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2
第十二章 平稳随机过程
§ 1 平稳随机过程的概念
3
有这样重要的一类随机过程,即所谓平稳随机过程,它的特点是,过程的统计特性不随时间的推移而变化,严格地说,如果对于任意的
n(=1,2,...),t1,t2,...,tn?T时,n维随机变量
(X(t1),X(t2),...,X(tn))
和 (X(t1+h),X(t2+h),...,X(tn+h) (1.1)
具有相同的分布函数,则称随机过程 {X(t),
t?T}具有平稳性,并同时称此过程为 平稳随机过程,或简称 平稳过程,
4
平稳过程的参数集 T,一般为 (-?,?),[0,?),{0,
1,?2,...}或 {0,1,2,...},当定义在离散参数集上时,也称过程为平稳随机序列或平稳时间序列,
以下若无特殊声明,均认为参数集
T=(-?,?).
在实际问题中,确定过程的分布函数,并用它来判定其平稳性,一般是很难办到的,但是,对于一个被研究的随机过程,如果前后的环境和主要条件都不随时间的推移而变化,则一般就可以认为是平稳的,
5
恒温条件下的热噪声电压过程以及第十章 § 1
例 2,例 3都是平稳过程的例子,强震阶段的地震波幅,船舶的颠簸过程,照明电网中电压的波动过程以及各种噪声和干扰等等在工程上都被认为是平稳的,
与平稳过程相反的是非平稳过程,一般,随机过程处于过渡阶段时总是非平稳的,例如,飞机在平稳飞行时高度的上下波动可看作是平稳的,但是在起飞和降落过程当然不是平稳的,
当仅仅考虑过程的平稳阶段时,为了数学处理的方便,经常将时间范围取为 -?<t<?.
6
设平稳过程 X(t)的均值函数 E[X(t)]存在,对
n=1,在 (1,1)式 中,令 h=-t,由平稳性定义,一维随机变量 X(t1)和 X(0)同分布,于是
E[X(t)]=E[X(0)],即均值函数必为常数,记为
mX,同样,X(t)的均方值函数和方差函数亦为常数,分别记为 YX2和?X2,据此可知,平稳过程的所有样本曲线都在水平直线 x(t)=mX上下波动,平均偏离度为?X.
7
又若平稳过程 X(t)的自相关函数
RX(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)]存在,对 n=2,在 (1.1)中,
令 h=-t1,由平稳性定义,二维随机变量 (X(t1),
X(t2))与 (X(0),X(t2-t1))同分布,于是有
RX(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)]=E[X(0)X(t2-t1)].
等式右端只与时间差 t2-t1有关,记为 RX(t2-t1),
即有
RX(t1,t2)=RX(t2-t1) (1.2)
或 RX(t,t+?)=E[X(t)X(t+?)]=RX(?).
这表明,平稳随机过程的自相关函数仅是时间差 t2-t1=?的单变量函数,
8
而协方差函数可以表示为
CX(?)=E{[X(t)-mX][X(t+?)-mX]}=RX(?)-mX2.
特别地,令?=0,由上式,有
X2=CX(0)=RX(0)-mX2.
9
如前所述,要确定一个随机过程的分布函数,
并进而判定其平稳性在实际中是不易办到的,
因此,通常只在二阶矩过程范围内,考虑如下一类广义平稳过程,
定义 给定二阶矩过程 {X(t),t?T},如果对任意
t,t+T
E[X(t)]=mX(常数 ),
E[X(t)X(t+?)=RX(?),
则称 {X(t),t?T}为 宽平稳过程 或 广义平稳过程,
相对地,前述按分布函数定义的平稳过程称为严平稳过程 或 狭义平稳过程,
10
由于宽平稳过程的定义只涉及与一维,二维分布有关的数字特征,所以一个严平稳过程只要二阶矩存在,则它必定也是宽平稳的,但反过来,一般是不成立的,不过有一个重要的例外情形,即正态过程,因为正态过程的概率密度是由均值函数和自相关函数完全确定的,因而如果均值函数和自相关函数不随时间的推移而变化,则概率密度也不随时间的推移而变化,
由此一个宽平稳的正态过程必定也是严平稳的,
11
后面讲到平稳过程一词,除特别指明外,总是指宽平稳过程,
另外,当同时考虑两个平稳过程 X(t)和 Y(t)时,
如果它们的互相关函数也只是时间差的单变量函数,记为 RXY(?),即
RXY(t,t+?)=E[X(t)Y(t+?)]=RXY(?),(1.3)
则就称 X(t)和 Y(t)是 平稳相关 的,或称这两个过程是 联合 (宽 )平稳 的,
12
例 1 设 {Xk,k=1,2,...}是互不相关的随机变量序列,且 E[Xk]=0,E[Xk2]=?2,则有
===
.,0
,,][),( 2
lk
lkXXElkR
lkX
即相关函数只与 k-l有关,所以它是宽平稳的随机序列,如果 X1,X2,...,Xk,...又是独立同分布的,则易证序列也是严平稳的,
13
例 2 设 s(t)是一周期为 T的函数,Q是在 (0,T)上服从均匀分布的随机变量,称 X(t)=s(t+Q)为随机相位周期过程,试讨论它的平稳性,
解 由假设,Q的概率密度为
=
.,0
,0,/1)(
其它
TTf
.d)(
1
d
1
)()]([)]([
0
=
=?=
Tt
t
T
s
T
T
tstsEtXE
Q于是,X(t)的均值函数为
14
利用 s(?)的周期性,可知
.d)(1)]([
0
常数==?
T
s
T
tXE
.d)()(
1
d
1
)()(
)]()([),(
0
=
=
=?
Tt
t
T
X
ss
T
T
tsts
tstsEttR
Q?Q?
而自相关函数
15
同样,利用 s(?)s(?+?)的周期性,可知自相关函数仅与?有关,即
),(d)()(
1
),(
0
X
T
X RssTttR
记成
=?=
所以随机相位周期过程是平稳的,特别,随机相位正弦波是平稳的,
16
例 3 考虑随机电报信号,信号 X(t)由只取 +I或
-I的电流给出,这里
P{X(t)=+I}=P{X(t)=-I}=1/2;
而正负号在区间 (t,t+?)内变化的次数 N(t,t+?)
是随机的,且假设 N(t,t+?)服从泊松分布,
O t
-I
I
x(t)
17
亦即事件
Ak={N(t,t+?)=k}
的概率为
,2,1,0,e
!
)(
)(?== - k
k
AP
k
k
其中?>0是单位时间变号次数的数学期望,试讨论 X(t)的平稳性,
解 显然,E[X(t)]=0,现在计算 E[X(t)X(t+?)],先设?>0,如果电流在 (t,t+?)内变号偶数次,则 X(t)
和 X(t+?)必为同号且乘积为 I2; 如果变号奇数次,则乘积为 -I2.
18
因为事件
{X(t)X(t+?)=I2}
的概率为 P(A0)+P(A2)+P(A4)+...,而事件
{X(t)X(t+?)=-I2}
的概率为 P(A1)+P(A3)+...,于是
.e
!
)(
e
)()()]()([
22
0
2
0
12
2
0
2
2
k
k
k
k
k
k
k
k
I
k
I
APIAPItXtXE
-
=
-
=
-
=
=
-
=
-=?
此结果与 t无关,
19
而若?<0时,只需令 t'=t+?,则有
E[X(t)X(t+?)]=E[X(t')X(t'-?)]=I2e2.
故这一过程的相关函数为
RX(?)=E[X(t)X(t+?)]=I2e-2?|?|,
它只与?有关,因此随机电报信号是一平稳过程,
O
I2RX(?)
20
§ 2 各态历经性
21
如要按定义来计算平稳过程 X(t)的数字特征,
就需要预先确定 X(t)的一族样本函数或一维,
二维分布函数,但这实际上是不易办到的,事实上,即使用统计实验的方法,例如可将均值和自相关函数近似地表示为
,)()(
1
)(
)(
1
1
2112
1
1
=
=
-
N
k
kkX
N
k
kX
txtx
N
ttR
tx
N
和
m
也需要对平稳过程进行大量观察,以获得很多的样本函数 xk(t),k=1,2,...,N.
22
但是,平稳过程的统计特性是不随时间的推移而变化的,于是我们自然期望在一个很长时间内观察得到的一个样本曲线,可以作为得到这个过程的数字特征的充分依据,本节给出的各态历经性定理将证实,对平稳过程而言,只要满足一些较宽的条件,则集平均 (均值和自相关函数 )实际上可以用一个样本函数在整个时间轴上的平均值来代替,这样,在解决实际问题时就节约了大量的工作量,
23
给定二阶矩过程 {X(t),t?T},如果它的每一个样本函数在 [a,b]?T上的积分都存在,就说随机过程 X(t)在 [a,b]上的积分存在,并记为
)1.2(d)(?= b
a
ttXY
显然,Y是一随机变量,
但是,在某些情形下,对于随机过程的所有样本函数来说,在 [a,b]上的积分未必全都存在,
此时,引入所谓均方意义下的积分,即考虑
[a,b]内的一组分点,
a=t0<t1<t2<...<tn=b,
24
且记 Dti=ti-ti-1,ti-1i?ti,i=1,2,...,n,
如果有满足
0}]) Δ({[lim 2
1
0m a x Δ
=-?
=
n
i
iit tXYE
i
b
a
b
a X
tstsR dd),(
的随机变量 Y存在,就称 Y为 X(t)在 [a,b]上的均方积分,并仍以符号 (2.1)记之,可以证明,二阶矩过程 X(t)在 [a,b]上均方积分存在的充分条件是自相关函数的二重积分,即存在,
25
此时还成立有
)2.2(.d)]([][?= b
a
ttXEYE
)3.2(d)(
2
1lim)(?
-
=
T
TT
ttX
T
tX
现引入随机过程 X(t)沿时间轴的两种平均,
)4.2(d)()(
2
1lim)()(?
-
=
T
TT
ttXtX
T
tXtX
分别称为随机过程 X(t)的 时间均值 和 时间相关函数,可以用高等数学的方法求积分和极限,
其结果一般来说是随机的,
26
例 1 计算随机相位正弦波 X(t)=a cos(wt+Q)的时间平均?X(t)?和?X(t)X(t+?)?.
解
.0
s i nc os
lim
d)c os (
2
1
lim)(
==
=
-
T
Ta
tta
T
tX
T
T
TT
w
wQ
Qw
.c o s
2
d])(c o s [)c o s (
2
1
lim
)()(
2
2
w?
Q?wQw
a
ttta
T
tXtX
T
TT
=
=
-
27
将例 1的结果与第十章 § 2例 2算得的结果比较,
可知
mX=E[X(t)]=?X(t)?
RX(?)=E[X(t)X(t+?)]=?X(t)X(t+?)?.
这表明,对于随机相位正弦波,用时间平均和集平均分别算得的均值和自相关函数是相等的,这一特性并不是随机相位正弦波所独有的,
28
定义 设 X(t)是一平稳过程,
1o如果
X(t)?=E[X(t)]=mX (2.5)
以概率 1成立,则称过程 X(t)的 均值具有各态历经性,
2o如果对任意实数 t,
X(t)X(t+?)?=E[X(t)X(t+?)]=RX(t) (2.6)
以概率 1成立,则称过程 X(t)的 自相关函数具有各态历经性,特别当 t=0,称 均方值具有各态历经性,
29
3o如果 X(t)的均值和自相关函数都具有各态历经性,则称 X(t)是 (宽 )各态历经过程,或者说
X(t)是各态历经的,
定义中 "以概率 1成立 "是对 X(t)的所有样本函数而言的,
各态历经性有时也称作 遍历性 或 埃尔古德性
(ergodicity).
30
并不是任意一个平稳过程都是各态历经的,例如平稳过程
X(t)=Y,
其中 Y是方差异于零的随机变量,就不是各态历经过程,
O t
y1
y2
y3
y4
31
定理一 (均值各态历经定理 )平稳过程 X(t)的均值具有各态历经性的充要条件是
)7.2(.0d])([
2
1
1
lim
2
0
2 =-?
-
T
XXT RTT?m?
.d)]([
2
1
lim
d)(
2
1
lim})({
X
T
TT
T
TT
ttXE
T
ttX
T
EtXE
m==
=
-
-
证 先计算?X(t)?的均值和方差,由 (2.3)式
32
而?X(t)?的方差为
.dd)]()([
4
1
lim
d)(d)(
4
1
lim
d)(
2
1
lim
}])({[])([
2
21212
2
22112
2
2
2
X
T
T
T
TT
X
T
T
T
TT
X
T
TT
X
tttXtXE
T
ttXttX
T
E
ttX
T
E
tXEtXD
m
m
m
m
-=
-
=
-
=
-=
- -
--
-
33
由 X(t)的平稳性,E[X(t1)X(t2)]=RX(t2-t1),则
)8.2(
.dd)(
4
1
lim])([ 22112
2- -
--=
T
T
T
T
XX
T
ttttR
T
tXD m
.
2
1
),(
),(
21
21 =
tt
为了简化上式右端的积分,引入变量替代
1=t1+t2和?2=-t1+t2,此变换的雅可比行列式是
34
积分区域的转换如图所示
t1
t2
(T,T)
O?1
2
O (2T,0)
G
图 12-4
(1) (2)
35
于是 (2.8)式 中的二重积分用新变量表示成
)9.2(
,dd
2
1
)(dd)(
2122112
=-
- -
S
X
T
T
T
T
X
RttttR
.d)()2(2d)(d2
dd
2
1
)(4dd)(
2
0
2
0
12
2
0
2
2122112
2
-==
=-
-
- -
T
X
T
X
T
G
X
T
T
T
T
X
RTR
RttttR
S为 图 12-4(2)所示的正方形,而被积函数是两个变量的偶函数,积分为图中 G上积分的 4倍,
36
将此式代入 (2.8)式 就有
)10.2(d])([
2
1
1
lim
d)(
2
1
1
lim])([
2
0
2
2
2
0
-?
-=
-?
-=
T
XX
T
X
T
X
T
R
TT
R
TT
tXD
m?
m
而要?X(t)?=E{?X(t)?}以概率 1成立的充要条件是 D[?X(t)?]=0,而现已算得 E{?X(t)?}=E[X(t)],
则各态历经性成立的充要条件就是 (2.10)式等于 0,定理得证,
37
推论
.,
)(lim,1,
).(
,)7.2(,)(lim;,)7.2(
,)(lim,)(lim
2
2
经的但它的均值还是各态历不存在言中的随机相位正弦波而对例注意证略各态历经性均值不具有式不成立则若均值具有各态历经性式成立则若存在条件下在
m?
m
X
XX
XXX
R
R
RR
=
38
在定理一的证明中将 X(t)换成 X(t)X(t+?),就可得定理二 (自相关函数各态历经定理 )平稳过程
X(t)的自相关函数 RX(?)具有各态历经性的充要条件是
)12.2(,0)]()([
2
1
1
lim
2
0 1
2
1
1 =-?
-?
T
XT dRBTT
其中 B(?1)=E[X(t)X(t+?)X(t+?1)X(t+?+?1)].
在 (2.12)式中令?=0,就可得到均方值具有各态历经性的充要条件,
39
如若在定理二中以 X(t)Y(t+?)代替 X(t)X(t+?),
RXY(?)代替 RX(?)来进行讨论,则还可以相应地得到互相关函数的各态历经定理,
在实际应用中通常只考虑定义在 0?t<+?上的平稳过程,此时上面的所有时间平均都应以
0?t<+?上的时间平均来代替,而也有相应的各态历经性定理,
40
定理三
X
T
T
tXEttX
T
m==?
)]([d)(
1
lim
0
)'7.2(.d])([1
1
lim
0
2? -?
-
T
XXT RTT?m?
以概率 1成立的充要条件是
41
定理四
)()]()([d)()(1lim
0
X
T
T
RtXtXEttXtX
T
=?=
)'12.2(.0d)]()([1
1
lim
0 1
2
1
1 =-?
-?
T
XT RBTT
以概率一成立的充要条件是
42
各态历经定理的重要价值在于它从理论上给出了如下保证,一个平稳过程 X(t),若 0<t<+?,
只要它满足条件 (2.7)'和 (2.12)',便可以根据 "
以概率 1成立 "的含义,从一次试验所得到的样本函数 x(t)来确定出该过程的均值和自相关函数,即
)13.2(d)(
1
lim
0 X
T
T
ttx
T
m=?
)14.2().(d)()(
1
lim
0
X
T
T
Rttxtx
T
=
和
43
如果试验记录 x(t)只在时间区间 [0,T]上给出,
则相应于 (2.13)和 (2.14)式有以下无偏估计式,
)16.2(.0,)()(
1
d)()(
1
)(
)(
)15.2(d)(
1
0
0
Tdttxtx
T
ttxtx
T
RR
ttx
T
T
T
XX
T
XX
-
-
=
-
=?
=?
-
mm
44
§ 3 相关函数的性质
45
下面假设 X(t)和 Y(t)是平稳相关过程,RX(?),
RY(?)和 RXY(?)分别是它们的相关函数和互相关函数,
1oRX(0)=E[X2(t)]=YX2?0.
这由 (1.2)式 即可得到,在下一节将看到,量
RX(0)表示平稳过程 X(t)的 "平均功率 ".
2oRX(-?)=RX(?),即 RX(?)是?的偶函数,而互相关函数即不是奇函数,也不是偶函数,但满足
RXY(-?)=RYX(?).
这分别可由 (1.2)和 (1.3)式 得到,
46
3o关于自相关函数和自协方差函数有不等式,
|RX(?)|?RX(0) 和 |CX(?)|?CX(0)=?X2.
这可根据自相关函数,自协方差函数的定义以及柯西许瓦兹不等式直接推出,
此不等式表示,自相关 (自协方差 )函数都在
=0处取到最大值,
类似地,可以推出以下有关互相关函数和互协方差函数的不等式,
|RXY(?)|2?RX(0)RY(0)
和
|CXY(?)|2?CX(0)CY(0).
47
应用上还定义有标准自协方差函数和标准互协方差函数,
.
)0()0(
)(
)(
)0(
)(
)(
YX
XY
XY
X
X
X
CC
C
C
C
=
=
和由上述不等式性质知,|?X(?)|?1和 |?XY(?)|?1,且当?XY(?)?0时,X(t)和 Y(t)不相关,
48
4o RX(?)是非负定的,即对任意数组 t1,t2,...,tn?T
和任意实值函数 g(t)都有
.0)()()(
1,
-?
=
n
ji
jijiX tgtgttR
.0)()(
)()()()(
)()()]()([)()()(
2
1
1,
1,1,
=
=
=-
=
=
==
n
i
ii
n
ji
jiji
n
ji
jiji
n
ji
jjiijiX
tgtXE
tgtgtXtXE
tgtgtXtXEtgtgttR
事实上,根据自相关函数的定义有
49
5o 如果平稳过程 X(t)满足条件
P{X(t+T0)=X(t)}=1,则称它为周期为 T0的平稳过程,周期平稳过程的自相关函数必是周期函数,且其周期也是 T0.
事实上,由平稳性,E[X(t)-X(t+T0)]=0,又根据方差性质,P{X(t+T0)=X(t)}=1等价于
E{[X(t+T0)-X(t)]2}=0等价,于是柯西 -施瓦兹不等式
{E[X(t)(X(t+?+T0)-X(t+?))]}2
E[X2(t)]E{[X(t+?+T0)-X(t+?))]2}
50
{E[X(t)(X(t+?+T0)-X(t+?))]}2
E[X2(t)]E{[X(t+?+T0)-X(t+?))]2}
右端为零,推知
E{X(t)[X(t+?+T0)-X(t+?)]}=0,
展开即得 RX(?+T0)=RX(?).
另外,在实际中,各种具有零均值的非周期性噪声和干扰一般当 |?|适当增大时,X(t+?)和 X(t)
即呈现独立或不相关,于是有
.0)(lim)(lim ==
XX
CR
51
§ 4 平稳随机过程的功率谱密度在很多理论和应用问题中,常常利用傅里叶 (Fourier)变换这一有效工具来确立时间函数的频率结构,本节的目的就是讨论如何运用这一工具以确立平稳过程的频率结构 -功率谱密度
52
(一 )平稳过程的功率谱密度 设有时间函数
x(t),-?<t<?,如果 x(t)满足狄利克雷条件且绝对可积,则 x(t)的傅里叶变换存在或者说具有频谱
.de)()( i?
-
-= ttxF t
x
ww
.de)(
2
1
)( i?
-
= ww
w t
xFtx
且同时有傅里叶逆变换
53
Fx(w)一般是复数量,其共轭函数
Fx*(w)=Fx(-w),在 x(t)和 Fx(w)之间成立有帕塞瓦尔等式
,d|)(|
2
1
)( 22
-
-
= ww
x
Fdttx
等式左边表示 x(t)在 (-?,?)上的总能量,而右边的被积函数 |Fx(w)|2相应地称为 x(t)的能谱密度,这样,帕塞瓦尔等式可以理解为总能量的谱表示式,
54
但是,在工程技术中,有很多重要的时间函数总能量是无限的,而且并非绝对可积,正弦函数就是一例,平稳过程的样本函数一般来说也是如此,这时,我们通常转而去研究 x(t)在 (-?,
)上的平均功率,即
.d)(
2
1
lim 2?
-
T
TT
ttx
T
在以下的讨论中,我们都假定这个平均功率是存在的,
55
为了利用傅里叶变换给出 "平均功率的谱表示式 ",首先由给定的 x(t)构造一个截尾函数
)2.4(
.||,0
,||),()(
=
Tt
Tttxtx
T
)3.4(
,de)(de)(),( ii
-
-
-
- ==
T
T
tt
Tx ttxttxTF
www
易知 xT(t)绝对可积,现记 xT(t)的傅里叶变换为
56
写出它的帕塞瓦尔等式
.d|),(|
2
1d)( 22
-
-
= ww
TFttx xT
)4.4(.|),(|
4
1d)(
2
1 22
--
= ww
dTF
T
ttx
T x
T
T
将上式两边除以 2T,得令 T?+?,x(t)在 (-?,+?)上的平均功率可表示为
)5.4(
.d|),(|
2
1
lim
2
1
d)(
2
1
lim 22
--
= ww
TF
T
ttx
T
x
T
T
TT
57
相对于能谱密度,把 (4.5)式右端的被积式称作函数 x(t)的平均功率谱密度,简称功率谱密度,
并记为
)6.4(.|),(|
2
1
lim)( 2TF
T
S x
Tx
ww
=
而 (4.5)右端就是平均功率的谱表示式,
)5.4(.d|),(|
2
1
lim
2
1
d)(
2
1
lim
2
2
-
-
= ww
TF
T
ttx
T
x
T
T
TT
58
现将平均功率和功率谱密度的概念推广到平稳过程 X(t),-?<t<+?,为此,相应于 (4.3)和
(4.4)式 写出
)7.4(de)(),( i?
-
-= T
T
wt
X ttXTF w
)8.4(.d|),(|
4
1
d)(
2
1
2
2
-
-
= ww
TF
T
ttX
T
X
T
T
和显然上面的积分都是随机的,
59
将 (4.8)式左端的均值的极限,即量
)9.4(d)(
2
1
lim 2
-
T
TT
ttX
T
E
)10.4(,
d)]([
2
1
limd)(
2
1
lim
2
22
X
T
TT
T
TT
ttXE
T
ttX
T
E
Y=
=
--
定义为 平稳过程 X(t)的平均功率,
交换 (4.9)式中积分与均值的运算顺序,并注意到平稳过程的均方值是常数,于是即平稳过程的平均功率等于该过程的均方值或 RX(0).
60
接着,把式 (4.8)的右端代入 (4.10)式 的左端,交换运算顺序后可得
)11.4(.d|),({|
2
1lim
2
1 22
-
= ww
Y TFE
T XTX
)12.4(}.|),({|
2
1lim)( 2TFE
T
S X
TX
ww
=
将 (4.11)式中的被积式称为 平稳过程 X(t)的功率谱密度,并记为 SXX(w)或 SX(w),即则 (4.11)可简写为
)13.4(,d)(
2
12
-
= ww
Y XX S
61
此式称为 平稳过程 X(t)的平均功率表示式,
功率谱密度 SX(w)通常也简称为 自谱密度 或 谱密度,它是从频率这个角度描述 X(t)的统计规律的最主要的数字特征,由 (4.13)式知,它的物理意义表示 X(t)的平均功率关于频率的分布,
如已知 X(t)的谱密度,则在频率范围 (w1,w2)内的谱密度对平均功率的贡献为
)13.4(,d)(
2
12
-
= ww
Y XX S
=
2
1
21
d)(
2
12
),(
w
www
ww
Y XX S
62
以上定义的谱密度 SX(w)又称为 "双边谱密度 ",
意思是对 w的正负值都是有定义的,为了适应实际测量,考虑定义在 [0,+?)上的平稳过程
X(t),并按前面的思想和步骤,定义 "单边谱密度 ":
)14.4(
,0,0
,0},|),({|
1
lim2
)(
2
=
w
ww
w
TFE
TG
X
TX
此处 FX(w,T)由 (4.7)式 确定,只是积分范围应为 [0,T).
63
可以证明,单边谱密度与双边谱密度的关系是,
=
,0,0
,0),(2)(
w
www x
X
SG
GX(w)
SX(w)
wO
64
(二 ) 谱密度的性质 谱密度 SX(w)有重要性质,
1oSX(w)是 w的实的,非负的偶函数,
事实上,在 (4.12)式 中,量
|FX(w,T)|2=FX(w,T)FX(-w,T)
是 w的实的,非负的偶函数,所以它的均值的极限也必是实的,非负的偶函数,
2o SX(w)和相关函数 RX(?)是一傅里叶变换对,
)16.4(.de)(
2
1
)(
)15.4(,de)()(
i
i
-
-
-
=
=
ww
w
w?
w?
XX
XX
SR
RS
称为维纳 -辛钦公式,
65
将 (4.7)式 代入 (4.12)式,得
.de)(de)(
2
1lim)(
2
i
21
i
1
21
-
-
-
=
T
T
tT
T
t
TT
ttXttXE
T
S www
.dde)(
2
1
lim
dde)}()({
2
1
lim)(
21
)(i
12
21
)(i
21
12
12
- -
--
- -
--
-=
=
T
T
T
T
tt
X
T
T
T
T
T
tt
T
X
ttttR
T
tttXtXE
T
S
w
w
w
把括号内的积分改写成重积分的形式,交换积分与均值运算顺序,并注意到
E{X(t1)X(t2)}=RX(t2-t1),即有
66
接着,作变量替代?1=t1+t2和?2=-t1+t2,得
)17.4(.delim
de)(
2
||
1lim)(
i
2
2
i
-
-
-
-
=
-=
w
w?
w?
T
X
T
T
T
X
T
X
R
R
T
S
-
=
.2||,0
,2||),(
2
||
1
)(
T
TR
TR
XT
X
式中
67
当 T?+?时,注意到 RXT(?)?RX(?)对每一个?
都成立,于是由 (4.17)式就可得到公式
.de)()( i?
-
-=w w?
XX RS
.d|)(|
-
XR最后一步在理论上要求因此,平稳过程在自相关函数绝对可积的条件下,谱密度就是自相关函数的傅里叶变换,
在 (4.16)式 中令?=0,再次得到表示式 (4.13).
68
由于 RX(?)和 SX(w)都是偶函数,所以利用欧拉公式,维纳 -辛钦公式还可以写成如下形式,
)19.4(,dc o s)(
1
)(
)18.4(,dc o s)(2)(
0
0
=
=
ww?w
ww
XX
XX
SR
RS
维纳 -辛钦公式又称为平稳过程自相关函数的谱表示式,它揭示了从时间角度描述平稳过程
X(t)的统计规律和从频率角度描述 X(t)的统计规律之间的联系,据此,在应用上我们可以根据实际情况选择时间域方法或等价的频率域方法去解决实际问题,
69
在实际问题中常碰到一些平稳过程,它们的自相关函数或谱密度在常义情形下的傅里叶变换或逆变换是不存在的 (例如随机相位正弦波的自相关函数 ),但与通常频谱分析中遇到的情况一样,如果允许谱密度和自相关函数含有
d函数,则在新的意义下利用 d函数的傅里叶变换性质,有关实际问题仍能得到圆满解决,
70
d函数是单位冲激函数 d(t)的简称,它是一种广义函数,狄拉克 (Dirac)最早给出了 d(t)的定义如下,
=
=
-
1d)(
0,0)(
tt
tt
d
d
1
O t
71
d函数的基本性质是,若函数 f(?)在?=?0连续,
就有
)()(d)()( 00 筛选性d ff =-
-
)22.4(
de)(
2
1
2
1
)(de
2
1
)21.4(
,de1
2
1
)(1de)(
ii
ii
-
-
-
-
-
-
=?=
=?=
wwd
wd?
w
dd
w?w?
w?w?
据此,可以写出以下傅里叶变换对,
72
因此,当自相关函数 RX(?)=1,谱密度
SX(w)=2?d(w),还可以求得正弦型自相关函数
RX(?)=a cosw0?的谱密度为
SX(w)=a?[d(w-w0)+d(w+w0)],(4.23)
事实上,
,dede
2
de)e(e
2
dec os)(
)i()i(
iiii
0
00
00
=
==
-
-
-
--
-
--
-
-
ww
ww?ww
ww?ww?
a
a
aS
X
利用变换式 (4.22)即得 (4.23)式,
73
白噪声 均值为零而谱密度为正常数,即
SX(w)=S0,-?<w<? (S0>0)
的平稳过程 X(t)称为 白噪声过程,简称 白噪声,
其名出于白光具有均匀光谱的缘故,
利用变换式 (4.22),可算得白噪声的自相关函数为
).(de2de)(2 1)( 0i0i?dw?ww w?w? SSSR XX ===
-
-
因此,白噪声也可定义为均值为零,自相关函数为 d函数的随机过程,且这个过程在 t1?t2时,
X(t1)和 X(t2)是不相关的,
74
白噪声是一种理想化的数学模型,它的平均功率 RX(0)是无限的,实用上,如果某种噪声 (或干扰 )在比实际考虑的有用频带宽得多的范围内具有比较 "平坦 "的谱密度,那就可把它近似地当作白噪声来处理,白噪声在数学处理上具有简单,方便的优点,
与白噪声相关联的所谓带限白噪声,例如低通白噪声,它的谱密度为
=
,||,0
,||,
)(
1
10
ww
ww
w
S
S X
75
相应的自相关函数为
.
)()(,)(
,0)(,,2,1,
,
s i n
i
e
2
de
2
1
de)(
2
1
)(
21
1
12
1
1
110
i
0
i
0
i
|
1
1
1
1
是不相关的和时在低通白噪声这表明时当
tXtX
k
tttX
Rk
k
SS
SSR
X
XX
w
w
w
w
w
w
ww
w
w
w?
w
w
w?w?
=-
===
=?=
==
-
-
-
76
(三 )互谱密度及其性质 设 X(t)和 Y(t)是两个平稳相关的随机过程,我们定义
)24.4()},(),({
2
1lim)( TFTFE
T
S YX
TXY
www -=
.)()().()( * 互为共轭和即 wwww YXXYYXXY SSSS =
为平稳过程 X(t)和 Y(t)的互谱密度,式中 FX(w,T)依
(4.7)式确定,
由 (4.24)式可知互谱密度不再是 w的实的,正的偶函数,但它具有以下特性,
1o
77
2o在互相关函数 RXY(?)绝对可积的条件下,
)26.4(.de)(
2
1
)(
)25.4(,de)()(
i
i
-
-
-
=
=
ww
w
w?
w?
XYXY
XYXY
SR
RS
-- -=?www ds i n)(idc o s)()( XYXYXY RRS
3o Re[SXY(w)]和 Re[SYX(w)]是 w的偶函数,
Im[SXY(w)]和 Im[SYX(w)]是 w的奇函数,
事实上,把 (4.25)改写成即可推知
78
4o互谱密度与自谱密度之间成立有不等式
|SXY(w)|2?SX(w)SY(w).
应用上当考虑多个平稳过程之和的频率结构时,要运用互谱密度,例如,设 Z(t)=X(t)+Y(t),
其中 X(t)和 Y(t)是平稳相关的,这时,Z(t)的相关函数是 RXY(?)=RXX(?)+RXY(?)+RYX(?)+RYY(?),
则 Z(t)的自谱密度为
SZZ(w)=SXX(w)+SXY(w)+SYX(w)+SYY(w)
=SXX(w)+SYY(w)+2Re[SXY(w)].
79
互谱密度并不像自谱密度那样具有物理意义,
引入这个概念主要是为了能在频率域上描述两个平稳过程的相关性 (例如,对具有零均值的平稳过程 X(t)和 Y(t)而言,根据性质 2o,
SXY(w)?0与 X(t)和 Y(t)不相关是等价的 ).
相关函数和谱密度的一个重要应用是分析线性系统对随机输入的响应,它的具体内容由有关专业课程加以介绍,
80
作业 第十二章习题第 410页第 2题
81
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2
第十二章 平稳随机过程
§ 1 平稳随机过程的概念
3
有这样重要的一类随机过程,即所谓平稳随机过程,它的特点是,过程的统计特性不随时间的推移而变化,严格地说,如果对于任意的
n(=1,2,...),t1,t2,...,tn?T时,n维随机变量
(X(t1),X(t2),...,X(tn))
和 (X(t1+h),X(t2+h),...,X(tn+h) (1.1)
具有相同的分布函数,则称随机过程 {X(t),
t?T}具有平稳性,并同时称此过程为 平稳随机过程,或简称 平稳过程,
4
平稳过程的参数集 T,一般为 (-?,?),[0,?),{0,
1,?2,...}或 {0,1,2,...},当定义在离散参数集上时,也称过程为平稳随机序列或平稳时间序列,
以下若无特殊声明,均认为参数集
T=(-?,?).
在实际问题中,确定过程的分布函数,并用它来判定其平稳性,一般是很难办到的,但是,对于一个被研究的随机过程,如果前后的环境和主要条件都不随时间的推移而变化,则一般就可以认为是平稳的,
5
恒温条件下的热噪声电压过程以及第十章 § 1
例 2,例 3都是平稳过程的例子,强震阶段的地震波幅,船舶的颠簸过程,照明电网中电压的波动过程以及各种噪声和干扰等等在工程上都被认为是平稳的,
与平稳过程相反的是非平稳过程,一般,随机过程处于过渡阶段时总是非平稳的,例如,飞机在平稳飞行时高度的上下波动可看作是平稳的,但是在起飞和降落过程当然不是平稳的,
当仅仅考虑过程的平稳阶段时,为了数学处理的方便,经常将时间范围取为 -?<t<?.
6
设平稳过程 X(t)的均值函数 E[X(t)]存在,对
n=1,在 (1,1)式 中,令 h=-t,由平稳性定义,一维随机变量 X(t1)和 X(0)同分布,于是
E[X(t)]=E[X(0)],即均值函数必为常数,记为
mX,同样,X(t)的均方值函数和方差函数亦为常数,分别记为 YX2和?X2,据此可知,平稳过程的所有样本曲线都在水平直线 x(t)=mX上下波动,平均偏离度为?X.
7
又若平稳过程 X(t)的自相关函数
RX(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)]存在,对 n=2,在 (1.1)中,
令 h=-t1,由平稳性定义,二维随机变量 (X(t1),
X(t2))与 (X(0),X(t2-t1))同分布,于是有
RX(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)]=E[X(0)X(t2-t1)].
等式右端只与时间差 t2-t1有关,记为 RX(t2-t1),
即有
RX(t1,t2)=RX(t2-t1) (1.2)
或 RX(t,t+?)=E[X(t)X(t+?)]=RX(?).
这表明,平稳随机过程的自相关函数仅是时间差 t2-t1=?的单变量函数,
8
而协方差函数可以表示为
CX(?)=E{[X(t)-mX][X(t+?)-mX]}=RX(?)-mX2.
特别地,令?=0,由上式,有
X2=CX(0)=RX(0)-mX2.
9
如前所述,要确定一个随机过程的分布函数,
并进而判定其平稳性在实际中是不易办到的,
因此,通常只在二阶矩过程范围内,考虑如下一类广义平稳过程,
定义 给定二阶矩过程 {X(t),t?T},如果对任意
t,t+T
E[X(t)]=mX(常数 ),
E[X(t)X(t+?)=RX(?),
则称 {X(t),t?T}为 宽平稳过程 或 广义平稳过程,
相对地,前述按分布函数定义的平稳过程称为严平稳过程 或 狭义平稳过程,
10
由于宽平稳过程的定义只涉及与一维,二维分布有关的数字特征,所以一个严平稳过程只要二阶矩存在,则它必定也是宽平稳的,但反过来,一般是不成立的,不过有一个重要的例外情形,即正态过程,因为正态过程的概率密度是由均值函数和自相关函数完全确定的,因而如果均值函数和自相关函数不随时间的推移而变化,则概率密度也不随时间的推移而变化,
由此一个宽平稳的正态过程必定也是严平稳的,
11
后面讲到平稳过程一词,除特别指明外,总是指宽平稳过程,
另外,当同时考虑两个平稳过程 X(t)和 Y(t)时,
如果它们的互相关函数也只是时间差的单变量函数,记为 RXY(?),即
RXY(t,t+?)=E[X(t)Y(t+?)]=RXY(?),(1.3)
则就称 X(t)和 Y(t)是 平稳相关 的,或称这两个过程是 联合 (宽 )平稳 的,
12
例 1 设 {Xk,k=1,2,...}是互不相关的随机变量序列,且 E[Xk]=0,E[Xk2]=?2,则有
===
.,0
,,][),( 2
lk
lkXXElkR
lkX
即相关函数只与 k-l有关,所以它是宽平稳的随机序列,如果 X1,X2,...,Xk,...又是独立同分布的,则易证序列也是严平稳的,
13
例 2 设 s(t)是一周期为 T的函数,Q是在 (0,T)上服从均匀分布的随机变量,称 X(t)=s(t+Q)为随机相位周期过程,试讨论它的平稳性,
解 由假设,Q的概率密度为
=
.,0
,0,/1)(
其它
TTf
.d)(
1
d
1
)()]([)]([
0
=
=?=
Tt
t
T
s
T
T
tstsEtXE
Q于是,X(t)的均值函数为
14
利用 s(?)的周期性,可知
.d)(1)]([
0
常数==?
T
s
T
tXE
.d)()(
1
d
1
)()(
)]()([),(
0
=
=
=?
Tt
t
T
X
ss
T
T
tsts
tstsEttR
Q?Q?
而自相关函数
15
同样,利用 s(?)s(?+?)的周期性,可知自相关函数仅与?有关,即
),(d)()(
1
),(
0
X
T
X RssTttR
记成
=?=
所以随机相位周期过程是平稳的,特别,随机相位正弦波是平稳的,
16
例 3 考虑随机电报信号,信号 X(t)由只取 +I或
-I的电流给出,这里
P{X(t)=+I}=P{X(t)=-I}=1/2;
而正负号在区间 (t,t+?)内变化的次数 N(t,t+?)
是随机的,且假设 N(t,t+?)服从泊松分布,
O t
-I
I
x(t)
17
亦即事件
Ak={N(t,t+?)=k}
的概率为
,2,1,0,e
!
)(
)(?== - k
k
AP
k
k
其中?>0是单位时间变号次数的数学期望,试讨论 X(t)的平稳性,
解 显然,E[X(t)]=0,现在计算 E[X(t)X(t+?)],先设?>0,如果电流在 (t,t+?)内变号偶数次,则 X(t)
和 X(t+?)必为同号且乘积为 I2; 如果变号奇数次,则乘积为 -I2.
18
因为事件
{X(t)X(t+?)=I2}
的概率为 P(A0)+P(A2)+P(A4)+...,而事件
{X(t)X(t+?)=-I2}
的概率为 P(A1)+P(A3)+...,于是
.e
!
)(
e
)()()]()([
22
0
2
0
12
2
0
2
2
k
k
k
k
k
k
k
k
I
k
I
APIAPItXtXE
-
=
-
=
-
=
=
-
=
-=?
此结果与 t无关,
19
而若?<0时,只需令 t'=t+?,则有
E[X(t)X(t+?)]=E[X(t')X(t'-?)]=I2e2.
故这一过程的相关函数为
RX(?)=E[X(t)X(t+?)]=I2e-2?|?|,
它只与?有关,因此随机电报信号是一平稳过程,
O
I2RX(?)
20
§ 2 各态历经性
21
如要按定义来计算平稳过程 X(t)的数字特征,
就需要预先确定 X(t)的一族样本函数或一维,
二维分布函数,但这实际上是不易办到的,事实上,即使用统计实验的方法,例如可将均值和自相关函数近似地表示为
,)()(
1
)(
)(
1
1
2112
1
1
=
=
-
N
k
kkX
N
k
kX
txtx
N
ttR
tx
N
和
m
也需要对平稳过程进行大量观察,以获得很多的样本函数 xk(t),k=1,2,...,N.
22
但是,平稳过程的统计特性是不随时间的推移而变化的,于是我们自然期望在一个很长时间内观察得到的一个样本曲线,可以作为得到这个过程的数字特征的充分依据,本节给出的各态历经性定理将证实,对平稳过程而言,只要满足一些较宽的条件,则集平均 (均值和自相关函数 )实际上可以用一个样本函数在整个时间轴上的平均值来代替,这样,在解决实际问题时就节约了大量的工作量,
23
给定二阶矩过程 {X(t),t?T},如果它的每一个样本函数在 [a,b]?T上的积分都存在,就说随机过程 X(t)在 [a,b]上的积分存在,并记为
)1.2(d)(?= b
a
ttXY
显然,Y是一随机变量,
但是,在某些情形下,对于随机过程的所有样本函数来说,在 [a,b]上的积分未必全都存在,
此时,引入所谓均方意义下的积分,即考虑
[a,b]内的一组分点,
a=t0<t1<t2<...<tn=b,
24
且记 Dti=ti-ti-1,ti-1i?ti,i=1,2,...,n,
如果有满足
0}]) Δ({[lim 2
1
0m a x Δ
=-?
=
n
i
iit tXYE
i
b
a
b
a X
tstsR dd),(
的随机变量 Y存在,就称 Y为 X(t)在 [a,b]上的均方积分,并仍以符号 (2.1)记之,可以证明,二阶矩过程 X(t)在 [a,b]上均方积分存在的充分条件是自相关函数的二重积分,即存在,
25
此时还成立有
)2.2(.d)]([][?= b
a
ttXEYE
)3.2(d)(
2
1lim)(?
-
=
T
TT
ttX
T
tX
现引入随机过程 X(t)沿时间轴的两种平均,
)4.2(d)()(
2
1lim)()(?
-
=
T
TT
ttXtX
T
tXtX
分别称为随机过程 X(t)的 时间均值 和 时间相关函数,可以用高等数学的方法求积分和极限,
其结果一般来说是随机的,
26
例 1 计算随机相位正弦波 X(t)=a cos(wt+Q)的时间平均?X(t)?和?X(t)X(t+?)?.
解
.0
s i nc os
lim
d)c os (
2
1
lim)(
==
=
-
T
Ta
tta
T
tX
T
T
TT
w
wQ
Qw
.c o s
2
d])(c o s [)c o s (
2
1
lim
)()(
2
2
w?
Q?wQw
a
ttta
T
tXtX
T
TT
=
=
-
27
将例 1的结果与第十章 § 2例 2算得的结果比较,
可知
mX=E[X(t)]=?X(t)?
RX(?)=E[X(t)X(t+?)]=?X(t)X(t+?)?.
这表明,对于随机相位正弦波,用时间平均和集平均分别算得的均值和自相关函数是相等的,这一特性并不是随机相位正弦波所独有的,
28
定义 设 X(t)是一平稳过程,
1o如果
X(t)?=E[X(t)]=mX (2.5)
以概率 1成立,则称过程 X(t)的 均值具有各态历经性,
2o如果对任意实数 t,
X(t)X(t+?)?=E[X(t)X(t+?)]=RX(t) (2.6)
以概率 1成立,则称过程 X(t)的 自相关函数具有各态历经性,特别当 t=0,称 均方值具有各态历经性,
29
3o如果 X(t)的均值和自相关函数都具有各态历经性,则称 X(t)是 (宽 )各态历经过程,或者说
X(t)是各态历经的,
定义中 "以概率 1成立 "是对 X(t)的所有样本函数而言的,
各态历经性有时也称作 遍历性 或 埃尔古德性
(ergodicity).
30
并不是任意一个平稳过程都是各态历经的,例如平稳过程
X(t)=Y,
其中 Y是方差异于零的随机变量,就不是各态历经过程,
O t
y1
y2
y3
y4
31
定理一 (均值各态历经定理 )平稳过程 X(t)的均值具有各态历经性的充要条件是
)7.2(.0d])([
2
1
1
lim
2
0
2 =-?
-
T
XXT RTT?m?
.d)]([
2
1
lim
d)(
2
1
lim})({
X
T
TT
T
TT
ttXE
T
ttX
T
EtXE
m==
=
-
-
证 先计算?X(t)?的均值和方差,由 (2.3)式
32
而?X(t)?的方差为
.dd)]()([
4
1
lim
d)(d)(
4
1
lim
d)(
2
1
lim
}])({[])([
2
21212
2
22112
2
2
2
X
T
T
T
TT
X
T
T
T
TT
X
T
TT
X
tttXtXE
T
ttXttX
T
E
ttX
T
E
tXEtXD
m
m
m
m
-=
-
=
-
=
-=
- -
--
-
33
由 X(t)的平稳性,E[X(t1)X(t2)]=RX(t2-t1),则
)8.2(
.dd)(
4
1
lim])([ 22112
2- -
--=
T
T
T
T
XX
T
ttttR
T
tXD m
.
2
1
),(
),(
21
21 =
tt
为了简化上式右端的积分,引入变量替代
1=t1+t2和?2=-t1+t2,此变换的雅可比行列式是
34
积分区域的转换如图所示
t1
t2
(T,T)
O?1
2
O (2T,0)
G
图 12-4
(1) (2)
35
于是 (2.8)式 中的二重积分用新变量表示成
)9.2(
,dd
2
1
)(dd)(
2122112
=-
- -
S
X
T
T
T
T
X
RttttR
.d)()2(2d)(d2
dd
2
1
)(4dd)(
2
0
2
0
12
2
0
2
2122112
2
-==
=-
-
- -
T
X
T
X
T
G
X
T
T
T
T
X
RTR
RttttR
S为 图 12-4(2)所示的正方形,而被积函数是两个变量的偶函数,积分为图中 G上积分的 4倍,
36
将此式代入 (2.8)式 就有
)10.2(d])([
2
1
1
lim
d)(
2
1
1
lim])([
2
0
2
2
2
0
-?
-=
-?
-=
T
XX
T
X
T
X
T
R
TT
R
TT
tXD
m?
m
而要?X(t)?=E{?X(t)?}以概率 1成立的充要条件是 D[?X(t)?]=0,而现已算得 E{?X(t)?}=E[X(t)],
则各态历经性成立的充要条件就是 (2.10)式等于 0,定理得证,
37
推论
.,
)(lim,1,
).(
,)7.2(,)(lim;,)7.2(
,)(lim,)(lim
2
2
经的但它的均值还是各态历不存在言中的随机相位正弦波而对例注意证略各态历经性均值不具有式不成立则若均值具有各态历经性式成立则若存在条件下在
m?
m
X
XX
XXX
R
R
RR
=
38
在定理一的证明中将 X(t)换成 X(t)X(t+?),就可得定理二 (自相关函数各态历经定理 )平稳过程
X(t)的自相关函数 RX(?)具有各态历经性的充要条件是
)12.2(,0)]()([
2
1
1
lim
2
0 1
2
1
1 =-?
-?
T
XT dRBTT
其中 B(?1)=E[X(t)X(t+?)X(t+?1)X(t+?+?1)].
在 (2.12)式中令?=0,就可得到均方值具有各态历经性的充要条件,
39
如若在定理二中以 X(t)Y(t+?)代替 X(t)X(t+?),
RXY(?)代替 RX(?)来进行讨论,则还可以相应地得到互相关函数的各态历经定理,
在实际应用中通常只考虑定义在 0?t<+?上的平稳过程,此时上面的所有时间平均都应以
0?t<+?上的时间平均来代替,而也有相应的各态历经性定理,
40
定理三
X
T
T
tXEttX
T
m==?
)]([d)(
1
lim
0
)'7.2(.d])([1
1
lim
0
2? -?
-
T
XXT RTT?m?
以概率 1成立的充要条件是
41
定理四
)()]()([d)()(1lim
0
X
T
T
RtXtXEttXtX
T
=?=
)'12.2(.0d)]()([1
1
lim
0 1
2
1
1 =-?
-?
T
XT RBTT
以概率一成立的充要条件是
42
各态历经定理的重要价值在于它从理论上给出了如下保证,一个平稳过程 X(t),若 0<t<+?,
只要它满足条件 (2.7)'和 (2.12)',便可以根据 "
以概率 1成立 "的含义,从一次试验所得到的样本函数 x(t)来确定出该过程的均值和自相关函数,即
)13.2(d)(
1
lim
0 X
T
T
ttx
T
m=?
)14.2().(d)()(
1
lim
0
X
T
T
Rttxtx
T
=
和
43
如果试验记录 x(t)只在时间区间 [0,T]上给出,
则相应于 (2.13)和 (2.14)式有以下无偏估计式,
)16.2(.0,)()(
1
d)()(
1
)(
)(
)15.2(d)(
1
0
0
Tdttxtx
T
ttxtx
T
RR
ttx
T
T
T
XX
T
XX
-
-
=
-
=?
=?
-
mm
44
§ 3 相关函数的性质
45
下面假设 X(t)和 Y(t)是平稳相关过程,RX(?),
RY(?)和 RXY(?)分别是它们的相关函数和互相关函数,
1oRX(0)=E[X2(t)]=YX2?0.
这由 (1.2)式 即可得到,在下一节将看到,量
RX(0)表示平稳过程 X(t)的 "平均功率 ".
2oRX(-?)=RX(?),即 RX(?)是?的偶函数,而互相关函数即不是奇函数,也不是偶函数,但满足
RXY(-?)=RYX(?).
这分别可由 (1.2)和 (1.3)式 得到,
46
3o关于自相关函数和自协方差函数有不等式,
|RX(?)|?RX(0) 和 |CX(?)|?CX(0)=?X2.
这可根据自相关函数,自协方差函数的定义以及柯西许瓦兹不等式直接推出,
此不等式表示,自相关 (自协方差 )函数都在
=0处取到最大值,
类似地,可以推出以下有关互相关函数和互协方差函数的不等式,
|RXY(?)|2?RX(0)RY(0)
和
|CXY(?)|2?CX(0)CY(0).
47
应用上还定义有标准自协方差函数和标准互协方差函数,
.
)0()0(
)(
)(
)0(
)(
)(
YX
XY
XY
X
X
X
CC
C
C
C
=
=
和由上述不等式性质知,|?X(?)|?1和 |?XY(?)|?1,且当?XY(?)?0时,X(t)和 Y(t)不相关,
48
4o RX(?)是非负定的,即对任意数组 t1,t2,...,tn?T
和任意实值函数 g(t)都有
.0)()()(
1,
-?
=
n
ji
jijiX tgtgttR
.0)()(
)()()()(
)()()]()([)()()(
2
1
1,
1,1,
=
=
=-
=
=
==
n
i
ii
n
ji
jiji
n
ji
jiji
n
ji
jjiijiX
tgtXE
tgtgtXtXE
tgtgtXtXEtgtgttR
事实上,根据自相关函数的定义有
49
5o 如果平稳过程 X(t)满足条件
P{X(t+T0)=X(t)}=1,则称它为周期为 T0的平稳过程,周期平稳过程的自相关函数必是周期函数,且其周期也是 T0.
事实上,由平稳性,E[X(t)-X(t+T0)]=0,又根据方差性质,P{X(t+T0)=X(t)}=1等价于
E{[X(t+T0)-X(t)]2}=0等价,于是柯西 -施瓦兹不等式
{E[X(t)(X(t+?+T0)-X(t+?))]}2
E[X2(t)]E{[X(t+?+T0)-X(t+?))]2}
50
{E[X(t)(X(t+?+T0)-X(t+?))]}2
E[X2(t)]E{[X(t+?+T0)-X(t+?))]2}
右端为零,推知
E{X(t)[X(t+?+T0)-X(t+?)]}=0,
展开即得 RX(?+T0)=RX(?).
另外,在实际中,各种具有零均值的非周期性噪声和干扰一般当 |?|适当增大时,X(t+?)和 X(t)
即呈现独立或不相关,于是有
.0)(lim)(lim ==
XX
CR
51
§ 4 平稳随机过程的功率谱密度在很多理论和应用问题中,常常利用傅里叶 (Fourier)变换这一有效工具来确立时间函数的频率结构,本节的目的就是讨论如何运用这一工具以确立平稳过程的频率结构 -功率谱密度
52
(一 )平稳过程的功率谱密度 设有时间函数
x(t),-?<t<?,如果 x(t)满足狄利克雷条件且绝对可积,则 x(t)的傅里叶变换存在或者说具有频谱
.de)()( i?
-
-= ttxF t
x
ww
.de)(
2
1
)( i?
-
= ww
w t
xFtx
且同时有傅里叶逆变换
53
Fx(w)一般是复数量,其共轭函数
Fx*(w)=Fx(-w),在 x(t)和 Fx(w)之间成立有帕塞瓦尔等式
,d|)(|
2
1
)( 22
-
-
= ww
x
Fdttx
等式左边表示 x(t)在 (-?,?)上的总能量,而右边的被积函数 |Fx(w)|2相应地称为 x(t)的能谱密度,这样,帕塞瓦尔等式可以理解为总能量的谱表示式,
54
但是,在工程技术中,有很多重要的时间函数总能量是无限的,而且并非绝对可积,正弦函数就是一例,平稳过程的样本函数一般来说也是如此,这时,我们通常转而去研究 x(t)在 (-?,
)上的平均功率,即
.d)(
2
1
lim 2?
-
T
TT
ttx
T
在以下的讨论中,我们都假定这个平均功率是存在的,
55
为了利用傅里叶变换给出 "平均功率的谱表示式 ",首先由给定的 x(t)构造一个截尾函数
)2.4(
.||,0
,||),()(
=
Tt
Tttxtx
T
)3.4(
,de)(de)(),( ii
-
-
-
- ==
T
T
tt
Tx ttxttxTF
www
易知 xT(t)绝对可积,现记 xT(t)的傅里叶变换为
56
写出它的帕塞瓦尔等式
.d|),(|
2
1d)( 22
-
-
= ww
TFttx xT
)4.4(.|),(|
4
1d)(
2
1 22
--
= ww
dTF
T
ttx
T x
T
T
将上式两边除以 2T,得令 T?+?,x(t)在 (-?,+?)上的平均功率可表示为
)5.4(
.d|),(|
2
1
lim
2
1
d)(
2
1
lim 22
--
= ww
TF
T
ttx
T
x
T
T
TT
57
相对于能谱密度,把 (4.5)式右端的被积式称作函数 x(t)的平均功率谱密度,简称功率谱密度,
并记为
)6.4(.|),(|
2
1
lim)( 2TF
T
S x
Tx
ww
=
而 (4.5)右端就是平均功率的谱表示式,
)5.4(.d|),(|
2
1
lim
2
1
d)(
2
1
lim
2
2
-
-
= ww
TF
T
ttx
T
x
T
T
TT
58
现将平均功率和功率谱密度的概念推广到平稳过程 X(t),-?<t<+?,为此,相应于 (4.3)和
(4.4)式 写出
)7.4(de)(),( i?
-
-= T
T
wt
X ttXTF w
)8.4(.d|),(|
4
1
d)(
2
1
2
2
-
-
= ww
TF
T
ttX
T
X
T
T
和显然上面的积分都是随机的,
59
将 (4.8)式左端的均值的极限,即量
)9.4(d)(
2
1
lim 2
-
T
TT
ttX
T
E
)10.4(,
d)]([
2
1
limd)(
2
1
lim
2
22
X
T
TT
T
TT
ttXE
T
ttX
T
E
Y=
=
--
定义为 平稳过程 X(t)的平均功率,
交换 (4.9)式中积分与均值的运算顺序,并注意到平稳过程的均方值是常数,于是即平稳过程的平均功率等于该过程的均方值或 RX(0).
60
接着,把式 (4.8)的右端代入 (4.10)式 的左端,交换运算顺序后可得
)11.4(.d|),({|
2
1lim
2
1 22
-
= ww
Y TFE
T XTX
)12.4(}.|),({|
2
1lim)( 2TFE
T
S X
TX
ww
=
将 (4.11)式中的被积式称为 平稳过程 X(t)的功率谱密度,并记为 SXX(w)或 SX(w),即则 (4.11)可简写为
)13.4(,d)(
2
12
-
= ww
Y XX S
61
此式称为 平稳过程 X(t)的平均功率表示式,
功率谱密度 SX(w)通常也简称为 自谱密度 或 谱密度,它是从频率这个角度描述 X(t)的统计规律的最主要的数字特征,由 (4.13)式知,它的物理意义表示 X(t)的平均功率关于频率的分布,
如已知 X(t)的谱密度,则在频率范围 (w1,w2)内的谱密度对平均功率的贡献为
)13.4(,d)(
2
12
-
= ww
Y XX S
=
2
1
21
d)(
2
12
),(
w
www
ww
Y XX S
62
以上定义的谱密度 SX(w)又称为 "双边谱密度 ",
意思是对 w的正负值都是有定义的,为了适应实际测量,考虑定义在 [0,+?)上的平稳过程
X(t),并按前面的思想和步骤,定义 "单边谱密度 ":
)14.4(
,0,0
,0},|),({|
1
lim2
)(
2
=
w
ww
w
TFE
TG
X
TX
此处 FX(w,T)由 (4.7)式 确定,只是积分范围应为 [0,T).
63
可以证明,单边谱密度与双边谱密度的关系是,
=
,0,0
,0),(2)(
w
www x
X
SG
GX(w)
SX(w)
wO
64
(二 ) 谱密度的性质 谱密度 SX(w)有重要性质,
1oSX(w)是 w的实的,非负的偶函数,
事实上,在 (4.12)式 中,量
|FX(w,T)|2=FX(w,T)FX(-w,T)
是 w的实的,非负的偶函数,所以它的均值的极限也必是实的,非负的偶函数,
2o SX(w)和相关函数 RX(?)是一傅里叶变换对,
)16.4(.de)(
2
1
)(
)15.4(,de)()(
i
i
-
-
-
=
=
ww
w
w?
w?
XX
XX
SR
RS
称为维纳 -辛钦公式,
65
将 (4.7)式 代入 (4.12)式,得
.de)(de)(
2
1lim)(
2
i
21
i
1
21
-
-
-
=
T
T
tT
T
t
TT
ttXttXE
T
S www
.dde)(
2
1
lim
dde)}()({
2
1
lim)(
21
)(i
12
21
)(i
21
12
12
- -
--
- -
--
-=
=
T
T
T
T
tt
X
T
T
T
T
T
tt
T
X
ttttR
T
tttXtXE
T
S
w
w
w
把括号内的积分改写成重积分的形式,交换积分与均值运算顺序,并注意到
E{X(t1)X(t2)}=RX(t2-t1),即有
66
接着,作变量替代?1=t1+t2和?2=-t1+t2,得
)17.4(.delim
de)(
2
||
1lim)(
i
2
2
i
-
-
-
-
=
-=
w
w?
w?
T
X
T
T
T
X
T
X
R
R
T
S
-
=
.2||,0
,2||),(
2
||
1
)(
T
TR
TR
XT
X
式中
67
当 T?+?时,注意到 RXT(?)?RX(?)对每一个?
都成立,于是由 (4.17)式就可得到公式
.de)()( i?
-
-=w w?
XX RS
.d|)(|
-
XR最后一步在理论上要求因此,平稳过程在自相关函数绝对可积的条件下,谱密度就是自相关函数的傅里叶变换,
在 (4.16)式 中令?=0,再次得到表示式 (4.13).
68
由于 RX(?)和 SX(w)都是偶函数,所以利用欧拉公式,维纳 -辛钦公式还可以写成如下形式,
)19.4(,dc o s)(
1
)(
)18.4(,dc o s)(2)(
0
0
=
=
ww?w
ww
XX
XX
SR
RS
维纳 -辛钦公式又称为平稳过程自相关函数的谱表示式,它揭示了从时间角度描述平稳过程
X(t)的统计规律和从频率角度描述 X(t)的统计规律之间的联系,据此,在应用上我们可以根据实际情况选择时间域方法或等价的频率域方法去解决实际问题,
69
在实际问题中常碰到一些平稳过程,它们的自相关函数或谱密度在常义情形下的傅里叶变换或逆变换是不存在的 (例如随机相位正弦波的自相关函数 ),但与通常频谱分析中遇到的情况一样,如果允许谱密度和自相关函数含有
d函数,则在新的意义下利用 d函数的傅里叶变换性质,有关实际问题仍能得到圆满解决,
70
d函数是单位冲激函数 d(t)的简称,它是一种广义函数,狄拉克 (Dirac)最早给出了 d(t)的定义如下,
=
=
-
1d)(
0,0)(
tt
tt
d
d
1
O t
71
d函数的基本性质是,若函数 f(?)在?=?0连续,
就有
)()(d)()( 00 筛选性d ff =-
-
)22.4(
de)(
2
1
2
1
)(de
2
1
)21.4(
,de1
2
1
)(1de)(
ii
ii
-
-
-
-
-
-
=?=
=?=
wwd
wd?
w
dd
w?w?
w?w?
据此,可以写出以下傅里叶变换对,
72
因此,当自相关函数 RX(?)=1,谱密度
SX(w)=2?d(w),还可以求得正弦型自相关函数
RX(?)=a cosw0?的谱密度为
SX(w)=a?[d(w-w0)+d(w+w0)],(4.23)
事实上,
,dede
2
de)e(e
2
dec os)(
)i()i(
iiii
0
00
00
=
==
-
-
-
--
-
--
-
-
ww
ww?ww
ww?ww?
a
a
aS
X
利用变换式 (4.22)即得 (4.23)式,
73
白噪声 均值为零而谱密度为正常数,即
SX(w)=S0,-?<w<? (S0>0)
的平稳过程 X(t)称为 白噪声过程,简称 白噪声,
其名出于白光具有均匀光谱的缘故,
利用变换式 (4.22),可算得白噪声的自相关函数为
).(de2de)(2 1)( 0i0i?dw?ww w?w? SSSR XX ===
-
-
因此,白噪声也可定义为均值为零,自相关函数为 d函数的随机过程,且这个过程在 t1?t2时,
X(t1)和 X(t2)是不相关的,
74
白噪声是一种理想化的数学模型,它的平均功率 RX(0)是无限的,实用上,如果某种噪声 (或干扰 )在比实际考虑的有用频带宽得多的范围内具有比较 "平坦 "的谱密度,那就可把它近似地当作白噪声来处理,白噪声在数学处理上具有简单,方便的优点,
与白噪声相关联的所谓带限白噪声,例如低通白噪声,它的谱密度为
=
,||,0
,||,
)(
1
10
ww
ww
w
S
S X
75
相应的自相关函数为
.
)()(,)(
,0)(,,2,1,
,
s i n
i
e
2
de
2
1
de)(
2
1
)(
21
1
12
1
1
110
i
0
i
0
i
|
1
1
1
1
是不相关的和时在低通白噪声这表明时当
tXtX
k
tttX
Rk
k
SS
SSR
X
XX
w
w
w
w
w
w
ww
w
w
w?
w
w
w?w?
=-
===
=?=
==
-
-
-
76
(三 )互谱密度及其性质 设 X(t)和 Y(t)是两个平稳相关的随机过程,我们定义
)24.4()},(),({
2
1lim)( TFTFE
T
S YX
TXY
www -=
.)()().()( * 互为共轭和即 wwww YXXYYXXY SSSS =
为平稳过程 X(t)和 Y(t)的互谱密度,式中 FX(w,T)依
(4.7)式确定,
由 (4.24)式可知互谱密度不再是 w的实的,正的偶函数,但它具有以下特性,
1o
77
2o在互相关函数 RXY(?)绝对可积的条件下,
)26.4(.de)(
2
1
)(
)25.4(,de)()(
i
i
-
-
-
=
=
ww
w
w?
w?
XYXY
XYXY
SR
RS
-- -=?www ds i n)(idc o s)()( XYXYXY RRS
3o Re[SXY(w)]和 Re[SYX(w)]是 w的偶函数,
Im[SXY(w)]和 Im[SYX(w)]是 w的奇函数,
事实上,把 (4.25)改写成即可推知
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4o互谱密度与自谱密度之间成立有不等式
|SXY(w)|2?SX(w)SY(w).
应用上当考虑多个平稳过程之和的频率结构时,要运用互谱密度,例如,设 Z(t)=X(t)+Y(t),
其中 X(t)和 Y(t)是平稳相关的,这时,Z(t)的相关函数是 RXY(?)=RXX(?)+RXY(?)+RYX(?)+RYY(?),
则 Z(t)的自谱密度为
SZZ(w)=SXX(w)+SXY(w)+SYX(w)+SYY(w)
=SXX(w)+SYY(w)+2Re[SXY(w)].
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互谱密度并不像自谱密度那样具有物理意义,
引入这个概念主要是为了能在频率域上描述两个平稳过程的相关性 (例如,对具有零均值的平稳过程 X(t)和 Y(t)而言,根据性质 2o,
SXY(w)?0与 X(t)和 Y(t)不相关是等价的 ).
相关函数和谱密度的一个重要应用是分析线性系统对随机输入的响应,它的具体内容由有关专业课程加以介绍,
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作业 第十二章习题第 410页第 2题
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