1
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2
第二章 随机变量及其分布
§ 1 随机变量
3
为了全面研究随机试验的结果,揭示随机现象的统计规律性,将随机试验的结果与实数对应起来,将随机试验的结果数量化,引入随机变量的概念,
在随机试验完成时,人们常常不是关心试验结果本身,而是对于试验结果联系着的某个数感兴趣,
4
例 1 在一袋中装有编号分别为 1,2,3的 3只球,在袋中任取一只球,放回,再取一只球,记录它们的编号,计算两只球的号码之和,
试验的样本空间 S={e}={i,j},i,j=1,2,3,这里 i,j
分别表示第一,二球的号码,以 X记两球号码之和,对于每一个样本点 e,X都有一个值与之对应,如图所示,
1 2 3 i
1 2 3 4
2 3 4 5
3 4 5 6
j
5
例 2 将一枚硬币抛掷 3次,关心 3次抛掷中,出现 H的总次数,而对 H,T出现的顺序不关心,比如说,我们仅关心出现 H的总次数为 2,而不在乎出现的是 "HHT","HTH"还是 "THH",以 X记三次抛掷中出现 H的总数,则对样本空间 S={e}
中的每一个样本点 e,X都有一个值与之对应,
即有样本点 HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTT
X的值 3 2 2 2 1 1 1 0
6
定义 设随机试验的样本空间为 S={e},X=X(e)
是定义在样本空间 S上的实值单值函数,称
X=X(e)为 随机变量,
S
e1
e2
e3
x
7
有许多随机试验,它的结果本身是一个数,即样本点 e本身是一个数,我们令 X=X(e)=e,则 X
就是一个随机变量,例如,用 Y记某车间一天的缺勤人数,以 W记录某地区第一季度的降雨量,以 Z记某工厂一天的耗电量,以 N记某医院某一天的挂号人数,那么 Y,W,Z,N都是随机变量,
本书中,一般以大写字母如 X,Y,Z,W,...表示随机变量,而以小写字母 x,y,z,w,...表示实数,
8
随机变量的取值随试验结果而定,而试验的各个结果出现有一定的概率,因而随机变量的取值有一定的概率,例如,在 例 2中 X取值为 2,记成 {X=2},对应于样本点的集合 A={HHT,HTH,
THH},这是一个事件,当且仅当事件 A发生时有 {X=2},则称 P(A)=P{HHT,HTH,THH}为
{X=2}的概率,即 P(X=2)=P(A)=3/8,类似地有
8
4
},,,{}1{ T T TT T HT H TH T TPXP
9
一般,若 L是一个实数集合,将 X在 L上取值写成
{X?L},它表示事件 B={e|X(e)?L},即 B是由 S中使得 X(e)?L的所有样本点 e所组成的事件,此时有
P{X?L}=P(B)=P{e|X(e)?L},
随机变量的取值随试验的结果而定,在试验之前不能预知它取什么值,且它的取值有一定的概率,这些性质显示了随机变量与普通函数有着本质的差异,
10
§ 2 离散型随机变量及其分布律
11
有些随机变量,它全部可能取到的不相同的值是有限个或可列无限多个,这种随机变量称为离散型随机变量,例如 § 1例 2中的随机变量 X,
它只可能取 0,1,2,3四个值,它是一个离散型随机变量,又如某城市的 120急救电话台一昼夜收到的呼唤次数也是离散型随机变量,若以 T
记某元件的寿命,它所可能取的值充满一个区间,是无法按一定次序一一列举出来的,因而它是一个 非离散型的随机变量,本节讨论离散型随机变量
12
要掌握一个离散型随机变量 X的统计规律,必须且只需知道 X的所有可能取的值及取每一个可能值的概率,
设 X所有可能取的值为 xk(k=1,2,...),而
P{X=xk}=pk,k=1,2,...,(2.1)
由概率的定义,pk满足如下两个条件
)3.2(.1,2
)2.2(;,2,1,0,1
1
k
k
k
p
kp?
13
称 (2.1)式 为离散型随机变量 X的分布律,分布律也可用表格的形式来表示,
.1,}{]}{[1
,,}{}{
,}{)(2
111
21
k
k
k
k
k
k
kj
pxXPxXP
jkxXxX
xXxX
即故且是必然事件是由于
X x1 x2,.,xn,..
pk p1 p2,.,pn,.,(2.4)
14
例 1 设一汽车在开往目的地的道路上需经过四组信号灯,每组信号灯以 1/2概率允许或禁止汽车通过,以 X表示汽车首次停下时,它已通过的信号灯组数 (设各组信号灯的工作是相互独立的 ),求 X的分布律,
解 以 p表示每组信号灯禁止汽车通过的概率,
易知 X的分布律为
X 0 1 2 3 4
pk p (1-p)p (1-p)2p (1-p)3p (1-p)4
15
X 0 1 2 3 4
pk p (1-p)p (1-p)2p (1-p)3p (1-p)4
P={X=k}=(1-p)kp,k=0,1,2,3,P{X=4}=(1-p)4,
以 p=1/2代入得
X 0 1 2 3 4
pk 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.0625
下面介绍三种重要的离散型随机变量,
16
(一 ) (0-1)分布 设随机变量 X只可能取 0与 1两个值,它的分布律是
P(X=k)=pk(1-p)1-k,k=0,1 (0<p<1),
则称 X服从 (0-1)分布或两点分布,
(0-1)分布的分布律也可写成
X 0 1
pk 1-p p
17
对一个随机试验中的任何一个给定的事件 A,
0<P(A)<1,都可以根据事件 A定义一个服从 0-1
分布的随机变量
.,1
,,0)(
Ae
AeeXX
当当来描述,例如,对新生婴儿的性别进行登记,检查产品的质量是否合格,某车间的电力消耗是否超过负荷以及前面多次讨论过的 "抛硬币 "
试验等都可以用 (0-1)分布的随机变量来描述,
(0-1)分布是经常遇到的一种分布,
18
( 二 ) 伯 努 利 试验,二 项 分 布 对 试验 E 中 某 一 事件
AA 和它的逆
,可 称 E 为 伯 努 利 试验,设
P ( A )= p (0< p < 1),此 时
pAP -? 1)(
,将 E 独立 地重复 地 进行 n 次,将 这 一 串 重 复 的 独立 试验 称为 n 重 伯 努 利 试 验,
若 以 C
i
记 第 i 次 试验 的 结果,C
i
为
AA 或
,
i =1,2,…,n," 独立 " 是 指
P { C
1
C
2
… C
n
}= P ( C
1
) P ( C
2
) … P ( C
n
),(2.5)
19
定义随机变量 X表示 n重伯努利试验中事件 A
发生的次数,我们来求它的分布律,X所有可能取的值为 0,1,2,...,n,由于各次试验是相互独立的,因此事件 A在指定的 k(0?k?n)次试验中发生,在其它 n-k次试验中 A不发生的概率为
,)1(
,,
.)1()1()1()1(
knk
knk
knk
pp
k
n
kAn
k
n
pppppppp
-
-
-
-?
-?--?-
次的概率为发生次试验中故在它们两两互不相容的种这种指定的方式共有个个
20
记 q=1-p,即有
)6.2(.,...,2,1,0,)( nkqpknkXP knk
-
服从参数为故我们称随机变量的那一项的展开式中出现刚好是二项式显然
Xp
qpqp
k
n
qpqp
k
n
kXP
k
nknk
n
n
k
knk
n
k
,
)(
.1)(}{,
00
-
-
n,p的二项分布,记为 X~b(n,p).
21
例 2 按规定,某种型号电子元件的使用寿命超过 1500小时的为一级品,已知一大批产品的一级品率为 0.2,现在从中随机地抽查 20只,问 20
只元件中恰有 k只 (k=0,1,...,20)为一级品的概率是多少?
解 这是不放回抽样,但由于这批元件的总数很大,且抽查的元件数量相对于元件的总数来说又很小,因而可以当作放回抽样来处理,这样做会有一些误差,但误差不大,检查一只元件看它是否为一级品,检查 20只元件相当于 20
重贝努利试验,以 X记其中一级品总数,则
22
X~b(20,0.2),由 (2.6)式 即得所求概率为
.20,...,1,0,)8.0()2.0(
20
}{ 20
- k
k
kXP kk
将计算结果列表如下,
P(X=0)=0.012 P(X=4)=0.218 P(X=8)=0.022
P(X=1)=0.058 P(X=5)=0.175 P(X=9)=0.007
P(X=2)=0.137 P(X=6)=0.109 P(X=10)=0.002
P(X=0)=0.205 P(X=7)=0.055
P{X=k}<0.001,当 k?11时
23
计算结果的图形,
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
24
例 3 某人进行射击,设每次射击命中率为 0.02,
独立射击 400次,试求至少击中两次的概率,
解 将一次射击看成是一次试验,设击中的次数为 X,则 X~b(400,0.02),X的分布律为
.400,...,1,0,)98.0()02.0(400}{ 400
- k
kkXP
kk
P{X?2}=1-P{X=0}-P{X=1}
=1-(0.98)400-400(0.02)(0.98)399=0.9972.
25
例 4 设有 80台同类型设备,各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是 0.01,且一台设备的故障能由一个人处理,考虑两种配备维修工人的方法,其一是由 4人维护,每人负责 20台 ;
其二是由 3人共同维护 80台,试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小,
解 按第一种方法,以 X记 "第 1人维护的 20台中同一时刻发生故障的台数 ",以 Ai(i=1,2,3,4)表示事件 "第 i人维护的 30台中发生故障不能及时维修 ".
26
则知 80台中发生故障而不能及时维修的概率为
P(A1?A2?A3?A4)?P(A1)=P(X?2).
而 X~b(20,0.01),故有
01 69.0)99.0()01.0(
20
1
)(1}2{
1
0
20
1
0
-?
-
-
k
kk
k
k
kXPXP
即有 P(A1?A2?A3?A4)?0.0169.
27
按第二种方法,以 Y记 80台中同一时刻发生故障的台数,此时,Y~b(80,0.01),故 80台中发生故障而不能及时维修的概率为
.0 0 8 7.0)99.0()01.0(801}4{
3
0
80
-
-
k
kk
kYP
可以看出,在后一种情况下尽管任务重了 (每人平均维护约 27台 ),但工作效率不仅没有降低,反而提高了,
28
(三 )泊松分布 设随机变量 X所有可能取的值为 0,1,2,...,而取各个值的概率为
,,2,1,0,
!
e}{ - k
k
kXP
k
1ee
!
e
!
e
}{
000
-
-
-?
k
k
k
k
k kk
kXP
其中?>0是常数,则称 X服从参数为?的泊松分布,记为 X~p(?).
易知,P(X=k)?0,k=0,1,2,...,且有
29
§ 3 随机变量的分布函数
30
对于非离散型随机变量 X,由于其可能取的值不能一个一个地列举出来,因而就不能像离散型随机变量那样可以用分布律来描述它,另外,
通常所遇到的非离散型随机变量取任一指定的实数值的概率都等于 0,再者,在实际中,对于这样的随机变量,例如误差 e,元件的寿命 T
等,我们并不会对误差 e=0.05(mm),寿命
T=1251.3(h)的概率感兴趣,而是考虑误差落在某个区间的概率,寿命 T大于某个数的概率,因而我们转而去研究随机变量所取的值落在一个区间的概率,P{x1<X?x2}.
31
由于
P{x1<X?x2}=P{x?x2}-P{x?x1}.
所以我们只需知道 P{x?x2}和 P{x?x1}就可以了,由此引出分布函数的概念,
定义 设 X是一个随机变量,x是任意实数,函数
F(x)= P{x?x}
称为 X的分布函数,
对于任意实数 x1,x2(x1<x2),有
P{x1<X?x2}=P{x?x2}-P{x?x1}
=F(x2)-F(x1),(3.1)
称为 X的分布函数,
32
分布函数是一个普通的函数,正是通过它,我们能用数学分析的方法来研究随机变量,
如果将 X看成是数轴上的随机点的坐标,则分布函数 F(x)在 x处的函数值就表示 X落在区间
(-?,x]上的概率,
分布函数 F(x)具有以下的基本性质,
1,F(x)是一个不减函数,
事实上,由 (3.1)式对于任意实数 x1,x2(x1<x2)有
F(x2)-F(x1)=P{x1<X?x2}?0.
33
2,0?F(x)?1,且
.1)(lim)(
,0)(lim)(
-?
-
xFF
xFF
x
x
如图,将区间端点 x沿数轴无限向左移动 (即
x?-?,则 "随机点 X落在 x左边 "这一事件趋于不可能事件,从而其概率趋于 0,即有 F(-?)=0;
又若将点 x无限右移,(即 x),则 "随机点 X落在 x左边 "这一事件趋于必然事件,从而其概率趋于 1,即有 F(?)=1.
3 F(x+0)=F(x),即 F(x)是右连续的 (证略 ).
xXO
34
例 1 设随机变量 X的分布律为
}.32{
2
5
2
3
,
2
1
,
XP
XPXPX 并求的分布函数求解 X仅在 x?-1,2,3三点处其概率?0,而 F(x)的值是 X?x的累积概率值,由概率的有限可加性,
知它即为小于或等于 x的那些 xk处的概率 pk之和,
X -1 2 3
pk 1/4 1/2 1/4
35
由此得
-
-?
.3,1
32,
4
3
,21,
4
1
,1,0
)(
x
x
x
x
xF
X -1 2 3
pk 1/4 1/2 1/4
36
F(x)的图形为
-
-?
.3,1
32,4/3
,21,4/1
,1,0
)(
x
x
x
x
xF
-1 O 1 2 3 x
1
F(x)
37
.
4
3
2
1
4
3
1
}2{)2()3(}32{
.
2
1
4
1
4
3
2
3
2
5
2
5
2
3
4
1
2
1
2
1
-?
-
-
-?
XPFFXP
FFXP
FXP
38
一般,设离散型随机变量 X的分布律为
P{X=xk}=pk,k=1,2,....
由概率的可列可加性得 X的分布函数为
)2.3(,)(
,}{}{)(
xx
k
xx
k
k
k
pxF
xXPxXPxF
即这里和式是对于所有满足 xk?x的 k求和的,分布函数 F(x)在 x=xk(k=1,2,...)处有跳跃,其跳跃值为 pk=P{X=xk}.
39
作业 第二章 习题第 69页开始第 1,6,12,14题
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第二章 随机变量及其分布
§ 1 随机变量
3
为了全面研究随机试验的结果,揭示随机现象的统计规律性,将随机试验的结果与实数对应起来,将随机试验的结果数量化,引入随机变量的概念,
在随机试验完成时,人们常常不是关心试验结果本身,而是对于试验结果联系着的某个数感兴趣,
4
例 1 在一袋中装有编号分别为 1,2,3的 3只球,在袋中任取一只球,放回,再取一只球,记录它们的编号,计算两只球的号码之和,
试验的样本空间 S={e}={i,j},i,j=1,2,3,这里 i,j
分别表示第一,二球的号码,以 X记两球号码之和,对于每一个样本点 e,X都有一个值与之对应,如图所示,
1 2 3 i
1 2 3 4
2 3 4 5
3 4 5 6
j
5
例 2 将一枚硬币抛掷 3次,关心 3次抛掷中,出现 H的总次数,而对 H,T出现的顺序不关心,比如说,我们仅关心出现 H的总次数为 2,而不在乎出现的是 "HHT","HTH"还是 "THH",以 X记三次抛掷中出现 H的总数,则对样本空间 S={e}
中的每一个样本点 e,X都有一个值与之对应,
即有样本点 HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTT
X的值 3 2 2 2 1 1 1 0
6
定义 设随机试验的样本空间为 S={e},X=X(e)
是定义在样本空间 S上的实值单值函数,称
X=X(e)为 随机变量,
S
e1
e2
e3
x
7
有许多随机试验,它的结果本身是一个数,即样本点 e本身是一个数,我们令 X=X(e)=e,则 X
就是一个随机变量,例如,用 Y记某车间一天的缺勤人数,以 W记录某地区第一季度的降雨量,以 Z记某工厂一天的耗电量,以 N记某医院某一天的挂号人数,那么 Y,W,Z,N都是随机变量,
本书中,一般以大写字母如 X,Y,Z,W,...表示随机变量,而以小写字母 x,y,z,w,...表示实数,
8
随机变量的取值随试验结果而定,而试验的各个结果出现有一定的概率,因而随机变量的取值有一定的概率,例如,在 例 2中 X取值为 2,记成 {X=2},对应于样本点的集合 A={HHT,HTH,
THH},这是一个事件,当且仅当事件 A发生时有 {X=2},则称 P(A)=P{HHT,HTH,THH}为
{X=2}的概率,即 P(X=2)=P(A)=3/8,类似地有
8
4
},,,{}1{ T T TT T HT H TH T TPXP
9
一般,若 L是一个实数集合,将 X在 L上取值写成
{X?L},它表示事件 B={e|X(e)?L},即 B是由 S中使得 X(e)?L的所有样本点 e所组成的事件,此时有
P{X?L}=P(B)=P{e|X(e)?L},
随机变量的取值随试验的结果而定,在试验之前不能预知它取什么值,且它的取值有一定的概率,这些性质显示了随机变量与普通函数有着本质的差异,
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§ 2 离散型随机变量及其分布律
11
有些随机变量,它全部可能取到的不相同的值是有限个或可列无限多个,这种随机变量称为离散型随机变量,例如 § 1例 2中的随机变量 X,
它只可能取 0,1,2,3四个值,它是一个离散型随机变量,又如某城市的 120急救电话台一昼夜收到的呼唤次数也是离散型随机变量,若以 T
记某元件的寿命,它所可能取的值充满一个区间,是无法按一定次序一一列举出来的,因而它是一个 非离散型的随机变量,本节讨论离散型随机变量
12
要掌握一个离散型随机变量 X的统计规律,必须且只需知道 X的所有可能取的值及取每一个可能值的概率,
设 X所有可能取的值为 xk(k=1,2,...),而
P{X=xk}=pk,k=1,2,...,(2.1)
由概率的定义,pk满足如下两个条件
)3.2(.1,2
)2.2(;,2,1,0,1
1
k
k
k
p
kp?
13
称 (2.1)式 为离散型随机变量 X的分布律,分布律也可用表格的形式来表示,
.1,}{]}{[1
,,}{}{
,}{)(2
111
21
k
k
k
k
k
k
kj
pxXPxXP
jkxXxX
xXxX
即故且是必然事件是由于
X x1 x2,.,xn,..
pk p1 p2,.,pn,.,(2.4)
14
例 1 设一汽车在开往目的地的道路上需经过四组信号灯,每组信号灯以 1/2概率允许或禁止汽车通过,以 X表示汽车首次停下时,它已通过的信号灯组数 (设各组信号灯的工作是相互独立的 ),求 X的分布律,
解 以 p表示每组信号灯禁止汽车通过的概率,
易知 X的分布律为
X 0 1 2 3 4
pk p (1-p)p (1-p)2p (1-p)3p (1-p)4
15
X 0 1 2 3 4
pk p (1-p)p (1-p)2p (1-p)3p (1-p)4
P={X=k}=(1-p)kp,k=0,1,2,3,P{X=4}=(1-p)4,
以 p=1/2代入得
X 0 1 2 3 4
pk 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.0625
下面介绍三种重要的离散型随机变量,
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(一 ) (0-1)分布 设随机变量 X只可能取 0与 1两个值,它的分布律是
P(X=k)=pk(1-p)1-k,k=0,1 (0<p<1),
则称 X服从 (0-1)分布或两点分布,
(0-1)分布的分布律也可写成
X 0 1
pk 1-p p
17
对一个随机试验中的任何一个给定的事件 A,
0<P(A)<1,都可以根据事件 A定义一个服从 0-1
分布的随机变量
.,1
,,0)(
Ae
AeeXX
当当来描述,例如,对新生婴儿的性别进行登记,检查产品的质量是否合格,某车间的电力消耗是否超过负荷以及前面多次讨论过的 "抛硬币 "
试验等都可以用 (0-1)分布的随机变量来描述,
(0-1)分布是经常遇到的一种分布,
18
( 二 ) 伯 努 利 试验,二 项 分 布 对 试验 E 中 某 一 事件
AA 和它的逆
,可 称 E 为 伯 努 利 试验,设
P ( A )= p (0< p < 1),此 时
pAP -? 1)(
,将 E 独立 地重复 地 进行 n 次,将 这 一 串 重 复 的 独立 试验 称为 n 重 伯 努 利 试 验,
若 以 C
i
记 第 i 次 试验 的 结果,C
i
为
AA 或
,
i =1,2,…,n," 独立 " 是 指
P { C
1
C
2
… C
n
}= P ( C
1
) P ( C
2
) … P ( C
n
),(2.5)
19
定义随机变量 X表示 n重伯努利试验中事件 A
发生的次数,我们来求它的分布律,X所有可能取的值为 0,1,2,...,n,由于各次试验是相互独立的,因此事件 A在指定的 k(0?k?n)次试验中发生,在其它 n-k次试验中 A不发生的概率为
,)1(
,,
.)1()1()1()1(
knk
knk
knk
pp
k
n
kAn
k
n
pppppppp
-
-
-
-?
-?--?-
次的概率为发生次试验中故在它们两两互不相容的种这种指定的方式共有个个
20
记 q=1-p,即有
)6.2(.,...,2,1,0,)( nkqpknkXP knk
-
服从参数为故我们称随机变量的那一项的展开式中出现刚好是二项式显然
Xp
qpqp
k
n
qpqp
k
n
kXP
k
nknk
n
n
k
knk
n
k
,
)(
.1)(}{,
00
-
-
n,p的二项分布,记为 X~b(n,p).
21
例 2 按规定,某种型号电子元件的使用寿命超过 1500小时的为一级品,已知一大批产品的一级品率为 0.2,现在从中随机地抽查 20只,问 20
只元件中恰有 k只 (k=0,1,...,20)为一级品的概率是多少?
解 这是不放回抽样,但由于这批元件的总数很大,且抽查的元件数量相对于元件的总数来说又很小,因而可以当作放回抽样来处理,这样做会有一些误差,但误差不大,检查一只元件看它是否为一级品,检查 20只元件相当于 20
重贝努利试验,以 X记其中一级品总数,则
22
X~b(20,0.2),由 (2.6)式 即得所求概率为
.20,...,1,0,)8.0()2.0(
20
}{ 20
- k
k
kXP kk
将计算结果列表如下,
P(X=0)=0.012 P(X=4)=0.218 P(X=8)=0.022
P(X=1)=0.058 P(X=5)=0.175 P(X=9)=0.007
P(X=2)=0.137 P(X=6)=0.109 P(X=10)=0.002
P(X=0)=0.205 P(X=7)=0.055
P{X=k}<0.001,当 k?11时
23
计算结果的图形,
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
24
例 3 某人进行射击,设每次射击命中率为 0.02,
独立射击 400次,试求至少击中两次的概率,
解 将一次射击看成是一次试验,设击中的次数为 X,则 X~b(400,0.02),X的分布律为
.400,...,1,0,)98.0()02.0(400}{ 400
- k
kkXP
kk
P{X?2}=1-P{X=0}-P{X=1}
=1-(0.98)400-400(0.02)(0.98)399=0.9972.
25
例 4 设有 80台同类型设备,各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是 0.01,且一台设备的故障能由一个人处理,考虑两种配备维修工人的方法,其一是由 4人维护,每人负责 20台 ;
其二是由 3人共同维护 80台,试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小,
解 按第一种方法,以 X记 "第 1人维护的 20台中同一时刻发生故障的台数 ",以 Ai(i=1,2,3,4)表示事件 "第 i人维护的 30台中发生故障不能及时维修 ".
26
则知 80台中发生故障而不能及时维修的概率为
P(A1?A2?A3?A4)?P(A1)=P(X?2).
而 X~b(20,0.01),故有
01 69.0)99.0()01.0(
20
1
)(1}2{
1
0
20
1
0
-?
-
-
k
kk
k
k
kXPXP
即有 P(A1?A2?A3?A4)?0.0169.
27
按第二种方法,以 Y记 80台中同一时刻发生故障的台数,此时,Y~b(80,0.01),故 80台中发生故障而不能及时维修的概率为
.0 0 8 7.0)99.0()01.0(801}4{
3
0
80
-
-
k
kk
kYP
可以看出,在后一种情况下尽管任务重了 (每人平均维护约 27台 ),但工作效率不仅没有降低,反而提高了,
28
(三 )泊松分布 设随机变量 X所有可能取的值为 0,1,2,...,而取各个值的概率为
,,2,1,0,
!
e}{ - k
k
kXP
k
1ee
!
e
!
e
}{
000
-
-
-?
k
k
k
k
k kk
kXP
其中?>0是常数,则称 X服从参数为?的泊松分布,记为 X~p(?).
易知,P(X=k)?0,k=0,1,2,...,且有
29
§ 3 随机变量的分布函数
30
对于非离散型随机变量 X,由于其可能取的值不能一个一个地列举出来,因而就不能像离散型随机变量那样可以用分布律来描述它,另外,
通常所遇到的非离散型随机变量取任一指定的实数值的概率都等于 0,再者,在实际中,对于这样的随机变量,例如误差 e,元件的寿命 T
等,我们并不会对误差 e=0.05(mm),寿命
T=1251.3(h)的概率感兴趣,而是考虑误差落在某个区间的概率,寿命 T大于某个数的概率,因而我们转而去研究随机变量所取的值落在一个区间的概率,P{x1<X?x2}.
31
由于
P{x1<X?x2}=P{x?x2}-P{x?x1}.
所以我们只需知道 P{x?x2}和 P{x?x1}就可以了,由此引出分布函数的概念,
定义 设 X是一个随机变量,x是任意实数,函数
F(x)= P{x?x}
称为 X的分布函数,
对于任意实数 x1,x2(x1<x2),有
P{x1<X?x2}=P{x?x2}-P{x?x1}
=F(x2)-F(x1),(3.1)
称为 X的分布函数,
32
分布函数是一个普通的函数,正是通过它,我们能用数学分析的方法来研究随机变量,
如果将 X看成是数轴上的随机点的坐标,则分布函数 F(x)在 x处的函数值就表示 X落在区间
(-?,x]上的概率,
分布函数 F(x)具有以下的基本性质,
1,F(x)是一个不减函数,
事实上,由 (3.1)式对于任意实数 x1,x2(x1<x2)有
F(x2)-F(x1)=P{x1<X?x2}?0.
33
2,0?F(x)?1,且
.1)(lim)(
,0)(lim)(
-?
-
xFF
xFF
x
x
如图,将区间端点 x沿数轴无限向左移动 (即
x?-?,则 "随机点 X落在 x左边 "这一事件趋于不可能事件,从而其概率趋于 0,即有 F(-?)=0;
又若将点 x无限右移,(即 x),则 "随机点 X落在 x左边 "这一事件趋于必然事件,从而其概率趋于 1,即有 F(?)=1.
3 F(x+0)=F(x),即 F(x)是右连续的 (证略 ).
xXO
34
例 1 设随机变量 X的分布律为
}.32{
2
5
2
3
,
2
1
,
XP
XPXPX 并求的分布函数求解 X仅在 x?-1,2,3三点处其概率?0,而 F(x)的值是 X?x的累积概率值,由概率的有限可加性,
知它即为小于或等于 x的那些 xk处的概率 pk之和,
X -1 2 3
pk 1/4 1/2 1/4
35
由此得
-
-?
.3,1
32,
4
3
,21,
4
1
,1,0
)(
x
x
x
x
xF
X -1 2 3
pk 1/4 1/2 1/4
36
F(x)的图形为
-
-?
.3,1
32,4/3
,21,4/1
,1,0
)(
x
x
x
x
xF
-1 O 1 2 3 x
1
F(x)
37
.
4
3
2
1
4
3
1
}2{)2()3(}32{
.
2
1
4
1
4
3
2
3
2
5
2
5
2
3
4
1
2
1
2
1
-?
-
-
-?
XPFFXP
FFXP
FXP
38
一般,设离散型随机变量 X的分布律为
P{X=xk}=pk,k=1,2,....
由概率的可列可加性得 X的分布函数为
)2.3(,)(
,}{}{)(
xx
k
xx
k
k
k
pxF
xXPxXPxF
即这里和式是对于所有满足 xk?x的 k求和的,分布函数 F(x)在 x=xk(k=1,2,...)处有跳跃,其跳跃值为 pk=P{X=xk}.
39
作业 第二章 习题第 69页开始第 1,6,12,14题
40
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