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概率论与数理统计
3
第一章 概率论的基本概念
4
在一定条件下必然发生的现象,称为 确定性现象,
在个别试验中呈现出不确定性,在大量重复试验中其结果又具有 统计规律性 的现象,称为 随机现象,
概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科,
5
§ 1 随机试验
6
随机试验简称试验,
在概率论中,试验是一个含义广泛的术语,并没有严格的纯数学定义,包括人做的试验,甚至大自然做的试验,机器人做的试验,人进行的观察,等等,
试验的特点,
1,可在相同条件下重复地进行 ;
2,每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确所有可能的结果,
3,进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现,
7
试验的例,
E1:抛一枚硬币,观察正面 H,反面 T出现的现象,
E2:将一枚硬币掷三次,观察正面 H,反面 T出现的情况,
E3:将一枚硬币抛掷三次,观察出现正面的次数,
E4:抛一颗骰子,观察出现的点数,
E5:记录某城市 120急救电话台一昼夜接到的呼唤次数,
E6:在一批灯泡中任取一只,测试它的寿命,
E7:记录某地一昼夜的最高温度和最低温度,
8
§ 2 样本空间、随机事件
9
(一 )样本空间 对于随机试验,尽管在每次试验之前不能预知试验的结果,但试验的所有可能的结果组成的集合是已知的,将随机试验 E
的所有可能结果组成的集合称为 E的 样本空间,记为 S,样本空间的元素,即 E的每个结果,
称为 样本点,
10
例,
E1:抛一枚硬币,观察正面 H,反面 T出现的现象,
S1,{H,T}
E2:将一枚硬币掷三次,观察正面 H,反面 T出现的情况,
S2,{HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT};
E3:将一枚硬币抛掷三次,观察出现正面的次数,
S3,{0,1,2,3};
E4:抛一颗骰子,观察出现的点数,
S4:{1,2,3,4,5,6};
11
E5:记录某城市 120急救电话台一昼夜接到的呼唤次数,
S5:{0,1,2,3,...};
E6:在一批灯泡中任取一只,测试它的寿命,
S6:{t|t?0}
E7:记录某地一昼夜的最高温度和最低温度,
S7,{(x,y)|T0?x?y?T1},这里 x表示最低温度,y表示最高温度,并设这一地区的温度不会小于 T0,
也不会大于 T1.
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(二 ) 随机事件 称试验 E的样本空间 S的子集为
E的 随机事件,简称 事件,在每次试验中,当且仅当这一子集中的一个样本点出现时,称这一事件发生,
特别,由一个样本点组成的单点集,称为 基本事件,例如,掷一次硬币的实验 E1有两个基本事件 {H}和 {T}; 掷一次骰子的实验 E4有 6个基本事件 {1},{2},{3},{4},{5},{6}.
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样本空间 S包含所有的样本点,它是 S自身的子集,在每次试验中它总是发生的,称为 必然事件,空集 f不包含任何样本点,它也作为样本空间的子集,它在每次试验中都不发生,称为 不可能事件,
14
几个事件的例子,
例 1,在 E2:掷三次硬币观察正反面出现情况中事件 A1:"第一次出现的是 H",即
A1={HHH,HHT,HTH,HTT}.
事件 A2:"三次出现同一面 ",即
A2={HHH,TTT}
在 E6:测试任取的一只灯泡寿命中,事件 A3:"寿命小于 1000小时 ",即
A3={t|0?t<1000}
15
(三 ) 事件间的关系与事件的运算 事件是一个集合,因而事件间的关系与事件的运算按照集合论中集合间的关系和集合运算来处理,下面给出这些关系和运算在概率论中的提法,并根据 "事件发生 "的含义,给出它们在概率论中的含义,
设试验 E的样本空间为 S,而 A,B,Ak(k=1,2,...)是
S的子集,
通常喜欢用一个矩形来代表 S,其中的子区域代表一个事件,
16
1,若 A?B,则称事件 B包含 事件 A,这是指的事件 A发生必然导致事件 B发生,
若 A?B且 B?A,即 A=B,则称事件 A与事件 B相等,
S
B
A
17
2,事件 A?B={x|x?A或 x?B}称为事件 A与事件
B的 和事件,当且仅当 A,B中至少有一个发生时,事件 A?B发生,
S
A B
18
.,,;,,,
,
21
1
21
1
的和事件为可列个事件称的和事件个事件为称类似地
AAA
AAAnA
k
k
n
n
k
k
19
3,事件 A?B={x|x?A且 x?B}称为事件 A与事件
B的 积事件,当且仅当 A,B同时发生时,事件
A?B发生,A?B也记作 AB
S
A B
20
.,,;,,,
,
21
1
21
1
的积事件为可列个事件称的积事件个事件为称类似地
AAA
AAAnA
k
k
n
n
k
k
21
4,事件 A-B={x|x?A且 x?B}称为事件 A与事件 B
的 差事件,当且仅当 A发生,B不发生时事件 A-
B发生,
S
A B
22
5,若 A?B=f,则称事件 A与事件 B是 互不相容的,或 互斥 的,这指的是事件 A与事件 B不能同时发生,基本事件是两两互不相容的,
S
A B
23
6,若 A?B=S且 A?B=f,则称事件 A与事件 B互为 逆事件,又称事件 A与事件 B互为 对立事件,
这指的是对每次试验而言,事件 A,B中必有一个发生,且仅有一个发生,A的对立事件记为
.,ASAA -?
S
AA
24
在进行事件运算时,经常要用到下述定律,设
A,B,C为事件,则有交换律,A?B=B?A; A?B=B?A,
结合律,A?(B?C)=(A?B)?C;
A?(B?C)=(A?B)?C.
分配律,A?(B?C)=(A?B)?(A?C);
A?(B?C)=(A?B)?(A?C);
德?摩根律,
.; BABABABA
25
例 2 试验为掷三次硬币,事件 A1:"第一次出现的是 H",事件 A2:"三次出现同一面 ",
A1={HHH,HHT,HTH,HTT},
A2={HHH,TTT},
A1?A2={HHH,HHT,HTH,HTT,TTT},
A1?A2={HHH},
A2-A1={TTT},
}.,,{21 T H HT T HT H TAA
26
例 3 如图所示的电路中,A表示 "信号灯亮 ",B,
C,D表示继电器接点 I,II,III闭合,
I
II
III
27
则 BC?A,BD?A,BC?BD=A,而
.,CBCBAB f
I
II
III
A
B C
D
28
§ 3 频率与概率
29
(一 )频率 定义 在相同条件下,进行了 n次试验,在这 n次试验中,事件 A发生的次数 nA称为事件 A发生的频数,比值 nA/n称为事件 A发生的频率,并记成 fn(A).
由定义,易见频率具有下述基本性质,
1,0?fn(A)?1;
2,fn(S)=1;
3,若 A1,A2,...,Ak是两两互不相容的事件,则
fn(A1?A2?...?Ak)=fn(A1)+fn(A2)+...+fn(An).
30
历史上的掷硬币试验试验者 抛掷次数 n 正面出现次 数 m 正面出现频 率 m/n
德,摩尔根 2048 1061 0.518
蒲丰 4040 2048 0.5069
皮尔逊 12000 6019 0.5016
皮尔逊 24000 12012 0.5005
维尼 30000 14994 0.4998
31
大量实验证实,当重复试验的次数增大时,频率 fn(A)呈现出稳定性,逐渐稳定于某个常数,
我们称之为事件 A的概率,这叫大数定律,但是从纯数学的角度看,概率无非是赋予事件 A
的一个实数,
因此,从纯数学的观点看问题,只要对每个事件赋予一个满足一定性质的实数就行,是不关心概率在实际中的情况的,数学对实际的应用,
都属于某种方式的数学建模,
32
(二 ) 概率 定义 设 E是随机试验,S是它的样本空间,对于 E的每一事件 A赋予一个实数,记为
P(A),称为事件 A的概率,如果集合函数 P(?)满足下列条件,
1,非负性,对于每一个事件 A,有 P(A)?0;
2,规范性,对于必然事件 S,有 P(S)=1;
3,可列可加性,设 A1,A2,...是两两互不相容事件,
即对于 i?j,AiAj=f,i,j=1,2,...,则有
P(A1?A2?...)=P(A1)+P(A2)+..,(3.1)
由概率的定义可推得概率的一些重要性质,
33
性质 1 P(f)=0.
证 令 An=f (n=1,2,...),则
,2,1,,,,
1
jijiAAA ji
n
n ff 且
.0)(
,0)(,
.)()()(
111
f
f
ff
P
P
PAPAPP
nn
n
n
n
故由上式知由概率的非负性知
由概率的可列可加性 (3.1)得
34
性质 2(有限可加性 ) 若 A1,A2,...,An是两两互不相容的事件,则有
P(A1?A2?...?An)=P(A1)+P(A2)+...+P(An)
(3.2)
证 令 An+1=An+2=...=f,即有 AiAj=f,i?j,
i,j=1,2,....由 (3.1)式得
).()()(0)(
)()(
21
1
11
21
n
n
k
k
k
k
k
kn
APAPAPAP
APAPAAAP
35
性质 3 设 A,B是两个事件,若 A?B,则有
P(B-A)=P(B)-P(A) (3.3)
P(B)?P(A) (3.4)
证 由 A?B知 B=A?(B-A)(参见 ),且 A(B-A)=f,
再由概率的有限可加性 (3.2),得
P(B)=P(A)+P(B-A),
又由 概率的非负性 1,P(B-A)?0知
P(B)?P(A).
36
性质 4 对于任一事件 A,
P(A)?1
证 因 A?S,由 性质 3得
P(A)?P(S)=1
性质 5(逆事件的概率 ) 对任一事件 A,有
).()()()(1
,,
APAPAAPSP
AASAA
因此且因 f
).(1)( APAP -?
证
37
性质 6(加法公式 ) 对任意两事件 A,B有
P(A?B)=P(A)+P(B)-P(AB),(3.5)
证 因 A?B= A?(B-AB)(参见 ),且 A(B-AB)=f,
AB?B,故由 (3.2)及 (3.3)得
P(A?B)=P(A)+P(B-AB)
=P(A)+P(B)-P(AB).
(3.5)式还可推广到多个事件,例如,设 A,B,C为任意三个事件,则有
P(A?B?C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)
-P(BC)-P(AC)+P(ABC) (3.6)
38
§ 4 等可能概型 (古典概型 )
39
§ 1中所说的试验 E1:抛一枚硬币,观察正反两面出现的情况,E4:掷一枚骰子,观察出现的点数,它们具有两个共同的特点,
1,试验的样本空间只包含有限个元素 ;
2,试验中每个基本事件发生的可能性相同,
具有上面两个特点的试验称为 等可能概型,也称为 古典概型,
40
设试验的样本空间为 S={e1,e2,...,en},由于在试验中每个基本事件发生的可能性相同,即有
P({e1})=P({e2})=...=P({en}).
又由于基本事件是两两互不相容的,于是
1=P(S)=P({e1}?{e2}?...?{en})=
P({e1})+P({e2})+...+P({en})=nP({ei}),
.,,2,1,
1
})({ ni
n
eP i
41
若事件 A包含 k个基本事件,即
}{}{}{
21 kiii
eeeA
n
k
ePAP
k
j
i j
1
})({)(
这里 i1,i2,...,ik是 1,2,...,n中某 k个不同的数,则有
(4.1)式就是等可能概型中事件 A的概率的计算公式
)1.4(
中基本事件的总数包含的基本事件数
S
A?
42
例 1 将一枚硬币抛掷三次,(1)设事件 A1为 "恰有一次出现正面 ",求 P(A1); (2) 设事件 A2为 "至少有一次出现正面 ",求 P(A2).
解 (1)考虑 § 1中 E2的样本空间,
S2={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,
THT,TTH,TTT}.
而 A1={HTT,THT,TTH}.
故由 (4.1)式,得
8
3)(
1?AP
43
若本题考虑 § 1中 E3的样本空间,
S3={0,1,2,3}
则由于各个基本事件发生的可能性不相同,就不能利用 (4.1)来计算 P(A1)和 P(A2),因而对本题来说,考虑样本空间 S2才能顺利计算有关事件的频率,
.
8
7
8
1
1)(1)(
},{)2(
22
2
-?-?
APAP
T TTA 于是由于
44
例 2 一口袋装有 6只球,其中 4只白球,2只红球,
从袋中取球两次,每次随机地取一只,考虑两种取球方式,(a)第一次取一只球,观察其颜色后放回袋中,搅匀后再取一球,这种取球方式叫做 放回抽样,(b)第一次取一球不放回袋中,
第二次从剩余的球中再取一球,这种取球方式叫做 不放回抽样,试分别就上面两种情况求 (1)
取到的两只球都是白球的概率 ;(2)取到的两只球颜色相同的概率 ; (3)取到的两只球中至少有一只是白球的概率,
45
解 (a)放回抽样的情况,以 A,B,C分别表示事件
"取到的两只球都是白球 ","取到的两只球都是红球 ","取到的两只球中至少有一只是白球
",易知 "取到两只颜色相同的球 "这一事件即为 A?B,而
.9166 22)(,9466 44)(, BPAPBC
9
8
)(1)()(
9
5
)()()(
-
BPBPCP
BPAPBAP由于 AB=f,得
46
例 3 将 n只球随机地放入 N(N?n)个盒子中去,
试求每个盒子至多有一只球的概率 (设盒子的容量不限 ).
解 将 n只球放入 N个盒子,每种放法是一基本事件,共有 N?N?...?N=Nn种不同放法,而每个盒子中至多放一只球共有 N(N-1)...[N-(n-1)]
种不同放法,因而所求概率为
n
n
N
n N
A
N
nNNN
p?
--
)1()1(?
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许多问题和本例有相同的数学模型,例如,假设每人的生日在一年 365天的任一天是等可能的,即都等于 1/365,则随机选取 n(?365)个人,
他们的生日各不相同的概率为
n
n
3 6 5
)13 6 5(3 6 43 6 5?-
因而,n个人中至少有两人生日相同的概率为
n
n
365
)1365(364365
1
-
-
48
经计算可得下述结果,
n 20 23 30 40
p 0.411 0.507 0.706 0.891
n 50 64 100
p 0.970 0.997 0.9999997
49
关于组合
!3
)2)(1(
!3
)2)(1)((
3
.1
0
,
!
)1()1(
,
)!(!
!
,
)1(
-?
-----
-
--
-
例如定义以及非负整数而对于任意实数因此或记作的组合数记作个个元素中取
a
r
raaa
r
a
ra
mnm
n
m
n
C
m
n
Cnmmn
m
n
m
n
50
例 4 设有 N件产品,其中有 D件次品,今从中任取 n件,问其中恰有 k(k?D)件次品的概率是多少?
解 所求的概率为
)2.4(.
-
-
n
N
kn
DN
k
D
p
(4.2)式即所谓超几何分布的概率公式,
51
例 5 袋中有 a只白球,b只红球,k个人依次在袋中取一只球,(1)作放回抽样 ; (2)作不放回抽样,
求第 i(i=1,2,...,k)个人取到白球 (记为事件 B)的概率 (k?a+b).
解 (1) 放回抽样的情况,显然有
ba
a
BP
)(
52
(2) 不放回抽样的情况,各人取一只球,每种
,
]1)1(1[)2)(1(
,11
1.,
,,
.
,)1()1)((
,
1
1
种取法共有只只球中的任意球可以是其余只其余被取的种取法有只白球中的任一只它可以是个人取的应是白球第发生时当事件同本事件发生的可能性相且由于对称性知每个基个基本事件共有取法是一基本事件
-
-?
---?-?-?
--?
-
-?-
k
ba
k
ba
Akbababa
kba
kaa
iB
Akbababa
53
值得注意的是 P(B)与 i无关,即 k个人取球,尽管取球的先后次序不同,各人取到白球的概率是一样的,大家机会相同,另外还值得注意的是放回抽样的情况与不放回抽样的情况下
P(B)是一样的,
ba
a
bakba
kbabaa
A
Aa
BP
AaB
k
ba
k
ba
k
ba
-?
-?-?
-
-?
-
-?
)!()!(
)!()!1(
)(
,
1
1
1
1
故得个基本事件中包含于是
54
例 6 在 1~2000的整数中随机地取一个数,问取到的数即不能被 6整除,又不能被 8整除的概率是多少?
解 设 A为事件 "取到的数能被 6整除 ",B为事件
"取到的数能被 8整除 ",则所求概率为
.
20 0 0
333
)(
,334
6
20 0 0
333
)]()()([1
)(1)()(
-?-?
-
AP
ABPBPAP
BAPBAPBAP
故得由于
55
又由于一个数同时能被 6与 8整除,就相当于能被 24整除,因此,由
.2000250)(,25082000 BP故得由于
.
4
3
2000
83
2000
250
2000
333
1
2000
83
)(,84
24
2000
83
-?-?
p
ABP
于是所求概率为得
56
例 7 将 15名新生随机地平均分配到三个班级中去,这 15名新生中有 3名是优秀生,问 (1)每一个班级各分配到一名优秀生的概率是多少?
(2) 3名优秀生分配在同一班级的概率是多少?
解 15名新生平均分配到三个班级中的分法总数为
!5!5!5
!15
!5!5
!10
!5!10
!15
5
5
5
10
5
15
每一种分配法为一基本事件,且由对称性易知每个基本事件发生的可能性相同,
57
(1) 将 3名优秀生分配到三个班级使每个班级都有一名优秀生的分法共 3!种,对于这每一种分法,其余 12名新生平均分配到三个班级中的分法共有 12!/(4!4!4!)种,因此,每一班级各分配到一名优秀生的分法共有
(3!?12!)/(4!4!4!)种,于是所求概率为
.
91
25
!5!5!5
!15
!4!4!4
!12!3
1?
p
58
(2) 将 3名优秀生分配在同一班级的分法共有 3
种,对于这每一种分法,其余 12名新生的分法
(一个班级 2名,另两个班级各 5名 )有
12!/(2!5!5!)种,因此 3名优秀生分配在同一班级的分法共有 (3?12!)/(2!5!5!)种,于是,所求概率为
91
6
!5!5!5
!15
!5!5!2
!123
1?
p
59
例 8 某接待站在某一同曾接待过 12次来访,已知所有这 12次接待都是在周二和周四进行的,
问是否可以推断接待时间是有规定的,
解 假设接待站的接待时间没有规定,而各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的,
那么,12次接待来访者都是在周二,周四的概率为 212/712=0.0000003,而 "概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的 "(称之为实际推断原理 ),因此可以推断接待站不是每天都接待来访者,即认为接待时间是有规定的,
60
作业 第一章 习题第 32页开始第 2,4,5,8题
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概率论与数理统计
3
第一章 概率论的基本概念
4
在一定条件下必然发生的现象,称为 确定性现象,
在个别试验中呈现出不确定性,在大量重复试验中其结果又具有 统计规律性 的现象,称为 随机现象,
概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科,
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§ 1 随机试验
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随机试验简称试验,
在概率论中,试验是一个含义广泛的术语,并没有严格的纯数学定义,包括人做的试验,甚至大自然做的试验,机器人做的试验,人进行的观察,等等,
试验的特点,
1,可在相同条件下重复地进行 ;
2,每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确所有可能的结果,
3,进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现,
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试验的例,
E1:抛一枚硬币,观察正面 H,反面 T出现的现象,
E2:将一枚硬币掷三次,观察正面 H,反面 T出现的情况,
E3:将一枚硬币抛掷三次,观察出现正面的次数,
E4:抛一颗骰子,观察出现的点数,
E5:记录某城市 120急救电话台一昼夜接到的呼唤次数,
E6:在一批灯泡中任取一只,测试它的寿命,
E7:记录某地一昼夜的最高温度和最低温度,
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§ 2 样本空间、随机事件
9
(一 )样本空间 对于随机试验,尽管在每次试验之前不能预知试验的结果,但试验的所有可能的结果组成的集合是已知的,将随机试验 E
的所有可能结果组成的集合称为 E的 样本空间,记为 S,样本空间的元素,即 E的每个结果,
称为 样本点,
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例,
E1:抛一枚硬币,观察正面 H,反面 T出现的现象,
S1,{H,T}
E2:将一枚硬币掷三次,观察正面 H,反面 T出现的情况,
S2,{HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT};
E3:将一枚硬币抛掷三次,观察出现正面的次数,
S3,{0,1,2,3};
E4:抛一颗骰子,观察出现的点数,
S4:{1,2,3,4,5,6};
11
E5:记录某城市 120急救电话台一昼夜接到的呼唤次数,
S5:{0,1,2,3,...};
E6:在一批灯泡中任取一只,测试它的寿命,
S6:{t|t?0}
E7:记录某地一昼夜的最高温度和最低温度,
S7,{(x,y)|T0?x?y?T1},这里 x表示最低温度,y表示最高温度,并设这一地区的温度不会小于 T0,
也不会大于 T1.
12
(二 ) 随机事件 称试验 E的样本空间 S的子集为
E的 随机事件,简称 事件,在每次试验中,当且仅当这一子集中的一个样本点出现时,称这一事件发生,
特别,由一个样本点组成的单点集,称为 基本事件,例如,掷一次硬币的实验 E1有两个基本事件 {H}和 {T}; 掷一次骰子的实验 E4有 6个基本事件 {1},{2},{3},{4},{5},{6}.
13
样本空间 S包含所有的样本点,它是 S自身的子集,在每次试验中它总是发生的,称为 必然事件,空集 f不包含任何样本点,它也作为样本空间的子集,它在每次试验中都不发生,称为 不可能事件,
14
几个事件的例子,
例 1,在 E2:掷三次硬币观察正反面出现情况中事件 A1:"第一次出现的是 H",即
A1={HHH,HHT,HTH,HTT}.
事件 A2:"三次出现同一面 ",即
A2={HHH,TTT}
在 E6:测试任取的一只灯泡寿命中,事件 A3:"寿命小于 1000小时 ",即
A3={t|0?t<1000}
15
(三 ) 事件间的关系与事件的运算 事件是一个集合,因而事件间的关系与事件的运算按照集合论中集合间的关系和集合运算来处理,下面给出这些关系和运算在概率论中的提法,并根据 "事件发生 "的含义,给出它们在概率论中的含义,
设试验 E的样本空间为 S,而 A,B,Ak(k=1,2,...)是
S的子集,
通常喜欢用一个矩形来代表 S,其中的子区域代表一个事件,
16
1,若 A?B,则称事件 B包含 事件 A,这是指的事件 A发生必然导致事件 B发生,
若 A?B且 B?A,即 A=B,则称事件 A与事件 B相等,
S
B
A
17
2,事件 A?B={x|x?A或 x?B}称为事件 A与事件
B的 和事件,当且仅当 A,B中至少有一个发生时,事件 A?B发生,
S
A B
18
.,,;,,,
,
21
1
21
1
的和事件为可列个事件称的和事件个事件为称类似地
AAA
AAAnA
k
k
n
n
k
k
19
3,事件 A?B={x|x?A且 x?B}称为事件 A与事件
B的 积事件,当且仅当 A,B同时发生时,事件
A?B发生,A?B也记作 AB
S
A B
20
.,,;,,,
,
21
1
21
1
的积事件为可列个事件称的积事件个事件为称类似地
AAA
AAAnA
k
k
n
n
k
k
21
4,事件 A-B={x|x?A且 x?B}称为事件 A与事件 B
的 差事件,当且仅当 A发生,B不发生时事件 A-
B发生,
S
A B
22
5,若 A?B=f,则称事件 A与事件 B是 互不相容的,或 互斥 的,这指的是事件 A与事件 B不能同时发生,基本事件是两两互不相容的,
S
A B
23
6,若 A?B=S且 A?B=f,则称事件 A与事件 B互为 逆事件,又称事件 A与事件 B互为 对立事件,
这指的是对每次试验而言,事件 A,B中必有一个发生,且仅有一个发生,A的对立事件记为
.,ASAA -?
S
AA
24
在进行事件运算时,经常要用到下述定律,设
A,B,C为事件,则有交换律,A?B=B?A; A?B=B?A,
结合律,A?(B?C)=(A?B)?C;
A?(B?C)=(A?B)?C.
分配律,A?(B?C)=(A?B)?(A?C);
A?(B?C)=(A?B)?(A?C);
德?摩根律,
.; BABABABA
25
例 2 试验为掷三次硬币,事件 A1:"第一次出现的是 H",事件 A2:"三次出现同一面 ",
A1={HHH,HHT,HTH,HTT},
A2={HHH,TTT},
A1?A2={HHH,HHT,HTH,HTT,TTT},
A1?A2={HHH},
A2-A1={TTT},
}.,,{21 T H HT T HT H TAA
26
例 3 如图所示的电路中,A表示 "信号灯亮 ",B,
C,D表示继电器接点 I,II,III闭合,
I
II
III
27
则 BC?A,BD?A,BC?BD=A,而
.,CBCBAB f
I
II
III
A
B C
D
28
§ 3 频率与概率
29
(一 )频率 定义 在相同条件下,进行了 n次试验,在这 n次试验中,事件 A发生的次数 nA称为事件 A发生的频数,比值 nA/n称为事件 A发生的频率,并记成 fn(A).
由定义,易见频率具有下述基本性质,
1,0?fn(A)?1;
2,fn(S)=1;
3,若 A1,A2,...,Ak是两两互不相容的事件,则
fn(A1?A2?...?Ak)=fn(A1)+fn(A2)+...+fn(An).
30
历史上的掷硬币试验试验者 抛掷次数 n 正面出现次 数 m 正面出现频 率 m/n
德,摩尔根 2048 1061 0.518
蒲丰 4040 2048 0.5069
皮尔逊 12000 6019 0.5016
皮尔逊 24000 12012 0.5005
维尼 30000 14994 0.4998
31
大量实验证实,当重复试验的次数增大时,频率 fn(A)呈现出稳定性,逐渐稳定于某个常数,
我们称之为事件 A的概率,这叫大数定律,但是从纯数学的角度看,概率无非是赋予事件 A
的一个实数,
因此,从纯数学的观点看问题,只要对每个事件赋予一个满足一定性质的实数就行,是不关心概率在实际中的情况的,数学对实际的应用,
都属于某种方式的数学建模,
32
(二 ) 概率 定义 设 E是随机试验,S是它的样本空间,对于 E的每一事件 A赋予一个实数,记为
P(A),称为事件 A的概率,如果集合函数 P(?)满足下列条件,
1,非负性,对于每一个事件 A,有 P(A)?0;
2,规范性,对于必然事件 S,有 P(S)=1;
3,可列可加性,设 A1,A2,...是两两互不相容事件,
即对于 i?j,AiAj=f,i,j=1,2,...,则有
P(A1?A2?...)=P(A1)+P(A2)+..,(3.1)
由概率的定义可推得概率的一些重要性质,
33
性质 1 P(f)=0.
证 令 An=f (n=1,2,...),则
,2,1,,,,
1
jijiAAA ji
n
n ff 且
.0)(
,0)(,
.)()()(
111
f
f
ff
P
P
PAPAPP
nn
n
n
n
故由上式知由概率的非负性知
由概率的可列可加性 (3.1)得
34
性质 2(有限可加性 ) 若 A1,A2,...,An是两两互不相容的事件,则有
P(A1?A2?...?An)=P(A1)+P(A2)+...+P(An)
(3.2)
证 令 An+1=An+2=...=f,即有 AiAj=f,i?j,
i,j=1,2,....由 (3.1)式得
).()()(0)(
)()(
21
1
11
21
n
n
k
k
k
k
k
kn
APAPAPAP
APAPAAAP
35
性质 3 设 A,B是两个事件,若 A?B,则有
P(B-A)=P(B)-P(A) (3.3)
P(B)?P(A) (3.4)
证 由 A?B知 B=A?(B-A)(参见 ),且 A(B-A)=f,
再由概率的有限可加性 (3.2),得
P(B)=P(A)+P(B-A),
又由 概率的非负性 1,P(B-A)?0知
P(B)?P(A).
36
性质 4 对于任一事件 A,
P(A)?1
证 因 A?S,由 性质 3得
P(A)?P(S)=1
性质 5(逆事件的概率 ) 对任一事件 A,有
).()()()(1
,,
APAPAAPSP
AASAA
因此且因 f
).(1)( APAP -?
证
37
性质 6(加法公式 ) 对任意两事件 A,B有
P(A?B)=P(A)+P(B)-P(AB),(3.5)
证 因 A?B= A?(B-AB)(参见 ),且 A(B-AB)=f,
AB?B,故由 (3.2)及 (3.3)得
P(A?B)=P(A)+P(B-AB)
=P(A)+P(B)-P(AB).
(3.5)式还可推广到多个事件,例如,设 A,B,C为任意三个事件,则有
P(A?B?C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)
-P(BC)-P(AC)+P(ABC) (3.6)
38
§ 4 等可能概型 (古典概型 )
39
§ 1中所说的试验 E1:抛一枚硬币,观察正反两面出现的情况,E4:掷一枚骰子,观察出现的点数,它们具有两个共同的特点,
1,试验的样本空间只包含有限个元素 ;
2,试验中每个基本事件发生的可能性相同,
具有上面两个特点的试验称为 等可能概型,也称为 古典概型,
40
设试验的样本空间为 S={e1,e2,...,en},由于在试验中每个基本事件发生的可能性相同,即有
P({e1})=P({e2})=...=P({en}).
又由于基本事件是两两互不相容的,于是
1=P(S)=P({e1}?{e2}?...?{en})=
P({e1})+P({e2})+...+P({en})=nP({ei}),
.,,2,1,
1
})({ ni
n
eP i
41
若事件 A包含 k个基本事件,即
}{}{}{
21 kiii
eeeA
n
k
ePAP
k
j
i j
1
})({)(
这里 i1,i2,...,ik是 1,2,...,n中某 k个不同的数,则有
(4.1)式就是等可能概型中事件 A的概率的计算公式
)1.4(
中基本事件的总数包含的基本事件数
S
A?
42
例 1 将一枚硬币抛掷三次,(1)设事件 A1为 "恰有一次出现正面 ",求 P(A1); (2) 设事件 A2为 "至少有一次出现正面 ",求 P(A2).
解 (1)考虑 § 1中 E2的样本空间,
S2={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,
THT,TTH,TTT}.
而 A1={HTT,THT,TTH}.
故由 (4.1)式,得
8
3)(
1?AP
43
若本题考虑 § 1中 E3的样本空间,
S3={0,1,2,3}
则由于各个基本事件发生的可能性不相同,就不能利用 (4.1)来计算 P(A1)和 P(A2),因而对本题来说,考虑样本空间 S2才能顺利计算有关事件的频率,
.
8
7
8
1
1)(1)(
},{)2(
22
2
-?-?
APAP
T TTA 于是由于
44
例 2 一口袋装有 6只球,其中 4只白球,2只红球,
从袋中取球两次,每次随机地取一只,考虑两种取球方式,(a)第一次取一只球,观察其颜色后放回袋中,搅匀后再取一球,这种取球方式叫做 放回抽样,(b)第一次取一球不放回袋中,
第二次从剩余的球中再取一球,这种取球方式叫做 不放回抽样,试分别就上面两种情况求 (1)
取到的两只球都是白球的概率 ;(2)取到的两只球颜色相同的概率 ; (3)取到的两只球中至少有一只是白球的概率,
45
解 (a)放回抽样的情况,以 A,B,C分别表示事件
"取到的两只球都是白球 ","取到的两只球都是红球 ","取到的两只球中至少有一只是白球
",易知 "取到两只颜色相同的球 "这一事件即为 A?B,而
.9166 22)(,9466 44)(, BPAPBC
9
8
)(1)()(
9
5
)()()(
-
BPBPCP
BPAPBAP由于 AB=f,得
46
例 3 将 n只球随机地放入 N(N?n)个盒子中去,
试求每个盒子至多有一只球的概率 (设盒子的容量不限 ).
解 将 n只球放入 N个盒子,每种放法是一基本事件,共有 N?N?...?N=Nn种不同放法,而每个盒子中至多放一只球共有 N(N-1)...[N-(n-1)]
种不同放法,因而所求概率为
n
n
N
n N
A
N
nNNN
p?
--
)1()1(?
47
许多问题和本例有相同的数学模型,例如,假设每人的生日在一年 365天的任一天是等可能的,即都等于 1/365,则随机选取 n(?365)个人,
他们的生日各不相同的概率为
n
n
3 6 5
)13 6 5(3 6 43 6 5?-
因而,n个人中至少有两人生日相同的概率为
n
n
365
)1365(364365
1
-
-
48
经计算可得下述结果,
n 20 23 30 40
p 0.411 0.507 0.706 0.891
n 50 64 100
p 0.970 0.997 0.9999997
49
关于组合
!3
)2)(1(
!3
)2)(1)((
3
.1
0
,
!
)1()1(
,
)!(!
!
,
)1(
-?
-----
-
--
-
例如定义以及非负整数而对于任意实数因此或记作的组合数记作个个元素中取
a
r
raaa
r
a
ra
mnm
n
m
n
C
m
n
Cnmmn
m
n
m
n
50
例 4 设有 N件产品,其中有 D件次品,今从中任取 n件,问其中恰有 k(k?D)件次品的概率是多少?
解 所求的概率为
)2.4(.
-
-
n
N
kn
DN
k
D
p
(4.2)式即所谓超几何分布的概率公式,
51
例 5 袋中有 a只白球,b只红球,k个人依次在袋中取一只球,(1)作放回抽样 ; (2)作不放回抽样,
求第 i(i=1,2,...,k)个人取到白球 (记为事件 B)的概率 (k?a+b).
解 (1) 放回抽样的情况,显然有
ba
a
BP
)(
52
(2) 不放回抽样的情况,各人取一只球,每种
,
]1)1(1[)2)(1(
,11
1.,
,,
.
,)1()1)((
,
1
1
种取法共有只只球中的任意球可以是其余只其余被取的种取法有只白球中的任一只它可以是个人取的应是白球第发生时当事件同本事件发生的可能性相且由于对称性知每个基个基本事件共有取法是一基本事件
-
-?
---?-?-?
--?
-
-?-
k
ba
k
ba
Akbababa
kba
kaa
iB
Akbababa
53
值得注意的是 P(B)与 i无关,即 k个人取球,尽管取球的先后次序不同,各人取到白球的概率是一样的,大家机会相同,另外还值得注意的是放回抽样的情况与不放回抽样的情况下
P(B)是一样的,
ba
a
bakba
kbabaa
A
Aa
BP
AaB
k
ba
k
ba
k
ba
-?
-?-?
-
-?
-
-?
)!()!(
)!()!1(
)(
,
1
1
1
1
故得个基本事件中包含于是
54
例 6 在 1~2000的整数中随机地取一个数,问取到的数即不能被 6整除,又不能被 8整除的概率是多少?
解 设 A为事件 "取到的数能被 6整除 ",B为事件
"取到的数能被 8整除 ",则所求概率为
.
20 0 0
333
)(
,334
6
20 0 0
333
)]()()([1
)(1)()(
-?-?
-
AP
ABPBPAP
BAPBAPBAP
故得由于
55
又由于一个数同时能被 6与 8整除,就相当于能被 24整除,因此,由
.2000250)(,25082000 BP故得由于
.
4
3
2000
83
2000
250
2000
333
1
2000
83
)(,84
24
2000
83
-?-?
p
ABP
于是所求概率为得
56
例 7 将 15名新生随机地平均分配到三个班级中去,这 15名新生中有 3名是优秀生,问 (1)每一个班级各分配到一名优秀生的概率是多少?
(2) 3名优秀生分配在同一班级的概率是多少?
解 15名新生平均分配到三个班级中的分法总数为
!5!5!5
!15
!5!5
!10
!5!10
!15
5
5
5
10
5
15
每一种分配法为一基本事件,且由对称性易知每个基本事件发生的可能性相同,
57
(1) 将 3名优秀生分配到三个班级使每个班级都有一名优秀生的分法共 3!种,对于这每一种分法,其余 12名新生平均分配到三个班级中的分法共有 12!/(4!4!4!)种,因此,每一班级各分配到一名优秀生的分法共有
(3!?12!)/(4!4!4!)种,于是所求概率为
.
91
25
!5!5!5
!15
!4!4!4
!12!3
1?
p
58
(2) 将 3名优秀生分配在同一班级的分法共有 3
种,对于这每一种分法,其余 12名新生的分法
(一个班级 2名,另两个班级各 5名 )有
12!/(2!5!5!)种,因此 3名优秀生分配在同一班级的分法共有 (3?12!)/(2!5!5!)种,于是,所求概率为
91
6
!5!5!5
!15
!5!5!2
!123
1?
p
59
例 8 某接待站在某一同曾接待过 12次来访,已知所有这 12次接待都是在周二和周四进行的,
问是否可以推断接待时间是有规定的,
解 假设接待站的接待时间没有规定,而各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的,
那么,12次接待来访者都是在周二,周四的概率为 212/712=0.0000003,而 "概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的 "(称之为实际推断原理 ),因此可以推断接待站不是每天都接待来访者,即认为接待时间是有规定的,
60
作业 第一章 习题第 32页开始第 2,4,5,8题
61
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