1
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2
例 2 一个靶子是半径为 2米的圆盘,设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比,并设射击都能中靶,以 X表示弹着点与圆心的距离,试求随机变量 X的分布函数,
解 若 x<0,则 {X?x}是不可能事件,于是
F(x)=P{X?x}=0.
若 0?x?2,由题意,P{0?X?x}=kx2,k是某一常数,
为了确定 k的值,取 x=2,有 P{0?X?2}=22k,但已知 P{0?X?2}=1,故得 k=1/4,即
.
4
}0{
2x
xXP
3
于是
.2,1
,20,4/
,0,0
)(
2
x
xx
x
xF
若 x?2,由题意 {X?x}是必然事件,于是
F(x)=P{X?x}=1.
综上所述,即得 X的分布函数为
.4}0{}0{}{)(
2x
xXPXPxXPxF
4
它的图形是一条连续曲线如图所示
.2,1
,20,4/
,0,0
)(
2
x
xx
x
xF
x1 2 3
1/2
1
O
F(x)
5
另外,容易看到本例中的分布函数 F(x)对于任意 x可以写成形式
,d)()(?
x
ttfxF
.,0
,20,
2)(
其它
t
t
tf
这就是说,F(x)是非负函数 f(t)在区间 (,x)上的积分,在这种情况下我们称 X为连续型随机变量,
其中
6
对照 f(x)和 F(x):
x1 2 3
1/2
1
O
F(x)
x1 2 3
1/2
1
O
f(x)
7
§ 4 连续型随机变量及其概率密度
8
如果对于随机变量 X的分布函数 F(x),存在非负函数 f(x),使对于任意实数 x有
)1.4(d)()(?
x
ttfxF
则称 X为连续型随机变量,其中函数 f(x)称为 X
的概率密度函数,简称概率密度,
连续型随机变量的分布函数是连续函数,
在实际应用中遇到的基本上是离散型或连续型随机变量,本课程只讨论这两种随机变量,
9
由定义知道,概率密度 f(x)具有以下性质,
).()(,)(,4
.d)()()()(
),(,,,3
.1d)(,2
.0)(,1
2
1
1221
2121
xfxFxxf
xxfxFxFxXxP
xxxx
xxf
xf
x
x
则有连续在点若对于任意实数
10
由性质 2知道介于曲线 y=f(x)与 Ox轴之间的面积等于 1,由性质 3知道 X落在区间 (x1,x2]的概率
P{x1<X?x2}等于区间 (x1,x2]上的曲线 y=f(x)之下的曲边梯形面积,
O x
f(x)
1
O x
f(x)
x1 x2
1
11
由性质 4在 f(x)的连续点 x处有
)2.4(.
Δ
)Δ(
lim
Δ
)()Δ(
lim)(
0Δ
0Δ
x
xxXxP
x
xFxxF
xf
x
x
看出概率密度的定义与物理学中的线密度的定义相类似,这就是为什么称 f(x)为概率密度的原因,由 (4.2)式知道,若不计高阶无穷小,有
P(x < X? x+Dx)?f(x)Dx,(4.3)
12
例 1 设随机变量 X具有概率密度
}.
2
7
1{)3(
);()2(;)1(
.,0
,43,
2
2
,30,
)(
XP
xFXk
x
x
xkx
xf
求的分布函数求确定常数其它
13
解 f(x)的曲线形状如图所示
O x3 4
1/2
f(x)
kx 22 x?
14
.,0
,43,
2
2
30,
6
)(
,
6
1
1d)
2
2(d
,1d)()1(
4
1
3
0
其它的概率密度为于是解得得由
x
x
x
x
xf
Xk
x
x
xkx
xxf
15
(2) X的分布函数为
.4,1
,43,
4
23
,30,
12
,0,0
)(
.4,1
,43,d
2
2d
6
,30,d
6
,0,0
)(
2
2
3
3
0
0
x
x
x
x
x
x
x
xF
x
xx
x
x
x
xx
x
x
xF
x
x
即
16
F(x)与 f(x)的对照图
O x3 4
1/2
f(x)
O 3 4
F(x)1
x
17
对于连续型随机变量 X来说,它取任一指定实数值 a的概率均为 0,即 P{X=a}=0,事实上,设 X
的分布函数为 F(x),Dx>0,则由
{X=a}?{a?Dx<X?a}得
0?P{X=a}?P{a?Dx<X?a}=F(a)?F(a?Dx).
在上述不等式中令 Dx?0,并注意到 X为连续型随机变量,其分布函数 F(x)是连续的,即得
P{X=a}=0,(4.4)
48
41)1(
2
7}
2
71{)3(
FFXP
18
因此,在计算连续型随机变量落在某一区间的概率时,可以不必区分该区间是开区间或闭区间或半闭区间,例如有
P{a<X?b}=P{a?X?b}=P{a<X<b}.
在这里,事件 {X=a}并非不可能事件,但有
P{X=a}=0,这就是说,若 A是不可能事件,则有
P(A)=0; 反之,若 P(A)=0,并不一定意味着 A是不可能事件,
以后当提到一个随机变量 X的 "概率分布 "时,
指的是它的分布函数 ; 或者,当 X是连续型时指的是它的概率密度,当 X是离散型是指的是它的分布律,
19
介绍三种重要的连续型随机变量
20
(一 )均匀分布 设连续型随机变量 X具有概率密度
)5.4(
,,0
,,
1
)(
其它
bxa
abxf
ab?
1
则称 X在区间 (a,b)上服从 均匀分布,记为
X~U(a,b).
O a b x
f(x)
21
如 X~U(a,b),则它落在 (a,b)中任意子区间内的概率只依赖于子区间的长度而与子区间的位置无关,任给长度为 l的子区间 (c,c+l),
a?c<c+l?b,有
.d
1
d)(}{
ab
l
x
ab
xxflcXcP
lc
c
lc
c
22
由 (4.1)式 得 X的分布函数为
)6.4(
.,1
,,
,,0
)(
bx
bxa
ab
ax
ax
xF
O a b
1
F(x)
x
23
例 2 设电阻值 R是一个随机变量,均匀分布在
900?~1100?,求 R的概率密度及 R落在
950?~1050?的概率,
解 按题意,R的概率密度为
5.0d
200
1
}1050950{
.,0
,1100900,
9001100
1
)(
1050
950
rRP
r
rf
故有其它
24
(二 ) 指数分布 设连续型随机变量 X的概率密度为
)7.4(
,,0
,0,e
1
)(
/
其它
x
xf
x?
其中?>0为常数,则称 X服从参数为?的 指数分布,容易得到 X的分布函数为
)8.4(
.,0
,0,e1
)(
/
其它
x
xF
x?
25
f(x)的图形,
O x
f(x)
1 2 3
1
2
3
=1/3
=1?=2
26
如 X服从指数分布,则任给 s,t>0,有
P{X>s+t | X > s}=P{X > t} (4.9)
事实上
}.{
e
e
e
)(1
)(1
}{
}{
}{
)}(){(
}|{
/
/
)(
tXP
sF
tsF
sXP
tsXP
sXP
sXtsXP
sXtsXP
t
s
ts
性质 (4.9)称为无记忆性,
指数分布在可靠性理论和排队论中有广泛的运用,
27
(三 )正态分布 设连续型随机变量 X的概率密度为
)10.4(,,e
2
1
)( 2
2
2
)(
xxf
x
1d)(
xxf
其中?,?(?>0)为常数,则称 X服从参数为?,?的正态分布或高斯 (Gauss)分布,记为 X~N(?,?2).
显然 f(x)?0,下面来证明令 (x)/? = t,得到
texe
tx
d
π2
1
d
π2
1 22
)( 2
2
2
28
.1d
2
1
d
2
1
)11.4(π2dde
,
,dd,de
22
)(
2
0 0
2
2/)(22/
2
2
2
2
222
xexe
rrI
uteItI
t
x
r
utt
于是得转换为极坐标则有记
29
f(x)的图形,
O1 x
f(x)
=5? =5
30
f(x)具有的性质,
1,曲线关于 x=?对称,这表明对于任意 h>0有
P{h<X}=P{?<X+h}.
2,当 x=?时取到最大值
.
π2
1
)(
f
x离?越远,f(x)的值越小,这表明对于同样长度的区间,当区间离?越远,X落在这个区间上的概率越小,
在 x=处曲线有拐点,曲线以 Ox轴为渐近线,
31
0.266
0.399
0.798
xO
f(x)
1.5
1
0.5
32
由 (4.10)式 得 X的分布函数为
)12.4(,de
π2
1
)(
2
2
2
)(
x
t
txF?
1
F(x)
0.5
xO?
33
特别,当?=0,? = 1时称 X服从标准正态分布,
其概率密度和分布函数分别用 j(x)和 F(x)表示,
即有
)14.4(.de
π2
1
)(
)13.4(,
2
1
)(
2/
2/
2
2
x
t
x
tx
ex
F
j
易知 F(?x)=1?F(x) (4.15)
人们已经编制了 F(x)的函数表,可供查用 (见附表 2).
34
引理 若 X~N(?,? 2),则
)1,0(~ NXZ
得令,
,de
π2
1
}{}{
2
2
2
)(
u
t
t
xXPx
X
PxZP
x
t
),(de
π2
1
}{ 2/
2
xuxZP
x u
F
证 的分布函数为
XZ
由此知 Z~N(0,1).
35
若 X~N(?,?2),则它的分布函数 F(x)可写成,
)16.4(
.}{)(?
F
xxX
PxXPxF
)17.4(.
}{
12
21
21
F
F
xx
xXx
PxXxP则对于任意区间 (x1,x2],有
36
例如,设 X~N(1,4),查表得
.3 09 4.06 91 5.016 17 9.0
)]5.0(1[6 17 9.0
)5.0()3.0(
2
10
2
16.1
}6.10{
F
FF
FFXP
37
设 X~N(?,?2),由 F(x)的函数表还能得到,
P{<X<?+?}=F(1)?F(?1)
=2F(1)?1=68.26%
P{2?<X<?+2?}=F(2)?F(?2)=95.44%
P{3?<X<?+3?}=F(3)?F(?3)=99.74%
我们看到,尽管正态变量的取值范围是 (,?),
但它的值落在 (3?,?+2?)内几乎是肯定的事,
这就是人们所谈的 "3?"法则,
38
3223?
68.26%
95.44%
99.74%
39
例 3 将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内,调节器整定在 d° C,液体的温度
X(以 ° C计 )是一个随机变量,且 X~N(d,0.52),
(1) 若 d=90,求 X小于 89的概率,(2) 若要求保持液体的温度至少为 80的概率不低于 0.99,问 d
至少为多少?
解 (1)所求概率为
.0 2 28.09 7 72.01)2(1
)2(
5.0
9089
5.0
90
}80{
F
F
X
PXP
40
(2) 按题意需求 d满足
.1635.81
.327.2
5.0
80
),327.2()327.2(199.01
5.0
80
5.0
80
1
5.0
80
5.0
1
5.0
80
5.0
}80{99.0
d
d
d
dddX
P
ddX
PXP
故需亦即
FFF
F
41
设 X~N(0,1),若 za满足条件
P{X>za}=a,0<a<1,(4.18)
则称点 za为标准正态分布的上 a分位点,
由 j(x)的对称性知 z1?aza
za
a
a 0.001 0.005 0.01 0.025 0.05 0.10
za 3.090 2.576 2.327 1.960 1.645 1.282
42
§ 5 随机变量的函数的分布
43
在实际中经常对某些随机变量的函数更感兴趣,例如,在一些试验中,所关心的随机变量往往不能由直接测量得到,而它却是某个能直接测量的随机变量的函数,比如我们能测量圆轴的直径 d,而关系的却是截面积 A=?d2/4,这里,
随机变量 A是随机变量 d的函数,下面讨论如何由已知的随机变量 X的概率分布去求得它的函数 Y=g(X)(g(?)是已知的连续函数 )的概率分布,
44
例 1 设随机变量 X具有以下的分布律,试求
Y=(X?1)2的分布律,
解 Y所有可能值为 0,1,4,由
P{Y=0}=P{(X?1)2=0}=P{X=1}=0.1,
P{Y=1}=P{X=0}+P{X=2}=0.7,
P{Y=4}=P{X1}=0.2,
X?1 0 1 2
pk 0.2 0.3 0.1 0.4
Y 0 1 4
pk 0.1 0.7 0.2
45
例 2 设随机变量 X具有概率密度
.,0
,40,
8)(
其它
x
x
xf X
.
2
8
2
8
}82{}{)(
y
F
y
XP
yXPyYPyF
X
Y
求变量 Y=2X+8的概率密度,
解 分别记 X,Y的分布函数为 FX(x),FY(y),下面先来求 FY(y).
46
将 FY(y)关于 y求导数,得 Y=2X+8的概率密度为
.,0
,168,
32
8
,0
,4
2
8
0,
2
1
2
8
8
1
2
8
2
8
)(
其它其它
y
y
yy
yy
fyf
XY
.
2
8)(
yFyF
XY
47
例 3 设随机变量 X具有概率密度 fX(x),<x<?,
求 Y=X 2的概率密度,
解 分别记 X,Y的分布函数为 FX(x),FY(y),由于
Y=X 2?0,故当 y?0时 FY(y)=0,当 y>0时有
).()(
}{
}{}{)(
2
yFyF
yXyP
yXPyYPyF
XX
Y
48
将 FY(y)关于 y求导数,即得 Y的概率密度为
.0,0
,0)],()([
2
1
)(
y
yyfyf
yyf
XX
Y
).()()( yFyFyF XXY
(5.1)
49
例如设 X~N(0,1),其概率密度为
xx x,e
π2
1)( 2/2j
.0,0
,0,e
π2
1
)(
2/2/1
y
yy
yf
y
Y
则 Y=X2的概率密度为
.0,0
,0)],()([
2
1
)(
y
yyfyf
yyf
XX
Y
此时称 Y服从自由度为 1的 c2分布,
50
定理 设随机变量 X具有概率密度 fX(x),
<x<?,又设函数 g(x)处处可导且恒有 g'(x)>0
(或恒有 g'(x)<0),则 Y=g(x)是连续型随机变量,
其概率密度为
)2.5(
,0
,|,)(|)]([
)(
其它
a yyhyhf
yf XY
其中 a=min(g(),g(?)),?=max(g(),g(?)),
h(y)是 g(x)的反函数,
51
证 先设 g'(x)>0,此时 g(x)在 (,?)严格单调增加,它的反函数 h(y)存在,且在 (a,?)严格单调增加,可导,分别记 X,Y的分布函数为
FX(x),FY(y),
因 Y在 (a,?)取值,故当 y?a时,FY(y)=P{Y?y}=0;
当 y时,FY(y)=P{Y?y}=1,
当 a<y<?时,
FY(y)=P{Y?y}=P{g(X)?y}
=P{X?h(y)}=FX[h(y)].
52
FY(y)=FX[h(y)].
将 FY(y)关于 y求导数,即得 Y的概率密度
)3.5(
.,0
,),()]([
)(
其它
a yyhyhf
yf XY
对于 g'(x)<0的情况同样可以证明,有
)4.5(
.,0
,)],()][([
)(
其它
a yyhyhf
yf XY
合并 (5.3),(5.4)式得证,
53
如 fX(x)在有限区间 [a,b]以外等于零,只需成立在 [a,b]上恒有 g'(x)>0(或恒有 g'(x)<0),上述定理依然成立,但此时有
a=min[g(a),g(b)],?=max[g(a),g(b)].
54
例 4 设随机变量 X~N(?,?2),试证明 X的线性函数 Y=aX+b(a?0)也服从正态分布,
证 X的概率密度为
.,e
π2
1
)(
2
2
2
)(
xxf
x
X
.1)(,)( ayha byyhx 且有现在 y=g(x)=ax+b,由这一式子解得由 (5.2)式 得 Y=aX+b的概率密度为
.,
||
1
)(
y
a
by
f
a
yf XY
55
即有 Y=aX+b~N(a?+b,(a?)2).
.,e
π2||
1
e
π2
1
||
1
)(
2
2
2
2
)(2
)]([
2
y
a
a
yf
a
aby
a
by
Y
即
).1,0(~
,/,/1,
N
X
Y
ba
得在上例中取特别这就是上一节引理的结果,
56
例 5 设电压 V=Asin Q,其中 A是一个已知的正
,2π,2π~,,?
UQQ 是一随机变量相角常数
,
1
)(,a r c s i n)(
,0c os)(
2
π
,
2
π
22
vA
vh
A
v
vh
Ag
且有反函数上恒有在试求电压 V的概率密度,
解 现在 v=g(?)=Asin?
57
又,Q的概率密度为
.,0
,
2
π
2
π
,
π
1
)(
其它
f
.,0
,
1
π
1
)( 22
其它
AvA
vAv?
由 (5.2)式得 V=Asin Q的概率密度为
58
作业 第二章习题第 71页开始第 16,19,23,28题
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59
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2
例 2 一个靶子是半径为 2米的圆盘,设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比,并设射击都能中靶,以 X表示弹着点与圆心的距离,试求随机变量 X的分布函数,
解 若 x<0,则 {X?x}是不可能事件,于是
F(x)=P{X?x}=0.
若 0?x?2,由题意,P{0?X?x}=kx2,k是某一常数,
为了确定 k的值,取 x=2,有 P{0?X?2}=22k,但已知 P{0?X?2}=1,故得 k=1/4,即
.
4
}0{
2x
xXP
3
于是
.2,1
,20,4/
,0,0
)(
2
x
xx
x
xF
若 x?2,由题意 {X?x}是必然事件,于是
F(x)=P{X?x}=1.
综上所述,即得 X的分布函数为
.4}0{}0{}{)(
2x
xXPXPxXPxF
4
它的图形是一条连续曲线如图所示
.2,1
,20,4/
,0,0
)(
2
x
xx
x
xF
x1 2 3
1/2
1
O
F(x)
5
另外,容易看到本例中的分布函数 F(x)对于任意 x可以写成形式
,d)()(?
x
ttfxF
.,0
,20,
2)(
其它
t
t
tf
这就是说,F(x)是非负函数 f(t)在区间 (,x)上的积分,在这种情况下我们称 X为连续型随机变量,
其中
6
对照 f(x)和 F(x):
x1 2 3
1/2
1
O
F(x)
x1 2 3
1/2
1
O
f(x)
7
§ 4 连续型随机变量及其概率密度
8
如果对于随机变量 X的分布函数 F(x),存在非负函数 f(x),使对于任意实数 x有
)1.4(d)()(?
x
ttfxF
则称 X为连续型随机变量,其中函数 f(x)称为 X
的概率密度函数,简称概率密度,
连续型随机变量的分布函数是连续函数,
在实际应用中遇到的基本上是离散型或连续型随机变量,本课程只讨论这两种随机变量,
9
由定义知道,概率密度 f(x)具有以下性质,
).()(,)(,4
.d)()()()(
),(,,,3
.1d)(,2
.0)(,1
2
1
1221
2121
xfxFxxf
xxfxFxFxXxP
xxxx
xxf
xf
x
x
则有连续在点若对于任意实数
10
由性质 2知道介于曲线 y=f(x)与 Ox轴之间的面积等于 1,由性质 3知道 X落在区间 (x1,x2]的概率
P{x1<X?x2}等于区间 (x1,x2]上的曲线 y=f(x)之下的曲边梯形面积,
O x
f(x)
1
O x
f(x)
x1 x2
1
11
由性质 4在 f(x)的连续点 x处有
)2.4(.
Δ
)Δ(
lim
Δ
)()Δ(
lim)(
0Δ
0Δ
x
xxXxP
x
xFxxF
xf
x
x
看出概率密度的定义与物理学中的线密度的定义相类似,这就是为什么称 f(x)为概率密度的原因,由 (4.2)式知道,若不计高阶无穷小,有
P(x < X? x+Dx)?f(x)Dx,(4.3)
12
例 1 设随机变量 X具有概率密度
}.
2
7
1{)3(
);()2(;)1(
.,0
,43,
2
2
,30,
)(
XP
xFXk
x
x
xkx
xf
求的分布函数求确定常数其它
13
解 f(x)的曲线形状如图所示
O x3 4
1/2
f(x)
kx 22 x?
14
.,0
,43,
2
2
30,
6
)(
,
6
1
1d)
2
2(d
,1d)()1(
4
1
3
0
其它的概率密度为于是解得得由
x
x
x
x
xf
Xk
x
x
xkx
xxf
15
(2) X的分布函数为
.4,1
,43,
4
23
,30,
12
,0,0
)(
.4,1
,43,d
2
2d
6
,30,d
6
,0,0
)(
2
2
3
3
0
0
x
x
x
x
x
x
x
xF
x
xx
x
x
x
xx
x
x
xF
x
x
即
16
F(x)与 f(x)的对照图
O x3 4
1/2
f(x)
O 3 4
F(x)1
x
17
对于连续型随机变量 X来说,它取任一指定实数值 a的概率均为 0,即 P{X=a}=0,事实上,设 X
的分布函数为 F(x),Dx>0,则由
{X=a}?{a?Dx<X?a}得
0?P{X=a}?P{a?Dx<X?a}=F(a)?F(a?Dx).
在上述不等式中令 Dx?0,并注意到 X为连续型随机变量,其分布函数 F(x)是连续的,即得
P{X=a}=0,(4.4)
48
41)1(
2
7}
2
71{)3(
FFXP
18
因此,在计算连续型随机变量落在某一区间的概率时,可以不必区分该区间是开区间或闭区间或半闭区间,例如有
P{a<X?b}=P{a?X?b}=P{a<X<b}.
在这里,事件 {X=a}并非不可能事件,但有
P{X=a}=0,这就是说,若 A是不可能事件,则有
P(A)=0; 反之,若 P(A)=0,并不一定意味着 A是不可能事件,
以后当提到一个随机变量 X的 "概率分布 "时,
指的是它的分布函数 ; 或者,当 X是连续型时指的是它的概率密度,当 X是离散型是指的是它的分布律,
19
介绍三种重要的连续型随机变量
20
(一 )均匀分布 设连续型随机变量 X具有概率密度
)5.4(
,,0
,,
1
)(
其它
bxa
abxf
ab?
1
则称 X在区间 (a,b)上服从 均匀分布,记为
X~U(a,b).
O a b x
f(x)
21
如 X~U(a,b),则它落在 (a,b)中任意子区间内的概率只依赖于子区间的长度而与子区间的位置无关,任给长度为 l的子区间 (c,c+l),
a?c<c+l?b,有
.d
1
d)(}{
ab
l
x
ab
xxflcXcP
lc
c
lc
c
22
由 (4.1)式 得 X的分布函数为
)6.4(
.,1
,,
,,0
)(
bx
bxa
ab
ax
ax
xF
O a b
1
F(x)
x
23
例 2 设电阻值 R是一个随机变量,均匀分布在
900?~1100?,求 R的概率密度及 R落在
950?~1050?的概率,
解 按题意,R的概率密度为
5.0d
200
1
}1050950{
.,0
,1100900,
9001100
1
)(
1050
950
rRP
r
rf
故有其它
24
(二 ) 指数分布 设连续型随机变量 X的概率密度为
)7.4(
,,0
,0,e
1
)(
/
其它
x
xf
x?
其中?>0为常数,则称 X服从参数为?的 指数分布,容易得到 X的分布函数为
)8.4(
.,0
,0,e1
)(
/
其它
x
xF
x?
25
f(x)的图形,
O x
f(x)
1 2 3
1
2
3
=1/3
=1?=2
26
如 X服从指数分布,则任给 s,t>0,有
P{X>s+t | X > s}=P{X > t} (4.9)
事实上
}.{
e
e
e
)(1
)(1
}{
}{
}{
)}(){(
}|{
/
/
)(
tXP
sF
tsF
sXP
tsXP
sXP
sXtsXP
sXtsXP
t
s
ts
性质 (4.9)称为无记忆性,
指数分布在可靠性理论和排队论中有广泛的运用,
27
(三 )正态分布 设连续型随机变量 X的概率密度为
)10.4(,,e
2
1
)( 2
2
2
)(
xxf
x
1d)(
xxf
其中?,?(?>0)为常数,则称 X服从参数为?,?的正态分布或高斯 (Gauss)分布,记为 X~N(?,?2).
显然 f(x)?0,下面来证明令 (x)/? = t,得到
texe
tx
d
π2
1
d
π2
1 22
)( 2
2
2
28
.1d
2
1
d
2
1
)11.4(π2dde
,
,dd,de
22
)(
2
0 0
2
2/)(22/
2
2
2
2
222
xexe
rrI
uteItI
t
x
r
utt
于是得转换为极坐标则有记
29
f(x)的图形,
O1 x
f(x)
=5? =5
30
f(x)具有的性质,
1,曲线关于 x=?对称,这表明对于任意 h>0有
P{h<X}=P{?<X+h}.
2,当 x=?时取到最大值
.
π2
1
)(
f
x离?越远,f(x)的值越小,这表明对于同样长度的区间,当区间离?越远,X落在这个区间上的概率越小,
在 x=处曲线有拐点,曲线以 Ox轴为渐近线,
31
0.266
0.399
0.798
xO
f(x)
1.5
1
0.5
32
由 (4.10)式 得 X的分布函数为
)12.4(,de
π2
1
)(
2
2
2
)(
x
t
txF?
1
F(x)
0.5
xO?
33
特别,当?=0,? = 1时称 X服从标准正态分布,
其概率密度和分布函数分别用 j(x)和 F(x)表示,
即有
)14.4(.de
π2
1
)(
)13.4(,
2
1
)(
2/
2/
2
2
x
t
x
tx
ex
F
j
易知 F(?x)=1?F(x) (4.15)
人们已经编制了 F(x)的函数表,可供查用 (见附表 2).
34
引理 若 X~N(?,? 2),则
)1,0(~ NXZ
得令,
,de
π2
1
}{}{
2
2
2
)(
u
t
t
xXPx
X
PxZP
x
t
),(de
π2
1
}{ 2/
2
xuxZP
x u
F
证 的分布函数为
XZ
由此知 Z~N(0,1).
35
若 X~N(?,?2),则它的分布函数 F(x)可写成,
)16.4(
.}{)(?
F
xxX
PxXPxF
)17.4(.
}{
12
21
21
F
F
xx
xXx
PxXxP则对于任意区间 (x1,x2],有
36
例如,设 X~N(1,4),查表得
.3 09 4.06 91 5.016 17 9.0
)]5.0(1[6 17 9.0
)5.0()3.0(
2
10
2
16.1
}6.10{
F
FF
FFXP
37
设 X~N(?,?2),由 F(x)的函数表还能得到,
P{<X<?+?}=F(1)?F(?1)
=2F(1)?1=68.26%
P{2?<X<?+2?}=F(2)?F(?2)=95.44%
P{3?<X<?+3?}=F(3)?F(?3)=99.74%
我们看到,尽管正态变量的取值范围是 (,?),
但它的值落在 (3?,?+2?)内几乎是肯定的事,
这就是人们所谈的 "3?"法则,
38
3223?
68.26%
95.44%
99.74%
39
例 3 将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内,调节器整定在 d° C,液体的温度
X(以 ° C计 )是一个随机变量,且 X~N(d,0.52),
(1) 若 d=90,求 X小于 89的概率,(2) 若要求保持液体的温度至少为 80的概率不低于 0.99,问 d
至少为多少?
解 (1)所求概率为
.0 2 28.09 7 72.01)2(1
)2(
5.0
9089
5.0
90
}80{
F
F
X
PXP
40
(2) 按题意需求 d满足
.1635.81
.327.2
5.0
80
),327.2()327.2(199.01
5.0
80
5.0
80
1
5.0
80
5.0
1
5.0
80
5.0
}80{99.0
d
d
d
dddX
P
ddX
PXP
故需亦即
FFF
F
41
设 X~N(0,1),若 za满足条件
P{X>za}=a,0<a<1,(4.18)
则称点 za为标准正态分布的上 a分位点,
由 j(x)的对称性知 z1?aza
za
a
a 0.001 0.005 0.01 0.025 0.05 0.10
za 3.090 2.576 2.327 1.960 1.645 1.282
42
§ 5 随机变量的函数的分布
43
在实际中经常对某些随机变量的函数更感兴趣,例如,在一些试验中,所关心的随机变量往往不能由直接测量得到,而它却是某个能直接测量的随机变量的函数,比如我们能测量圆轴的直径 d,而关系的却是截面积 A=?d2/4,这里,
随机变量 A是随机变量 d的函数,下面讨论如何由已知的随机变量 X的概率分布去求得它的函数 Y=g(X)(g(?)是已知的连续函数 )的概率分布,
44
例 1 设随机变量 X具有以下的分布律,试求
Y=(X?1)2的分布律,
解 Y所有可能值为 0,1,4,由
P{Y=0}=P{(X?1)2=0}=P{X=1}=0.1,
P{Y=1}=P{X=0}+P{X=2}=0.7,
P{Y=4}=P{X1}=0.2,
X?1 0 1 2
pk 0.2 0.3 0.1 0.4
Y 0 1 4
pk 0.1 0.7 0.2
45
例 2 设随机变量 X具有概率密度
.,0
,40,
8)(
其它
x
x
xf X
.
2
8
2
8
}82{}{)(
y
F
y
XP
yXPyYPyF
X
Y
求变量 Y=2X+8的概率密度,
解 分别记 X,Y的分布函数为 FX(x),FY(y),下面先来求 FY(y).
46
将 FY(y)关于 y求导数,得 Y=2X+8的概率密度为
.,0
,168,
32
8
,0
,4
2
8
0,
2
1
2
8
8
1
2
8
2
8
)(
其它其它
y
y
yy
yy
fyf
XY
.
2
8)(
yFyF
XY
47
例 3 设随机变量 X具有概率密度 fX(x),<x<?,
求 Y=X 2的概率密度,
解 分别记 X,Y的分布函数为 FX(x),FY(y),由于
Y=X 2?0,故当 y?0时 FY(y)=0,当 y>0时有
).()(
}{
}{}{)(
2
yFyF
yXyP
yXPyYPyF
XX
Y
48
将 FY(y)关于 y求导数,即得 Y的概率密度为
.0,0
,0)],()([
2
1
)(
y
yyfyf
yyf
XX
Y
).()()( yFyFyF XXY
(5.1)
49
例如设 X~N(0,1),其概率密度为
xx x,e
π2
1)( 2/2j
.0,0
,0,e
π2
1
)(
2/2/1
y
yy
yf
y
Y
则 Y=X2的概率密度为
.0,0
,0)],()([
2
1
)(
y
yyfyf
yyf
XX
Y
此时称 Y服从自由度为 1的 c2分布,
50
定理 设随机变量 X具有概率密度 fX(x),
<x<?,又设函数 g(x)处处可导且恒有 g'(x)>0
(或恒有 g'(x)<0),则 Y=g(x)是连续型随机变量,
其概率密度为
)2.5(
,0
,|,)(|)]([
)(
其它
a yyhyhf
yf XY
其中 a=min(g(),g(?)),?=max(g(),g(?)),
h(y)是 g(x)的反函数,
51
证 先设 g'(x)>0,此时 g(x)在 (,?)严格单调增加,它的反函数 h(y)存在,且在 (a,?)严格单调增加,可导,分别记 X,Y的分布函数为
FX(x),FY(y),
因 Y在 (a,?)取值,故当 y?a时,FY(y)=P{Y?y}=0;
当 y时,FY(y)=P{Y?y}=1,
当 a<y<?时,
FY(y)=P{Y?y}=P{g(X)?y}
=P{X?h(y)}=FX[h(y)].
52
FY(y)=FX[h(y)].
将 FY(y)关于 y求导数,即得 Y的概率密度
)3.5(
.,0
,),()]([
)(
其它
a yyhyhf
yf XY
对于 g'(x)<0的情况同样可以证明,有
)4.5(
.,0
,)],()][([
)(
其它
a yyhyhf
yf XY
合并 (5.3),(5.4)式得证,
53
如 fX(x)在有限区间 [a,b]以外等于零,只需成立在 [a,b]上恒有 g'(x)>0(或恒有 g'(x)<0),上述定理依然成立,但此时有
a=min[g(a),g(b)],?=max[g(a),g(b)].
54
例 4 设随机变量 X~N(?,?2),试证明 X的线性函数 Y=aX+b(a?0)也服从正态分布,
证 X的概率密度为
.,e
π2
1
)(
2
2
2
)(
xxf
x
X
.1)(,)( ayha byyhx 且有现在 y=g(x)=ax+b,由这一式子解得由 (5.2)式 得 Y=aX+b的概率密度为
.,
||
1
)(
y
a
by
f
a
yf XY
55
即有 Y=aX+b~N(a?+b,(a?)2).
.,e
π2||
1
e
π2
1
||
1
)(
2
2
2
2
)(2
)]([
2
y
a
a
yf
a
aby
a
by
Y
即
).1,0(~
,/,/1,
N
X
Y
ba
得在上例中取特别这就是上一节引理的结果,
56
例 5 设电压 V=Asin Q,其中 A是一个已知的正
,2π,2π~,,?
UQQ 是一随机变量相角常数
,
1
)(,a r c s i n)(
,0c os)(
2
π
,
2
π
22
vA
vh
A
v
vh
Ag
且有反函数上恒有在试求电压 V的概率密度,
解 现在 v=g(?)=Asin?
57
又,Q的概率密度为
.,0
,
2
π
2
π
,
π
1
)(
其它
f
.,0
,
1
π
1
)( 22
其它
AvA
vAv?
由 (5.2)式得 V=Asin Q的概率密度为
58
作业 第二章习题第 71页开始第 16,19,23,28题
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