1
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2
第四章 随机变量的数字特征
3
分布函数能够完整地描述随机变量的统计特性,但在一些实际问题中,不需要去全面考虑随机变量的变化情况,而只需知道随机变量的某些特征,因而并不需要求出它的分布函数,
例如,在评定某一地区的粮食产量的水平时,
在许多场合只要知道该地区的平均产量 ; 又如在研究水稻品种优劣时,时常是关心稻穗的平均稻谷粒数 ; 再如检查一批棉花的质量时,即需要注意纤维的平均长度,又需要注意纤维长度与平均长度的偏离程度,因此,与随机变量的有关数值,能够描述随机变量的重要特征,
4
§ 1 数学期望
5
一个例子,一射手进行打靶练习,规定射入区域 e2得 2分,射入区域 e1得 1分,脱靶,即射入区域 e0,得 0分,射手一次射击得分数 X是一个随机变量,
e0
e1
e2
6
设 X的分布律为
P{X=k}=pk,k=0,1,2.
现在射击 N次,N是一个很大的数,也可能是一百,也可能是一万,等等,其中得 0分的有 a0次,
得 1分的有 a1次,得 2分的有 a2次,
a0+a1+a2=N.
射击这 N次得分总和为 a0?0+a1?1+a2?2,于是平均一次射击的得分数为
.
210 2
0
210?
k
k
N
a
k
N
aaa
7
这里,ak/N是事件 {X=k}的频率,当 N很大时,
ak/N将近似为事件 {X=k}的概率 pk,就是说,
.
./
,
2
0
2
0
2
0
的数学期望或均值为随机变量我们称近似等于术平均的观察值的算随机变量在试验次数很大时
Xkp
kpNka
X
k k
k kk k
.
210 2
0
210?
k
k
N
a
k
N
aaa
8
定义 设离散型随机变量 X的分布律为
P{X=xk}=pk,k=1,2,....
若级数
1k
kk px
绝对收敛,则称此级数的和为随机变量 X的 数学期望,记为 E(X),即
)1.1()(
1
k
kk pxXE
9
设连续型随机变量 X的概率密度为 f(x),若积分
xxxf d)(
)2.1(d)()(
xxxfXE
绝对收敛,则称此积分的值为随机变量 X的数学期望,记为 E(X),即数学期望简称 期望,又称为 均值,
10
例 1 甲乙二人打靶,所得分数分别记为 X1,X2,
它们的分布律分别为试评定他们成绩的好坏,
解 计算 X1,X2的数学期望为
E(X1)=0?0+1?0.2+2?0.8=1.8(分 )
E(X2)=0?0.6+1?0.3+2?0.1=0.5(分 )
很明显乙的成绩远不如甲的成绩,
X1 0 1 2
pk 0 0.2 0.8
X2 0 1 2
pk 0.6 0.3 0.1
11
例 2 有 2个相互独立工作的电子装置,它们的寿命 Xk(k=1,2)服从同一指数分布,其概率密度为
.0
,0,0
,0,e
1
)(
/
x
x
xf
x
若将这 2个电子装置串联联接组成整机,求整机寿命 (以小时计 )N的数学期望,
12
解 Xk(k=1,2)的分布函数为
.0,0
,0,e1)( /
x
xxF x?
0,0
0,e1)](1[1)( /22
m i n x
xxFxF x?
由第三章 § 5(5.8)式 N=min(X1,X2)的分布函数为
13
因而 N的概率密度为
.0,0
0,e
2
)(
/2
m i n
x
x
xf
x?
.2de2d)()(
0
/2
m i n
xxxxxfNE x
于是 N的数学期望为
14
例 3 按规定,某车站每天 8:00~9:00,9:00~10:00
都恰有一辆客车到站,但到站的时刻是随机的,
且两者到站的时间相互独立,其规律为到站时刻 8:009:10 8:309:30 8:509:50
概率 1/6 3/6 2/6
一旅客 8:20到车站,求他候车时间的数学期望,
15
解 设旅客的候车时间为 X(以分计 ),X的分布律为
6
2
6
1
6
3
6
1
6
1
6
1
6
2
6
3
9070503010
kp
X
.6361)()()(}70{ BPAPABPXP
在上表中,例如其中 A为事件 "第一班车在 8:10到站 ",B为 "第二班车在 9:30到站 ".
16
候车时间的数学期望为
)(22.27
36
2
90
36
3
70
36
1
50
6
2
30
6
3
10)(
分
XE
6
2
6
1
6
3
6
1
6
1
6
1
6
2
6
3
9070503010
kp
X
17
例 4 某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式,记使用寿命为 X(以年计 ),规定,X?1,一台付款 1500元 ;
1<X?2,一台付款 2000元 ;
2<X?3,一台付款 2500元 ;
X>3,一台付款 3000元,
设寿命 X服从指数分布,概率密度为
.0,0
0,e
10
1
)(
10/
x
xxf x
试求该商店一台收费 Y的数学期望,
18
解 先求出寿命 X落在各个时间区间的概率,
.74 0 8.0ede
10
1
}3{
.07 7 9.0eede
10
1
}32{
08 6 1.0eede
10
1
}21{
,09 5 2.0e1de
10
1
}1{
3.0
3
10/
3.02.0
3
2
10/
2.01.0
2
1
10/
1.0
1
0
10/
xXP
xXP
xXP
xXP
x
x
x
x
19
一台收费 Y的分布律为
Y 1500 2000 2500 3000
pk 0.0952 0.0861 0.0779 0.7408
得 E(Y)=2732.15
即平均一台收费 2732.15元,
20
例 5 在一群体中普查某种疾病,为此要抽检 N
个人的血,可以用两种方法进行,(1)将每个人的血分别去验,这就需要验 N次,(2)按 k个人一组进行分组,把从 k个人抽来的血混合在一起进行检验,如果这混合血液呈阴性反应,就说明 k个人的血都呈阴性反应,这样 k个人的血就只需要验一次,若呈阳性,则再对这 k个人的血液分别进行化验,这样,k个人的血总共要化验
k+1次,假设每个人化验呈阳性的概率为 p,且这些人的试验的反应是相互独立的,试说明当
p较小时,取适当的 k按第二种方法可减少化验的次数,并说明 k取什么值时最适宜,
21
解 各人的血呈阴性反应的概率为 q=1?p,因而
k个人的混合血呈阴性反应的概率为 qk及呈阳性反应的概率为 1?qk.
设以 k个人为一组时,组内每人平均化验次数为 X,则 X是一随机变量,其分布律为
kk
k
qqp
k
k
k
X
1
11
22
X的数学期望为
k
qq
k
q
k
XE kkk
1
1)1(
1
1
1
)(
.
1
1?
k
qN k
N个人平均需化验的次数为由此可知,只要选择 k使
1
1
1
k
q k
则 N个人平均需化验的次数 <N.
23
当 p固定时,选取 k使得
k
qL k
1
1
.
.
1
1
方法此时得到最好的分组取到最小值
k
qL k
小于 1且取到最小值,这时就能得到最好的分组方法,
例如,p=0.1,则 q=0.9,当 k=4时,
24
.%40
).(594
4
1
9.011000
,4,1000
4
的工作量平均减少次平均只需化验则按第二方案分组此时以若
kN
25
例 6 设 X~p(l),求 E(X).
解 X的分布律为
.0,,2,1,0,!e}{
ll
l
kkkXP
k
,ee
)!1(
e
!
e
)(
1
1
0
ll
l
l
l
ll
l
l
k
k
k
k
kk
kXE
X的数学期望为即 E(X)=l.
26
例 7 设 X~U(a,b),求 E(X).
解 X的概率密度为
.,0
,
1
)(
其它
bxa
abxf
2dd)()(
bax
ab
xxxxfXE b
a
X的数学期望为即数学期望位于区间 (a,b)的中点,
27
定理 设 Y是随机变量 X的函数,Y=g(X)(g是连续函数 ).
(1) X是离散型,分布律为 P{X=xk}=pk,k=1,2,...,
)3.1(.)()]([)(
,)(
1
1
k
kk
k kk
pxgXgEYE
pxg 则有绝对收敛若
)4.1(.d)()()]([)(
,d)()(
xxfxgXgEYE
xxfxg 则有绝对收敛
(2) X是连续型,概率密度为 f(x),若
28
此定理还可推广到两个以上随机变量的函数,
例如,设 Z=g(X,Y)(g是连续函数 ),若 (X,Y)的概率密度为 f(x,y),则有
)5.1(
,dd),(),()],([)(
yxyxfyxgYXgEZE
)6.1(),()],([)(
1 1
j i
ijji pyxgYXgEZE
这里设上面的积分绝对收敛,又若 (X,Y)为离散型随机变量,P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,...,则有这里设上式的级数绝对收敛,
29
例 8 设风速 V在 (0,a)上服从均匀分布,即具有概率密度
.,0
,0,
1
)(
其它
av
avf
.31d1d)()( 2
0
22 kav
akvvvfkvWE
a
又设飞机机翼受到的正压力 W是 V的函数,
W=kV2(k>0,常数 ),求 W的数学期望,
解 由 (1.4)式 有
30
例 9 设随机变量 (X,Y)的概率密度
.
1
),(
.,0
.1,
1
,
2
3
),(
23
XY
EYE
xxy
xyxyxf
求数学期望其它
31
解 由 (1.5)式 得
.
5
3
d
2
3
ddd),(
11
.
4
3
d
1
2
3ln
2
3
1
dln
2
3
d
ln
3dln
1
2
3
dd
2
3
dd),()(
1
34
1
1
3
1
2
1
2
1
3
1
1
3
1
1
3
x
x
x
x
x
x
y
yx
xxyyxf
xyXY
E
x
xx
x
x
xx
x
x
xy
x
xy
yx
xyyxyfYE
32
例 10 某公司计划开发一种新产品,并要确定产品的产量,评估出售一件产品可获利 m元,
而积压一件产品导致 n元损失,预测销售量
Y(件 )服从指数分布,其概率密度为
,0
.0,0
,0,e
1
)(
/
y
y
yf
y
Y
问若要获得利润的数学期望最大,应生产多少件产品 (m,n,?均为已知 )?
33
解 设生产 x件,则获利 Q是 x的函数,
.,
,),()(
xYmx
xYYxnmYxQQ
若若
.e)()(
de
1
de
1
)]([d)()(
/
/
0
/
0
nxnmnm
ymx
yyxnmyyyQfQE
x
x
y
x
y
Y
Q是随机变量,是 Y的函数,其数学期望为
34
.
,)(ln
,0e
)(
)(
d
d
.ln
,0e)()(
d
d
.e)()()(
/
2
2
/
/
知这也是最大值且可取极大值时故知当而得令
QE
nm
n
x
nm
QE
x
nm
n
x
nnmQE
x
nxnmnmQE
x
x
x
35
).(22 31
.4.22 31
20 00500
20 00
ln10 000
,20 00,500
,0,0
,0,e
10 000
1
)(,
.ln
1 0 0 0 0
1
件取则元元且有若例如
x
x
nm
y
y
yf
nm
n
x
y
Y
36
数学期望的几个重要性质,(假设所提随机变量的数学期望存在 ).
(1) 设 C是常数,则 E(C)=C.
(2) 设 X是一个随机变量,C是常数,则有
E(CX)=CE(X).
(3) 设 X,Y是两个随机变量,则有
E(X+Y)=E(X)+E(Y).
此性质可推广到任意有限个随机变量之和,
(4) 设 X,Y是相互独立的随机变量,则有
E(XY)=E(X)E(Y).
可推广到多个相互独立的随机变量,
所有性质都可用式子 (1.3)~(1.6)证,
37
例 11 一民航送客车载有 20位旅客自机场开出,
旅客有 10个车站可以下车,如到达一个车站没有旅客下车就不停车,以 X表示停车的次数,
求 E(X)(设每位旅客在各个车站下车是等可能的,并设各旅客是否下车相互独立 ).
解 引入随机变量
.10,,2,1
.,1
,,0
i
i
iX
i 站有人下车在第站没有人下车在第易知 X=X1+X2+...+X10.
现在来求 E(X).
38
按题意,任一旅客在第 i站不下车的概率为 9/10.
10,,2,1
,
10
9
1}1{,
10
9
}0{
,
10
9
1
,
10
9
20
2020
20
20
i
XPXP
i
i
ii
也就是站有人下车的概率为在第站下车的概率为位旅客都不在第因此
39
由此
.10,,2,1,
10
9
1)(
20
iXE
i
).(78 4.8
10
9
110
)()()(
)((
20
1021
1021
次?
XEXEXE
XXXEE
进而
40
例 12 设一电路中电流 I(A)与电阻 R(W)是两个相互独立的随机变量,其概率密度为
.0
,30,
9)(,,0
,10,2
)(
2
其它其它
r
r
rh
ii
ig
( V )
2
3
d
9
d2
d)(d)(
)()()()(
3
0
3
1
0
2
r
r
ii
rrrhiiig
REIEIREVE
试求电压 V=IR的均值,
解
41
§ 2 方 差
42
先从例子说起,一批灯泡的平均寿命是 E(X)=
1000(小时 ),仅由这一指标还不能判定灯泡的质量好坏,也有可能绝大部分灯泡的寿命都在
950~1050小时 ; 也有可能其中约有一半是高质量的,寿命约有 1300小时,而另一半却是很差的,寿命约为 700小时,为要评定灯泡的质量,
还需考察灯泡寿命 X与其均值的偏离程度,若偏离程度较小,表示质量比较稳定,再比如说评定棉花质量时,即要注意纤维的平均长度,
还要注意纤维长度与平均长度的偏离程度,
43
由此可见,研究随机变量与其均值的偏离程度是十分必要的,用怎样的量去度量这个偏离程度呢?容易看到
E{|X?E(X)|}
能度量随机变量与其均值 E(X)的偏离程度,但由于上式带有绝对值,运算不方便,为运算方便起见,通常是用量
E{[X?E(X)]2}
来度量随机变量 X与其均值 E(X)的偏离程度的,
44
定义 设 X是一个随机变量,若 E{[X?E(X)]2}存在,则称 E{[X?E(X)]2}为 X的 方差,记为 D(X)或
Var(X),即
D(X)=Var(X)=E{[X?E(X)]2},(2.1)
在应用上还引入与随机变量 X具有相同量纲的量
),(,)( XXD?记为称为 标准差 或 均方差,
45
按定义,随机变量 X的方差表达了 X的取值与其数学期望的偏离程度,若 X取值比较集中,
则 D(X)较小,反之,若取值比较分散,则 D(X)较大,因此,D(X)是刻画 X取值分散程度的一个量,它是衡量 X取值分散程度的一个尺度,
46
由定义知,方差实际上就是随机变量 X的函数
g(X)=(X?E(X))2的数学期望,于是对于离散型随机变量,按 (1.3)式 有
)2.2(,)]([()(
1
2?
k
kk pXExXD
)3.2(,d)()]([)( 2
xxfxExXD
其中 P{X=xk}=pk,k=1,2,...是 X的分布律,
对于连续型随机变量,按 (1.4)式 有其中 f(x)是 X的概率密度,
47
随机变量 X的方差可按下列公式计算,
D(X)=E(X2)?[E(X)]2,(2.4)
证 由数学期望的 性质 (1),(2),(3)得
D(X)=E{[X?E(X)]2}=E{X2?2XE(X)+[E(X)]2}
=E(X2)?2E(X)E(X)+[E(X)]2
=E(X2)?[E(X)]2.
48
在按公式 D(X)=E(X2)?[E(X)]2计算方差时,E(X)
还是按通常的办法计算,而关键是计算 E(X2),
当 X是离散型随机变量时,
,)(
1
22?
k
kk pxXE
,d)()( 22
xxfxXE
其中 P{X=xk}=pk,k=1,2,...是 X的分布律,
对于连续型随机变量,有其中 f(x)是 X的概率密度,
49
作业 第四章习题第 139页开始第 5,6,11,17题
50
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2
第四章 随机变量的数字特征
3
分布函数能够完整地描述随机变量的统计特性,但在一些实际问题中,不需要去全面考虑随机变量的变化情况,而只需知道随机变量的某些特征,因而并不需要求出它的分布函数,
例如,在评定某一地区的粮食产量的水平时,
在许多场合只要知道该地区的平均产量 ; 又如在研究水稻品种优劣时,时常是关心稻穗的平均稻谷粒数 ; 再如检查一批棉花的质量时,即需要注意纤维的平均长度,又需要注意纤维长度与平均长度的偏离程度,因此,与随机变量的有关数值,能够描述随机变量的重要特征,
4
§ 1 数学期望
5
一个例子,一射手进行打靶练习,规定射入区域 e2得 2分,射入区域 e1得 1分,脱靶,即射入区域 e0,得 0分,射手一次射击得分数 X是一个随机变量,
e0
e1
e2
6
设 X的分布律为
P{X=k}=pk,k=0,1,2.
现在射击 N次,N是一个很大的数,也可能是一百,也可能是一万,等等,其中得 0分的有 a0次,
得 1分的有 a1次,得 2分的有 a2次,
a0+a1+a2=N.
射击这 N次得分总和为 a0?0+a1?1+a2?2,于是平均一次射击的得分数为
.
210 2
0
210?
k
k
N
a
k
N
aaa
7
这里,ak/N是事件 {X=k}的频率,当 N很大时,
ak/N将近似为事件 {X=k}的概率 pk,就是说,
.
./
,
2
0
2
0
2
0
的数学期望或均值为随机变量我们称近似等于术平均的观察值的算随机变量在试验次数很大时
Xkp
kpNka
X
k k
k kk k
.
210 2
0
210?
k
k
N
a
k
N
aaa
8
定义 设离散型随机变量 X的分布律为
P{X=xk}=pk,k=1,2,....
若级数
1k
kk px
绝对收敛,则称此级数的和为随机变量 X的 数学期望,记为 E(X),即
)1.1()(
1
k
kk pxXE
9
设连续型随机变量 X的概率密度为 f(x),若积分
xxxf d)(
)2.1(d)()(
xxxfXE
绝对收敛,则称此积分的值为随机变量 X的数学期望,记为 E(X),即数学期望简称 期望,又称为 均值,
10
例 1 甲乙二人打靶,所得分数分别记为 X1,X2,
它们的分布律分别为试评定他们成绩的好坏,
解 计算 X1,X2的数学期望为
E(X1)=0?0+1?0.2+2?0.8=1.8(分 )
E(X2)=0?0.6+1?0.3+2?0.1=0.5(分 )
很明显乙的成绩远不如甲的成绩,
X1 0 1 2
pk 0 0.2 0.8
X2 0 1 2
pk 0.6 0.3 0.1
11
例 2 有 2个相互独立工作的电子装置,它们的寿命 Xk(k=1,2)服从同一指数分布,其概率密度为
.0
,0,0
,0,e
1
)(
/
x
x
xf
x
若将这 2个电子装置串联联接组成整机,求整机寿命 (以小时计 )N的数学期望,
12
解 Xk(k=1,2)的分布函数为
.0,0
,0,e1)( /
x
xxF x?
0,0
0,e1)](1[1)( /22
m i n x
xxFxF x?
由第三章 § 5(5.8)式 N=min(X1,X2)的分布函数为
13
因而 N的概率密度为
.0,0
0,e
2
)(
/2
m i n
x
x
xf
x?
.2de2d)()(
0
/2
m i n
xxxxxfNE x
于是 N的数学期望为
14
例 3 按规定,某车站每天 8:00~9:00,9:00~10:00
都恰有一辆客车到站,但到站的时刻是随机的,
且两者到站的时间相互独立,其规律为到站时刻 8:009:10 8:309:30 8:509:50
概率 1/6 3/6 2/6
一旅客 8:20到车站,求他候车时间的数学期望,
15
解 设旅客的候车时间为 X(以分计 ),X的分布律为
6
2
6
1
6
3
6
1
6
1
6
1
6
2
6
3
9070503010
kp
X
.6361)()()(}70{ BPAPABPXP
在上表中,例如其中 A为事件 "第一班车在 8:10到站 ",B为 "第二班车在 9:30到站 ".
16
候车时间的数学期望为
)(22.27
36
2
90
36
3
70
36
1
50
6
2
30
6
3
10)(
分
XE
6
2
6
1
6
3
6
1
6
1
6
1
6
2
6
3
9070503010
kp
X
17
例 4 某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式,记使用寿命为 X(以年计 ),规定,X?1,一台付款 1500元 ;
1<X?2,一台付款 2000元 ;
2<X?3,一台付款 2500元 ;
X>3,一台付款 3000元,
设寿命 X服从指数分布,概率密度为
.0,0
0,e
10
1
)(
10/
x
xxf x
试求该商店一台收费 Y的数学期望,
18
解 先求出寿命 X落在各个时间区间的概率,
.74 0 8.0ede
10
1
}3{
.07 7 9.0eede
10
1
}32{
08 6 1.0eede
10
1
}21{
,09 5 2.0e1de
10
1
}1{
3.0
3
10/
3.02.0
3
2
10/
2.01.0
2
1
10/
1.0
1
0
10/
xXP
xXP
xXP
xXP
x
x
x
x
19
一台收费 Y的分布律为
Y 1500 2000 2500 3000
pk 0.0952 0.0861 0.0779 0.7408
得 E(Y)=2732.15
即平均一台收费 2732.15元,
20
例 5 在一群体中普查某种疾病,为此要抽检 N
个人的血,可以用两种方法进行,(1)将每个人的血分别去验,这就需要验 N次,(2)按 k个人一组进行分组,把从 k个人抽来的血混合在一起进行检验,如果这混合血液呈阴性反应,就说明 k个人的血都呈阴性反应,这样 k个人的血就只需要验一次,若呈阳性,则再对这 k个人的血液分别进行化验,这样,k个人的血总共要化验
k+1次,假设每个人化验呈阳性的概率为 p,且这些人的试验的反应是相互独立的,试说明当
p较小时,取适当的 k按第二种方法可减少化验的次数,并说明 k取什么值时最适宜,
21
解 各人的血呈阴性反应的概率为 q=1?p,因而
k个人的混合血呈阴性反应的概率为 qk及呈阳性反应的概率为 1?qk.
设以 k个人为一组时,组内每人平均化验次数为 X,则 X是一随机变量,其分布律为
kk
k
qqp
k
k
k
X
1
11
22
X的数学期望为
k
k
q
k
XE kkk
1
1)1(
1
1
1
)(
.
1
1?
k
qN k
N个人平均需化验的次数为由此可知,只要选择 k使
1
1
1
k
q k
则 N个人平均需化验的次数 <N.
23
当 p固定时,选取 k使得
k
qL k
1
1
.
.
1
1
方法此时得到最好的分组取到最小值
k
qL k
小于 1且取到最小值,这时就能得到最好的分组方法,
例如,p=0.1,则 q=0.9,当 k=4时,
24
.%40
).(594
4
1
9.011000
,4,1000
4
的工作量平均减少次平均只需化验则按第二方案分组此时以若
kN
25
例 6 设 X~p(l),求 E(X).
解 X的分布律为
.0,,2,1,0,!e}{
ll
l
kkkXP
k
,ee
)!1(
e
!
e
)(
1
1
0
ll
l
l
l
ll
l
l
k
k
k
k
kk
kXE
X的数学期望为即 E(X)=l.
26
例 7 设 X~U(a,b),求 E(X).
解 X的概率密度为
.,0
,
1
)(
其它
bxa
abxf
2dd)()(
bax
ab
xxxxfXE b
a
X的数学期望为即数学期望位于区间 (a,b)的中点,
27
定理 设 Y是随机变量 X的函数,Y=g(X)(g是连续函数 ).
(1) X是离散型,分布律为 P{X=xk}=pk,k=1,2,...,
)3.1(.)()]([)(
,)(
1
1
k
kk
k kk
pxgXgEYE
pxg 则有绝对收敛若
)4.1(.d)()()]([)(
,d)()(
xxfxgXgEYE
xxfxg 则有绝对收敛
(2) X是连续型,概率密度为 f(x),若
28
此定理还可推广到两个以上随机变量的函数,
例如,设 Z=g(X,Y)(g是连续函数 ),若 (X,Y)的概率密度为 f(x,y),则有
)5.1(
,dd),(),()],([)(
yxyxfyxgYXgEZE
)6.1(),()],([)(
1 1
j i
ijji pyxgYXgEZE
这里设上面的积分绝对收敛,又若 (X,Y)为离散型随机变量,P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,...,则有这里设上式的级数绝对收敛,
29
例 8 设风速 V在 (0,a)上服从均匀分布,即具有概率密度
.,0
,0,
1
)(
其它
av
avf
.31d1d)()( 2
0
22 kav
akvvvfkvWE
a
又设飞机机翼受到的正压力 W是 V的函数,
W=kV2(k>0,常数 ),求 W的数学期望,
解 由 (1.4)式 有
30
例 9 设随机变量 (X,Y)的概率密度
.
1
),(
.,0
.1,
1
,
2
3
),(
23
XY
EYE
xxy
xyxyxf
求数学期望其它
31
解 由 (1.5)式 得
.
5
3
d
2
3
ddd),(
11
.
4
3
d
1
2
3ln
2
3
1
dln
2
3
d
ln
3dln
1
2
3
dd
2
3
dd),()(
1
34
1
1
3
1
2
1
2
1
3
1
1
3
1
1
3
x
x
x
x
x
x
y
yx
xxyyxf
xyXY
E
x
xx
x
x
xx
x
x
xy
x
xy
yx
xyyxyfYE
32
例 10 某公司计划开发一种新产品,并要确定产品的产量,评估出售一件产品可获利 m元,
而积压一件产品导致 n元损失,预测销售量
Y(件 )服从指数分布,其概率密度为
,0
.0,0
,0,e
1
)(
/
y
y
yf
y
Y
问若要获得利润的数学期望最大,应生产多少件产品 (m,n,?均为已知 )?
33
解 设生产 x件,则获利 Q是 x的函数,
.,
,),()(
xYmx
xYYxnmYxQQ
若若
.e)()(
de
1
de
1
)]([d)()(
/
/
0
/
0
nxnmnm
ymx
yyxnmyyyQfQE
x
x
y
x
y
Y
Q是随机变量,是 Y的函数,其数学期望为
34
.
,)(ln
,0e
)(
)(
d
d
.ln
,0e)()(
d
d
.e)()()(
/
2
2
/
/
知这也是最大值且可取极大值时故知当而得令
QE
nm
n
x
nm
QE
x
nm
n
x
nnmQE
x
nxnmnmQE
x
x
x
35
).(22 31
.4.22 31
20 00500
20 00
ln10 000
,20 00,500
,0,0
,0,e
10 000
1
)(,
.ln
1 0 0 0 0
1
件取则元元且有若例如
x
x
nm
y
y
yf
nm
n
x
y
Y
36
数学期望的几个重要性质,(假设所提随机变量的数学期望存在 ).
(1) 设 C是常数,则 E(C)=C.
(2) 设 X是一个随机变量,C是常数,则有
E(CX)=CE(X).
(3) 设 X,Y是两个随机变量,则有
E(X+Y)=E(X)+E(Y).
此性质可推广到任意有限个随机变量之和,
(4) 设 X,Y是相互独立的随机变量,则有
E(XY)=E(X)E(Y).
可推广到多个相互独立的随机变量,
所有性质都可用式子 (1.3)~(1.6)证,
37
例 11 一民航送客车载有 20位旅客自机场开出,
旅客有 10个车站可以下车,如到达一个车站没有旅客下车就不停车,以 X表示停车的次数,
求 E(X)(设每位旅客在各个车站下车是等可能的,并设各旅客是否下车相互独立 ).
解 引入随机变量
.10,,2,1
.,1
,,0
i
i
iX
i 站有人下车在第站没有人下车在第易知 X=X1+X2+...+X10.
现在来求 E(X).
38
按题意,任一旅客在第 i站不下车的概率为 9/10.
10,,2,1
,
10
9
1}1{,
10
9
}0{
,
10
9
1
,
10
9
20
2020
20
20
i
XPXP
i
i
ii
也就是站有人下车的概率为在第站下车的概率为位旅客都不在第因此
39
由此
.10,,2,1,
10
9
1)(
20
iXE
i
).(78 4.8
10
9
110
)()()(
)((
20
1021
1021
次?
XEXEXE
XXXEE
进而
40
例 12 设一电路中电流 I(A)与电阻 R(W)是两个相互独立的随机变量,其概率密度为
.0
,30,
9)(,,0
,10,2
)(
2
其它其它
r
r
rh
ii
ig
( V )
2
3
d
9
d2
d)(d)(
)()()()(
3
0
3
1
0
2
r
r
ii
rrrhiiig
REIEIREVE
试求电压 V=IR的均值,
解
41
§ 2 方 差
42
先从例子说起,一批灯泡的平均寿命是 E(X)=
1000(小时 ),仅由这一指标还不能判定灯泡的质量好坏,也有可能绝大部分灯泡的寿命都在
950~1050小时 ; 也有可能其中约有一半是高质量的,寿命约有 1300小时,而另一半却是很差的,寿命约为 700小时,为要评定灯泡的质量,
还需考察灯泡寿命 X与其均值的偏离程度,若偏离程度较小,表示质量比较稳定,再比如说评定棉花质量时,即要注意纤维的平均长度,
还要注意纤维长度与平均长度的偏离程度,
43
由此可见,研究随机变量与其均值的偏离程度是十分必要的,用怎样的量去度量这个偏离程度呢?容易看到
E{|X?E(X)|}
能度量随机变量与其均值 E(X)的偏离程度,但由于上式带有绝对值,运算不方便,为运算方便起见,通常是用量
E{[X?E(X)]2}
来度量随机变量 X与其均值 E(X)的偏离程度的,
44
定义 设 X是一个随机变量,若 E{[X?E(X)]2}存在,则称 E{[X?E(X)]2}为 X的 方差,记为 D(X)或
Var(X),即
D(X)=Var(X)=E{[X?E(X)]2},(2.1)
在应用上还引入与随机变量 X具有相同量纲的量
),(,)( XXD?记为称为 标准差 或 均方差,
45
按定义,随机变量 X的方差表达了 X的取值与其数学期望的偏离程度,若 X取值比较集中,
则 D(X)较小,反之,若取值比较分散,则 D(X)较大,因此,D(X)是刻画 X取值分散程度的一个量,它是衡量 X取值分散程度的一个尺度,
46
由定义知,方差实际上就是随机变量 X的函数
g(X)=(X?E(X))2的数学期望,于是对于离散型随机变量,按 (1.3)式 有
)2.2(,)]([()(
1
2?
k
kk pXExXD
)3.2(,d)()]([)( 2
xxfxExXD
其中 P{X=xk}=pk,k=1,2,...是 X的分布律,
对于连续型随机变量,按 (1.4)式 有其中 f(x)是 X的概率密度,
47
随机变量 X的方差可按下列公式计算,
D(X)=E(X2)?[E(X)]2,(2.4)
证 由数学期望的 性质 (1),(2),(3)得
D(X)=E{[X?E(X)]2}=E{X2?2XE(X)+[E(X)]2}
=E(X2)?2E(X)E(X)+[E(X)]2
=E(X2)?[E(X)]2.
48
在按公式 D(X)=E(X2)?[E(X)]2计算方差时,E(X)
还是按通常的办法计算,而关键是计算 E(X2),
当 X是离散型随机变量时,
,)(
1
22?
k
kk pxXE
,d)()( 22
xxfxXE
其中 P{X=xk}=pk,k=1,2,...是 X的分布律,
对于连续型随机变量,有其中 f(x)是 X的概率密度,
49
作业 第四章习题第 139页开始第 5,6,11,17题
50
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