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2
§ 5 条件概率
3
(一 ) 条件概率 条件概率是概率论中的一个重要概念,所考虑的是事件 A已发生的条件下,
事件 B发生的概率,
例 1 将一枚硬币抛掷两次,观察其出现正反面的情况,设事件 A为 "至少有一次为 H",事件 B
为 "两次掷出同一面 ",现在求已知事件 A已经发生条件下事件 B发生的概率,
样本空间为 S=(HH,HT,TH,TT},
A={HH,HT,TH},B={HH,TT},已知事件 A已发生,知道 "TT"不可能发生,
4
即知试验所有可能结果所成的集合就是 A,A
中共有 3个元素,其中只有 HH?B,于是,在 A发生的条件下 B发生的概率,记为 P(B|A),为
.31)|(?ABP
4/3
4/1
3
1)|(,
4
1)(,
4
3)( ABPABPAP
另外,易知故有
)(
)(
)|(
AP
ABP
ABP? (5.1)
5
对于一般古典概型问题,若仍以 P(B|A)记事件
A已经发生的条件下 B发生的概率,则关系式
(5.1)仍然成立,事实上,设试验的基本事件总数为 n,A所包含的基本事件数为 m(m>0),AB所包含的基本事件数为 k,即有
)(
)(
/
/
)|(
AP
ABP
nm
nk
m
k
ABP
6
定义 设 A,B是两个事件,且 P(A)>0,称
)2.5()( )()|( AP ABPABP?
11
)|(
i
i
i
i ABPABP?
为在事件 A发生条件下事件 B发生的 条件概率,
不难验证,条件概率 P(?|A)符合概率定义中的三个条件,即
1,非负性,对任一事件 B,有 P(B|A)?0
2,规范性,对于必然事件 S,有 P(S|A)=1;
3,可列可加性,设 B1,B2,...,是两两互斥事件,
7
既然条件概率符合上述三个条件,故 § 3中对概率所证明的一些重要结果都适用于条件概率,例如,对于任意事件 B1,B2有
P(B1?B2|A)=P(B1|A)+P(B2|A)-P(B1B2|A).
例 2 一盒子装有 4只产品,其中有 3只一等品,1
只二等品,从中取产品两次,每次任取一只,作不放回抽样,设事件 A为 "第一次取到的是一等品 ",事件 B为 "第二次取到的是一等品 ",试求条件概率 P(B|A).
8
解 易知此属古典概型问题,将产品编号,1,2,3
号为一等品 ; 4号为二等品,以 (i,j)表示第一次,
第二次分别取到第 i号,第 j号产品,试验 E(取产品两次,记录其号码 )的样本空间为
S={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),...,(4,1),
(4,2),(4,3)},共 12个基本事件组成,
A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),
(3,4)},共 9个基本事件组成,
AB={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)}.
共 6个基本事件组成,
9
按 (5.2)式,得条件概率
.3212/9 12/6)( )()|( AP ABPABP
.
3
2
9
6
)|(ABP
也可以直接按条件概率的含义来求 P(B|A),我们知道,当 A发生以后,试验 E所有可能结果的集合就是 A,A中有 9个元素,其中只有 (1,2),
(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)属于 B,故可得
10
(二 )乘法定理 由条件概率的定义 (5.2)可得乘法定理 设 P(A)>0,则有
P(AB)=P(A)P(B|A) (5.3)
上式容易推广到多个事件的积事件的情况,例如,设 A,B,C为事件,且 P(AB)>0,则有
P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) (5.4)
一般地,设 A1,A2,...,An为 n个事件,n?2,且
P(A1A2...An-1)>0,则有
P(A1A2...An)=P(A1)P(A2|A1)...
P(An-1|A1A2...An-2)P(An|A1A2...An-1) (5.5)
11
例 3 设袋中装有 r只红球,t只白球,每次自袋中任取一只球,观察其颜色后放回,并再放入 a
只与所取出的那只球同色的球,若在袋中连续取球四次,试求第一,二次取到红球且第三,四次取到白球的概率,
解 以 Ai(i=1,2,3,4)表示事件 "第 i次取到红球 ",
atr
at
atr
t
atr
ar
tr
r
AAAAPAAAP
AAPAPAAAAP
32
)|()|(
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3214213
1214321
12
例 4 某种透镜,第一次落下时打破的概率为
1/2,若第一次落下来未打破,第二次落下打破的概率为 7/10,若前两次落下未打破,第三次落下打破的概率为 9/10,试求透镜落下三次而未打破的概率,
解 以 Ai(i=1,2,3)表示事件 "透镜第 i次落下打破
",以 B表示事件 "透镜落下三次而未打破,则
.
200
3
10
9
1
10
7
1
2
1
1
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213121321
-?
-?
-?
AAAPAAPAPAAAPBP
13
(三 )全概率公式和贝叶斯公式定义 设 S为试验 E的样本空间,B1,B2,...,Bn为 E
的一组事件,若
(1) BiBj=f,i?j,i,j=1,2,...,n;
(2) B1?B2?...?Bn=S,
则称 B1,B2,...,Bn为样本空间的一个划分,
若 B1,B2,...,Bn是样本空间的一个划分,那么,对于每次试验,事件 B1,B2,...,Bn中必有一个且仅有一个发生,
14
划分的图示
B1 B2
B3
S
B4 B5
15
定理 设试验 E的样本空间为 S,A为 E的事件,
B1,B2,...,Bn为 S的一个划分,且
P(Bi)>0(i=1,2,...,n),则
)6.5()()|(
)()|(
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1
2211
n
j
jj
nn
BPBAP
BPBAP
BPBAPBPBAPAP?
(5.6)式称为全概率公式,
16
证 因为
A=AS=A(B1?B2?...?Bn)=AB1?AB2?...?ABn,
由假设 P(Bi)>0(i=1,2,...,n),且 (ABi)(ABj)=f,i?j,
i,j=1,2,...,n得到
P(A)=P(AB1)+P(AB2)+...+P(ABn)
=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...
+P(A|Bn)P(Bn).
17
定理 设试验 E的样本空间为 S,A为 E的事件,
B1,B2,...,Bn为 S的一个划分,且 P(A)>0,P(Bi)>0
(i=1,2,...,n),则下面的贝叶斯公式成立,
)7.5(..,2,1,
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1
ni
BPBAP
BPBAP
ABP
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证 由条件概率的定义及全概率公式得
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BPBAP
BPBAP
AP
ABP
ABP
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特别在 (5.6),(5.7)中取 n=2,并将 B1记为 B,此时
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,,
2
BPBAPBPBAP
BPBAP
ABP
BPBAPBPBAPAP
BB
成为式分别全概率公式和贝叶斯公那么就是这两个公式是常用的,
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例 5 某电子设备厂所用元件由三家元件厂供给,根据以往纪录有以下数据,
元件制造厂 次品率 提供元件的份额
1 0.02 0.15
2 0.01 0.80
3 0.03 0.05
设这三厂产品在仓库中混合摆放无区别标志,(1)在仓库中任取一只元件,求它是次品的概率 ; (2)如已取到一只次品,求它由各厂生产的概率分别是多少,
20
解 设 A表示 "取到次品 ",Bi表示 "产品来自第 i
家厂 ",则 B1,B2,B3构成划分,P(B1)=0.15,
P(B2)=0.8,P(B3)=0.05,P(A|B1)=0.02,
P(A|B2)=0.01,P(A|B3)=0.03.
(1)由全概率公式
P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)
=0.0125.
(2)由贝叶斯公式
12.0)|(,64.0)|(
24.0
0 1 2 5.0
15.002.0
)(
)()|(
)|(
32
11
1
ABPABP
AP
BPBAP
ABP
21
例 6 对以往数据分析结果表明,当机器调整得良好时,产品的合格率为 98%,而当机器发生某种故障时,其合格率为 55%,每天早上调整良好的概率为 95％,试求已知某日早上第一件产品是合格品时,机器调整良好的概率是多少?
解 设 A为事件 "产品合格 ",B为 "机器调整良好 "
97.0
)()|()()|(
)()|(
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).|(,05.0)(
,95.0)(,55.0)|(,98.0)|(
BPBAPBPBAP
BPBAP
ABP
ABPBP
BPBAPBAP
由贝叶斯公式所需求概率为
22
这就是说,当生产出第一件产品是合格品时,
此时机器调整良好的概率为 0.97,这里,概率
0.95是由以往的数据分析得到的,叫做 先验概率,而在得到信息 (即生产出第一件产品是合格品 )之后再重新加以修正的概率 (即 0.97)叫做 后验概率,有了后验概率我们就能对机器的情况有进一步的了解,
23
例 7 某种症断癌症的试验具有如下效果,若以
A 表示事件 " 试验反应为阳性 ",以 C 表示事件 "
被论断者有癌症 ",则有 P ( A | C )=0.95,
95.0)|(?CAP
,设被试人患有癌症的概率为
0.005,即 P ( C )=0.005,试求 P ( C | A ),
解 已知 P ( A | C )=0.95,
05.0)|(1)|(?-? CAPCAP
995.0)(,005.0)( CPCP
,由贝叶斯公式
0 8 7.0
)()|()()|(
)()|(
)|(?
CPCAPCPCAP
CPCAP
ACP
24
本题结果表明,虽然
95.0)|(,95.0)|( CAPCAP
这两个概率都比较高,但若将此试验用于普查,
则有 P(C|A)=0.087,亦即其正确性只有 8.7%(平均 1000个具有阳性反应的人中大约只有 87人确患有癌症 ),如果不注意到这一点,将会得出错误的诊断,这也说明,若将 P(A|C)和 P(C|A)混淆了会造成不良的后果,
25
§ 6 独立性
26
设 A,B是试验 E的两事件,若 P(A)>0,可以定义
P(B|A),一般,A的发生对 B发生的概率是有影响的,这时 P(B|A)?P(B),只有在这种影响不存在时才会有 P(B|A)=P(B),这时有
P(AB)=P(B|A)P(A)=P(A)P(B)
27
例 1 设试验 E为 "抛甲,乙两枚硬币,观察正反面出现的情况 ",设事件 A为 "甲币出现 H",事件 B
为 "乙币出现 H",E的样本空间为
S={HH,HT,TH,TT}.
则有
.
4
1
)(,
2
1
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,
2
1
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)(,
2
1
4
2
)(
ABPABP
BPAP
可知 P(B|A)=P(B),而 P(AB)=P(A)P(B),事实上,
由题意,甲币是否出现正面与乙币是否出现正面是互不影响的,
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定义 设 A,B是两事件,如果满足等式
P(AB)=P(A)P(B),(6.1)
则称事件 A,B相互独立,简称 A,B独立,
容易知道,若 P(A)>0,P(B)>0则 A,B相互独立与
A,B互不相容不能同时成立,
定理一 设 A,B是两事件,且 P(A)>0,若 A,B相互独立,则 P(B|A)=P(B)反之亦然,
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定理二 若事件 A 与 B 相互独立,则
BA 与
,
BA 与和
BA 与都相互独立,
证 因为
BAABBBAA )(
,得
)()()()( BAPABPBAABPAP
)()()( BAPBPAP
,
)()()](1)[()( BPAPBPAPBAP?-?
,
因此
BA 与相 互 独立,由 此 可 立即 推 出
BA 与相互 独立,又 推 出
BA 与相 互 独立,
30
定义 设 A,B,C是三个事件,如果满足等式
)2.6(
),()()()(
),()()(
),()()(
),()()(
CPBPAPA B CP
CPAPACP
CPBPBCP
BPAPABP
则称事件 A,B,C相互独立,
一般,设 A1,A2,...,An(n?2)个事件,如果对于其中任意 2个,任意 3个,...,任意 n个事件的积事件的概率,都等于各事件概率之积,则称事件
A1,A2,...,An相互独立,
31
由定义可以得到以下两点推论,
1,若事件 A1,A2,...,An(n?2)相互独立,则其中任意 k(2?k?n)个事件也是相互独立的,
2,若 n个事件 A1,A2,...,An(n?2)相互独立,则将
A1,A2,...,An中任意多个换成它们的对立事件,
所得的 n个事件仍相互独立,
32
两事件相互独立的含义是它们中一个已发生,
不影响另一个发生的概率,在实际应用中,对于事件的独立性常常是根据事件的实际意义去判断,一般,若由实际情况分析,A,B两事件之间没有关联或关联很微弱,那就认为它们是相互独立的,例如,A,B分别表示甲乙两人患感冒,如果甲乙两人的活动范围相距甚远,就认为 A,B相互独立,若甲乙两人是同住在一个房间里的,那就不能认为 A,B相互独立了,
33
例 2 一个元件 (或系统 )能正常工作的概率称为元件 (或系统 )的可靠性,如图,设有 4个独立工作的元件 1,2,3,4按先串联再并联的方式联接,
设第 i个元件的可靠性为 pi(i=1,2,3,4),求系统的可靠性,
1 2
3 4
34
解 以 Ai(i=1,2,3,4)表示事件第 i个元件正常工作,以 A表示系统正常工作,
A=A1A2?A3A4
由系统的独立性,得系统的可靠性,
P(A)=P(A1A2)+P(A3A4)-P(A1A2A3A4)
=P(A1)P(A2)+P(A3)P(A4)-
P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)
=p1p2+p3p4-p1p2p3p4
35
例 3 要验收一批 (100件 )乐器,验收方案如下,
自该批乐器中随机地取 3件测试 (设 3件乐器的测试是相互独立的 ),如果 3件中至少有一件在测试中被认为音色不纯,则这批乐器就被拒绝接收,设一件音色不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为 0.95,而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为 0.01,如果已知这 100件乐器中恰有 4件音色不纯的,试问这批乐器被接收的概率是多少?
36
解 设以 Hi(i=0,1,2,3)表示事件 "随机地取出 3件乐器,其中恰有 i件音色不纯 ",H0,H1,H2,H3是
S的一个划分,以 A表示事件 "这批乐器被接收 ",
已知一件音色纯的乐器,经测试被认为音色纯的概率为 0.99,而一件音色不纯的乐器,经测试被误认为音色纯的概率为 0.05,并且 3件乐器的测试是相互独立的,于是有
P(A|H0)=(0.99)3,P(A|H1)=(0.99)2?0.05,
P(A|H2)=0.99?(0.05)2,P(A|H3)=(0.05)3,
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.
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3
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)(
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i
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HPHAPAP
HPHP
HPHP
故
38
例 4 甲乙两人进行乒乓球比赛,每局甲胜的概率为 p,p?1/2,问对甲而言,采用三局二胜制有利,还是采用五局三胜制有利,设各局胜负相互独立,
解 采用三局二胜制,甲最终获胜,其胜局的情况是,"甲甲 "或 "乙甲甲 "或 "甲乙甲 ",而这三种结局互不相容,于是由独立性得甲最终获胜的概率为
p1=p2+2p2(1-p).
39
采用五局三胜制,甲最终获胜,至少需比赛 3局
(可能赛 3,4,5局 ),最后一局必需是甲胜,前面甲需胜二局,例如,共赛 4局,可能的情况是,"
甲乙甲甲 ","乙甲甲甲 ","甲甲乙甲 ",且这三种结局互不相容,由独立性得甲获胜的概率为
,)1(24)1(23 23332 pppppp -?
-?
而 p2-p1=3p2(p-1)2(2p-1)
当 p>(1/2)时 p2>p1;故对甲来说采用五局三胜制为有利,
40
作业 第一章 习题第 33页开始第 13,16,19,23,28题
41
请提问
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§ 5 条件概率
3
(一 ) 条件概率 条件概率是概率论中的一个重要概念,所考虑的是事件 A已发生的条件下,
事件 B发生的概率,
例 1 将一枚硬币抛掷两次,观察其出现正反面的情况,设事件 A为 "至少有一次为 H",事件 B
为 "两次掷出同一面 ",现在求已知事件 A已经发生条件下事件 B发生的概率,
样本空间为 S=(HH,HT,TH,TT},
A={HH,HT,TH},B={HH,TT},已知事件 A已发生,知道 "TT"不可能发生,
4
即知试验所有可能结果所成的集合就是 A,A
中共有 3个元素,其中只有 HH?B,于是,在 A发生的条件下 B发生的概率,记为 P(B|A),为
.31)|(?ABP
4/3
4/1
3
1)|(,
4
1)(,
4
3)( ABPABPAP
另外,易知故有
)(
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AP
ABP
ABP? (5.1)
5
对于一般古典概型问题,若仍以 P(B|A)记事件
A已经发生的条件下 B发生的概率,则关系式
(5.1)仍然成立,事实上,设试验的基本事件总数为 n,A所包含的基本事件数为 m(m>0),AB所包含的基本事件数为 k,即有
)(
)(
/
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AP
ABP
nm
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ABP
6
定义 设 A,B是两个事件,且 P(A)>0,称
)2.5()( )()|( AP ABPABP?
11
)|(
i
i
i
i ABPABP?
为在事件 A发生条件下事件 B发生的 条件概率,
不难验证,条件概率 P(?|A)符合概率定义中的三个条件,即
1,非负性,对任一事件 B,有 P(B|A)?0
2,规范性,对于必然事件 S,有 P(S|A)=1;
3,可列可加性,设 B1,B2,...,是两两互斥事件,
7
既然条件概率符合上述三个条件,故 § 3中对概率所证明的一些重要结果都适用于条件概率,例如,对于任意事件 B1,B2有
P(B1?B2|A)=P(B1|A)+P(B2|A)-P(B1B2|A).
例 2 一盒子装有 4只产品,其中有 3只一等品,1
只二等品,从中取产品两次,每次任取一只,作不放回抽样,设事件 A为 "第一次取到的是一等品 ",事件 B为 "第二次取到的是一等品 ",试求条件概率 P(B|A).
8
解 易知此属古典概型问题,将产品编号,1,2,3
号为一等品 ; 4号为二等品,以 (i,j)表示第一次,
第二次分别取到第 i号,第 j号产品,试验 E(取产品两次,记录其号码 )的样本空间为
S={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),...,(4,1),
(4,2),(4,3)},共 12个基本事件组成,
A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),
(3,4)},共 9个基本事件组成,
AB={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)}.
共 6个基本事件组成,
9
按 (5.2)式,得条件概率
.3212/9 12/6)( )()|( AP ABPABP
.
3
2
9
6
)|(ABP
也可以直接按条件概率的含义来求 P(B|A),我们知道,当 A发生以后,试验 E所有可能结果的集合就是 A,A中有 9个元素,其中只有 (1,2),
(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)属于 B,故可得
10
(二 )乘法定理 由条件概率的定义 (5.2)可得乘法定理 设 P(A)>0,则有
P(AB)=P(A)P(B|A) (5.3)
上式容易推广到多个事件的积事件的情况,例如,设 A,B,C为事件,且 P(AB)>0,则有
P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) (5.4)
一般地,设 A1,A2,...,An为 n个事件,n?2,且
P(A1A2...An-1)>0,则有
P(A1A2...An)=P(A1)P(A2|A1)...
P(An-1|A1A2...An-2)P(An|A1A2...An-1) (5.5)
11
例 3 设袋中装有 r只红球,t只白球,每次自袋中任取一只球,观察其颜色后放回,并再放入 a
只与所取出的那只球同色的球,若在袋中连续取球四次,试求第一,二次取到红球且第三,四次取到白球的概率,
解 以 Ai(i=1,2,3,4)表示事件 "第 i次取到红球 ",
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1214321
12
例 4 某种透镜,第一次落下时打破的概率为
1/2,若第一次落下来未打破,第二次落下打破的概率为 7/10,若前两次落下未打破,第三次落下打破的概率为 9/10,试求透镜落下三次而未打破的概率,
解 以 Ai(i=1,2,3)表示事件 "透镜第 i次落下打破
",以 B表示事件 "透镜落下三次而未打破,则
.
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AAAPAAPAPAAAPBP
13
(三 )全概率公式和贝叶斯公式定义 设 S为试验 E的样本空间,B1,B2,...,Bn为 E
的一组事件,若
(1) BiBj=f,i?j,i,j=1,2,...,n;
(2) B1?B2?...?Bn=S,
则称 B1,B2,...,Bn为样本空间的一个划分,
若 B1,B2,...,Bn是样本空间的一个划分,那么,对于每次试验,事件 B1,B2,...,Bn中必有一个且仅有一个发生,
14
划分的图示
B1 B2
B3
S
B4 B5
15
定理 设试验 E的样本空间为 S,A为 E的事件,
B1,B2,...,Bn为 S的一个划分,且
P(Bi)>0(i=1,2,...,n),则
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1
2211
n
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nn
BPBAP
BPBAP
BPBAPBPBAPAP?
(5.6)式称为全概率公式,
16
证 因为
A=AS=A(B1?B2?...?Bn)=AB1?AB2?...?ABn,
由假设 P(Bi)>0(i=1,2,...,n),且 (ABi)(ABj)=f,i?j,
i,j=1,2,...,n得到
P(A)=P(AB1)+P(AB2)+...+P(ABn)
=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...
+P(A|Bn)P(Bn).
17
定理 设试验 E的样本空间为 S,A为 E的事件,
B1,B2,...,Bn为 S的一个划分,且 P(A)>0,P(Bi)>0
(i=1,2,...,n),则下面的贝叶斯公式成立,
)7.5(..,2,1,
)()|(
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1
ni
BPBAP
BPBAP
ABP
n
j
jj
ii
i
证 由条件概率的定义及全概率公式得
ni
BPBAP
BPBAP
AP
ABP
ABP
n
j
jj
iii
i,,2,1,
)()|(
)()|(
)(
)(
)|(
1
18
特别在 (5.6),(5.7)中取 n=2,并将 B1记为 B,此时
)9.5(
)()|()()|(
)()|(
)|(
)8.5(),()|()()|()(
,,
2
BPBAPBPBAP
BPBAP
ABP
BPBAPBPBAPAP
BB
成为式分别全概率公式和贝叶斯公那么就是这两个公式是常用的,
19
例 5 某电子设备厂所用元件由三家元件厂供给,根据以往纪录有以下数据,
元件制造厂 次品率 提供元件的份额
1 0.02 0.15
2 0.01 0.80
3 0.03 0.05
设这三厂产品在仓库中混合摆放无区别标志,(1)在仓库中任取一只元件,求它是次品的概率 ; (2)如已取到一只次品,求它由各厂生产的概率分别是多少,
20
解 设 A表示 "取到次品 ",Bi表示 "产品来自第 i
家厂 ",则 B1,B2,B3构成划分,P(B1)=0.15,
P(B2)=0.8,P(B3)=0.05,P(A|B1)=0.02,
P(A|B2)=0.01,P(A|B3)=0.03.
(1)由全概率公式
P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)
=0.0125.
(2)由贝叶斯公式
12.0)|(,64.0)|(
24.0
0 1 2 5.0
15.002.0
)(
)()|(
)|(
32
11
1
ABPABP
AP
BPBAP
ABP
21
例 6 对以往数据分析结果表明,当机器调整得良好时,产品的合格率为 98%,而当机器发生某种故障时,其合格率为 55%,每天早上调整良好的概率为 95％,试求已知某日早上第一件产品是合格品时,机器调整良好的概率是多少?
解 设 A为事件 "产品合格 ",B为 "机器调整良好 "
97.0
)()|()()|(
)()|(
)|(
).|(,05.0)(
,95.0)(,55.0)|(,98.0)|(
BPBAPBPBAP
BPBAP
ABP
ABPBP
BPBAPBAP
由贝叶斯公式所需求概率为
22
这就是说,当生产出第一件产品是合格品时,
此时机器调整良好的概率为 0.97,这里,概率
0.95是由以往的数据分析得到的,叫做 先验概率,而在得到信息 (即生产出第一件产品是合格品 )之后再重新加以修正的概率 (即 0.97)叫做 后验概率,有了后验概率我们就能对机器的情况有进一步的了解,
23
例 7 某种症断癌症的试验具有如下效果,若以
A 表示事件 " 试验反应为阳性 ",以 C 表示事件 "
被论断者有癌症 ",则有 P ( A | C )=0.95,
95.0)|(?CAP
,设被试人患有癌症的概率为
0.005,即 P ( C )=0.005,试求 P ( C | A ),
解 已知 P ( A | C )=0.95,
05.0)|(1)|(?-? CAPCAP
995.0)(,005.0)( CPCP
,由贝叶斯公式
0 8 7.0
)()|()()|(
)()|(
)|(?
CPCAPCPCAP
CPCAP
ACP
24
本题结果表明,虽然
95.0)|(,95.0)|( CAPCAP
这两个概率都比较高,但若将此试验用于普查,
则有 P(C|A)=0.087,亦即其正确性只有 8.7%(平均 1000个具有阳性反应的人中大约只有 87人确患有癌症 ),如果不注意到这一点,将会得出错误的诊断,这也说明,若将 P(A|C)和 P(C|A)混淆了会造成不良的后果,
25
§ 6 独立性
26
设 A,B是试验 E的两事件,若 P(A)>0,可以定义
P(B|A),一般,A的发生对 B发生的概率是有影响的,这时 P(B|A)?P(B),只有在这种影响不存在时才会有 P(B|A)=P(B),这时有
P(AB)=P(B|A)P(A)=P(A)P(B)
27
例 1 设试验 E为 "抛甲,乙两枚硬币,观察正反面出现的情况 ",设事件 A为 "甲币出现 H",事件 B
为 "乙币出现 H",E的样本空间为
S={HH,HT,TH,TT}.
则有
.
4
1
)(,
2
1
)|(
,
2
1
4
2
)(,
2
1
4
2
)(
ABPABP
BPAP
可知 P(B|A)=P(B),而 P(AB)=P(A)P(B),事实上,
由题意,甲币是否出现正面与乙币是否出现正面是互不影响的,
28
定义 设 A,B是两事件,如果满足等式
P(AB)=P(A)P(B),(6.1)
则称事件 A,B相互独立,简称 A,B独立,
容易知道,若 P(A)>0,P(B)>0则 A,B相互独立与
A,B互不相容不能同时成立,
定理一 设 A,B是两事件,且 P(A)>0,若 A,B相互独立,则 P(B|A)=P(B)反之亦然,
29
定理二 若事件 A 与 B 相互独立,则
BA 与
,
BA 与和
BA 与都相互独立,
证 因为
BAABBBAA )(
,得
)()()()( BAPABPBAABPAP
)()()( BAPBPAP
,
)()()](1)[()( BPAPBPAPBAP?-?
,
因此
BA 与相 互 独立,由 此 可 立即 推 出
BA 与相互 独立,又 推 出
BA 与相 互 独立,
30
定义 设 A,B,C是三个事件,如果满足等式
)2.6(
),()()()(
),()()(
),()()(
),()()(
CPBPAPA B CP
CPAPACP
CPBPBCP
BPAPABP
则称事件 A,B,C相互独立,
一般,设 A1,A2,...,An(n?2)个事件,如果对于其中任意 2个,任意 3个,...,任意 n个事件的积事件的概率,都等于各事件概率之积,则称事件
A1,A2,...,An相互独立,
31
由定义可以得到以下两点推论,
1,若事件 A1,A2,...,An(n?2)相互独立,则其中任意 k(2?k?n)个事件也是相互独立的,
2,若 n个事件 A1,A2,...,An(n?2)相互独立,则将
A1,A2,...,An中任意多个换成它们的对立事件,
所得的 n个事件仍相互独立,
32
两事件相互独立的含义是它们中一个已发生,
不影响另一个发生的概率,在实际应用中,对于事件的独立性常常是根据事件的实际意义去判断,一般,若由实际情况分析,A,B两事件之间没有关联或关联很微弱,那就认为它们是相互独立的,例如,A,B分别表示甲乙两人患感冒,如果甲乙两人的活动范围相距甚远,就认为 A,B相互独立,若甲乙两人是同住在一个房间里的,那就不能认为 A,B相互独立了,
33
例 2 一个元件 (或系统 )能正常工作的概率称为元件 (或系统 )的可靠性,如图,设有 4个独立工作的元件 1,2,3,4按先串联再并联的方式联接,
设第 i个元件的可靠性为 pi(i=1,2,3,4),求系统的可靠性,
1 2
3 4
34
解 以 Ai(i=1,2,3,4)表示事件第 i个元件正常工作,以 A表示系统正常工作,
A=A1A2?A3A4
由系统的独立性,得系统的可靠性,
P(A)=P(A1A2)+P(A3A4)-P(A1A2A3A4)
=P(A1)P(A2)+P(A3)P(A4)-
P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)
=p1p2+p3p4-p1p2p3p4
35
例 3 要验收一批 (100件 )乐器,验收方案如下,
自该批乐器中随机地取 3件测试 (设 3件乐器的测试是相互独立的 ),如果 3件中至少有一件在测试中被认为音色不纯,则这批乐器就被拒绝接收,设一件音色不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为 0.95,而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为 0.01,如果已知这 100件乐器中恰有 4件音色不纯的,试问这批乐器被接收的概率是多少?
36
解 设以 Hi(i=0,1,2,3)表示事件 "随机地取出 3件乐器,其中恰有 i件音色不纯 ",H0,H1,H2,H3是
S的一个划分,以 A表示事件 "这批乐器被接收 ",
已知一件音色纯的乐器,经测试被认为音色纯的概率为 0.99,而一件音色不纯的乐器,经测试被误认为音色纯的概率为 0.05,并且 3件乐器的测试是相互独立的,于是有
P(A|H0)=(0.99)3,P(A|H1)=(0.99)2?0.05,
P(A|H2)=0.99?(0.05)2,P(A|H3)=(0.05)3,
37
.8629.0)()|()(
.
3
100
3
4
)(,
3
100
1
96
2
4
)(
,
3
100
2
96
1
4
)(,
3
100
3
96
)(
3
0
32
10
i
ii
HPHAPAP
HPHP
HPHP
故
38
例 4 甲乙两人进行乒乓球比赛,每局甲胜的概率为 p,p?1/2,问对甲而言,采用三局二胜制有利,还是采用五局三胜制有利,设各局胜负相互独立,
解 采用三局二胜制,甲最终获胜,其胜局的情况是,"甲甲 "或 "乙甲甲 "或 "甲乙甲 ",而这三种结局互不相容,于是由独立性得甲最终获胜的概率为
p1=p2+2p2(1-p).
39
采用五局三胜制,甲最终获胜,至少需比赛 3局
(可能赛 3,4,5局 ),最后一局必需是甲胜,前面甲需胜二局,例如,共赛 4局,可能的情况是,"
甲乙甲甲 ","乙甲甲甲 ","甲甲乙甲 ",且这三种结局互不相容,由独立性得甲获胜的概率为
,)1(24)1(23 23332 pppppp -?
-?
而 p2-p1=3p2(p-1)2(2p-1)
当 p>(1/2)时 p2>p1;故对甲来说采用五局三胜制为有利,
40
作业 第一章 习题第 33页开始第 13,16,19,23,28题
41
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