1
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2
§ 4 相互独立的随机变量
3
定义 设 F(x,y)及 FX(x),FY(y)分别是二维随机变量 (X,Y)的分布函数及边缘分布函数,若对于所有 x,y有
P{X?x,Y?y}=P{X?x}P{Y?y},(4.1)
即 F(x,y)=FX(x)FY(y),(4.2)
则称随机变量 X和 Y是 相互独立 的,
4
设 (X,Y)是连续型随机变量,f(x,y),fX(x),fY(y)分别为 (X,Y)的概率密度和边缘概率密度,则 X和
Y相互独立的条件 (4.2)等价于
f(x,y)=fX(x)fY(y) (4.3)
几乎处处成立,
注,此处 "几乎处处成立 "的含义是,在平面上除去 "面积 "为零的集合以外,处处成立,
5
当 (X,Y)是离散型随机变量时,X和 Y相互独立的条件 (4.2)式等价于,对于 (X,Y)的所有可能取的值 (xi,yj)有
P{X=xi,Y=yj}=P{X=xi}P{Y=yj},(4.4)
6
例如 § 1例 2中的随机变量 X和 Y,由于故有 f(x,y)=fX(x)fY(y),因而 X,Y是相互独立的,
,,0
,0,e
)(
,,0
,0,e2
)(
.,0
,0,0,e2
),(
2
)2(
其它其它其它
y
xf
x
xf
yx
yxf
y
Y
x
X
yx
7
又如,若 X,Y具有联合分布律
Y X 0 1 P{Y=j}
1 1/6 2/6 1/2
2 1/6 2/6 1/2
P{X=i} 1/3 2/3 1
则 X,Y也是相互独立的,
再如 § 2例 1中的随机变量 F和 D,由于
P{D=1,F=0}=1/10?P{D=1}P{F=0},因而 F和
D不是相互独立的,
8
二维正态随机变量 (X,Y)的概率密度为其边缘概率密度 fX(x),fY(y)的乘积为
.
)())((
2
)(
)1(2
1
e x p
1π2
1
),(
2
2
2
2
21
21
2
1
2
1
2
2
21
yyx
x
yxf
.
)()(
2
1
e x p
π2
1
)()( 2
2
2
2
2
1
2
1
21?
yx
yfxf YX
易证 X和 Y独立的充要条件是?=0.
9
例 一负责人到达办公室的时间均匀分布在
8~12时,他的秘书到达办公室的时间均匀分布在 7~9时,设他们到达的时间相互独立,求他们到达时间相差不超过 5分钟 (1/12小时 )的概率,
解 设 X和 Y分别是负责人和他的秘书到达办公室的时间,由假设 X和 Y的概率密度分别为
其它其它,0
,97,2/1
)(
,0
,128,4/1
)(
y
yf
x
xf YX
10
因为 X,Y相互独立,故 (X,Y)的概率密度为
.,0
,97,128,8/1
)()(),(
其它
yx
yfxfyxf YX
按题意需要求概率 P{|X?Y|?1/12},画出区域,
|x?y|?1/12,以及长方形 [8<x<12; 7<y<9],它们的公共部分是四边形 BCC'B',记为 G,显然仅当
(X,Y)取值于 G内,他们两人到达的时间相差才不超过 1/12小时,因此,所求的概率为
11
y=x
y?x?12 y?x12
7
8 9 10 11 12
8
9
B
B'
CC'A
G
12
而 G的面积 =?ABC的面积AB'C'的面积
).(
8
1
dd),(}12/1|{|
的面积G
yxyxfYXP
G
.
6
1
12
11
2
1
12
13
2
1 22
即负责人和他的秘书到达办公室的时间相差不超过 5分钟的概率为 1/48.
13
以上关于二维随机变量的一些概念,容易推广到 n维随机变量的情况,
n维随机变量 (X1,X2,...,Xn)的分布函数的定义为
F(x1,x2,...,xn)=P{X1?x1,X2?x2,...,Xn?xn}
其中 x1,x2,...,xn为任意实数,
14
若存在非负函数 f(x1,x2,...,xn),使得对于任意实数 x1,x2,...,xn有
n nx x x
nn
n
ttttttf
xxxF
1 1
ddd),,,(
),,,(
2121
21
则称 f(x1,x2,...,xn)为 (X1,X2,...,Xn)的概率密度函数,
15
设 (X1,X2,...,Xn)的分布函数 F(x1,x2,...,xn)为已知,
则 (X1,X2,...,Xn)的 k(1?k<n)维边缘分布函数就随之确定,例如 (X1,X2,...,Xn)关于 X1,关于 (X1,X2)
的边缘分布函数分别为
).,,,,,(),(
),,,,,()(
2121,
11
21
1
xxFxxF
xFxF
XX
X
16
又若 f(x1,x2,...,xn)是 (X1,X2,...,Xn)的概率密度,则
(X1,X2,...,Xn)关于 X1,关于 (X1,X2)的边缘概率密度分别为
.ddd),,,(
),(
ddd),,,(
)(
4321
21,
3221
1
21
1
nn
XX
nn
X
xxxxxxf
xxf
xxxxxxf
xf
17
若对于所有的 x1,x2,...,xn有
),()()(),,,( 2121 21 nXXXn xFxFxFxxxF n
则称 X1,X2,...,Xn是相互独立的,
18
若对于所有的 x1,x2,...,xm; y1,y2,...,yn有
F(x1,x2,...,xm,y1,y2,...,yn)
=F1(x1,x2,...,xm)F2(y1,y2,...,yn),
其中 F1,F2,F依次为随机变量 (X1,X2,...,Xm),
(Y1,Y2,...,Yn)和 (X1,X2,...,Xm,Y1,Y2,...,Yn)的分布函数,则称随机变量 (X1,X2,...,Xm)和 (Y1,Y2,...,Yn)是相互独立的,
19
定理 设 (X1,X2,...,Xm)和 (Y1,Y2,...,Yn)相互独立,
则 Xi(i=1,2,...,m)和 Yj(j=1,2,...,n)相互独立,又若
h,g是连续函数,则 h(X1,X2,...,Xm)和
g(Y1,Y2,...,Yn)相互独立,
20
§ 5 两个随机变量的函数的分布
21
(一 ) Z=X+Y的分布 设 (X,Y)的概率密度为 f(x,y),
则 Z=X+Y的分布函数为
,dd),(}{)(
zyx
Z yxyxfzZPzF
.dd),()(
yxyxfzF yz
Z
这里积分区域 G:x+y?z是直线 x+y=z及其左下方的半平面,化成累次积分,得
22
x
y
O
x+y=z
23
于是
.d),(d),(
,dd,,
,d),(
zyz
yz
uyyufxyxf
uxzuyzxyux
xyxfyz
得时当令作变量变换对积分和固定
.dd),(
dd),()(
z
z
z
uyyyuf
yuyyufzF
24
由概率密度的定义,即得 Z的概率密度为
)1.5(d),()(?
yyyzfzf Z
)2.5(.d),()(?
xxzxfzf Z
由 X,Y的对称性,fZ(z)又可写成
25
特别,当 X和 Y相互独立时,设 (X,Y)关于 X,Y的边缘概率密度分别为 fX(x),fY(y),则 (5.1)(5.2)式分别化为
)4.5(d)()()(
)3.5(,d)()()(
xxzfxfzf
yyfyzfzf
YXZ
YXZ
xxzfxf
yyfyzfff
YX
YXYX
d)()(
d)()(
这两个公式称为卷积公式,记为 fX * fY,即
26
例 1 设 X和 Y是两个相互独立的随机变量,它们都服从 N(0,1)分布,其概率密度为
.,e
π2
1
)(
,,e
π2
1
)(
2/
2/
2
2
yyf
xxf
y
Y
x
X
求 Z=X+Y的概率密度,
27
解 由 (5.4)式
.e
π2
1
πe
π2
1
de
π2
1
)(
,
2
,dee
π2
1
dee
π2
1
d)()()(
444
2
42
)(
2
22
2
2
2
222
zz
t
z
Z
z
x
zxzx
YXZ
tezf
z
xt
xx
xxzfxfxf
得令即 Z服从 N(0,2)分布,
28
一般,设 X,Y相互独立且 X~N(?1,?12),
Y~N(?2,?22),由 (5.4)式经过计算知 Z=X+Y仍然服从正态分布,且有 Z~N(?1+?2,?12+?22),这个结论还能推广到 n个独立正态随机变量之和的情况,即若 X~N(?i,?i2)(i=1,2,...,n),且它们相互独立,则它们的和 Z=X1+X2+...+Xn仍然服从正态分布,且有 Z~N(?1+?2+...+?n,?12+?22+...+?n2).
更一般地,可以证明 有限个相互独立的正态分布随机变量的线性组合仍然服从正态分布,
29
例 2 在一简单电路中,两电阻 R1和 R2串联联接,
设 R1,R2相互独立,它们的概率密度均为
.,0
,100,
50
10
)(
其它
x
x
xf
求总电阻 R=R1+R2的概率密度,
30
解 由 (5.4)式,R的概率密度为
.d)()()(?
xxzfxfzf R
zxz
x
xz
x
10
,100
,100
,100
即易知仅当时上述积分的被积函数不等于零,
31
z
x
O 10 20
x=10
x=z x=z?10
32
因此
.,0
,2010,d)()(
,100,d)()(
)(
10
10
0
其它
zxxzfzf
zxxzfzf
zf
z
z
R
.,0
,2010,)20(
15000
1
,100),60600(
15000
1
)(
3
32
其它
zz
zzzz
zf
R
将 f(z)的表达式代入上式得
33
例 3 设 X1,X2相互独立且分别服从参数为 a1,b ;
a2,b的 G分布 (分别记成 X1~G(a1,b),X2~G(a2,b),
X1,X2的概率密度分别为
0,0
,,0
,0,e
)(
1
)(
0,0
,,0
,0,e
)(
1
)(
2
/1
2
1
/1
1
2
2
2
1
1
1
baaGb
baaGb
ba
a
ba
a
其它其它
xx
xf
xx
xf
x
X
x
X
试证明 X1+X2服从参数为 a1+a2,b的 G分布,
34
证 由 (5.4)式 知,当 x?0时,Z=X1+X2的概率密度
fZ(z)=0,而当 z>0时,Z=X1+X2的概率密度为
baaaa
aa
baa
aa
aa
b
ba
a
ba
a
aGaGb
aGaGb
aGbaGb
/1
1
0
11
21
/1
0
11
21
/
0
/)(1
2
/1
1
ed)1(
)()(
e
)(d)(
)()(
e
de)(
)(
1
e
)(
1
d)()()(
2121
21
21
21
21
1
2
1
1
21
z
z
z
z
z
xzx
XXZ
Azttt
z
ztxxxzx
xxzx
xxzfxfzf
令
35
现计算 A,由概率密度的性质得到,
)0(,e)( /121 zAzzf zZ baa
.
)(
1
),(
)/d(e)/(d)(1
21
21
0
/1
0
21
21
2121
aaGb
aaGb
bbb
aa
aa
baaaa
A
A
zzAzzf
z
即有
36
于是
.0
,0,e
)(
1
)(
/1
21
21
21
其它
zz
zf
z
Z
baa
aa
aaGb
亦即 Z= X1+X2服从参数为 a1+a2,b的 G分布,即
X1+X2~G(a1+a2,b).
上述结论还能推广到 n个相互独立的 G分布变量之和的情况,即若 X1,X2,...,Xn相互独立,且 Xi
服从参数为 ai,b(i=1,2,...,n)的 G分布,则
X1+X2+...+Xn服从参数为 a1+...+an,b的 G分布,
37
(二 ) M=max(X,Y)及 N=min(X,Y)的分布 设 X,Y
是两个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为 FX(x)和 FY(y),现在来求 M=max(X,Y)及
N=min(X,Y)的分布函数,
由于 M=max(X,Y)不大于 z等价于 X和 Y都不大于 z,故有
P{M?z}=P{X?z,Y?z}.
又由于 X和 Y相互独立,得到 M=max(X,Y)的分布函数为
Fmax(z)=P{M?z}=P{X?z,Y?z}
=P{X?z}P{Y?z}
38
即有
Fmax(z)=FX(z)FY(z) (5.7)
类似地,可得 N=min(X,Y)的分布函数为
Fmin(z)=P{N?z}=1?P{N>z}
=1?P{X>z,Y>z}=1?P(X>z}P{Y>z}
即
Fmin(z)=1?[1?FX(z)][1?FY(z)],(5.8)
以上结果容易推广到 n个相互独立的随机变量的情况,
39
设 X1,X2,...,Xn是 n个相互独立的随机变量,它们
)10.5()].(1[
)](1)][(1[1)(
)9.5(),()()()(
),,,m i n (
),,,m a x (
),,,2,1)((
21
21
m i n
m a x
21
21
xF
xFxFzF
zFzFzFzF
XXXN
XXXX
nixF
n
n
i
X
XX
XXX
n
n
iX
的分布函数分别为及则的分布函数分别为
40
特别,当 X1,X2,...,Xn相互独立且具有相同分布函数时有
Fmax(z)=[F(z)]n,(5.11)
Fmin(z)=1?[1?F(z)]n,(5.12)
例 4
X Y
L1 L2 X
Y
L1
L2X
Y
L1
L2
41
设系统 L由两个相互独立的子系统 L1,L2联接而成,联接的方式分别为 (1)串联,(2)并联,(3)备用
(当系统 L1损坏时,系统 L2开始工作 ),设 L1,L2
的寿命分别为 X,Y,已知它们的概率密度分别为
)14.5(
,0,0
,0,e
)(
)13.5(
,0,0
,0,e
)(
y
y
yf
x
x
xf
y
Y
x
X
b
a
b
a
其中 a>0,b>0且 a?b,试分别就以上三种连接方式写出 L的寿命 Z的概率密度,
42
解 (1)串联的情况,
由于当 L1,L2中有一个损坏时,系统 L就停止工作,所以这时 L的寿命为
Z=min(X,Y).
由 (5.13),(5.14)式 X,Y的分布函数分别为
.0,0
,0,e1
)(
,0,0
,0,e1
)(
y
y
yF
x
x
xF
y
Y
x
X
b
a
43
由 (5.8)式 得 Z=min(X,Y)的分布函数为
.0,0
,0,e1)( )(
m i n z
zzF zba
.0,0
,0,e)(
)(
)(
m i n z
z
zf
zbaba
于是 Z=min(X,Y)的概率密度为
44
(2)并联的情况由于当 L1,L2都损坏时,系统 L才停止工作,所以这时 L的寿命 Z为 Z=max(X,Y)
按 (5.7)式得 Z的分布函数为
.0,0
,0),e1)(e1()()()(
m a x z
zzFzFzF zz
YX
ba
.0,0
,0,e)(ee)( )(
m a x z
zzf zzz baba baba
于是 Z的概率密度为
45
(3)备用的情况,
由于这时当系统 L1损坏时系统 L2才开始工作,
因此整个系统 L的寿命 Z是 L1,L2两者寿命之和,
即 Z=X+Y
按 (5.3)式,当 z>0时 Z=X+Y的概率密度为
].e[edee
deed)()()(
0
)(
)(
zz
z
yz
yyz
YX
y
yyyfyzfzf
baaba
ba
ab
ab
ab
ba
46
当 z?0时,f(z)=0,于是 Z=X+Y的概率密度为
.0,0
,0],e[e
)(
z
z
zf
zz ba
ab
ab
47
作业 第三章习题第 26页第 19,20,22题
B组交作业
48
请提问
49
例 2 设二维随机变量 (X,Y)具有概率密度
.,0
,0,0,e2
),(
)2(
其它
yx
yxf
yx
.,0
0,0,dde2
dd),(),(
0 0
)2(
其它
yxyx
yxyxfyxF
y x
yx
y x
(1)求分布函数 F(x,y); (2)求概率 P{Y?X}.
解 (1)
50
例 1 一整数 N等可能地在 1,2,3,...,10十个值中取一个值,设 D(N)是能整除 N的正整数的个数,
F=F(N)是能整除 N的素数的个数 (注意 1不是素数 ),试写出 D和 F的联合分布律,
解 先将试验的样本空间及 D,F取值的情况列如如下,
样本点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D 1 2 2 3 2 4 2 4 3 4
F 0 1 1 1 1 2 1 1 1 2
51
D和 F的联合分布律及边缘分布律如下表所示,
样本点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D 1 2 2 3 2 4 2 4 3 4
F 0 1 1 1 1 2 1 1 1 2
F D 1 2 3 4 P{F=j}
0 1/10 0 0 0 1/10
1 0 4/10 2/10 1/10 7/10
2 0 0 0 2/10 2/10
P{D=i} 1/10 4/10 2/10 3/10 1
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2
§ 4 相互独立的随机变量
3
定义 设 F(x,y)及 FX(x),FY(y)分别是二维随机变量 (X,Y)的分布函数及边缘分布函数,若对于所有 x,y有
P{X?x,Y?y}=P{X?x}P{Y?y},(4.1)
即 F(x,y)=FX(x)FY(y),(4.2)
则称随机变量 X和 Y是 相互独立 的,
4
设 (X,Y)是连续型随机变量,f(x,y),fX(x),fY(y)分别为 (X,Y)的概率密度和边缘概率密度,则 X和
Y相互独立的条件 (4.2)等价于
f(x,y)=fX(x)fY(y) (4.3)
几乎处处成立,
注,此处 "几乎处处成立 "的含义是,在平面上除去 "面积 "为零的集合以外,处处成立,
5
当 (X,Y)是离散型随机变量时,X和 Y相互独立的条件 (4.2)式等价于,对于 (X,Y)的所有可能取的值 (xi,yj)有
P{X=xi,Y=yj}=P{X=xi}P{Y=yj},(4.4)
6
例如 § 1例 2中的随机变量 X和 Y,由于故有 f(x,y)=fX(x)fY(y),因而 X,Y是相互独立的,
,,0
,0,e
)(
,,0
,0,e2
)(
.,0
,0,0,e2
),(
2
)2(
其它其它其它
y
xf
x
xf
yx
yxf
y
Y
x
X
yx
7
又如,若 X,Y具有联合分布律
Y X 0 1 P{Y=j}
1 1/6 2/6 1/2
2 1/6 2/6 1/2
P{X=i} 1/3 2/3 1
则 X,Y也是相互独立的,
再如 § 2例 1中的随机变量 F和 D,由于
P{D=1,F=0}=1/10?P{D=1}P{F=0},因而 F和
D不是相互独立的,
8
二维正态随机变量 (X,Y)的概率密度为其边缘概率密度 fX(x),fY(y)的乘积为
.
)())((
2
)(
)1(2
1
e x p
1π2
1
),(
2
2
2
2
21
21
2
1
2
1
2
2
21
yyx
x
yxf
.
)()(
2
1
e x p
π2
1
)()( 2
2
2
2
2
1
2
1
21?
yx
yfxf YX
易证 X和 Y独立的充要条件是?=0.
9
例 一负责人到达办公室的时间均匀分布在
8~12时,他的秘书到达办公室的时间均匀分布在 7~9时,设他们到达的时间相互独立,求他们到达时间相差不超过 5分钟 (1/12小时 )的概率,
解 设 X和 Y分别是负责人和他的秘书到达办公室的时间,由假设 X和 Y的概率密度分别为
其它其它,0
,97,2/1
)(
,0
,128,4/1
)(
y
yf
x
xf YX
10
因为 X,Y相互独立,故 (X,Y)的概率密度为
.,0
,97,128,8/1
)()(),(
其它
yx
yfxfyxf YX
按题意需要求概率 P{|X?Y|?1/12},画出区域,
|x?y|?1/12,以及长方形 [8<x<12; 7<y<9],它们的公共部分是四边形 BCC'B',记为 G,显然仅当
(X,Y)取值于 G内,他们两人到达的时间相差才不超过 1/12小时,因此,所求的概率为
11
y=x
y?x?12 y?x12
7
8 9 10 11 12
8
9
B
B'
CC'A
G
12
而 G的面积 =?ABC的面积AB'C'的面积
).(
8
1
dd),(}12/1|{|
的面积G
yxyxfYXP
G
.
6
1
12
11
2
1
12
13
2
1 22
即负责人和他的秘书到达办公室的时间相差不超过 5分钟的概率为 1/48.
13
以上关于二维随机变量的一些概念,容易推广到 n维随机变量的情况,
n维随机变量 (X1,X2,...,Xn)的分布函数的定义为
F(x1,x2,...,xn)=P{X1?x1,X2?x2,...,Xn?xn}
其中 x1,x2,...,xn为任意实数,
14
若存在非负函数 f(x1,x2,...,xn),使得对于任意实数 x1,x2,...,xn有
n nx x x
nn
n
ttttttf
xxxF
1 1
ddd),,,(
),,,(
2121
21
则称 f(x1,x2,...,xn)为 (X1,X2,...,Xn)的概率密度函数,
15
设 (X1,X2,...,Xn)的分布函数 F(x1,x2,...,xn)为已知,
则 (X1,X2,...,Xn)的 k(1?k<n)维边缘分布函数就随之确定,例如 (X1,X2,...,Xn)关于 X1,关于 (X1,X2)
的边缘分布函数分别为
).,,,,,(),(
),,,,,()(
2121,
11
21
1
xxFxxF
xFxF
XX
X
16
又若 f(x1,x2,...,xn)是 (X1,X2,...,Xn)的概率密度,则
(X1,X2,...,Xn)关于 X1,关于 (X1,X2)的边缘概率密度分别为
.ddd),,,(
),(
ddd),,,(
)(
4321
21,
3221
1
21
1
nn
XX
nn
X
xxxxxxf
xxf
xxxxxxf
xf
17
若对于所有的 x1,x2,...,xn有
),()()(),,,( 2121 21 nXXXn xFxFxFxxxF n
则称 X1,X2,...,Xn是相互独立的,
18
若对于所有的 x1,x2,...,xm; y1,y2,...,yn有
F(x1,x2,...,xm,y1,y2,...,yn)
=F1(x1,x2,...,xm)F2(y1,y2,...,yn),
其中 F1,F2,F依次为随机变量 (X1,X2,...,Xm),
(Y1,Y2,...,Yn)和 (X1,X2,...,Xm,Y1,Y2,...,Yn)的分布函数,则称随机变量 (X1,X2,...,Xm)和 (Y1,Y2,...,Yn)是相互独立的,
19
定理 设 (X1,X2,...,Xm)和 (Y1,Y2,...,Yn)相互独立,
则 Xi(i=1,2,...,m)和 Yj(j=1,2,...,n)相互独立,又若
h,g是连续函数,则 h(X1,X2,...,Xm)和
g(Y1,Y2,...,Yn)相互独立,
20
§ 5 两个随机变量的函数的分布
21
(一 ) Z=X+Y的分布 设 (X,Y)的概率密度为 f(x,y),
则 Z=X+Y的分布函数为
,dd),(}{)(
zyx
Z yxyxfzZPzF
.dd),()(
yxyxfzF yz
Z
这里积分区域 G:x+y?z是直线 x+y=z及其左下方的半平面,化成累次积分,得
22
x
y
O
x+y=z
23
于是
.d),(d),(
,dd,,
,d),(
zyz
yz
uyyufxyxf
uxzuyzxyux
xyxfyz
得时当令作变量变换对积分和固定
.dd),(
dd),()(
z
z
z
uyyyuf
yuyyufzF
24
由概率密度的定义,即得 Z的概率密度为
)1.5(d),()(?
yyyzfzf Z
)2.5(.d),()(?
xxzxfzf Z
由 X,Y的对称性,fZ(z)又可写成
25
特别,当 X和 Y相互独立时,设 (X,Y)关于 X,Y的边缘概率密度分别为 fX(x),fY(y),则 (5.1)(5.2)式分别化为
)4.5(d)()()(
)3.5(,d)()()(
xxzfxfzf
yyfyzfzf
YXZ
YXZ
xxzfxf
yyfyzfff
YX
YXYX
d)()(
d)()(
这两个公式称为卷积公式,记为 fX * fY,即
26
例 1 设 X和 Y是两个相互独立的随机变量,它们都服从 N(0,1)分布,其概率密度为
.,e
π2
1
)(
,,e
π2
1
)(
2/
2/
2
2
yyf
xxf
y
Y
x
X
求 Z=X+Y的概率密度,
27
解 由 (5.4)式
.e
π2
1
πe
π2
1
de
π2
1
)(
,
2
,dee
π2
1
dee
π2
1
d)()()(
444
2
42
)(
2
22
2
2
2
222
zz
t
z
Z
z
x
zxzx
YXZ
tezf
z
xt
xx
xxzfxfxf
得令即 Z服从 N(0,2)分布,
28
一般,设 X,Y相互独立且 X~N(?1,?12),
Y~N(?2,?22),由 (5.4)式经过计算知 Z=X+Y仍然服从正态分布,且有 Z~N(?1+?2,?12+?22),这个结论还能推广到 n个独立正态随机变量之和的情况,即若 X~N(?i,?i2)(i=1,2,...,n),且它们相互独立,则它们的和 Z=X1+X2+...+Xn仍然服从正态分布,且有 Z~N(?1+?2+...+?n,?12+?22+...+?n2).
更一般地,可以证明 有限个相互独立的正态分布随机变量的线性组合仍然服从正态分布,
29
例 2 在一简单电路中,两电阻 R1和 R2串联联接,
设 R1,R2相互独立,它们的概率密度均为
.,0
,100,
50
10
)(
其它
x
x
xf
求总电阻 R=R1+R2的概率密度,
30
解 由 (5.4)式,R的概率密度为
.d)()()(?
xxzfxfzf R
zxz
x
xz
x
10
,100
,100
,100
即易知仅当时上述积分的被积函数不等于零,
31
z
x
O 10 20
x=10
x=z x=z?10
32
因此
.,0
,2010,d)()(
,100,d)()(
)(
10
10
0
其它
zxxzfzf
zxxzfzf
zf
z
z
R
.,0
,2010,)20(
15000
1
,100),60600(
15000
1
)(
3
32
其它
zz
zzzz
zf
R
将 f(z)的表达式代入上式得
33
例 3 设 X1,X2相互独立且分别服从参数为 a1,b ;
a2,b的 G分布 (分别记成 X1~G(a1,b),X2~G(a2,b),
X1,X2的概率密度分别为
0,0
,,0
,0,e
)(
1
)(
0,0
,,0
,0,e
)(
1
)(
2
/1
2
1
/1
1
2
2
2
1
1
1
baaGb
baaGb
ba
a
ba
a
其它其它
xx
xf
xx
xf
x
X
x
X
试证明 X1+X2服从参数为 a1+a2,b的 G分布,
34
证 由 (5.4)式 知,当 x?0时,Z=X1+X2的概率密度
fZ(z)=0,而当 z>0时,Z=X1+X2的概率密度为
baaaa
aa
baa
aa
aa
b
ba
a
ba
a
aGaGb
aGaGb
aGbaGb
/1
1
0
11
21
/1
0
11
21
/
0
/)(1
2
/1
1
ed)1(
)()(
e
)(d)(
)()(
e
de)(
)(
1
e
)(
1
d)()()(
2121
21
21
21
21
1
2
1
1
21
z
z
z
z
z
xzx
XXZ
Azttt
z
ztxxxzx
xxzx
xxzfxfzf
令
35
现计算 A,由概率密度的性质得到,
)0(,e)( /121 zAzzf zZ baa
.
)(
1
),(
)/d(e)/(d)(1
21
21
0
/1
0
21
21
2121
aaGb
aaGb
bbb
aa
aa
baaaa
A
A
zzAzzf
z
即有
36
于是
.0
,0,e
)(
1
)(
/1
21
21
21
其它
zz
zf
z
Z
baa
aa
aaGb
亦即 Z= X1+X2服从参数为 a1+a2,b的 G分布,即
X1+X2~G(a1+a2,b).
上述结论还能推广到 n个相互独立的 G分布变量之和的情况,即若 X1,X2,...,Xn相互独立,且 Xi
服从参数为 ai,b(i=1,2,...,n)的 G分布,则
X1+X2+...+Xn服从参数为 a1+...+an,b的 G分布,
37
(二 ) M=max(X,Y)及 N=min(X,Y)的分布 设 X,Y
是两个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为 FX(x)和 FY(y),现在来求 M=max(X,Y)及
N=min(X,Y)的分布函数,
由于 M=max(X,Y)不大于 z等价于 X和 Y都不大于 z,故有
P{M?z}=P{X?z,Y?z}.
又由于 X和 Y相互独立,得到 M=max(X,Y)的分布函数为
Fmax(z)=P{M?z}=P{X?z,Y?z}
=P{X?z}P{Y?z}
38
即有
Fmax(z)=FX(z)FY(z) (5.7)
类似地,可得 N=min(X,Y)的分布函数为
Fmin(z)=P{N?z}=1?P{N>z}
=1?P{X>z,Y>z}=1?P(X>z}P{Y>z}
即
Fmin(z)=1?[1?FX(z)][1?FY(z)],(5.8)
以上结果容易推广到 n个相互独立的随机变量的情况,
39
设 X1,X2,...,Xn是 n个相互独立的随机变量,它们
)10.5()].(1[
)](1)][(1[1)(
)9.5(),()()()(
),,,m i n (
),,,m a x (
),,,2,1)((
21
21
m i n
m a x
21
21
xF
xFxFzF
zFzFzFzF
XXXN
XXXX
nixF
n
n
i
X
XX
XXX
n
n
iX
的分布函数分别为及则的分布函数分别为
40
特别,当 X1,X2,...,Xn相互独立且具有相同分布函数时有
Fmax(z)=[F(z)]n,(5.11)
Fmin(z)=1?[1?F(z)]n,(5.12)
例 4
X Y
L1 L2 X
Y
L1
L2X
Y
L1
L2
41
设系统 L由两个相互独立的子系统 L1,L2联接而成,联接的方式分别为 (1)串联,(2)并联,(3)备用
(当系统 L1损坏时,系统 L2开始工作 ),设 L1,L2
的寿命分别为 X,Y,已知它们的概率密度分别为
)14.5(
,0,0
,0,e
)(
)13.5(
,0,0
,0,e
)(
y
y
yf
x
x
xf
y
Y
x
X
b
a
b
a
其中 a>0,b>0且 a?b,试分别就以上三种连接方式写出 L的寿命 Z的概率密度,
42
解 (1)串联的情况,
由于当 L1,L2中有一个损坏时,系统 L就停止工作,所以这时 L的寿命为
Z=min(X,Y).
由 (5.13),(5.14)式 X,Y的分布函数分别为
.0,0
,0,e1
)(
,0,0
,0,e1
)(
y
y
yF
x
x
xF
y
Y
x
X
b
a
43
由 (5.8)式 得 Z=min(X,Y)的分布函数为
.0,0
,0,e1)( )(
m i n z
zzF zba
.0,0
,0,e)(
)(
)(
m i n z
z
zf
zbaba
于是 Z=min(X,Y)的概率密度为
44
(2)并联的情况由于当 L1,L2都损坏时,系统 L才停止工作,所以这时 L的寿命 Z为 Z=max(X,Y)
按 (5.7)式得 Z的分布函数为
.0,0
,0),e1)(e1()()()(
m a x z
zzFzFzF zz
YX
ba
.0,0
,0,e)(ee)( )(
m a x z
zzf zzz baba baba
于是 Z的概率密度为
45
(3)备用的情况,
由于这时当系统 L1损坏时系统 L2才开始工作,
因此整个系统 L的寿命 Z是 L1,L2两者寿命之和,
即 Z=X+Y
按 (5.3)式,当 z>0时 Z=X+Y的概率密度为
].e[edee
deed)()()(
0
)(
)(
zz
z
yz
yyz
YX
y
yyyfyzfzf
baaba
ba
ab
ab
ab
ba
46
当 z?0时,f(z)=0,于是 Z=X+Y的概率密度为
.0,0
,0],e[e
)(
z
z
zf
zz ba
ab
ab
47
作业 第三章习题第 26页第 19,20,22题
B组交作业
48
请提问
49
例 2 设二维随机变量 (X,Y)具有概率密度
.,0
,0,0,e2
),(
)2(
其它
yx
yxf
yx
.,0
0,0,dde2
dd),(),(
0 0
)2(
其它
yxyx
yxyxfyxF
y x
yx
y x
(1)求分布函数 F(x,y); (2)求概率 P{Y?X}.
解 (1)
50
例 1 一整数 N等可能地在 1,2,3,...,10十个值中取一个值,设 D(N)是能整除 N的正整数的个数,
F=F(N)是能整除 N的素数的个数 (注意 1不是素数 ),试写出 D和 F的联合分布律,
解 先将试验的样本空间及 D,F取值的情况列如如下,
样本点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D 1 2 2 3 2 4 2 4 3 4
F 0 1 1 1 1 2 1 1 1 2
51
D和 F的联合分布律及边缘分布律如下表所示,
样本点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D 1 2 2 3 2 4 2 4 3 4
F 0 1 1 1 1 2 1 1 1 2
F D 1 2 3 4 P{F=j}
0 1/10 0 0 0 1/10
1 0 4/10 2/10 1/10 7/10
2 0 0 0 2/10 2/10
P{D=i} 1/10 4/10 2/10 3/10 1
