1
概率论与数理统计第 14讲本文件可从网址
http://math.vip.sina.com
上下载
(单击 ppt讲义后选择 '工程数学 1'子目录 )
2
第九章 方差分析及回归分析
§ 1 单因素试验的方差分析
3
(一 )单因素试验 在科学试验和生产实践中,
影响一事物的因素往往是很多的,例如,在化工生产中,有原料成份,原料剂量,催化剂,反应温度,压力,溶液浓度,反应时间,机器设备及操作人员的水平等因素,每一因素的改变都有可能影响产品的数量和质量,有些因素影响较大,有些较小,为了使生产过程得以稳定,保证优质,高产,就有必要找到对产品质量有显著影响的那些因素,为此,我们需进行试验,方差分析就是根据试验结果进行分析,鉴别各个有关因素的作用的有效方法,
4
在试验中,将要考察的指标称为 试验指标,影响试验指标的条件称为 因素,因素可分为两类,
一类是人们可以控制的 (可控因素 ); 一类是人们不能控制的,例如,反应温度,原料剂量,溶液浓度等是可以控制的,而测量误差,气象条件等一般是难以控制的,以下所说的因素都是可控因素,因素所处的状态,称为该因素的 水平,如果一项试验中只有一个因素在改变称为单因素试验,如果多于一个因素在改变称为 多因素试验,
5
例 1 设有三台机器,生产规格相同的铝合金薄板,取样,测量薄板的厚度得结果如下表所示,
表 9.1 铝合金板的厚度机器 I 机器 II 机器 III
0.236 0.257 0.258
0.238 0.253 0.264
0.248 0.255 0.259
0.245 0.254 0.267
0.243 0.261 0.262
6
这里,试验的指标是薄板的厚度,机器为因素,
不同的三台机器就是这个因素的三个不同的水平,假定除机器这一因素外,材料的规格,操作人员的水平等其它条件都相同,这是单因素试验,试验的目的是为了考察各台机器所生产的薄板的厚度有无显著的差异,即考察机器这一因素对厚度有无显著的影响,如果厚度有显著差异,就表明机器这一因素对厚度的影响是显著的,
7
例 2 下面给出了随机选取的,用于计算器的四种类型的电路的响应时间 (以毫秒计 ).
表 9.2 电路的响应时间类型 I 类型 II 类型 III 类型 IV
19 15
22
20
18
20 40
21
33
27
16 17
15
18
26
18
22
19
这里试验的指标是电路的响应时间,电路类型为因素,这一因素有四个水平,试验的目的是要考察各类型电路对响应时间的影响,
8
例 3 一火箭使用四种燃料,三种推进器作射程试验,每种燃料与每种推进器的组合各发射火箭两次,得射程如下 (以海里计 ):
表 9.3 火箭的射程推进器 (B) B1 B2 B3
燃料 (A)
A1 58.252.6 56.241.2 65.360.8
A2 49.142.8 54.150.5 51.648.4
A3 60.158.3 70.973.2 39.240.7
A4 75.871.5 58.251.0 48.741.4
9
这里的试验指标是射程,推进器和燃料是因素,
它们分别有 3个,4个水平,这是一个双因素试验,试验的目的在于考察在各种因素的各个水平下射程有无显著的差异,即考察推进器和燃料这两个因素对射程是否有显著的影响,
10
本节限于讨论单因素试验,就 例 1讨论,在例 1
中,在因素的每一个水平下进行独立试验,其结果是一个随机变量,表中数据可看成来自三个不同总体 (每个水平对应一个总体 )的样本值,将各个总体的均值依次记为 m1,m2,m3,按题意需检验假设
H0:m1=m2=m3,
H1:m1,m2,m3不全相等,
进而假设各总体均为正态变量,且各总体的方差相等,但参数均未知,这就是一个检验同方差多个正态总体均值是否相等的问题,
11
设因素 A有 s个水平 A1,A2,...,As,在水平
Aj(j=1,2,...,s)下,进行 nj次独立试验,得到如下表的结果,
s
s
s
snnn
s
s
s
XXX
TTT
XXX
XXX
XXX
AAA
s
mmm?
21
21
21
21
22221
11211
21
21
总体均值样本均值样本总和水平
12
假定,各个水平 Aj(j=1,2,...,s)下的样本 X1j,X2j,..
,1(,2?jX jjn j m? 均值分别为来自具有相同方差
)1.1(
,,,2,1,,,2,1
),,0(~
,
2
sjni
N
X
j
ijij
ijjij
独立各 e?e
em
2,...,s)的正态总体 N(mi,?2),mi与?2未知,且设不同水平 Aj下的样本之间相互独立,
由于 Xij~N(mj,?2),即有 Xij-mj~N(0,?2),故 Xij-mj
可看成随机误差,记 Xij-mj=eij,则
13
其中 mj与?2均为未知参数,(1.1)式称为单因素试验方差分析的数学模型,这是本节研究的对象,
方差分析的任务是对于模型 (1.1),
1o检验 s个总体 N(m1,?2),...,N(ms,?2)的均值是否相等,即检验假设
H0:m1=m2=...=ms,
H1:m1,m2,...,ms不全相等,(1.2)
2o作出未知参数 m1,m2,...,ms,?2的估计,
14
为了将问题 (1.2)写成便于讨论的形式,令
n=n1+n2+...+ns,再令
)3.1(,
1
1
s
j
jjnn mm
m称为 总平均,再引入
dj=mj-m,j=1,2,...,s,(1.4)
此时有 n1d1+n2d2+...+nsds=0,dj表示水平 Aj下的总体平均值与总平均的差异,习惯上将 dj称为水平 Aj的 效应,
15
利用这些记号,模型 (1.1)可改写成
)'1.1(
.0
,,,2,1,,,2,1
,),,0(~
,
1
2
s
j
jj
j
ijij
ijjij
n
sjni
N
X
d
e?e
edm
独立各而假设 (1.2)等价于假设
H0:d1=d2=...=ds=0,
H1:d1,d2,...,ds不全为零,(1.2)'
16
(二 )平方和的分解 引入总偏差平方和
)6.1(
1
)5.1(.)(
1 1
1 1
2
-?
n
j
n
i
ij
s
j
n
i
ijT
j
j
X
n
X
XXS
其中
)7.1(.
1
1
jn
i
ij
j
j XnX
是数据的总平均,ST能反映全部试验数据之间的差异,因此 ST又称为总变差,又记水平 Aj下的样本平均值为 `X?j,即
17
将 ST写成
.))((2
)()(
)]()[(
1 1
1 1
2
1 1
2
1 1
2
--?
-?-?
-?-?
s
j
n
i
jjij
s
j
n
i
j
s
j
n
i
jij
s
j
n
i
jjijT
j
jj
j
XXXX
XXXX
XXXXS
注意最后一项交叉项等于 0.
18
即交叉项为
0)(2
)()(2
))((2
1 1
1 1
1 1
--?
--?
--
s
j
jj
n
i
ijj
s
j
n
i
jijj
s
j
n
i
jjij
XnXXX
XXXX
XXXX
j
j
j
19
于是将 ST分解成为
)10.1(.
)()(
)9.1(,)(
)8.1(,
2
1
2
1
2
1 1
2
1 1
2
XnXn
XXnXXS
XXS
SSS
s
j
jj
s
j
jj
s
j
n
i
jA
s
j
n
i
jijE
AET
j
j
-?
-?-?
-?
其中
20
上述 SE的各项 (Xij-`X?j)2表示在水平 Aj下,样本观察值与样本均值的差异,这是由随机误差所引起的,SE叫做误差平方和,SA的各项
nj(`X?j-`X)2表示 Aj水平下的样本平均值与数据总平均的差异,这是由水平 Aj的效应的差异以及随机误差引起的,SA叫做因素 A的效应平方和,(1.8)式就是我们所需要的平方和分解式,
21
(三 ) SE,SA的统计特性 为了引出检验问题
(1.2)'的检验统计量,先讨论 SE,SA的特性,因的样本方差是总体注意 ),()(
)11.1()()(
2
1
2
1
2
1
2
11
1
m
j
n
i
jij
n
i
sis
n
i
iE
NXX
XXXXS
j
s
-
--
).1(~)( 22
1
2 --?
j
n
i
jij nXX
j
c?
的 nj-1倍,于是有
22
因各 Xij独立,故 (1.11)式 中各平方和独立,由 c2
分布的可加性知
,)1(~
1
22
-?
s
j
jE nS c?
的自由度为式还可知由这里 E
s
j
j Snn,)12.1(.
1
即 SE/?2~c2(n-s),(1.12)
n-s,且有
E(SE)=(n-s)?2,(1.13)
23
现在讨论 SA的统计特性,SA是 s个变量
.),,2,1)(( 的平方和sjXXn jj-
,0
)()(
1 1
11
-?
-?-
XnX
XXnXXnn
s
j
n
i
ij
s
j
jj
s
j
jjj
j
它们之间仅有一个线性约束条件故知 SA的自由度是 s-1.
24
再由 (1.3),(1.6)及 Xij的独立性,知
`X~N(m,?2/n),(1.14)
即得
.2)1(
)(
)()()(
2
1
22
1
2
2
2
1
2
2
2
1
22
1
2
mdmdm?
m
dm
nnnns
n
n
n
n
XnEXEnXnXnESE
s
j
jj
s
j
jj
s
j
j
j
j
s
j
jj
s
j
jjA
--?
-
-
-?
25
进一步还可以证明 SA与 SE独立,且当 H0为真时
SA/?2~c2(s-1) (1.16)
(证略 )
)15.1()1()(
,0)'1.1(
1
22
1
-?
s
j jjA
s
j jj
nsSE
n
d?
d 故有式由
26
(四 )假设检验的拒绝域 由 (1.15)式知,当 H0为真时
)18.1(
1
1
1
,0
,.)1(
)17.1(,
1
2
1
22
1
2
1
2
2
d?
dm
-
-
-
-
s
j
jj
A
s
j
jj
A
A
n
ss
S
E
HsS
s
S
E
此时为真时而当的无偏估计是即
27
又由 (1.13)知,
)19.1(,2
- sn
S
E E
即不管 H0是否为真,SE/(n-s)都是?2的无偏估计,
)18.1(
1
1
1
2
1
22?d
-
-
s
j
jj
A n
ss
S
E
28
分母 SE不管 H0是否为真,其数学期望总是?2,
当 H0为真时,分子的数学期望为?2,当 H0不真时,由 (1.18)式 分子的取值有偏大的趋势,故知检验问题 (1.2)'的拒绝域具有形式
,
)(
)1(,的分子与分母独立分式综上所述
snS
sSF
E
A
-
-?
,
)(
)1(
k
snS
sS
F
E
A?
-
-
其中 k由预先给定的显著性水平 a确定,
29
由 (1.12),(1.16)式及 SE与 SA的独立性知,当 H0
为真时,
).,1(~
)(
)1(
snsF
snS
sS
E
A --
-
-
)20.1().,1(
)(
)1(
snsF
snS
sS
F
E
A --?
-
-
a
由此得检验问题 (1.2)'的拒绝域为
30
可以排成下面的方差分析表
1
1
1
-
-
-
-
-
nS
sn
S
SsnS
S
S
F
s
S
SsSA
F
T
E
EE
E
AA
AA
总和误差因素比均方自由度平方和方差来源表中 `SA/(s-1),`SE=SE/(n-s)分别称为 SA,SE的均方,由于 ST中 n个变量 Xij -`X之间仅满足一个约束条件 (1.6),ST的自由度为 n-1.
31
在实际中,可按以下简算公式计算 ST,SA,SE
,,,,2,1,
1 11
s
j
n
i
ij
n
i
ijj
jj
XTsjXT?记 )21.1(,
,
2
1
2
2
1 1
2
-?
-?
-?
ATE
s
j j
j
A
s
j
n
i
ijT
SSS
n
T
n
T
S
n
T
XS
j
即有
32
例 4 设在 例 1中符合模型 (1.1)条件,检验假设
(a=0.05),H0:m1=m2=m3,
H1:m1,m2,m3不全相等,
解 现在 s=3,n1=n2=n3=5,n=15,
,00 105 33 3.0158.3
)31.128.121.1(
5
1
15
,00 124 53 3.0
15
8.3
96 391 2.0
15
2
223
23
1
2
223
1
5
1
2
-
-?
-?-?
T
n
T
S
T
XS
j j
j
A
j i
ijT
SE=ST-SA=0.000192.
33
ST,SA,SE的自由度依次为 n-1=14,s-1=2,
n-s=12,得方差分析表如下,
表 9.6 例 4的方差分析表方差来源 平方和 自由度 均方 F比因素 0.00105333 2 0.00052667 32.92
误差 0.000192 12 0.000016
总和 0.00124533 14
因 F0.05(2,12)=3.89<32.92,故在水平 0.05下拒绝 H0,认为各台机器生产的薄板厚度有显著的差异,
34
(五 )未知参数的估计 上面已讲到过,不管 H0
是否为真,
sn
S E
-
2
jj
j
n
i
ij
j
j
XX
sjXE
n
XEXE
j
mm
mm
,?
.,,2,1,)(
1
)(,)(
1
故
是?2的无偏估计,
又由 (1.14),(1.7)式知分别是 m,mj的无偏估计,
35
又若拒绝 H0,这意味着效应 d1,d2,...,ds不全为零,
由于
dj=mj-m,j=1,2,...,s,
知
XX jj -d?
.0?
11
-
XnXnn
s
j
jj
s
j
jjd
是 dj的无偏估计,此时还有关系式
36
当拒绝 H0时,常需作出 mj-mk,j?k的区间估计,
可证 ).(~
11
)()(
,)(
snt
nn
S
XX
XXE
kj
E
kjkj
kjkj
-
---
-?-
mm
mm
)22.1(.
11
)(2/
-?-
kj
Ekj
nn
SsntXX a
mj-mk=dj-dk的置信水平为 1-a的置信区间为
37
例 5 求 例 4中的未知参数?2,mj,dj(j=1,2,3)的点估计及均值差的置信水平为 0.95的置信区间,
解
.009.0
,003.0
,011.0
,253.0?,262.0?
,256.0?,242.0?
,000 01 6.0)(?
33
22
11
33
2211
2
-?
-?
-?-?
-?
xx
xx
xx
xx
xx
snS
E
d
d
d
mm
mm
38
由 t0.025(n-s)=t0.025(12)=2.1788得
006.0
5
2
10161 7 8 8.2
11
)12( 6025.0
-
kj
E nnSt
故 m1-m2,m1-m3及 m2-m3的置信水平为 0.95的置信区间分别为
(0.242-0.256?0.006)=(-0.020,-0.008),
(0.242-0.262?0.006)=(-0.026,-0.014),
(0.256-0.262?0.006)=(-0.012,0),
39
例 6 设在 例 2中的四种类型电路的响应时间的总体均为正态,且各总体方差相同,但参数均未知,又设各样本相互独立,试取水平 a=0.05
检验各类型电路的响应时间是否有显著差异,
解 分别以 m1,m2,m3,m4记类型 I,II,III,IV四种电路响应时间总体的平均值,我们需检验
(a=0.05)
H0:m1=m2=m3=m4,
H1:m1,m2,m3,m4不全相等,
现在 n=18,s=4,n1=n2=n3=5,n4=3,
40
ST,SA,SE的自由度依次为 17,3,14,
.46.395
,98.318
18
386
3
59
)9214194(
5
1
18
,44.714183868992
18
22
222
24
1
2
2
24
1 1
2
-?
-
-?
-?-?
ATE
j j
j
A
j
n
i
ijT
SSS
T
n
T
S
T
xS
j
41
结果载于下表,
表 9.7 例 6的方差分析表方差来源 平方和 自由度 均方 F比因素 318.98 3 106.33 3.76
误差 395.46 14 28.25
总和 714.44 17
因 F0.05(3,14)=3.34<3.76,故在水平 0.05下拒绝
H0,认为各类型电路的响应时间有显著差异,
42
§ 2 双因素试验的方差分析
43
本节介绍双因素试验的方差分析,
(一 )双因素等重复试验的方差分析 设有两个因素 A,B作用于试验的指标,因素 A有 r个水平
A1,A2,...,Ar,因素 B有 s个水平 B1,B2,...,Bs,现对因素 A,B的水平的每对组合 (Ai,Bj),i = 1,2,...,
r,j=1,2,...,s都作 t(t?2)次试验 (称为等重复试验 ),当然得到 r?t组数据,每组数据有 t个数字,
44
将试验数据列表如下因素 B
因素 A B1 B2? Bs
A1 X111,X112,?,X
11t
X121,X122,
,X12t?
X1s1,X1s2,
,X1st
A2 X211,X212,?,X
21t
X221,X222,
,X22t?
X2s1,X2s2,
,X2st
Ar Xr11,Xr12,?,X
r1t
Xr21,Xr22,
,Xr2t?
Xrs1,Xrs2,
,Xrst
45
设 Xijk~N(mij,?2),i=1,2,...,r,j=1,2,...,s,k=1,2,...,t,
各 Xijk独立,
这里,mij,?2均为未知参数,或写成
)1.2(
.,,2,1
,,,2,1,,,2,1
,),,0(~
,
2
tk
sjri
N
X
ijkijk
ijkijijk
独立各 e?e
em
46
引入记号,
,,,2,1,
1
,,,2,1,
1
,
1
1
1
1 1
sj
r
ri
s
rs
r
i
ijj
s
j
iji
r
i
s
j
ij
mm
mm
mm
.0,0
11
s
j
j
r
i
i ba
ai=mi?-m,i=1,2,...,r
bj=m?j-m,j=1,2,...,s.
易见
47
称 m为总平均,称 ai为水平 Ai的效应,称 bj为水平 Bj的效应,这样可将 mij表示成
mij=m+ai+bj+(mij-mi?-m?j+m),
i=1,2,...,r,j=1,2,...,s,(2.2)
记 gij= mij-mi?-m?j+m,(2.3)
i=1,2,...,r,j=1,2,...,s,
此时
mij=m+ai+bj+gij (2.4)
gij称为水平 Ai和水平 Bj的 交互效应,这是由 Ai,
Bj搭配起来联合起作用而引起的,
48
易见
.,,2,1,0
,,,2,1,0
1
1
ri
sj
s
j ij
r
i ij
g
g
)5.2(
,0,0
,0,0
,,,2,1
,,,2,1,,,2,1
,),,0(~
,
11
11
2
s
j
ij
r
i
ij
s
j
j
r
i
i
ijkijk
ijkijjiijk
tk
sjri
N
X
gg
ba
e?e
egbam
独立各这样 (2.1)
式 可写成
49
其中 m,ai,bj,gij及?2都是未知参数,
对数学模型 (2.5)式要检验以下三个假设,
)8.2(
.,,,:
,0:
)7.2(
,,,,:
,0:
)6.2(
,,,,:
,0:
121113
121103
2112
2102
2111
2101
不全为零不全为零不全为零
rs
rs
s
s
r
r
H
H
H
H
H
H
ggg
ggg
bbb
bbb
aaa
aaa
50
先引入记号
.,,2,1,
1
,,,2,1,
1
,,,2,1,,,2,1,
1
1
1 1
1 1
1
1 1 1
sjX
rt
X
riX
st
X
sjriX
t
X
X
rst
X
r
i
t
k
ijkj
s
j
t
k
ijki
s
k
ijkij
r
i
s
j
t
k
ijk
51
再引入总偏差平方和 (称为总变差 )
--?-?
-?-?
--?
-?-?-?
-?
r
i
s
j
jiij
s
j
j
r
i
i
r
i
s
j
t
k
ijijk
jiij
r
i
s
j
t
k
jiijijkT
T
r
i
s
j
t
k
ijkT
XXXXtXXrt
XXstXX
XXXX
XXXXXXS
S
XXS
1 1
2
1
2
1
2
1 1 1
2
2
1 1 1
1 1 1
2
)()(
)()(
)](
)()()[(
.)(
分解为将
52
即得 ST=SE+SA+SB+SA?B,(2.9)
)13.2(.)(
)12.2(,)(
)11.2(,)(
)10.2(,)(
1 1
2
1
2
1
2
1 1 1
2
--?
-?
-?
-?
r
i
s
j
jiijBA
s
j
jB
r
i
iA
r
i
s
j
t
k
ijijkE
XXXXtS
XXrtS
XXstS
XXS其中
53
SE称为误差平方和,SA,SB分别称为因素 A,因素 B的 效应平方和,SA?B称为 A,B交互效应平方和,
可以证明 ST,SE,SA,SB,SA?B的自由度依次为
rst-1,rs(t-1),r-1,s-1,(r-1)(s-1),且有
)15.2(,
11
)14.2(.
)1(
1
2
2
2
-
-
-
r
st
r
S
E
trs
S
E
r
i
i
A
E
a
54
)17.2(.
)1)(1()1)(1(
)16.2(,
11
1 1
2
2
1
2
2
--
--
-
-
sr
t
sr
S
E
s
rt
s
S
E
r
i
s
j
ij
BA
s
j
j
B
g
b
55
当 H01:a1=a2=...=ar=0为真时,可以证明
)18.2()).1(,1(~
))1((
)1(
--
-
-
trsrF
trsS
rS
F
E
A
A
取显著性水平为 a,得假设 H01的拒绝域为
)19.2()).1(,1(
))1((
)1(
--?
-
-
trsrF
trsS
rS
F
E
A
A a
56
类似地,在显著性水平 a下,假设 H02的拒绝域为,
)20.2()).1(,1(
))1((
)1(
--?
-
-
trssF
trsS
sS
F
E
B
B a
)21.2()).1(),1)(1((
))1((
))1)(1((
---?
-
--
trssrF
trsS
srS
F
E
BA
BA
a
在显著性水平 a下,假设 H03的拒绝域为
57
双因素试验的方差分析表
1
)1(
)1(
)1)(1(
)1)(1(
1
1
1
1
-
-
-
--
--
-
-
-
-
rstS
trs
S
StrsS
S
S
F
sr
S
SsrS
S
S
F
s
S
SsSB
S
S
F
r
S
SrSA
F
T
E
EE
E
BA
BA
BA
BABA
E
B
B
B
BB
E
A
A
A
AA
总和误差交互作用因素因素比均方自由度平方和方差来源
58
.,,2,1,
,,,2,1,
,,,2,1;,,2,1,
,
1 1
1 1
1
1 1 1
sjXT
riXT
sjriXT
XT
r
i
t
k
ijkj
s
j
t
k
ijki
t
k
ijkij
r
i
s
j
t
k
ijk
记
59
则
)22.2(
.
,
1
,
1
,
1
,
2
1 1
2
2
1
2
2
1
2
2
1 1 1
2
---?
--
-?
-?
-?
-?
BABATE
BA
r
i
s
j
ijBA
r
j
jB
r
i
iA
r
i
s
j
t
k
ijkT
SSSSS
SS
rst
T
T
t
S
rst
T
T
rt
S
rst
T
T
st
S
rst
T
XS
60
例 1 在上一节 例 3中,假设符合双因素方差分析模型所需的条件,试在水平 0.05下,检验不同燃料 (因素 A),不同推进器 (因素 B)下的射程是否有显著差异?交互作用是否显著?
解 需检验假设 H01,H02,H03,
先通过下表计算 T,Tij?,Ti,T?j?.
61
表 9.10
B
A B1 B2 B3 Ti
A1 58.2 (110.8) 56.2 (97.4) 65.3 (126.1) 334.352.6 41.2 60.8
A2 49.1 (91.9) 54.1 (104.6) 51.6 (100) 296.542.8 50.5 48.4
A3 60.1 (118.4) 70.9 (144.1) 39.2 (79.9) 342.4
58.3 73.2 40.7
A4 75.8 (147.3) 58.2 (109.2) 48.7 (90.1) 346.671.5 51.0 41.4
T?j? 468.4 455.3 396.1 1319.8
62
表中括弧内的数据是 Tij?,现在 r=4,s=3,t=2
.95.236
,69250.1768
24
8.1319
)1.909.918.110(
2
1
,98083.370
24
8.1319
)1.3963.4554.468(
8
1
,675.261
24
8.1319
)6.3464.3425.2963.334(
6
1
29833.2638
24
8.1319
)4.416.522.58(
2
222
2
222
2
2222
2
222
---?
--
-
-
-
-
BABATE
BA
BA
B
A
T
SSSSS
SS
S
S
S
S
63
表 9.11 例 1的方差分析表方差来源 平方和 自由度 均方 F比因素 A
(燃料 )
261.675 3 87.255 FA=4.42
因素 B
(推进器 )
370.98083 2 185.4904 FB=9.39
交互作用
A?B 1768.6925 6 294.7821 FA?B=14.9
误差 236.95 12 19.7458
总和 2638.2983 23
64
由于 F0.05(3,12)=3.49<FA,F0.05(2,12)=3.89<FB,
所以在水平 a=0.05下,拒绝假设 H01,H02,即认为不同燃料或不同推进器下的射程有显著差异,也就是说,燃料和推进器这两个因素对射程的影响都是显著的,又,F0.05(6,12)=3.00<
FA?B,故拒绝 H03,值得注意的是,F0.001(6,12)
=8.38也远小于 FA?B=14.9,故交互作用是高度显著的,从 表 9.10可以看出,A4与 B1或 A3与 B2
的搭配都使火箭射程较之其它水平的搭配要远得多,在实际中我们就选最优的搭配方式来实施,
65
例 2 在某种金属材料的生产过程中,对热处理温度 (因素 B)与时间 (因素 A)各取两个水平,产品强度的测定结果 (相对值 )如表 9.12所示,在同一条件下每个实验重复两次,设各水平搭配下强度的总体服从正态分布且方差相同,各样本独立,问热处理温度,时间以及这两者的交互作用对产品强度是否有显著的影响 (取
a=0.05)?
66
表 9.12
B
A B1 B2 Ti
A1 38.0 (76.6) 47.0 (91.8) 168.4
38.6 44.8
A2 45.0 (88.8) 42.4 (83.2) 172
43.8 40.8
T?j? 165.4 175 340.4
67
解 按题意需检验 假设 (2.6)~(2.8),作计算如下,
.6.482.71
,08.5452.1162.102.1448424.14551
,52.11
8
4.340
)1754.165(
4
1
62.1
8
4.340
)1724.168(
4
1
,82.71
8
4.340
)8.406.380.38(
2
22
2
22
2
222
---?
---?
-
-
-
BABAE
BA
B
A
T
SSSS
S
S
S
S?
68
例 2的方差分析表方差来源 平方和 自由度 均方 F比因素 A 1.62 1 1.62 FA=1.4
因素 B 11.52 1 11.52 FB=10.0
A?B 54.08 1 54.08 FA?B=47.0
误差 4.6 4 1.15
总和 71.82 7
69
由于 F0.05(1,4)=7.71,所以认为时间对强度的影响不显著,而温度的影响显著,且交互作用的影响显著,
70
(二 )双因素无重复试验方差分析 在以上的讨论中,考虑了双因素试验中两个因素的交互作用,为要检验交互作用的效应是否显著,对于两个因素的每一组合 (Ai,Bj)至少要做 2次试验,
这是因为在 模型 (2.5)中,若 k=1,gij+eij总以结合在一起的形式出现,这样就不能将交互作用与误差分离开来,如果在处理实际问题时,我们已经知道不存在交互作用,或已知交互作用对试验的指标影响很小,则可以不考虑交互作用,此时,即使 k=1,也能对因素 A,因素 B进行分析,
71
现设对于两个因素的每一组合 (Ai,Bj)只做一次试验,所得结果如下,
表 9.14
因素 B
因素 A B1 B2? Bs
A1 X11 X12? X1s
A2 X21 X22? X2s
Ar Xr1 Xr2? Xrs
72
并设 Xij~N(mij,?2),各 Xij独立,i=1,2,...,r,
j=1,2,...,s,其中 mij,?2均为未知参数,或写成
)23.2(
.
),0(~
,,,2,1
,,2,1,
2
独立各
ij
ij
ijijij
N
sj
riX
e
e
em
73
沿用 (一 )中的记号,注意到现在假设不存在交互作用,此时 gij=0,i=1,2,...,r,j=1,2,...,s,故由
(2.4)式知 mij=m+ai+bj,于是 (2.23)可写成
)24.2(
.0,0
,,,2,1,,,2,1
,),,0(~
,
11
2
s
j
j
r
i
i
ijij
ijjiij
sjri
N
X
ba
e?e
ebam
独立各
74
这就是现在要研究的方差分析模型,对这个模型所要检验的假设有以下两个,
)26.2(
.,,,:
,0:
)25.2(
.,,,:
0:
2112
2102
2111
2101
不全为零不全为零
s
s
r
r
H
H
H
H
bbb
bbb
aaa
aaa
75
表 9.5:方差分析表
1
)1)(1(
)1)(1(
1
1
1
1
-
--
--
-
-
-
-
rsS
sr
S
SsrS
SSF
s
S
SsSB
SSF
r
S
SrSA
F
T
E
EE
EBB
B
BB
EAA
A
AA
总和误差因素因素比均方自由度平方和方差来源
76
取显著性水平为 a,得假设 H01:a1=a2=...=ar=0
的拒绝域为
)).1)(1(,1( --- srrF
S
S
F
E
A
A a
)).1)(1(,1( --- srsF
S
S
F
E
B
B a
假设 H11:b1=b2=...=bs=0的拒绝域为
77
为简化计算表 9.5中的各平方和,令
.,,2,1,
,,,2,1,
,
1
1
1 1
sjXT
riXT
XT
r
i
ijj
s
j
iji
s
i
s
j
ij
78
则
)27.2(
,
,
1
,
1
,
2
1
2
2
1
2
2
1 1
2
--?
-?
-?
-?
BATE
s
j
jB
r
i
iA
r
i
s
j
ijT
SSSS
rs
T
T
r
S
rs
T
T
s
S
rs
T
XS
79
例 3 下面给出在某 5个不同地点,不同时间空气中颗粒状物 (以 mg/m3计 )的含量数据,
因素 B(地点 )
1 2 3 4 5 Ti?
因素
A
1975年 10月 76 67 81 56 51 331
1976年 1月 82 69 96 59 70 376
(
1976年 5月 68 59 67 54 42 290
时间 1996年 8月 63 56 64 58 37 278)
T?j 289 251 308 227 200 1275
80
设本题符合模型 (2.24)中的条件,试在水平
a=0.05下检验,在不同时间下颗粒状物含量的均值有无显著差异,在不同地点下颗粒状物含量的均值有无显著差异,
81
解 按题意需检验假设 (2.25),(2.26),Ti?,T?j的值已算出载于上表,现在 r=4,s=5,由 (2.27)得到
.30.441)50.19 4 795.11 8 2(75.35 7 1
,50.19 4 7
20
12 7 5
)200251289(
4
1
,95.11 8 2
20
12 7 5
)278290376331(
5
1
75.35 7 1
20
12 7 5
376776
2
222
2
2222
2
222
-?
-
-
-
E
B
A
T
S
S
S
S
82
得方差分析表如下,
表 9.16 例 3的方差分析表方差来源 平方和 自由度 均方 F比因素 A SA=1182.95 3 394.32 FA=10.72
因素 B SB=1947.50 4 486.88 FB=13.24
误差 SE=441.30 12 36.78
总和 ST=3571.75 19
83
由于 F0.05(3,12)=3.49<10.72,
F0.05(4,12) =3.26 <13.24,
故拒绝 H01及 H02,即认为不同时间下颗粒状物含量的均值有显著差异,也认为不同地点下颗粒状物含量的均值有显著差异,即认为在本题中,时间和地点对颗粒物的含量的影响均为显著,
84
作业 第九章习题第 324页第 1题
85
请提问
概率论与数理统计第 14讲本文件可从网址
http://math.vip.sina.com
上下载
(单击 ppt讲义后选择 '工程数学 1'子目录 )
2
第九章 方差分析及回归分析
§ 1 单因素试验的方差分析
3
(一 )单因素试验 在科学试验和生产实践中,
影响一事物的因素往往是很多的,例如,在化工生产中,有原料成份,原料剂量,催化剂,反应温度,压力,溶液浓度,反应时间,机器设备及操作人员的水平等因素,每一因素的改变都有可能影响产品的数量和质量,有些因素影响较大,有些较小,为了使生产过程得以稳定,保证优质,高产,就有必要找到对产品质量有显著影响的那些因素,为此,我们需进行试验,方差分析就是根据试验结果进行分析,鉴别各个有关因素的作用的有效方法,
4
在试验中,将要考察的指标称为 试验指标,影响试验指标的条件称为 因素,因素可分为两类,
一类是人们可以控制的 (可控因素 ); 一类是人们不能控制的,例如,反应温度,原料剂量,溶液浓度等是可以控制的,而测量误差,气象条件等一般是难以控制的,以下所说的因素都是可控因素,因素所处的状态,称为该因素的 水平,如果一项试验中只有一个因素在改变称为单因素试验,如果多于一个因素在改变称为 多因素试验,
5
例 1 设有三台机器,生产规格相同的铝合金薄板,取样,测量薄板的厚度得结果如下表所示,
表 9.1 铝合金板的厚度机器 I 机器 II 机器 III
0.236 0.257 0.258
0.238 0.253 0.264
0.248 0.255 0.259
0.245 0.254 0.267
0.243 0.261 0.262
6
这里,试验的指标是薄板的厚度,机器为因素,
不同的三台机器就是这个因素的三个不同的水平,假定除机器这一因素外,材料的规格,操作人员的水平等其它条件都相同,这是单因素试验,试验的目的是为了考察各台机器所生产的薄板的厚度有无显著的差异,即考察机器这一因素对厚度有无显著的影响,如果厚度有显著差异,就表明机器这一因素对厚度的影响是显著的,
7
例 2 下面给出了随机选取的,用于计算器的四种类型的电路的响应时间 (以毫秒计 ).
表 9.2 电路的响应时间类型 I 类型 II 类型 III 类型 IV
19 15
22
20
18
20 40
21
33
27
16 17
15
18
26
18
22
19
这里试验的指标是电路的响应时间,电路类型为因素,这一因素有四个水平,试验的目的是要考察各类型电路对响应时间的影响,
8
例 3 一火箭使用四种燃料,三种推进器作射程试验,每种燃料与每种推进器的组合各发射火箭两次,得射程如下 (以海里计 ):
表 9.3 火箭的射程推进器 (B) B1 B2 B3
燃料 (A)
A1 58.252.6 56.241.2 65.360.8
A2 49.142.8 54.150.5 51.648.4
A3 60.158.3 70.973.2 39.240.7
A4 75.871.5 58.251.0 48.741.4
9
这里的试验指标是射程,推进器和燃料是因素,
它们分别有 3个,4个水平,这是一个双因素试验,试验的目的在于考察在各种因素的各个水平下射程有无显著的差异,即考察推进器和燃料这两个因素对射程是否有显著的影响,
10
本节限于讨论单因素试验,就 例 1讨论,在例 1
中,在因素的每一个水平下进行独立试验,其结果是一个随机变量,表中数据可看成来自三个不同总体 (每个水平对应一个总体 )的样本值,将各个总体的均值依次记为 m1,m2,m3,按题意需检验假设
H0:m1=m2=m3,
H1:m1,m2,m3不全相等,
进而假设各总体均为正态变量,且各总体的方差相等,但参数均未知,这就是一个检验同方差多个正态总体均值是否相等的问题,
11
设因素 A有 s个水平 A1,A2,...,As,在水平
Aj(j=1,2,...,s)下,进行 nj次独立试验,得到如下表的结果,
s
s
s
snnn
s
s
s
XXX
TTT
XXX
XXX
XXX
AAA
s
mmm?
21
21
21
21
22221
11211
21
21
总体均值样本均值样本总和水平
12
假定,各个水平 Aj(j=1,2,...,s)下的样本 X1j,X2j,..
,1(,2?jX jjn j m? 均值分别为来自具有相同方差
)1.1(
,,,2,1,,,2,1
),,0(~
,
2
sjni
N
X
j
ijij
ijjij
独立各 e?e
em
2,...,s)的正态总体 N(mi,?2),mi与?2未知,且设不同水平 Aj下的样本之间相互独立,
由于 Xij~N(mj,?2),即有 Xij-mj~N(0,?2),故 Xij-mj
可看成随机误差,记 Xij-mj=eij,则
13
其中 mj与?2均为未知参数,(1.1)式称为单因素试验方差分析的数学模型,这是本节研究的对象,
方差分析的任务是对于模型 (1.1),
1o检验 s个总体 N(m1,?2),...,N(ms,?2)的均值是否相等,即检验假设
H0:m1=m2=...=ms,
H1:m1,m2,...,ms不全相等,(1.2)
2o作出未知参数 m1,m2,...,ms,?2的估计,
14
为了将问题 (1.2)写成便于讨论的形式,令
n=n1+n2+...+ns,再令
)3.1(,
1
1
s
j
jjnn mm
m称为 总平均,再引入
dj=mj-m,j=1,2,...,s,(1.4)
此时有 n1d1+n2d2+...+nsds=0,dj表示水平 Aj下的总体平均值与总平均的差异,习惯上将 dj称为水平 Aj的 效应,
15
利用这些记号,模型 (1.1)可改写成
)'1.1(
.0
,,,2,1,,,2,1
,),,0(~
,
1
2
s
j
jj
j
ijij
ijjij
n
sjni
N
X
d
e?e
edm
独立各而假设 (1.2)等价于假设
H0:d1=d2=...=ds=0,
H1:d1,d2,...,ds不全为零,(1.2)'
16
(二 )平方和的分解 引入总偏差平方和
)6.1(
1
)5.1(.)(
1 1
1 1
2
-?
n
j
n
i
ij
s
j
n
i
ijT
j
j
X
n
X
XXS
其中
)7.1(.
1
1
jn
i
ij
j
j XnX
是数据的总平均,ST能反映全部试验数据之间的差异,因此 ST又称为总变差,又记水平 Aj下的样本平均值为 `X?j,即
17
将 ST写成
.))((2
)()(
)]()[(
1 1
1 1
2
1 1
2
1 1
2
--?
-?-?
-?-?
s
j
n
i
jjij
s
j
n
i
j
s
j
n
i
jij
s
j
n
i
jjijT
j
jj
j
XXXX
XXXX
XXXXS
注意最后一项交叉项等于 0.
18
即交叉项为
0)(2
)()(2
))((2
1 1
1 1
1 1
--?
--?
--
s
j
jj
n
i
ijj
s
j
n
i
jijj
s
j
n
i
jjij
XnXXX
XXXX
XXXX
j
j
j
19
于是将 ST分解成为
)10.1(.
)()(
)9.1(,)(
)8.1(,
2
1
2
1
2
1 1
2
1 1
2
XnXn
XXnXXS
XXS
SSS
s
j
jj
s
j
jj
s
j
n
i
jA
s
j
n
i
jijE
AET
j
j
-?
-?-?
-?
其中
20
上述 SE的各项 (Xij-`X?j)2表示在水平 Aj下,样本观察值与样本均值的差异,这是由随机误差所引起的,SE叫做误差平方和,SA的各项
nj(`X?j-`X)2表示 Aj水平下的样本平均值与数据总平均的差异,这是由水平 Aj的效应的差异以及随机误差引起的,SA叫做因素 A的效应平方和,(1.8)式就是我们所需要的平方和分解式,
21
(三 ) SE,SA的统计特性 为了引出检验问题
(1.2)'的检验统计量,先讨论 SE,SA的特性,因的样本方差是总体注意 ),()(
)11.1()()(
2
1
2
1
2
1
2
11
1
m
j
n
i
jij
n
i
sis
n
i
iE
NXX
XXXXS
j
s
-
--
).1(~)( 22
1
2 --?
j
n
i
jij nXX
j
c?
的 nj-1倍,于是有
22
因各 Xij独立,故 (1.11)式 中各平方和独立,由 c2
分布的可加性知
,)1(~
1
22
-?
s
j
jE nS c?
的自由度为式还可知由这里 E
s
j
j Snn,)12.1(.
1
即 SE/?2~c2(n-s),(1.12)
n-s,且有
E(SE)=(n-s)?2,(1.13)
23
现在讨论 SA的统计特性,SA是 s个变量
.),,2,1)(( 的平方和sjXXn jj-
,0
)()(
1 1
11
-?
-?-
XnX
XXnXXnn
s
j
n
i
ij
s
j
jj
s
j
jjj
j
它们之间仅有一个线性约束条件故知 SA的自由度是 s-1.
24
再由 (1.3),(1.6)及 Xij的独立性,知
`X~N(m,?2/n),(1.14)
即得
.2)1(
)(
)()()(
2
1
22
1
2
2
2
1
2
2
2
1
22
1
2
mdmdm?
m
dm
nnnns
n
n
n
n
XnEXEnXnXnESE
s
j
jj
s
j
jj
s
j
j
j
j
s
j
jj
s
j
jjA
--?
-
-
-?
25
进一步还可以证明 SA与 SE独立,且当 H0为真时
SA/?2~c2(s-1) (1.16)
(证略 )
)15.1()1()(
,0)'1.1(
1
22
1
-?
s
j jjA
s
j jj
nsSE
n
d?
d 故有式由
26
(四 )假设检验的拒绝域 由 (1.15)式知,当 H0为真时
)18.1(
1
1
1
,0
,.)1(
)17.1(,
1
2
1
22
1
2
1
2
2
d?
dm
-
-
-
-
s
j
jj
A
s
j
jj
A
A
n
ss
S
E
HsS
s
S
E
此时为真时而当的无偏估计是即
27
又由 (1.13)知,
)19.1(,2
- sn
S
E E
即不管 H0是否为真,SE/(n-s)都是?2的无偏估计,
)18.1(
1
1
1
2
1
22?d
-
-
s
j
jj
A n
ss
S
E
28
分母 SE不管 H0是否为真,其数学期望总是?2,
当 H0为真时,分子的数学期望为?2,当 H0不真时,由 (1.18)式 分子的取值有偏大的趋势,故知检验问题 (1.2)'的拒绝域具有形式
,
)(
)1(,的分子与分母独立分式综上所述
snS
sSF
E
A
-
-?
,
)(
)1(
k
snS
sS
F
E
A?
-
-
其中 k由预先给定的显著性水平 a确定,
29
由 (1.12),(1.16)式及 SE与 SA的独立性知,当 H0
为真时,
).,1(~
)(
)1(
snsF
snS
sS
E
A --
-
-
)20.1().,1(
)(
)1(
snsF
snS
sS
F
E
A --?
-
-
a
由此得检验问题 (1.2)'的拒绝域为
30
可以排成下面的方差分析表
1
1
1
-
-
-
-
-
nS
sn
S
SsnS
S
S
F
s
S
SsSA
F
T
E
EE
E
AA
AA
总和误差因素比均方自由度平方和方差来源表中 `SA/(s-1),`SE=SE/(n-s)分别称为 SA,SE的均方,由于 ST中 n个变量 Xij -`X之间仅满足一个约束条件 (1.6),ST的自由度为 n-1.
31
在实际中,可按以下简算公式计算 ST,SA,SE
,,,,2,1,
1 11
s
j
n
i
ij
n
i
ijj
jj
XTsjXT?记 )21.1(,
,
2
1
2
2
1 1
2
-?
-?
-?
ATE
s
j j
j
A
s
j
n
i
ijT
SSS
n
T
n
T
S
n
T
XS
j
即有
32
例 4 设在 例 1中符合模型 (1.1)条件,检验假设
(a=0.05),H0:m1=m2=m3,
H1:m1,m2,m3不全相等,
解 现在 s=3,n1=n2=n3=5,n=15,
,00 105 33 3.0158.3
)31.128.121.1(
5
1
15
,00 124 53 3.0
15
8.3
96 391 2.0
15
2
223
23
1
2
223
1
5
1
2
-
-?
-?-?
T
n
T
S
T
XS
j j
j
A
j i
ijT
SE=ST-SA=0.000192.
33
ST,SA,SE的自由度依次为 n-1=14,s-1=2,
n-s=12,得方差分析表如下,
表 9.6 例 4的方差分析表方差来源 平方和 自由度 均方 F比因素 0.00105333 2 0.00052667 32.92
误差 0.000192 12 0.000016
总和 0.00124533 14
因 F0.05(2,12)=3.89<32.92,故在水平 0.05下拒绝 H0,认为各台机器生产的薄板厚度有显著的差异,
34
(五 )未知参数的估计 上面已讲到过,不管 H0
是否为真,
sn
S E
-
2
jj
j
n
i
ij
j
j
XX
sjXE
n
XEXE
j
mm
mm
,?
.,,2,1,)(
1
)(,)(
1
故
是?2的无偏估计,
又由 (1.14),(1.7)式知分别是 m,mj的无偏估计,
35
又若拒绝 H0,这意味着效应 d1,d2,...,ds不全为零,
由于
dj=mj-m,j=1,2,...,s,
知
XX jj -d?
.0?
11
-
XnXnn
s
j
jj
s
j
jjd
是 dj的无偏估计,此时还有关系式
36
当拒绝 H0时,常需作出 mj-mk,j?k的区间估计,
可证 ).(~
11
)()(
,)(
snt
nn
S
XX
XXE
kj
E
kjkj
kjkj
-
---
-?-
mm
mm
)22.1(.
11
)(2/
-?-
kj
Ekj
nn
SsntXX a
mj-mk=dj-dk的置信水平为 1-a的置信区间为
37
例 5 求 例 4中的未知参数?2,mj,dj(j=1,2,3)的点估计及均值差的置信水平为 0.95的置信区间,
解
.009.0
,003.0
,011.0
,253.0?,262.0?
,256.0?,242.0?
,000 01 6.0)(?
33
22
11
33
2211
2
-?
-?
-?-?
-?
xx
xx
xx
xx
xx
snS
E
d
d
d
mm
mm
38
由 t0.025(n-s)=t0.025(12)=2.1788得
006.0
5
2
10161 7 8 8.2
11
)12( 6025.0
-
kj
E nnSt
故 m1-m2,m1-m3及 m2-m3的置信水平为 0.95的置信区间分别为
(0.242-0.256?0.006)=(-0.020,-0.008),
(0.242-0.262?0.006)=(-0.026,-0.014),
(0.256-0.262?0.006)=(-0.012,0),
39
例 6 设在 例 2中的四种类型电路的响应时间的总体均为正态,且各总体方差相同,但参数均未知,又设各样本相互独立,试取水平 a=0.05
检验各类型电路的响应时间是否有显著差异,
解 分别以 m1,m2,m3,m4记类型 I,II,III,IV四种电路响应时间总体的平均值,我们需检验
(a=0.05)
H0:m1=m2=m3=m4,
H1:m1,m2,m3,m4不全相等,
现在 n=18,s=4,n1=n2=n3=5,n4=3,
40
ST,SA,SE的自由度依次为 17,3,14,
.46.395
,98.318
18
386
3
59
)9214194(
5
1
18
,44.714183868992
18
22
222
24
1
2
2
24
1 1
2
-?
-
-?
-?-?
ATE
j j
j
A
j
n
i
ijT
SSS
T
n
T
S
T
xS
j
41
结果载于下表,
表 9.7 例 6的方差分析表方差来源 平方和 自由度 均方 F比因素 318.98 3 106.33 3.76
误差 395.46 14 28.25
总和 714.44 17
因 F0.05(3,14)=3.34<3.76,故在水平 0.05下拒绝
H0,认为各类型电路的响应时间有显著差异,
42
§ 2 双因素试验的方差分析
43
本节介绍双因素试验的方差分析,
(一 )双因素等重复试验的方差分析 设有两个因素 A,B作用于试验的指标,因素 A有 r个水平
A1,A2,...,Ar,因素 B有 s个水平 B1,B2,...,Bs,现对因素 A,B的水平的每对组合 (Ai,Bj),i = 1,2,...,
r,j=1,2,...,s都作 t(t?2)次试验 (称为等重复试验 ),当然得到 r?t组数据,每组数据有 t个数字,
44
将试验数据列表如下因素 B
因素 A B1 B2? Bs
A1 X111,X112,?,X
11t
X121,X122,
,X12t?
X1s1,X1s2,
,X1st
A2 X211,X212,?,X
21t
X221,X222,
,X22t?
X2s1,X2s2,
,X2st
Ar Xr11,Xr12,?,X
r1t
Xr21,Xr22,
,Xr2t?
Xrs1,Xrs2,
,Xrst
45
设 Xijk~N(mij,?2),i=1,2,...,r,j=1,2,...,s,k=1,2,...,t,
各 Xijk独立,
这里,mij,?2均为未知参数,或写成
)1.2(
.,,2,1
,,,2,1,,,2,1
,),,0(~
,
2
tk
sjri
N
X
ijkijk
ijkijijk
独立各 e?e
em
46
引入记号,
,,,2,1,
1
,,,2,1,
1
,
1
1
1
1 1
sj
r
ri
s
rs
r
i
ijj
s
j
iji
r
i
s
j
ij
mm
mm
mm
.0,0
11
s
j
j
r
i
i ba
ai=mi?-m,i=1,2,...,r
bj=m?j-m,j=1,2,...,s.
易见
47
称 m为总平均,称 ai为水平 Ai的效应,称 bj为水平 Bj的效应,这样可将 mij表示成
mij=m+ai+bj+(mij-mi?-m?j+m),
i=1,2,...,r,j=1,2,...,s,(2.2)
记 gij= mij-mi?-m?j+m,(2.3)
i=1,2,...,r,j=1,2,...,s,
此时
mij=m+ai+bj+gij (2.4)
gij称为水平 Ai和水平 Bj的 交互效应,这是由 Ai,
Bj搭配起来联合起作用而引起的,
48
易见
.,,2,1,0
,,,2,1,0
1
1
ri
sj
s
j ij
r
i ij
g
g
)5.2(
,0,0
,0,0
,,,2,1
,,,2,1,,,2,1
,),,0(~
,
11
11
2
s
j
ij
r
i
ij
s
j
j
r
i
i
ijkijk
ijkijjiijk
tk
sjri
N
X
gg
ba
e?e
egbam
独立各这样 (2.1)
式 可写成
49
其中 m,ai,bj,gij及?2都是未知参数,
对数学模型 (2.5)式要检验以下三个假设,
)8.2(
.,,,:
,0:
)7.2(
,,,,:
,0:
)6.2(
,,,,:
,0:
121113
121103
2112
2102
2111
2101
不全为零不全为零不全为零
rs
rs
s
s
r
r
H
H
H
H
H
H
ggg
ggg
bbb
bbb
aaa
aaa
50
先引入记号
.,,2,1,
1
,,,2,1,
1
,,,2,1,,,2,1,
1
1
1 1
1 1
1
1 1 1
sjX
rt
X
riX
st
X
sjriX
t
X
X
rst
X
r
i
t
k
ijkj
s
j
t
k
ijki
s
k
ijkij
r
i
s
j
t
k
ijk
51
再引入总偏差平方和 (称为总变差 )
--?-?
-?-?
--?
-?-?-?
-?
r
i
s
j
jiij
s
j
j
r
i
i
r
i
s
j
t
k
ijijk
jiij
r
i
s
j
t
k
jiijijkT
T
r
i
s
j
t
k
ijkT
XXXXtXXrt
XXstXX
XXXX
XXXXXXS
S
XXS
1 1
2
1
2
1
2
1 1 1
2
2
1 1 1
1 1 1
2
)()(
)()(
)](
)()()[(
.)(
分解为将
52
即得 ST=SE+SA+SB+SA?B,(2.9)
)13.2(.)(
)12.2(,)(
)11.2(,)(
)10.2(,)(
1 1
2
1
2
1
2
1 1 1
2
--?
-?
-?
-?
r
i
s
j
jiijBA
s
j
jB
r
i
iA
r
i
s
j
t
k
ijijkE
XXXXtS
XXrtS
XXstS
XXS其中
53
SE称为误差平方和,SA,SB分别称为因素 A,因素 B的 效应平方和,SA?B称为 A,B交互效应平方和,
可以证明 ST,SE,SA,SB,SA?B的自由度依次为
rst-1,rs(t-1),r-1,s-1,(r-1)(s-1),且有
)15.2(,
11
)14.2(.
)1(
1
2
2
2
-
-
-
r
st
r
S
E
trs
S
E
r
i
i
A
E
a
54
)17.2(.
)1)(1()1)(1(
)16.2(,
11
1 1
2
2
1
2
2
--
--
-
-
sr
t
sr
S
E
s
rt
s
S
E
r
i
s
j
ij
BA
s
j
j
B
g
b
55
当 H01:a1=a2=...=ar=0为真时,可以证明
)18.2()).1(,1(~
))1((
)1(
--
-
-
trsrF
trsS
rS
F
E
A
A
取显著性水平为 a,得假设 H01的拒绝域为
)19.2()).1(,1(
))1((
)1(
--?
-
-
trsrF
trsS
rS
F
E
A
A a
56
类似地,在显著性水平 a下,假设 H02的拒绝域为,
)20.2()).1(,1(
))1((
)1(
--?
-
-
trssF
trsS
sS
F
E
B
B a
)21.2()).1(),1)(1((
))1((
))1)(1((
---?
-
--
trssrF
trsS
srS
F
E
BA
BA
a
在显著性水平 a下,假设 H03的拒绝域为
57
双因素试验的方差分析表
1
)1(
)1(
)1)(1(
)1)(1(
1
1
1
1
-
-
-
--
--
-
-
-
-
rstS
trs
S
StrsS
S
S
F
sr
S
SsrS
S
S
F
s
S
SsSB
S
S
F
r
S
SrSA
F
T
E
EE
E
BA
BA
BA
BABA
E
B
B
B
BB
E
A
A
A
AA
总和误差交互作用因素因素比均方自由度平方和方差来源
58
.,,2,1,
,,,2,1,
,,,2,1;,,2,1,
,
1 1
1 1
1
1 1 1
sjXT
riXT
sjriXT
XT
r
i
t
k
ijkj
s
j
t
k
ijki
t
k
ijkij
r
i
s
j
t
k
ijk
记
59
则
)22.2(
.
,
1
,
1
,
1
,
2
1 1
2
2
1
2
2
1
2
2
1 1 1
2
---?
--
-?
-?
-?
-?
BABATE
BA
r
i
s
j
ijBA
r
j
jB
r
i
iA
r
i
s
j
t
k
ijkT
SSSSS
SS
rst
T
T
t
S
rst
T
T
rt
S
rst
T
T
st
S
rst
T
XS
60
例 1 在上一节 例 3中,假设符合双因素方差分析模型所需的条件,试在水平 0.05下,检验不同燃料 (因素 A),不同推进器 (因素 B)下的射程是否有显著差异?交互作用是否显著?
解 需检验假设 H01,H02,H03,
先通过下表计算 T,Tij?,Ti,T?j?.
61
表 9.10
B
A B1 B2 B3 Ti
A1 58.2 (110.8) 56.2 (97.4) 65.3 (126.1) 334.352.6 41.2 60.8
A2 49.1 (91.9) 54.1 (104.6) 51.6 (100) 296.542.8 50.5 48.4
A3 60.1 (118.4) 70.9 (144.1) 39.2 (79.9) 342.4
58.3 73.2 40.7
A4 75.8 (147.3) 58.2 (109.2) 48.7 (90.1) 346.671.5 51.0 41.4
T?j? 468.4 455.3 396.1 1319.8
62
表中括弧内的数据是 Tij?,现在 r=4,s=3,t=2
.95.236
,69250.1768
24
8.1319
)1.909.918.110(
2
1
,98083.370
24
8.1319
)1.3963.4554.468(
8
1
,675.261
24
8.1319
)6.3464.3425.2963.334(
6
1
29833.2638
24
8.1319
)4.416.522.58(
2
222
2
222
2
2222
2
222
---?
--
-
-
-
-
BABATE
BA
BA
B
A
T
SSSSS
SS
S
S
S
S
63
表 9.11 例 1的方差分析表方差来源 平方和 自由度 均方 F比因素 A
(燃料 )
261.675 3 87.255 FA=4.42
因素 B
(推进器 )
370.98083 2 185.4904 FB=9.39
交互作用
A?B 1768.6925 6 294.7821 FA?B=14.9
误差 236.95 12 19.7458
总和 2638.2983 23
64
由于 F0.05(3,12)=3.49<FA,F0.05(2,12)=3.89<FB,
所以在水平 a=0.05下,拒绝假设 H01,H02,即认为不同燃料或不同推进器下的射程有显著差异,也就是说,燃料和推进器这两个因素对射程的影响都是显著的,又,F0.05(6,12)=3.00<
FA?B,故拒绝 H03,值得注意的是,F0.001(6,12)
=8.38也远小于 FA?B=14.9,故交互作用是高度显著的,从 表 9.10可以看出,A4与 B1或 A3与 B2
的搭配都使火箭射程较之其它水平的搭配要远得多,在实际中我们就选最优的搭配方式来实施,
65
例 2 在某种金属材料的生产过程中,对热处理温度 (因素 B)与时间 (因素 A)各取两个水平,产品强度的测定结果 (相对值 )如表 9.12所示,在同一条件下每个实验重复两次,设各水平搭配下强度的总体服从正态分布且方差相同,各样本独立,问热处理温度,时间以及这两者的交互作用对产品强度是否有显著的影响 (取
a=0.05)?
66
表 9.12
B
A B1 B2 Ti
A1 38.0 (76.6) 47.0 (91.8) 168.4
38.6 44.8
A2 45.0 (88.8) 42.4 (83.2) 172
43.8 40.8
T?j? 165.4 175 340.4
67
解 按题意需检验 假设 (2.6)~(2.8),作计算如下,
.6.482.71
,08.5452.1162.102.1448424.14551
,52.11
8
4.340
)1754.165(
4
1
62.1
8
4.340
)1724.168(
4
1
,82.71
8
4.340
)8.406.380.38(
2
22
2
22
2
222
---?
---?
-
-
-
BABAE
BA
B
A
T
SSSS
S
S
S
S?
68
例 2的方差分析表方差来源 平方和 自由度 均方 F比因素 A 1.62 1 1.62 FA=1.4
因素 B 11.52 1 11.52 FB=10.0
A?B 54.08 1 54.08 FA?B=47.0
误差 4.6 4 1.15
总和 71.82 7
69
由于 F0.05(1,4)=7.71,所以认为时间对强度的影响不显著,而温度的影响显著,且交互作用的影响显著,
70
(二 )双因素无重复试验方差分析 在以上的讨论中,考虑了双因素试验中两个因素的交互作用,为要检验交互作用的效应是否显著,对于两个因素的每一组合 (Ai,Bj)至少要做 2次试验,
这是因为在 模型 (2.5)中,若 k=1,gij+eij总以结合在一起的形式出现,这样就不能将交互作用与误差分离开来,如果在处理实际问题时,我们已经知道不存在交互作用,或已知交互作用对试验的指标影响很小,则可以不考虑交互作用,此时,即使 k=1,也能对因素 A,因素 B进行分析,
71
现设对于两个因素的每一组合 (Ai,Bj)只做一次试验,所得结果如下,
表 9.14
因素 B
因素 A B1 B2? Bs
A1 X11 X12? X1s
A2 X21 X22? X2s
Ar Xr1 Xr2? Xrs
72
并设 Xij~N(mij,?2),各 Xij独立,i=1,2,...,r,
j=1,2,...,s,其中 mij,?2均为未知参数,或写成
)23.2(
.
),0(~
,,,2,1
,,2,1,
2
独立各
ij
ij
ijijij
N
sj
riX
e
e
em
73
沿用 (一 )中的记号,注意到现在假设不存在交互作用,此时 gij=0,i=1,2,...,r,j=1,2,...,s,故由
(2.4)式知 mij=m+ai+bj,于是 (2.23)可写成
)24.2(
.0,0
,,,2,1,,,2,1
,),,0(~
,
11
2
s
j
j
r
i
i
ijij
ijjiij
sjri
N
X
ba
e?e
ebam
独立各
74
这就是现在要研究的方差分析模型,对这个模型所要检验的假设有以下两个,
)26.2(
.,,,:
,0:
)25.2(
.,,,:
0:
2112
2102
2111
2101
不全为零不全为零
s
s
r
r
H
H
H
H
bbb
bbb
aaa
aaa
75
表 9.5:方差分析表
1
)1)(1(
)1)(1(
1
1
1
1
-
--
--
-
-
-
-
rsS
sr
S
SsrS
SSF
s
S
SsSB
SSF
r
S
SrSA
F
T
E
EE
EBB
B
BB
EAA
A
AA
总和误差因素因素比均方自由度平方和方差来源
76
取显著性水平为 a,得假设 H01:a1=a2=...=ar=0
的拒绝域为
)).1)(1(,1( --- srrF
S
S
F
E
A
A a
)).1)(1(,1( --- srsF
S
S
F
E
B
B a
假设 H11:b1=b2=...=bs=0的拒绝域为
77
为简化计算表 9.5中的各平方和,令
.,,2,1,
,,,2,1,
,
1
1
1 1
sjXT
riXT
XT
r
i
ijj
s
j
iji
s
i
s
j
ij
78
则
)27.2(
,
,
1
,
1
,
2
1
2
2
1
2
2
1 1
2
--?
-?
-?
-?
BATE
s
j
jB
r
i
iA
r
i
s
j
ijT
SSSS
rs
T
T
r
S
rs
T
T
s
S
rs
T
XS
79
例 3 下面给出在某 5个不同地点,不同时间空气中颗粒状物 (以 mg/m3计 )的含量数据,
因素 B(地点 )
1 2 3 4 5 Ti?
因素
A
1975年 10月 76 67 81 56 51 331
1976年 1月 82 69 96 59 70 376
(
1976年 5月 68 59 67 54 42 290
时间 1996年 8月 63 56 64 58 37 278)
T?j 289 251 308 227 200 1275
80
设本题符合模型 (2.24)中的条件,试在水平
a=0.05下检验,在不同时间下颗粒状物含量的均值有无显著差异,在不同地点下颗粒状物含量的均值有无显著差异,
81
解 按题意需检验假设 (2.25),(2.26),Ti?,T?j的值已算出载于上表,现在 r=4,s=5,由 (2.27)得到
.30.441)50.19 4 795.11 8 2(75.35 7 1
,50.19 4 7
20
12 7 5
)200251289(
4
1
,95.11 8 2
20
12 7 5
)278290376331(
5
1
75.35 7 1
20
12 7 5
376776
2
222
2
2222
2
222
-?
-
-
-
E
B
A
T
S
S
S
S
82
得方差分析表如下,
表 9.16 例 3的方差分析表方差来源 平方和 自由度 均方 F比因素 A SA=1182.95 3 394.32 FA=10.72
因素 B SB=1947.50 4 486.88 FB=13.24
误差 SE=441.30 12 36.78
总和 ST=3571.75 19
83
由于 F0.05(3,12)=3.49<10.72,
F0.05(4,12) =3.26 <13.24,
故拒绝 H01及 H02,即认为不同时间下颗粒状物含量的均值有显著差异,也认为不同地点下颗粒状物含量的均值有显著差异,即认为在本题中,时间和地点对颗粒物的含量的影响均为显著,
84
作业 第九章习题第 324页第 1题
85
请提问
