
0
2
ss
ss
ss
ss
ss
ss
-
-
-
-
因为真拒绝当
knSn
P
knSn
P
kSPHHP
50
要控制 P{当 H0为真拒绝 H0}?a,只需令
)4.3().1(
)1(
),1(
)1(
),1(~
)1(
)3.3(
)1()1(
2
2
0
2
2
2
2
0
2
2
2
2
0
2
2
2
0
2
-?
-
-?
-
-
-
-
-
n
sn
n
kn
n
Sn
knSn
P
a
a
ss
s
s
s
a
ss
则拒绝域为由上式得因
51
类似地,可得左边检验问题
H0:s2?s02,H1:s2<s02
的拒绝域为
)5.3().1(
)1( 2
12
0
2
2 -?-?
- n
sn
a?
s
以上检验法称为?2检验法,
52
例 1 某厂生产的某种型号的电池,其寿命 (以小时计 )长期以来服从方差 s2=5000的正态分布,现有一批这种电池,从它的生产情况来看,
寿命的波动性有所改变,现随机取 26只电池,
测出其寿命的样本方差 s2=9200,问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化 (取 a=0.02)?
53
解 本题要求在水平 a=0.02下检验假设
H0:s2=5000,H1:s2?5000.
,314.4446
)1(
9200
.524.11
)1(
314.44
)1(
,524.11)25()25(
,314.44)25()1(,26
2
0
2
2
2
0
2
2
0
2
2
99.0
2
2/1
2
01.0
2
2/
-
-
-
-?
-
s
ss
a
a
sn
s
snsn
nn
得由观察值或则拒绝域为现在所以拒绝 H0,认为寿命波动有显著变化,
54
(二 ) 两个总体的情况
)6.3(.:,:
)
(.,
,.,.
,),(,,,
,),(,,,
2
2
2
11
2
2
2
10
2
2
2
1
21
2
2
2
1
2
2221
2
1121
2
1
ssss
a
ss
mm
sm
sm
HH
SS
NYYY
NXXX
n
n
为显著性水平现在需要检验假设均为未知且设其样本方差分别为样本独立且两的样本是来自总体的样本是来自总体设
55
.
,,
).()(,
),()(,
2
2
2
1
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
1
2
11
2
2
2
2
2
1
2
10
k
s
s
S
S
H
SESEH
SESEH
域具有形式故拒绝有偏大的趋势观察值为真时当为真时当为真时当
ss
ss
56
常数 k确定如下,
).1(
}{
2
2
2
12
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
00
2
2
2
1
2
2
2
1
ss
ss
ss
ss
因为为真拒绝当
k
SS
P
k
S
S
PHHP
.
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
a
ssss
k
SS
P
要控制 P{当 H0为真拒绝 H0}?a,只需令
57
因此 k=Fa(n1-1,n2-1),即拒绝域为
).1,1(~ 212
2
2
1
2
2
2
1 -- nnFSS
ss
由第六章知
)8.3().1,1( 21
2
2
2
1 -- nnF
s
s
F a
上述检验法称为 F检验法,关于 s12,s22的另外两个检验问题的拒绝域在表 8.1中给出
58
例 2 试对 § 2例 2中的数据检验假设 (取 a=0.01)
H0:s12=s22,H1:s12?s22.
解 此处 n1=n2=10,a=0.01
F0.005(9,9)=6.54,F1-0.005(9,9)=0.153.
拒绝域为
54.61 5 3.0 2
2
2
1
s
s
现算得 s12=3.325,s22=2.225,s12/s22=1.49,即
0.153<s12/s22<6.54
故接受 H0,认为两总体方差相等,两总体方差相等也称两总体具有 方差齐性,
59
§ 4 置信区间与假设检验之间的关系
60
置信区间与假设检验之间有明显的联系,先考察置信区间与双边检验之间的对应关系,设
X1,,...,Xn是一个来自总体的样本,x1,...,xn是相应的样本值,Q是参数 q的可能取值范围,
设 (q(X1,...,Xn),`q(X1,...,Xn))是参数 q的一个置信水平为 1-a的置信区间,则对于任意 q?Q,
有
Pq{q(X1,...,Xn) < q <`q(X1,...,Xn)}?1-a,(4.1)
考虑显著性水平为 a的双边检验
H0:q=q0,H1:q?q0,(4.2)
61
Pq{q(X1,...,Xn) < q <`q(X1,...,Xn)}?1-a,(4.1)
H0:q=q0,H1:q?q0,(4.2)
由 (4.1),当 H0为真时
.)}(){(
,1)},,(),,({
00
101
0
0
aqqqq
aqqq
q
q
-
P
XXXXP nn
即
按显著性水平为 a的假设检验的拒绝域的定义,检验 (4.2)的拒绝域为
q0?q(x1,...,xn) 或 q0?`q(x1,...,xn);
接受域为
q(x1,...,xn) < q0 <`q(x1,...,xn).
62
这就是说,当我们要检验假设 (4.2)时,先求出 q
的置信水平为 1-a的置信区间 (q,`q),然后考察 q0是否落在区间 (q,`q),若 q0?(q,`q),则接受
H0,若 q0?(q,`q),则拒绝 H0.
63
反之,对于任意 q0?Q,考虑显著性水平为 a的假设检验问题,
H0:q=q0,H1:q?q0,
假设它的接受域为
q(x1,...,xn) < q0 <`q(x1,...,xn),
即有 aqqq
q - 1)},,(),,({ 1010 nn XXXXP
由 q0的任意性,由上式知对于任意 q?Q,有
aqqqq - 1)},,(),,({ 11 nn XXXXP
因此 (q(X1,...,Xn),`q(X1,...,Xn))是参数 q的一个置信水平为 1-a的置信区间,
64
这就是说,为要求出参数 q的置信水平为 1-a
的置信区间,我们先求出显著性水平为 a的假设检验问题,H0:q=q0,H1:q?q0的接受域,
q(x1,...,xn) < q0 <`q(x1,...,xn),
那么 (q(X1,...,Xn),`q(X1,...,Xn))就是 q的置信水平为 1-a的置信区间,
65
还可验证,置信水平为 1-a的单侧置信区间
(-?,`q(X1,...,Xn))与显著性水平为 a的左边检验问题 H0:q?q0,H1:q<q0有类似的对应关系,
即若已求得单侧置信区间 (-?,`q(X1,...,Xn)),
则当 q0?(-?,`q(X1,...,Xn))时接受 H0,当
q0?(-?,`q(X1,...,Xn))时拒绝 H0,反之,若已求得检验问题 H0:q?q0,H1:q<q0的接收域为,
-? < q0?`q(X1,...,Xn),则可得 q的一个单侧置信区间 (-?,`q(X1,...,Xn)).
66
置信水平为 1-a单侧置信区间 (q(X1,...,Xn),?))
与显著性水平为 a的右边检验问题 H0:q?q0,
H1:q>q0也有类似的对应关系,即若已求得单侧置信区间 (q(X1,...,Xn),?)),则当
q0?(q(X1,...,Xn),?))时接受 H0,当
q0?(q(X1,...,Xn),?))时拒绝 H0,反之,若已求得检验问题 H0:q?q0,H1:q>q0的接受域为,
q(X1,...,Xn)?q0<?,则可得 q的一个置信区间
(q(X1,...,Xn),?).
67
例 1 设 X~N(m,1),m未知,a=0.05,n=16,且由一样本算得 `x=5.20,于是得到参数 m的一个置信水平为 0.95的置信区间
)69.5,71.4()49.020.5,49.020.5(
)
16
1
,
16
1
(
025.0025.0
-?
- zxzx
现在考虑检验问题 H0:m=5.5,H1:m?5.5,由于
5.5?(4.71,5.69),故接受 H0.
68
例 2 数据如上例,试求右边检验问题 H0:m?m0,
H1:m>m0的接受域,并求 m的单侧置信下限
(a=0.05).
解 检验问题的拒绝域为
,
161
05.0
0 zxz?-? m
或即 m0?4.79,于是检验问题的接受域为
m0>4.79,这样就得到 m的单侧置信区间 (4.79,
),单侧置信下限 m=4.79.
69
作业 第八章习题第 262页第 1,2,14题
70
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2
第八章 假设检验
§ 1 假设检验
3
统计推断的另一类重要问题是假设检验问题,
在总体的分布函数完全未知或只知其形式,但不知道参数的情况,为了推断总体的某些未知特性,提出某些关于总体的假设,例如,提出总体服从泊松分布的假设,又如,对正态总体提出数学期望等于 m0的假设等,我们是要根据样本对所提出的假设作出是接受,还是拒绝的决策,假设检验是作出这一决策的过程,
4
例 1 某车间用一台包装机包装葡萄糖,包得的袋装糖重是一个随机变量,它服从正态分布,
当机器正常时,其均值为 0.5公斤,标准差为
0.015公斤,某日开工后为检验包装机是否正常,随机地抽取它所包装的糖 9袋,称得净重为
(公斤 ):
0.497,0.506,0.518,0.524,0.498,0.511,0.520,
0.515,0.512
问机器是否正常?
5
以 m,s分别表示这一天袋装糖重总体 X的均值和标准差,由于长期实践表明标准差比较稳定,
就设 s=0.015,于是 X~N(m,0.0152),这里 m未知,
问题是根据样本值来判断 m=0.5还是 m?0.5,为此,我们提出两个相互对立的假设
H0:m=m0=0.5
和
H1:m?0.5.
然后给一个合理的法则,利用已知样本作出是接受假设 H0,还是接收假设 H1,如果接受 H0,
则认为机器工作正常,否则不正常,
6
由于要检验的假设涉及总体均值 m,故首先想到是否可借助样本均值 `X这一统计量来进行判断,`X是 m的无偏估计,其观察值的大小在一定程度上反映 m的大小,如果假设 H0为真,
则观察值 `x与 m0的偏差 |`x-m0|一般不应太大,
若 |`x-m|过分大,就怀疑假设 H0的正确性而拒
.||
),1,0(~,
0
00
的大小的大小可归结为衡量量而衡为真时考虑到当绝
n
x
x
N
n
X
HH
s
m
m
s
m
-
-
-
7
因此,可适当选定一正数 k,使当观察值 `x满足
.,
||
0
0 Hk
n
x
就接受假设?
-
s
m
}.{
}{}{
0
000
0
0
HP
HPHHP
H 拒绝或拒绝或为真拒绝当
m
m
然而,因为决策的依据是样本,当实际上 H0为真时仍可能做出拒绝 H0的决策 (这种可能性是无法消除的 ),这是一种错误,犯这种错误的概率记为
8
因无法排除犯这类错误的可能性,因此自然希望将犯这类错误的概率控制在一定的限度之类,即给出一个较小的数 a(0<a<1),使犯这类错误的概率不超过 a,即使得
P{当 H0为真拒绝 H0}?a,(1.1)
由于只允许考虑统计量为确定常数,,0
n
X
k
s
m-
.}{ 000
0
a
s
m
m?
-
k
n
X
PHHP 为真拒绝当犯这类错误的概率最大为 a,令 (1.1)式取等号,
9
态分布分位点的定义得,k=za/2.
由标准正为真时由于当为真拒绝当
),1,0(~,
.}{
0
0
0
00
0
N
n
X
ZH
k
n
X
PHHP
s
m
a
s
m
m
-
-
0
a/2
za/2
a/2
-za/2
10
因而,若 Z的观察值满足
,|| 2/0 a
s
m
zk
n
x
z
-
则拒绝 H0,而若
,|| 2/0 a
s
m
zk
n
x
z
-
则接受 H0
11
例如,在本例中取 a=0.05,则有
k=z0.05/2=z0.025=1.96,又已知 n=9,s=0.015,再由样本算得 `x=0.511,即有
,96.12.2
90 1 5.0
5.05 1 1.00
-
-
n
x
s
m
于是拒绝 H0,认为这天包装机工作不正常,
12
上例中所采用的检验法则是符合实际推断原理的,因通常 a总是取得较小,一般取 a=0.01,
0.05,因而若 H0为真,即当 m=m0时,
根据实际推是一个小概率事件,2/0
-
a
s
m
z
n
X
现在居然发生几乎是不会发生的,2/0 a
s
m
z
n
x
-
断原理,就可以认为,如果 H0为真,则由一次试验得到的观察值 `x,满足不等式了,则我们有理由怀疑 H0为假,拒绝 H0.
13
上例中,当样本容量固定时,选定 a后,可确定的观察值的然后按照统计量数
n
X
Zk
s
m 0
,
-
绝对值 |z|大于等于 k还是小于 k来作出决策,数
k是检验上述假设的一个门槛值,如果 |z|?k,则称 `x与 m0的差异是显著的,这时拒绝 H0; 反之,
如果 |z|<k,则称 `x与 m0的差异是不显著的,这时接受 H0,数 a称为 显著性水平,上面关于 `x
与 m0有无显著差异的判断是在显著性水平 a
之下作出的,统计量 Z称为 检验统计量,
14
前面的检验问题常叙述成,在显著性水平 a下,
检验假设
H0:m=m0,H1:m?m0,(1.2)
也常说成 "在显著性水平 a下,针对 H1,检验
H0",H0称为 原假设 或 零假设,H1称为 备择假设,要进行的工作是,根据样本,按上述检验方法作出决策,在 H0与 H1中择其一,
当检验统计量取某个区域 C中的值时,我们拒绝原假设 H0,则 C称为 拒绝域,拒绝域的边界点称为 临界点,如上例中拒绝域为 |z|?za/2,而
z?-za/2,z=za/2为临界点,
15
由于检验法则是根据样本作出的,总有可能作出错误的决策,如上面所说,在假设 H0实际上为真时,可能犯拒绝 H0的错误,称这类 "弃真 "
错误为第 I类错误,又当 H0实际上不真时,也有可能接受 H0,称这类 "取伪 "错误为第 II类错误,
犯第 II类错误的概率记为
}.{}{ 000 1 HPHHP H 接受或不真接受当?m
16
一般来说,当样本容量固定时,若减少犯一类错误的概率,则犯有另一类错误的概率往往增大,一般来说,总是控制第 I类错误的概率,使它不大于 a,a的大小视具体情况而定,通常 a
取 0.1,0.05,0.01,0.005等值,这种只对犯第 I类错误的概率加以控制,而不考虑犯第 II类错误的概率的检验,称为 显著性检验,
形如 (1.2)式 中的备择假设 H1,表示 m1可能大于也可能小于 m0,称为 双边备择假设,而称形如
(1.2)式的假设检验为 双边假设检验,
17
有时只关心总体均值是否增大,例如试验新工艺以提高材料的强度,这时,所考虑的总体的均值应该越大越好,此时,我们需要检验假设
H0:m?m0,H1:m>m0,(1.3)
形如 (1.3)的假设检验,称为右边检验,类似地,
有时需要检验假设
H0:m?m0,H1:m<m0,(1.4)
形如 (1.4)的假设检验,称为左边检验,右边检验和左边检验统称为单边检验,
18
下面讨论单边检验的拒绝域,
设总体 X~N(m,s2),s为已知,X1,X2,...,Xn是来自
X的样本,给定显著性水平 a,来求检验问题
H0:m?m0,H1:m>m0 (1.3)
的拒绝域,
因 H0中的全部 m都比 H1中的 m要小,当 H1为真时,观察值 `x往往偏大,因此,拒绝域的形式为
`x?k (k是某一正常数 ).
19
下面来确定常数 k
-
-
-
-
n
k
n
X
P
n
k
n
X
P
kXPHHP
H
s
m
s
m
s
m
s
m
mm
mm
m
0
00
00
0
0
0
}{}{ 为真拒绝当
)5.1(.0
0
a
s
m
s
m
mm?
-
-
n
k
n
X
P
令
20
)6.1(.
,
,
),1,0(~
)5.1(.
0
0
0
0
0
0
a
a
a
a
mm
s
m
s
m
s
m
s
m
s
m
a
s
m
s
m
z
n
x
z
z
n
x
z
n
k
z
n
k
N
n
X
n
k
n
X
P
-
--
-
-
即即拒绝域为由上式得到由于
21
)6.1(.0 a
s
m
z
n
x
z?
-
0
a
za
22
类似地,可得左边检验问题
H0:m?m0,H1:m<m0 (1.4)
的拒绝域为
)7.1(0 a
s
m
z
n
x
z -?
-
23
例 2 某工厂生产的固体燃料推进器的燃烧率服从正态分布 N(m,s2),m=40cm/s,s=2cm/s,现在用新方法生产了一批推进器,从中随机取
n=25只,测得燃烧率的样本均值为
`x=41.25cm/s,设在新方法下总体均方差仍为
2cm/s,问用新方法生产的推进器的燃烧率是否较以往生产的推进器的燃烧率有显著的提高? 取显著性水平 a=0.05.
24
解 按题意需检验假设
H0:m?m0=40 (假设新方法没有提高燃烧率 ),
H1:m>m0 (假设新方法提高了燃烧率 ).
这是右边检验问题,其拒绝域如 (1.6)式 所示,
6 45.11 25.3
252
4025.41
.6 45.1
05.0
0
-
-
z
z
n
x
z
而现在
s
m
z的值落在拒绝域中,所以在显著性水平
a=0.05下拒绝 H0,认为新法的燃烧率有显著提高,
25
综上所述,处理参数的假设检验问题步骤为,
1,根据实际问题的要求,提出原假设 H0及备择假设 H1;
2,给定显著性水平 a以及样本容量 n;
3,确定检验统计量以及拒绝域的形式 ;
4,按 P{当 H0为真拒绝 H0}<a求出拒绝域 ;
5,取样,根据样本观察值作出决策,是接受 H0
还是拒绝 H0.
26
§ 2 正态总体均值的假设检验
27
(一 ) 单个总体 N(m,s2)均值 m的检验
1,s2已知,关于 m的检验 (Z检验 )
在 § 1中已讨论过正态总体 N(m,s2)当 s2已知时关于 m的检验问题 (1.2),(1.3),(1.4),在这些检验问题中,我们都是利用统计量
.0 来确定拒绝域的
n
X
Z
s
m-
这种检验法常称为 Z检验法,
28
2,s2未知,关于 m的检验 (t检验 )
设总体 X~N(m,s2),其中 m,s2未知,我们来求检验问题
H0:m=m0,H1:m?m0
的拒绝域 (显著性水平为 a).
设 X1,X2,...,Xn是来自总体 X的样本,由于 s2未注意来确定拒绝域了现在不能利用知,,
n
X
s
m-
.0 作为检验统计量
nS
X
t
m-
到 S2是 s2的无偏估计,我们用 S来代替 s,采用
29
域的形式为拒绝过分大时就拒绝当观察值,|| 0H
ns
x
t
m-
.|| 0 k
ns
x
t?
-
m
而当 H0为真时,
),1(~0 -
-
nt
nS
X m
30
故由
a
m
m?
-
k
nS
X
PHHP 000
0
}{ 为真拒绝当
)1.2().1(|| 2/0 -?
-
nt
ns
x
t a
m
得 k=ta/2(n-1),即得拒绝域为对于正态总体 N(m,s2),当 s2未知关于 m的单边检验的拒绝域在书上表 8.1中给出,
上述利用 t 统计量的检验法称为 t 检验法
31
例 1 某种元件的寿命 X(以小时计 )服从正态分布 N(m,s2),m,s2均未知,现测得 16只元件的寿命如下,
159,280,101,212,224,379,179,264
222,362,168,250,149,260,485,170
问是否有理由认为元件的平均寿命大于 225小时?
32
解 按题意需检验
H0:m?m0=225,H1:m>225.
取 a=0.05,由表 8.1知此检验问题的拒绝域为
).1(0 -?
-
nt
ns
x
t a
m
.7 5 3 1.16 6 8 5.00
-
ns
x
t
m
现在 n=16,t0.05(15)=1.7531,又算得 `x=241.5,
s=98.7259,即有
t没有落在拒绝域中,故接受 H0,认为元件寿命不大于 225小时,
33
(二 )两个正态总体均值差的检验 (t检验 )
),(,,,,
),(,,,
2
221
2
121
2
1
sm
sm
NYYY
NXXX
n
n
是来自正态总体样本的是来自正态总体设
设两样本独立,又分别记它们的样本均值为
`X,`Y,记样本方差为 S12,S22,设 m1,m2,s2均为未知,要特别注意二总体方差相等,求检验问题,
H0:m1-m2=d,H1:m1-m2?d
(d为已知常数 )的拒绝域,取显著性水平为 a.
34
引用下述 t统计量作为检验统计量,
2
21
2
22
2
112
21
,
2
)1()1(
,
11
)(
www
w
SS
nn
SnSn
S
nn
S
YX
t
-?
-?-
--
其中
d
当 H0为真时,由第六章定理四知 t~t(n1+n2-2)
35
与单个总体的 t检验法相仿,其拒绝域的形式为
.11
)(
21
k
nn
S
YX
w
-- d
a
d
dmm
--
-
k
nn
S
YX
P
w
21
11
)(
21
由 P{当 H0为真拒绝 H0}=
可得 k=ta/2(n1+n2-2).
36
于是得拒绝域为
)2.2().2(
11
|)(|
212/
21
-
--
nnt
nn
s
yx
t
w
a
d
而两个单边检验的问题的拒绝域在表 8.1中给出,常用的是 d=0的情况,
当两个正态总体的方差均为已知 (不一定相等 )
时,我们可用 Z检验法来检验两正态总体均值差的假设问题,也见表 8.1.
37
例 2 在平炉上进行一项试验以确定新方法是否比标准方法增加钢的得率,用标准方法和新方法各炼 10炉钢,其得率为
(1) 标准方法 78.1,72.4,76.2,74.3,77.4,78.4,
76.0,75.5,76.7,77.3
(2) 新方法 79.1,81.0,77.3,79.1,80.0,79.1,
79.1,77.3,80.2,82.1
设这两个样本相互独立,且分别来自正态总体
N(m1,s2),N(m2,s2),m1,m2,s2均未知,问建议的新操作方法能否提高得到率?(取 a=0.05.)
38
解 需要检验假设
H0:m1-m2?0,H1:m1-m2<0.
分别求出标准方法和新方法下的样本均值和样本方差如下,
n1=10,`x=76.23,s12=3.325,n2=10,`y=79.43,
s22=2.225,sw2=2.775,t0.05(18)=1.7341,
故拒绝域为
7341.1)18(
10
1
10
1
05.0
-?-?
-
t
s
yx
t
w
而现 t?-4.295<-1.7341,所以拒绝 H0,即认为新方法比原方法优,
39
(三 )基于成对数据的检验 (t检验 )
有时为了比较两种产品,或两种仪器,两种方法等的差异,常在相同的条件下作对比试验,
得到一批成对的观察值,然后分析观察数据作出推断,这种方法常称为 逐对比较法,
40
例 3 有两台光谱仪 Ix,Iy,用来测量材料中某种金属的含量,为鉴定它们的测量结果有无显著的差异,制备了 9件试块 (成份,金属含量,均匀性等均各不相同,现在分别用这两台仪器对每一试块测量一次,得到 9对观察值如下,
x(%) 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00
y(%) 0.10 0.21 0.52 0.32 0.78 0.59 0.68 0.77 0.89
d=x-y(%) 0.10 0.09 -0.12 0.18 -0.18 0.11 0.12 0.13 0.11
问能否认为这两台仪器的测量结果有显著差异 (取 a=0.01)?
41
解 本题中的数据是成对的,而对于同一试块测出一对数据,由于各试块的特性有广泛的差异,不能将仪器 Ix对 9个试块的测量结果看成是同分布随机变量的观察值,即不能将表的第一行和第二行的数据看作是一个样本的样本值,但是这两行数据之差可以认为是由这两个仪器的性能之差引起的,因此可以将第 3行看作是来自于一个正态总体的样本,
42
一般,设有 n对相互独立的观察结果,(X1,Y1),
(X2,Y2),...,(Xn,Yn),令 D1=X1-Y1,D2=X2-Y2,...,
Dn=Xn-Yn,则 D1,D2,...,Dn相互独立,并可认为它们来自同一总体,假设 Di~N(mD,sD2),
i=1,2,...,n,其中 mD,sD2未知,我们需要基于这一样本假设,
(1)H0:mD=0,H1:mD?0;
(2)H0:mD?0,H1:mD>0;
(3)H0:mD?0,H1:mD<0.
43
分别记 D1,D2,...,Dn的样本均值和样本方差的观察值为 `d,sD2,按表 8.1中单个正态总体均值的 t 检验,知检验问题 (1),(2),(3),的拒绝域分别为 (检验水平为 a):
).1(
),1(
),1(||
2/
--
-
-
nt
ns
d
t
nt
ns
d
t
nt
ns
d
t
D
D
D
a
a
a
44
现考虑本例问题,将每一对数据之差算出,按题意需检验假设
H0:mD=0,H1:mD?0.
现在 n=9,ta/2(8)=t0.005(8)=3.3554即知拒绝域为
.3554.3||
ns
d
t
D
由观察值得 `d=0.06,sD=0.1227,
|t|=1.467<3.3554,现 |t|的值不落在拒绝域内,
故接受 H0,认为两台仪器的测量结果并无显著差异,
45
§ 3 正态总体方差的假设检验
46
(一 )单个总体的情况设总体 X~N(m,s2),m,s2均未知,X1,X2,...,Xn是来自 X的样本,要求检验假设 (显著性水平为 a):
H0:s2=s02,H1:s2?s02,
s02为已知常数,
由于 S2是 s2的无偏估计,当 H0为真时,观察值而附近摆动一般来说应在的比值与,12
0
2
2
0
2
s
s
s
s
),1(~
)1( 2
2
0
2
-
-
n
Sn
s
不应过分大于 1或过分小于 1,由第六章的定理知,当 H0为真时
47
则取
2
0
2
2 )1(
s
Sn -
a
ss
ss
s
-
-
-
-
22
0
2
12
0
2
00
22
0
2
12
0
2
)1()1(
}{
,
)1()1(
2
0
k
Sn
k
Sn
P
HHP
k
sn
k
sn
为真拒绝当使得或作为检验统计量,如上知拒绝域有如下形式,
48
为计算方便起见,习惯上取
)1.3().1(
)1(
)1(
)1(
).1(),1(
.
2
)1()1(
2
2/2
0
2
2
2/12
0
2
2
2
2
2/11
22
0
2
12
0
2
2
0
2
0
-?
-
-?
-
-?-?
-
-
-
-
n
sn
n
sn
nknk
k
Sn
Pk
Sn
P
a
a
aa
ss
s
s
a
ss
或于是拒绝域为故得
49
下面讨论单边检验问题 (显著性水平为 a)
H0:s2?s02,H1:s2>s02 (3.2)
拒绝域的形式为 s2?k.
下面确定常数 k.
).(
)1()1(
)1()1(
}{}{
2
0
2
2
0
2
2
2
0
2
0
2
2
00
2
0
2
2
0
2
2
0
2
ss
ss
ss
ss
ss
ss
-
-
-
-
因为真拒绝当
knSn
P
knSn
P
kSPHHP
50
要控制 P{当 H0为真拒绝 H0}?a,只需令
)4.3().1(
)1(
),1(
)1(
),1(~
)1(
)3.3(
)1()1(
2
2
0
2
2
2
2
0
2
2
2
2
0
2
2
2
0
2
-?
-
-?
-
-
-
-
-
n
sn
n
kn
n
Sn
knSn
P
a
a
ss
s
s
s
a
ss
则拒绝域为由上式得因
51
类似地,可得左边检验问题
H0:s2?s02,H1:s2<s02
的拒绝域为
)5.3().1(
)1( 2
12
0
2
2 -?-?
- n
sn
a?
s
以上检验法称为?2检验法,
52
例 1 某厂生产的某种型号的电池,其寿命 (以小时计 )长期以来服从方差 s2=5000的正态分布,现有一批这种电池,从它的生产情况来看,
寿命的波动性有所改变,现随机取 26只电池,
测出其寿命的样本方差 s2=9200,问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化 (取 a=0.02)?
53
解 本题要求在水平 a=0.02下检验假设
H0:s2=5000,H1:s2?5000.
,314.4446
)1(
9200
.524.11
)1(
314.44
)1(
,524.11)25()25(
,314.44)25()1(,26
2
0
2
2
2
0
2
2
0
2
2
99.0
2
2/1
2
01.0
2
2/
-
-
-
-?
-
s
ss
a
a
sn
s
snsn
nn
得由观察值或则拒绝域为现在所以拒绝 H0,认为寿命波动有显著变化,
54
(二 ) 两个总体的情况
)6.3(.:,:
)
(.,
,.,.
,),(,,,
,),(,,,
2
2
2
11
2
2
2
10
2
2
2
1
21
2
2
2
1
2
2221
2
1121
2
1
ssss
a
ss
mm
sm
sm
HH
SS
NYYY
NXXX
n
n
为显著性水平现在需要检验假设均为未知且设其样本方差分别为样本独立且两的样本是来自总体的样本是来自总体设
55
.
,,
).()(,
),()(,
2
2
2
1
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
1
2
11
2
2
2
2
2
1
2
10
k
s
s
S
S
H
SESEH
SESEH
域具有形式故拒绝有偏大的趋势观察值为真时当为真时当为真时当
ss
ss
56
常数 k确定如下,
).1(
}{
2
2
2
12
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
00
2
2
2
1
2
2
2
1
ss
ss
ss
ss
因为为真拒绝当
k
SS
P
k
S
S
PHHP
.
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
a
ssss
k
SS
P
要控制 P{当 H0为真拒绝 H0}?a,只需令
57
因此 k=Fa(n1-1,n2-1),即拒绝域为
).1,1(~ 212
2
2
1
2
2
2
1 -- nnFSS
ss
由第六章知
)8.3().1,1( 21
2
2
2
1 -- nnF
s
s
F a
上述检验法称为 F检验法,关于 s12,s22的另外两个检验问题的拒绝域在表 8.1中给出
58
例 2 试对 § 2例 2中的数据检验假设 (取 a=0.01)
H0:s12=s22,H1:s12?s22.
解 此处 n1=n2=10,a=0.01
F0.005(9,9)=6.54,F1-0.005(9,9)=0.153.
拒绝域为
54.61 5 3.0 2
2
2
1
s
s
现算得 s12=3.325,s22=2.225,s12/s22=1.49,即
0.153<s12/s22<6.54
故接受 H0,认为两总体方差相等,两总体方差相等也称两总体具有 方差齐性,
59
§ 4 置信区间与假设检验之间的关系
60
置信区间与假设检验之间有明显的联系,先考察置信区间与双边检验之间的对应关系,设
X1,,...,Xn是一个来自总体的样本,x1,...,xn是相应的样本值,Q是参数 q的可能取值范围,
设 (q(X1,...,Xn),`q(X1,...,Xn))是参数 q的一个置信水平为 1-a的置信区间,则对于任意 q?Q,
有
Pq{q(X1,...,Xn) < q <`q(X1,...,Xn)}?1-a,(4.1)
考虑显著性水平为 a的双边检验
H0:q=q0,H1:q?q0,(4.2)
61
Pq{q(X1,...,Xn) < q <`q(X1,...,Xn)}?1-a,(4.1)
H0:q=q0,H1:q?q0,(4.2)
由 (4.1),当 H0为真时
.)}(){(
,1)},,(),,({
00
101
0
0
aqqqq
aqqq
q
q
-
P
XXXXP nn
即
按显著性水平为 a的假设检验的拒绝域的定义,检验 (4.2)的拒绝域为
q0?q(x1,...,xn) 或 q0?`q(x1,...,xn);
接受域为
q(x1,...,xn) < q0 <`q(x1,...,xn).
62
这就是说,当我们要检验假设 (4.2)时,先求出 q
的置信水平为 1-a的置信区间 (q,`q),然后考察 q0是否落在区间 (q,`q),若 q0?(q,`q),则接受
H0,若 q0?(q,`q),则拒绝 H0.
63
反之,对于任意 q0?Q,考虑显著性水平为 a的假设检验问题,
H0:q=q0,H1:q?q0,
假设它的接受域为
q(x1,...,xn) < q0 <`q(x1,...,xn),
即有 aqqq
q - 1)},,(),,({ 1010 nn XXXXP
由 q0的任意性,由上式知对于任意 q?Q,有
aqqqq - 1)},,(),,({ 11 nn XXXXP
因此 (q(X1,...,Xn),`q(X1,...,Xn))是参数 q的一个置信水平为 1-a的置信区间,
64
这就是说,为要求出参数 q的置信水平为 1-a
的置信区间,我们先求出显著性水平为 a的假设检验问题,H0:q=q0,H1:q?q0的接受域,
q(x1,...,xn) < q0 <`q(x1,...,xn),
那么 (q(X1,...,Xn),`q(X1,...,Xn))就是 q的置信水平为 1-a的置信区间,
65
还可验证,置信水平为 1-a的单侧置信区间
(-?,`q(X1,...,Xn))与显著性水平为 a的左边检验问题 H0:q?q0,H1:q<q0有类似的对应关系,
即若已求得单侧置信区间 (-?,`q(X1,...,Xn)),
则当 q0?(-?,`q(X1,...,Xn))时接受 H0,当
q0?(-?,`q(X1,...,Xn))时拒绝 H0,反之,若已求得检验问题 H0:q?q0,H1:q<q0的接收域为,
-? < q0?`q(X1,...,Xn),则可得 q的一个单侧置信区间 (-?,`q(X1,...,Xn)).
66
置信水平为 1-a单侧置信区间 (q(X1,...,Xn),?))
与显著性水平为 a的右边检验问题 H0:q?q0,
H1:q>q0也有类似的对应关系,即若已求得单侧置信区间 (q(X1,...,Xn),?)),则当
q0?(q(X1,...,Xn),?))时接受 H0,当
q0?(q(X1,...,Xn),?))时拒绝 H0,反之,若已求得检验问题 H0:q?q0,H1:q>q0的接受域为,
q(X1,...,Xn)?q0<?,则可得 q的一个置信区间
(q(X1,...,Xn),?).
67
例 1 设 X~N(m,1),m未知,a=0.05,n=16,且由一样本算得 `x=5.20,于是得到参数 m的一个置信水平为 0.95的置信区间
)69.5,71.4()49.020.5,49.020.5(
)
16
1
,
16
1
(
025.0025.0
-?
- zxzx
现在考虑检验问题 H0:m=5.5,H1:m?5.5,由于
5.5?(4.71,5.69),故接受 H0.
68
例 2 数据如上例,试求右边检验问题 H0:m?m0,
H1:m>m0的接受域,并求 m的单侧置信下限
(a=0.05).
解 检验问题的拒绝域为
,
161
05.0
0 zxz?-? m
或即 m0?4.79,于是检验问题的接受域为
m0>4.79,这样就得到 m的单侧置信区间 (4.79,
),单侧置信下限 m=4.79.
69
作业 第八章习题第 262页第 1,2,14题
70
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