1
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2
第三章 多维随机变量及其分布
§ 1 二维随机变量
3
在实际问题中,对于某些随机试验的结果需要同时用两个或两个以上的随机变量来描,例如,为了研究某一地区学龄前儿童的发育情况,
对这一地区的儿童进行抽查,对于每个儿童都能观察到他的身高 H和体重 W,在这里,样本空间 S={e}={某地区的全部学龄前儿童,而 H(e),
和 W(e)是定义在 S上的两个随机变量,又如炮弹弹着点的位置需要由它的横坐标和纵坐标来确定,而横坐标和纵坐标是定义在同一个样本空间的两个随机变量,
4
一般,设 E是一个随机试验,它的样本空间是
S={e},设 X=X(e)和 Y=Y(e)是定义在 S上的随机变量,由它们构成的一个向量 (X,Y),叫做 二维随机向量 或 二维随机变量,
S
e
X(e)
Y(e)
5
定义 设 (X,Y)是二维随机变量,对于任意实数
x,y,二元函数,
},{)}(){(),( yYxXPyYxXPyxF 记成称为二维随机变量 (X,Y)的分布函数,或称为随机变量 X和 Y的联合分布函数,
(x,y)
x
y
O
6
易知,随机点 (X,Y)落在矩形域
[x1<X?x2,y1<Y?y2]的概率为
P{x1<X?x2,y1<Y?y2}
=F(x2,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)-F(x1,y2),(1.1)
x
y
y1
y2
x1 x2
7
分布函数 F(x,y)具有的基本性质,
1,F(x,y)是变量 x和 y的不减函数,即对于任意固定的 y,当 x2>x1时 F(x2,y)?F(x1,y); 对于任意固定的 x,当 y2>y1时 F(x,y2)?F(x,y1).
2,0?F(x,y)?1,且对于任意固定的 y,F(-?,y)=0,
对于任意固定的 x,F(x,-?)=0,
F(-?,-?)=0,F(+?,+?)=1.
3,F(x,y)关于 x和关于 y都右连续,
4,任给 (x1,y1),(x2,y2),x1<x2,y1<y2,
F(x2,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)-F(x1,y2)?0
8
如果二维随机变量 (X,Y)全部可能取到的不相同的值 是有限对或可列无限多对,则称 (X,Y)
是 离散型的随机变量,
设二维离散型随机变量 (X,Y)所有可能取的值为 (xi,yj),i,j=1,2,...,记 P{X=xi,Y=yj}=pij,
i,j=1,2,...,则由概率的定义有
.1,0
1 1
i j
ijij pp
9
称 P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,...,为二维离散型随机变量 X和 Y的 分布律,或随机变量 X和 Y的 联合分布律,
也可用表格表示 X和 Y的联合分布律,
Y X x1 x2,.,xi,..
y1 p11 p21,.,pi1,..
y2 p12 p22,.,pi2,..
,..,..,..,..,..
yj p1j p2j,.,pij,..
...,..,..,..,..,..
10
例 1 设随机变量 X在 1,2,3,4四个整数中等可能地取一个值,另一个随机变量 Y在 1~X中等可能地取一整数值,试求 (X,Y)的分布律,
解 由乘法公式容易求得 (X,Y)的分布律,易知
{X=i,Y=j}的取值情况是,i=1,2,3,4,j取不大于 i
的正整数,且
.,4,3,2,1
,
1
4
1
}|{}{},{
iji
i
iXjYPiXPjYiXP
11
于是 (X,Y)的分布律为
.,4,3,2,1
,
1
4
1
}|{}{},{
iji
i
iXjYPiXPjYiXP
Y X 1 2 3 4
1 1/4 1/8 1/12 1/16
2 0 1/8 1/12 1/16
3 0 0 1/12 1/16
4 0 0 0 1/16
12
将 (X,Y)看成一个随机点的坐标,则离散型随机变量 X和 Y的联合分布函数为
)2.1(,),(
xx yy
ij
i j
pyxF
其中和式是对一切满足 xi?x,yj?y的 i,j来求和的,
13
与一维随机变量相似,对于二维随机变量 (X,Y)
的分布函数 F(x,y),如果存在非负的函数 f(x,y)
使对于任意 x,y有
,dd),(),(
-?-
y x
vuvufyxF
则称 (X,Y)是 连续型的二维随机变量,函数 f(x,y)
称为二维随机变量 (X,Y)的 概率密度,或称为随机变量 X和 Y的 联合概率密度,
14
按定义,概率密度 f(x,y)具有以下性质,
1,f(x,y)?0.
.1dd),(,2
-
-
yxyxf
)3.1(.dd),(}),{(
G
yxyxfGYXP
3,设 G是 xOy平面上的区域,点 (X,Y)落在 G内的概率为
4,若 f(x,y)在点 (x,y)连续,则有
).,(
),(2
yxf
yx
yxF
15
由性质 4,在 f(x,y)的连续点处有
).,(
),(
)],()Δ,(
),Δ()Δ,Δ([
ΔΔ
1
lim
ΔΔ
}Δ,Δ{
lim
2
0Δ
0Δ
0Δ
0Δ
yxf
yx
yxF
yxFyyxF
yxxFyyxxF
yx
yx
yyYyxxXxP
y
x
y
x
-
-
16
这表示若 f(x,y)在点 (x,y)处连续,则当 Dx,Dy 很小时
P{x<X?x+Dx,y<Y?y+Dy}?f(x,y)DxDy,
即 (X,Y)落在小长方形 (x,x+Dx]?(y,y+Dy]内的概率近似等于 f(x,y)DxDy.
在几何上 x=f(x,y)表示空间的一个曲面,由 性质
2知,介于它和 xOy平面的空间区域的体积为 1,
由 性质 3,P{(X,Y)?G}的值等于以 G为底,以曲面 z=f(x,y)为顶面的柱体体积,
17
例 2 设二维随机变量 (X,Y)具有概率密度
-
.,0
,0,0,e2
),(
)2(
其它
yx
yxf
yx
-
-?-
.,0
0,0,dde2
dd),(),(
0 0
)2(
其它
yxyx
yxyxfyxF
y x
yx
y x
(1)求分布函数 F(x,y); (2)求概率 P{Y?X}.
解 (1)
18
(2) 将 (X,Y)看作是平面上随机点的坐标,即有
{Y?X}={(X,Y)?G},
其中 G为 xOy平面上直线 y=x及其下方的部分,
于是
--
--
.,0
,0,0),1)(1(
),(
2
其它即有
yxee
yxF
yx
.
3
1
dde2
dd),(}),{(}{
0
)2(
-
y
yx
G
yx
yxyxfGYXPXYP
19
x
y
O
G
20
以上关于二维随机变量的讨论,不难推广到
n(n>2)维随机变量的情况,一般,设 E是一个随机变量,它的样本空间是 S={e},设 X1=X1(e),
X2=X2(e),...,Xn=Xn(e)是定义在 S上的随机变量,
由它们构成的一个 n维随机向量 (X1,X2,...,Xn)叫做 n维随机向量 或 n维随机变量,
任给 n个实数 x1,x2,...,xn,n元函数
F(x1,x2,...,xn)=P{X1?x1,X2?x2,...,Xn?xn}
称为 n维随机变量 (X1,X2,...,Xn}的分布函数或联合分布函数,它具有类似于二维随机变量的分布函数的性质,
21
§ 2 边缘分布
22
二维随机变量 (X,Y)作为一个整体,具有分布函数 F(x,y),而 X和 Y都是随机变量,各别也有分布函数,将它们分别记为 FX(x),FY(y),依次称为二维随机变量 (X,Y)关于 X和关于 Y的边缘分布函数,边缘分布函数可以由 (X,Y)的分布函数
F(x,y)所确定,事实上,
FX(x)=P{X?x}=P{X?x,Y<?}=F(x,?),
即 FX(x)=F(x,?),(2.1)
同理 FY(y)=F(?,y),(2.2)
23
对于离散型随机变量,由 (1.2),(2.1)式可得
.),()(
1
xx j
ijX
i
pxFxF
,2,1,}{
1
ipxXP
j
iji
与第二章 (3.2)式 比较,知道 X的分布律为同样,Y的分布律为
,2,1,}{
1
jpyYP
i
iji
24
记
,,2,1},{
,2,1},{
1
1
jyYPpp
ixXPpp
j
i
ijj
i
j
iji
分别称 pi?(i=1,2,...)和 p?j(j=1,2,...)为 (X,Y)关于 X
和关于 Y的边缘分布律 (注意,记号 pi?中的 "?"
是由 pij关于 j求和后得到的 ; 同样,p?j是由 pij关于 i求和后得到的 ).
25
对于连续型随机变量 (X,Y),设它的概率密度为
f(x,y),由于
,dd),(),()(
-
-
x
X xyyxfxFxF
)3.2(d),()(?
-
yyxfxf X
由第二章 (4.1)式 知道,X是一个连续型随机变量,且其概率密度为同样,Y也是一个连续型随机变量,其概率密度为
)4.2(d),()(?
-
xyxfyf Y
称 fX(x),fY(y)为 (X,Y)关于 X和关于 Y的边缘概率密度
26
例 1 一整数 N等可能地在 1,2,3,...,10十个值中取一个值,设 D(N)是能整除 N的正整数的个数,
F=F(N)是能整除 N的素数的个数 (注意 1不是素数 ),试写出 D和 F的联合分布律,
解 先将试验的样本空间及 D,F取值的情况列如如下,
样本点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D 1 2 2 3 2 4 2 4 3 4
F 0 1 1 1 1 2 1 1 1 2
27
D和 F的联合分布律及边缘分布律如下表所示,
样本点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D 1 2 2 3 2 4 2 4 3 4
F 0 1 1 1 1 2 1 1 1 2
F D 1 2 3 4 P{F=j}
0 1/10 0 0 0 1/10
1 0 4/10 2/10 1/10 7/10
2 0 0 0 2/10 2/10
P{D=i} 1/10 4/10 2/10 3/10 1
28
例 2 设随机变量 X和 Y具有联合概率密度
).(),(
.,0
,,6
),(
2
yfxf
xyx
yxf
YX
求边缘概率密度其它?
x
y
O
y=x2
y=x
29
解
-?
-?
-
-
.,0
,10),(6d6
d),()(
.0
,10),(6d6
d),()(
2
2
其它其它
yyyx
xyxfyf
xxxy
yyxfxf
y
y
Y
x
x
X
30
例 3 二维随机变量 (X,Y)的概率密度为
,,
,
)())((
2
)(
)1(2
1
e x p
1π2
1
),(
2
2
2
2
21
21
2
1
2
1
2
2
21
--?
-
--
-
-
-
-
-
yx
yyx
x
yxf
其中?1,?2,?1,?2,?都是常数,且?1>0,?2>0,|?|<1.
称 (X,Y)为服从参数?1,?2,?1,?2,?的二维正态分布,记为 (X,Y)~N(?1,?2,?12,?22,?),试求二维正态随机变量的边缘概率密度,
31
解
,
)(
))((
2
)(
,d),()(
2
1
2
12
2
1
1
2
2
21
21
2
2
2
2
-
-?
-
-
-
--
-
-
-
xxy
yxy
yyxfxf
X
由于
.dee
12
1
)(
2
1
1
2
2
22
1
2
1
)1(2
1
2
)(
2
21
-
-
-
-
-
-
-
-
-
y
xf
xyx
X
于是
32
.,
2
1
)(
.
2
1
)(
,d
2
1
)(
,
1
1
2
2
2
2
2
1
2
1
22
1
2
1
2
)(
2
2
)(
1
2/2
)(
1
1
1
2
2
2
-?
-?
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
yeyf
xexf
teexf
xy
t
y
Y
x
X
t
x
X
同理即则有令
33
§ 3 条件分布
34
设 (X,Y)是二维离散型随机变量,其分布律为
P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,....
(X,Y)关于 X和关于 Y的边缘分布律分别为
,,2,1,}{
,,2,1,}{
1
1
jppyYP
ippxXP
i
ijjj
j
ijii
设 pij>0,考虑在事件 {Y=yj}条件下事件 {X=xi}
发生的概率,也就是求条件概率
P{X=xi|Y=yj},i=1,2,...
35
由条件概率公式,可得
,2,1
}{
},{
}|{
i
p
p
yYP
yYxXP
yYxXP
j
ij
j
ji
ji
.1}|{,2;0}|{,1
11
j
j
i j
ij
i
ji
ji
p
p
p
p
yYxXP
yYxXP
易知上述条件概率具有分布律的性质,
36
定义 设 (X,Y)是二维离散型随机变量,对于固定的 j,若 P{Y=yj}>0,则称
)1.3(,2,1
,
}{
},{
}|{
i
p
p
yYP
yYxXP
yYxXP
j
ij
j
ji
ji
)2.3(,2,1,}|{
jp
p
xXyYP
i
ij
ij
为在 Y=yj条件下的随机变量 X的 条件分布律,
同样,对于固定的 i,若 P{X=xi}>0,则称为在 X=xi条件下随机变量 Y的 条件分布律
37
例 1 在一汽车工厂中,一辆汽车有两道工序是由机器人完成的,其一是紧固 3只螺栓,其二是焊接 2处焊点,以 X表示螺栓紧固得不良的数目,Y表示焊接点不良数目,已知 (X,Y)的分布律,
Y X 0 1 2 3 P{Y=j}
0 0.840 0.030 0.020 0.010 0.900
1 0.060 0.010 0.008 0.002 0.080
2 0.010 0.005 0.004 0.001 0.020
P{X=i} 0.910 0.045 0.032 0.013 1.000
(1)求在 X=1的条件下,Y的条件分布律 ;(2)求在 Y=0的条件下,X的条件分布律,
38
解
Y X 0 1 2 3 P{Y=j}
0 0.840 0.030 0.020 0.010 0.900
1 0.060 0.010 0.008 0.002 0.080
2 0.010 0.005 0.004 0.001 0.020
P{X=i} 0.910 0.045 0.032 0.013 1.000
Y=k 0 1 2
P{Y=k|X=1) 6/9 2/9 1/9
X=k 0 1 2 3
P{X=k|Y=0 84/90 3/90 2/90 1/90
39
例 2 一射手进行射击,击中目标的概率为 p
(0<p<1),射击直至击中目标两次为止,设以 X
表示首次击中目标所进行的射击次数,以 Y表示总共进行的射击次数,试求 X和 Y的联合分布律及条件分布律,
解 按题意 Y=n表示在第 n次射击时击中目标,
且在第 1次,第 2次,...,第 n次射击中恰有一次击中目标,已知各次射击是相互独立的,于是不管 m(m<n)是多少,概率 P{X=m,Y=n}都应等于
).1(12
2
pqqpqqqpp n
n
- -
-
这里个
40
即得 X和 Y的联合分布律为
P{X=m,Y=n}=p2qn-2,n=2,3,...; m=1,2,...,n-1.
.,3,2,)1(
},{}{
,,2,1,
1
},{}{
22
1
1
22
1
1
1
12
1
22
1
22
1
-
-
-
-
-
-
-
-?
-
-
nqpnqp
nYmXPnYP
mpq
q
qp
qp
qpnYmXPmXP
n
n
m
n
n
m
m
m
mn
n
mn
n
mn
又
41
于是由 (3.1),(3.2)式得到所求的条件分布律为
,2,1
,}|{
,2,1;1,,2,1
,
1
1
)1(
}|{
,3,2
1
1
22
22
22
-?
-
-
--
-
-
-
-
mmn
pq
pq
qp
mXnYP
m
nm
nqpn
qp
nYmXP
n
mn
m
n
n
n
时当时当
42
如 (X,Y)为连续型随机变量,概率密度为 f(x,y),
其关于 Y的边缘概率密度为 fY(y),给定 y,对于一固定的非常小的正数 e>0,如 P{y<Y?y+e}>0,
)3.3(d
)(
),(
)(
d),(
d)(
dd),(
}{
},{
}|{
-
-
-
x
Y
Y
x
y
y
Y
x y
y
u
yf
yuf
yf
uyuf
vvf
uvvuf
yYyP
yYyxXP
yYyxXP
e
e
e
e
e
e
e
43
定义 设二维随机变量 (X,Y)的概率密度为
f(x,y),(X,Y)关于 Y的边缘概率密度为 fY(y).
)4.3(.
)(
),(
)|(
,
)(
),(
,0)(,
|
yf
yxf
yxf
XyY
yf
yxf
yfy
Y
YX
Y
Y
记为条件概率密度的条件下为在则称若对于固定的
44
)5.3(.d
)(
),(
}|{)|(
),|(
}|{,,
d
)(
),(
d)|(
|
|
|
-
-?-
x
Y
YX
YX
x
Y
x
YX
x
yf
yxf
yYxXPyxF
yxF
yYxXPX
yYx
yf
yxf
xyxf
即或记为的条件分布函数条件下为在称
45
).|(
d)|(}|{
d
)(
),(
)|(
)(
),(
)|(
,
|
|
|
|
yxF
xyxfyYyxXP
y
xf
yxf
xyF
xf
yxf
xyf
YX
x
YX
y
X
XY
X
XY
-
-
e
且有和可以定义类似地
46
例 3 设 G是平面上的有界区域,其面积为 A,若二维随机变量 (X,Y)具有概率密度
,,0
,),(,
1
),(
其它
Gyx
Ayxf
则称 (X,Y)在 G上服从 均匀分布,现设二维随机变量 (X,Y)在圆域 x2+y2?1上服从均匀分布,求条件概率密度 fX|Y(x|y).
47
解 由假设随机变量 (X,Y)具有概率密度
,,0
,1,
π
1
),(
22
其它
yx
yxf
--?
-
--
-
.,0
,11,1
π
2
d
π
1
d),()(
2
1
1
2
2
其它
yyx
xyxfyf
y
y
Y
且有边缘概率密度
48
于是当 -1<y<1时有
---
-
-
其它,0
,11
,
12
1
1)/2(
/ π1
)|(
22
22
|
yxy
yy
yxf
YX
49
例 4 设数 X在区间 (0,1)上随机地取值,当观察到 X=x(0<x<1)时,数 Y在区间 (x,1)上随机地取值,求 Y的概率密度 fY(y).
解 按题意 X具有概率密度
.,0
,10,1
)(
其它
x
xf X
-?
.,0
,1,
1
1
)|(|
其它
yx
xxyf
XY
对任意给定的值 x(0<x<1),在 X=x条件下,Y的条件概率密度为
50
由 (3.4)式 得 X和 Y的联合概率密度为
-
.,0
,10,
1
1
)|()(),( |
其它
yx
xxyfxfyxf XYX
--?
-?
-
.,0
,10),1l n (d
1
1
d),()(
0
其它
yyx
x
xyxfyf
y
Y
于是得关于 Y的边缘概率密度为
51
作业 第三章习题第 104页开始第 1,7,11,12题
A组交作业
52
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第三章 多维随机变量及其分布
§ 1 二维随机变量
3
在实际问题中,对于某些随机试验的结果需要同时用两个或两个以上的随机变量来描,例如,为了研究某一地区学龄前儿童的发育情况,
对这一地区的儿童进行抽查,对于每个儿童都能观察到他的身高 H和体重 W,在这里,样本空间 S={e}={某地区的全部学龄前儿童,而 H(e),
和 W(e)是定义在 S上的两个随机变量,又如炮弹弹着点的位置需要由它的横坐标和纵坐标来确定,而横坐标和纵坐标是定义在同一个样本空间的两个随机变量,
4
一般,设 E是一个随机试验,它的样本空间是
S={e},设 X=X(e)和 Y=Y(e)是定义在 S上的随机变量,由它们构成的一个向量 (X,Y),叫做 二维随机向量 或 二维随机变量,
S
e
X(e)
Y(e)
5
定义 设 (X,Y)是二维随机变量,对于任意实数
x,y,二元函数,
},{)}(){(),( yYxXPyYxXPyxF 记成称为二维随机变量 (X,Y)的分布函数,或称为随机变量 X和 Y的联合分布函数,
(x,y)
x
y
O
6
易知,随机点 (X,Y)落在矩形域
[x1<X?x2,y1<Y?y2]的概率为
P{x1<X?x2,y1<Y?y2}
=F(x2,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)-F(x1,y2),(1.1)
x
y
y1
y2
x1 x2
7
分布函数 F(x,y)具有的基本性质,
1,F(x,y)是变量 x和 y的不减函数,即对于任意固定的 y,当 x2>x1时 F(x2,y)?F(x1,y); 对于任意固定的 x,当 y2>y1时 F(x,y2)?F(x,y1).
2,0?F(x,y)?1,且对于任意固定的 y,F(-?,y)=0,
对于任意固定的 x,F(x,-?)=0,
F(-?,-?)=0,F(+?,+?)=1.
3,F(x,y)关于 x和关于 y都右连续,
4,任给 (x1,y1),(x2,y2),x1<x2,y1<y2,
F(x2,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)-F(x1,y2)?0
8
如果二维随机变量 (X,Y)全部可能取到的不相同的值 是有限对或可列无限多对,则称 (X,Y)
是 离散型的随机变量,
设二维离散型随机变量 (X,Y)所有可能取的值为 (xi,yj),i,j=1,2,...,记 P{X=xi,Y=yj}=pij,
i,j=1,2,...,则由概率的定义有
.1,0
1 1
i j
ijij pp
9
称 P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,...,为二维离散型随机变量 X和 Y的 分布律,或随机变量 X和 Y的 联合分布律,
也可用表格表示 X和 Y的联合分布律,
Y X x1 x2,.,xi,..
y1 p11 p21,.,pi1,..
y2 p12 p22,.,pi2,..
,..,..,..,..,..
yj p1j p2j,.,pij,..
...,..,..,..,..,..
10
例 1 设随机变量 X在 1,2,3,4四个整数中等可能地取一个值,另一个随机变量 Y在 1~X中等可能地取一整数值,试求 (X,Y)的分布律,
解 由乘法公式容易求得 (X,Y)的分布律,易知
{X=i,Y=j}的取值情况是,i=1,2,3,4,j取不大于 i
的正整数,且
.,4,3,2,1
,
1
4
1
}|{}{},{
iji
i
iXjYPiXPjYiXP
11
于是 (X,Y)的分布律为
.,4,3,2,1
,
1
4
1
}|{}{},{
iji
i
iXjYPiXPjYiXP
Y X 1 2 3 4
1 1/4 1/8 1/12 1/16
2 0 1/8 1/12 1/16
3 0 0 1/12 1/16
4 0 0 0 1/16
12
将 (X,Y)看成一个随机点的坐标,则离散型随机变量 X和 Y的联合分布函数为
)2.1(,),(
xx yy
ij
i j
pyxF
其中和式是对一切满足 xi?x,yj?y的 i,j来求和的,
13
与一维随机变量相似,对于二维随机变量 (X,Y)
的分布函数 F(x,y),如果存在非负的函数 f(x,y)
使对于任意 x,y有
,dd),(),(
-?-
y x
vuvufyxF
则称 (X,Y)是 连续型的二维随机变量,函数 f(x,y)
称为二维随机变量 (X,Y)的 概率密度,或称为随机变量 X和 Y的 联合概率密度,
14
按定义,概率密度 f(x,y)具有以下性质,
1,f(x,y)?0.
.1dd),(,2
-
-
yxyxf
)3.1(.dd),(}),{(
G
yxyxfGYXP
3,设 G是 xOy平面上的区域,点 (X,Y)落在 G内的概率为
4,若 f(x,y)在点 (x,y)连续,则有
).,(
),(2
yxf
yx
yxF
15
由性质 4,在 f(x,y)的连续点处有
).,(
),(
)],()Δ,(
),Δ()Δ,Δ([
ΔΔ
1
lim
ΔΔ
}Δ,Δ{
lim
2
0Δ
0Δ
0Δ
0Δ
yxf
yx
yxF
yxFyyxF
yxxFyyxxF
yx
yx
yyYyxxXxP
y
x
y
x
-
-
16
这表示若 f(x,y)在点 (x,y)处连续,则当 Dx,Dy 很小时
P{x<X?x+Dx,y<Y?y+Dy}?f(x,y)DxDy,
即 (X,Y)落在小长方形 (x,x+Dx]?(y,y+Dy]内的概率近似等于 f(x,y)DxDy.
在几何上 x=f(x,y)表示空间的一个曲面,由 性质
2知,介于它和 xOy平面的空间区域的体积为 1,
由 性质 3,P{(X,Y)?G}的值等于以 G为底,以曲面 z=f(x,y)为顶面的柱体体积,
17
例 2 设二维随机变量 (X,Y)具有概率密度
-
.,0
,0,0,e2
),(
)2(
其它
yx
yxf
yx
-
-?-
.,0
0,0,dde2
dd),(),(
0 0
)2(
其它
yxyx
yxyxfyxF
y x
yx
y x
(1)求分布函数 F(x,y); (2)求概率 P{Y?X}.
解 (1)
18
(2) 将 (X,Y)看作是平面上随机点的坐标,即有
{Y?X}={(X,Y)?G},
其中 G为 xOy平面上直线 y=x及其下方的部分,
于是
--
--
.,0
,0,0),1)(1(
),(
2
其它即有
yxee
yxF
yx
.
3
1
dde2
dd),(}),{(}{
0
)2(
-
y
yx
G
yx
yxyxfGYXPXYP
19
x
y
O
G
20
以上关于二维随机变量的讨论,不难推广到
n(n>2)维随机变量的情况,一般,设 E是一个随机变量,它的样本空间是 S={e},设 X1=X1(e),
X2=X2(e),...,Xn=Xn(e)是定义在 S上的随机变量,
由它们构成的一个 n维随机向量 (X1,X2,...,Xn)叫做 n维随机向量 或 n维随机变量,
任给 n个实数 x1,x2,...,xn,n元函数
F(x1,x2,...,xn)=P{X1?x1,X2?x2,...,Xn?xn}
称为 n维随机变量 (X1,X2,...,Xn}的分布函数或联合分布函数,它具有类似于二维随机变量的分布函数的性质,
21
§ 2 边缘分布
22
二维随机变量 (X,Y)作为一个整体,具有分布函数 F(x,y),而 X和 Y都是随机变量,各别也有分布函数,将它们分别记为 FX(x),FY(y),依次称为二维随机变量 (X,Y)关于 X和关于 Y的边缘分布函数,边缘分布函数可以由 (X,Y)的分布函数
F(x,y)所确定,事实上,
FX(x)=P{X?x}=P{X?x,Y<?}=F(x,?),
即 FX(x)=F(x,?),(2.1)
同理 FY(y)=F(?,y),(2.2)
23
对于离散型随机变量,由 (1.2),(2.1)式可得
.),()(
1
xx j
ijX
i
pxFxF
,2,1,}{
1
ipxXP
j
iji
与第二章 (3.2)式 比较,知道 X的分布律为同样,Y的分布律为
,2,1,}{
1
jpyYP
i
iji
24
记
,,2,1},{
,2,1},{
1
1
jyYPpp
ixXPpp
j
i
ijj
i
j
iji
分别称 pi?(i=1,2,...)和 p?j(j=1,2,...)为 (X,Y)关于 X
和关于 Y的边缘分布律 (注意,记号 pi?中的 "?"
是由 pij关于 j求和后得到的 ; 同样,p?j是由 pij关于 i求和后得到的 ).
25
对于连续型随机变量 (X,Y),设它的概率密度为
f(x,y),由于
,dd),(),()(
-
-
x
X xyyxfxFxF
)3.2(d),()(?
-
yyxfxf X
由第二章 (4.1)式 知道,X是一个连续型随机变量,且其概率密度为同样,Y也是一个连续型随机变量,其概率密度为
)4.2(d),()(?
-
xyxfyf Y
称 fX(x),fY(y)为 (X,Y)关于 X和关于 Y的边缘概率密度
26
例 1 一整数 N等可能地在 1,2,3,...,10十个值中取一个值,设 D(N)是能整除 N的正整数的个数,
F=F(N)是能整除 N的素数的个数 (注意 1不是素数 ),试写出 D和 F的联合分布律,
解 先将试验的样本空间及 D,F取值的情况列如如下,
样本点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D 1 2 2 3 2 4 2 4 3 4
F 0 1 1 1 1 2 1 1 1 2
27
D和 F的联合分布律及边缘分布律如下表所示,
样本点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D 1 2 2 3 2 4 2 4 3 4
F 0 1 1 1 1 2 1 1 1 2
F D 1 2 3 4 P{F=j}
0 1/10 0 0 0 1/10
1 0 4/10 2/10 1/10 7/10
2 0 0 0 2/10 2/10
P{D=i} 1/10 4/10 2/10 3/10 1
28
例 2 设随机变量 X和 Y具有联合概率密度
).(),(
.,0
,,6
),(
2
yfxf
xyx
yxf
YX
求边缘概率密度其它?
x
y
O
y=x2
y=x
29
解
-?
-?
-
-
.,0
,10),(6d6
d),()(
.0
,10),(6d6
d),()(
2
2
其它其它
yyyx
xyxfyf
xxxy
yyxfxf
y
y
Y
x
x
X
30
例 3 二维随机变量 (X,Y)的概率密度为
,,
,
)())((
2
)(
)1(2
1
e x p
1π2
1
),(
2
2
2
2
21
21
2
1
2
1
2
2
21
--?
-
--
-
-
-
-
-
yx
yyx
x
yxf
其中?1,?2,?1,?2,?都是常数,且?1>0,?2>0,|?|<1.
称 (X,Y)为服从参数?1,?2,?1,?2,?的二维正态分布,记为 (X,Y)~N(?1,?2,?12,?22,?),试求二维正态随机变量的边缘概率密度,
31
解
,
)(
))((
2
)(
,d),()(
2
1
2
12
2
1
1
2
2
21
21
2
2
2
2
-
-?
-
-
-
--
-
-
-
xxy
yxy
yyxfxf
X
由于
.dee
12
1
)(
2
1
1
2
2
22
1
2
1
)1(2
1
2
)(
2
21
-
-
-
-
-
-
-
-
-
y
xf
xyx
X
于是
32
.,
2
1
)(
.
2
1
)(
,d
2
1
)(
,
1
1
2
2
2
2
2
1
2
1
22
1
2
1
2
)(
2
2
)(
1
2/2
)(
1
1
1
2
2
2
-?
-?
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
yeyf
xexf
teexf
xy
t
y
Y
x
X
t
x
X
同理即则有令
33
§ 3 条件分布
34
设 (X,Y)是二维离散型随机变量,其分布律为
P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,....
(X,Y)关于 X和关于 Y的边缘分布律分别为
,,2,1,}{
,,2,1,}{
1
1
jppyYP
ippxXP
i
ijjj
j
ijii
设 pij>0,考虑在事件 {Y=yj}条件下事件 {X=xi}
发生的概率,也就是求条件概率
P{X=xi|Y=yj},i=1,2,...
35
由条件概率公式,可得
,2,1
}{
},{
}|{
i
p
p
yYP
yYxXP
yYxXP
j
ij
j
ji
ji
.1}|{,2;0}|{,1
11
j
j
i j
ij
i
ji
ji
p
p
p
p
yYxXP
yYxXP
易知上述条件概率具有分布律的性质,
36
定义 设 (X,Y)是二维离散型随机变量,对于固定的 j,若 P{Y=yj}>0,则称
)1.3(,2,1
,
}{
},{
}|{
i
p
p
yYP
yYxXP
yYxXP
j
ij
j
ji
ji
)2.3(,2,1,}|{
jp
p
xXyYP
i
ij
ij
为在 Y=yj条件下的随机变量 X的 条件分布律,
同样,对于固定的 i,若 P{X=xi}>0,则称为在 X=xi条件下随机变量 Y的 条件分布律
37
例 1 在一汽车工厂中,一辆汽车有两道工序是由机器人完成的,其一是紧固 3只螺栓,其二是焊接 2处焊点,以 X表示螺栓紧固得不良的数目,Y表示焊接点不良数目,已知 (X,Y)的分布律,
Y X 0 1 2 3 P{Y=j}
0 0.840 0.030 0.020 0.010 0.900
1 0.060 0.010 0.008 0.002 0.080
2 0.010 0.005 0.004 0.001 0.020
P{X=i} 0.910 0.045 0.032 0.013 1.000
(1)求在 X=1的条件下,Y的条件分布律 ;(2)求在 Y=0的条件下,X的条件分布律,
38
解
Y X 0 1 2 3 P{Y=j}
0 0.840 0.030 0.020 0.010 0.900
1 0.060 0.010 0.008 0.002 0.080
2 0.010 0.005 0.004 0.001 0.020
P{X=i} 0.910 0.045 0.032 0.013 1.000
Y=k 0 1 2
P{Y=k|X=1) 6/9 2/9 1/9
X=k 0 1 2 3
P{X=k|Y=0 84/90 3/90 2/90 1/90
39
例 2 一射手进行射击,击中目标的概率为 p
(0<p<1),射击直至击中目标两次为止,设以 X
表示首次击中目标所进行的射击次数,以 Y表示总共进行的射击次数,试求 X和 Y的联合分布律及条件分布律,
解 按题意 Y=n表示在第 n次射击时击中目标,
且在第 1次,第 2次,...,第 n次射击中恰有一次击中目标,已知各次射击是相互独立的,于是不管 m(m<n)是多少,概率 P{X=m,Y=n}都应等于
).1(12
2
pqqpqqqpp n
n
- -
-
这里个
40
即得 X和 Y的联合分布律为
P{X=m,Y=n}=p2qn-2,n=2,3,...; m=1,2,...,n-1.
.,3,2,)1(
},{}{
,,2,1,
1
},{}{
22
1
1
22
1
1
1
12
1
22
1
22
1
-
-
-
-
-
-
-
-?
-
-
nqpnqp
nYmXPnYP
mpq
q
qp
qp
qpnYmXPmXP
n
n
m
n
n
m
m
m
mn
n
mn
n
mn
又
41
于是由 (3.1),(3.2)式得到所求的条件分布律为
,2,1
,}|{
,2,1;1,,2,1
,
1
1
)1(
}|{
,3,2
1
1
22
22
22
-?
-
-
--
-
-
-
-
mmn
pq
pq
qp
mXnYP
m
nm
nqpn
qp
nYmXP
n
mn
m
n
n
n
时当时当
42
如 (X,Y)为连续型随机变量,概率密度为 f(x,y),
其关于 Y的边缘概率密度为 fY(y),给定 y,对于一固定的非常小的正数 e>0,如 P{y<Y?y+e}>0,
)3.3(d
)(
),(
)(
d),(
d)(
dd),(
}{
},{
}|{
-
-
-
x
Y
Y
x
y
y
Y
x y
y
u
yf
yuf
yf
uyuf
vvf
uvvuf
yYyP
yYyxXP
yYyxXP
e
e
e
e
e
e
e
43
定义 设二维随机变量 (X,Y)的概率密度为
f(x,y),(X,Y)关于 Y的边缘概率密度为 fY(y).
)4.3(.
)(
),(
)|(
,
)(
),(
,0)(,
|
yf
yxf
yxf
XyY
yf
yxf
yfy
Y
YX
Y
Y
记为条件概率密度的条件下为在则称若对于固定的
44
)5.3(.d
)(
),(
}|{)|(
),|(
}|{,,
d
)(
),(
d)|(
|
|
|
-
-?-
x
Y
YX
YX
x
Y
x
YX
x
yf
yxf
yYxXPyxF
yxF
yYxXPX
yYx
yf
yxf
xyxf
即或记为的条件分布函数条件下为在称
45
).|(
d)|(}|{
d
)(
),(
)|(
)(
),(
)|(
,
|
|
|
|
yxF
xyxfyYyxXP
y
xf
yxf
xyF
xf
yxf
xyf
YX
x
YX
y
X
XY
X
XY
-
-
e
且有和可以定义类似地
46
例 3 设 G是平面上的有界区域,其面积为 A,若二维随机变量 (X,Y)具有概率密度
,,0
,),(,
1
),(
其它
Gyx
Ayxf
则称 (X,Y)在 G上服从 均匀分布,现设二维随机变量 (X,Y)在圆域 x2+y2?1上服从均匀分布,求条件概率密度 fX|Y(x|y).
47
解 由假设随机变量 (X,Y)具有概率密度
,,0
,1,
π
1
),(
22
其它
yx
yxf
--?
-
--
-
.,0
,11,1
π
2
d
π
1
d),()(
2
1
1
2
2
其它
yyx
xyxfyf
y
y
Y
且有边缘概率密度
48
于是当 -1<y<1时有
---
-
-
其它,0
,11
,
12
1
1)/2(
/ π1
)|(
22
22
|
yxy
yy
yxf
YX
49
例 4 设数 X在区间 (0,1)上随机地取值,当观察到 X=x(0<x<1)时,数 Y在区间 (x,1)上随机地取值,求 Y的概率密度 fY(y).
解 按题意 X具有概率密度
.,0
,10,1
)(
其它
x
xf X
-?
.,0
,1,
1
1
)|(|
其它
yx
xxyf
XY
对任意给定的值 x(0<x<1),在 X=x条件下,Y的条件概率密度为
50
由 (3.4)式 得 X和 Y的联合概率密度为
-
.,0
,10,
1
1
)|()(),( |
其它
yx
xxyfxfyxf XYX
--?
-?
-
.,0
,10),1l n (d
1
1
d),()(
0
其它
yyx
x
xyxfyf
y
Y
于是得关于 Y的边缘概率密度为
51
作业 第三章习题第 104页开始第 1,7,11,12题
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52
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