OR2 1
第五章 目标规划
要求
1、理解概念
2、学会建模
3、学会图解法和单纯形解法
4、计算机求解
5、举一反三，学会应用
OR2 2
5.1目标规划的概念及数学模型 1
多目标问题
多目标线性规划
例 1 产品资源 A B 限量
1车间
2车间
2 1.5
1 2
50
40
单位利润 80 100
求利润最大的生产方案
OR2 3
5.1目标规划的概念及数学模型 2
例 2：例 1的要求多元化：
1,B产品不超过 10单位
2、利润不低于 1600元
3、充分利用 2车间的生产能力，尽量不加班。
解：问题分析：找差别、定概念
1）系统约束：原有约束条件是一种刚性约束，
称之为 系统约束,2x1+1.5x2≤50 (1)
x1+ 2x2 ≤40 (2)
OR2 4
5.1目标规划的概念及数学模型 3
2）目标约束：新提出的目标要求实际上也是约束条件，称之为 目标约束
3） 目标期望值：目标约束的目标一定要明确，
给出确切的量值，即 目标期望值
4）偏差变量：目标约束不是刚性的，而是弹性的，允许在一定范围内有偏差，这更接近于实际。为表达这种灵活性，便引入了 偏差变量的概念，偏差变量有正负之分，表示为,d+和
d-,d+表示超过目标值的部分； d-表示不足目标值的部分,显然有 d-·d+=0
OR2 5
本题三个目标约束依次表示为：
x2+ d1- -d1+=10
80x1+100x2+ d2- -d2+ =1600
x1 + 2x2+ d3- -d3+ =40
5） 目标的重要程度不同，因此目标的满足有先有后，即有优先级别。设最重要的为 P1级，次之者为 P2级 ……
P看成实数 P1>>P2
5.1目标规划的概念及数学模型 4
OR2 6
5.1目标规划的概念及数学模型 5
6） 目标规划的目标函数：
目标规划有多个目标，我们已经把它转化为目标约束，整个问题的目标就是使得实施结果与目标期望值的偏差最小于是本题目标函数表示为：
minZ=P1 d1+ +P2 d2- +P3(d3- +d3+)
OR2 7
5.1目标规划的概念及数学模型 6
综上所述，本题的数学模型为：
minZ=P1 d1+ +P2 d2- +P3(d3- +d3+)
2x1+1.5x2 ≤50
x2+ d1- -d1+=10
80x1+100x2+ d2- -d2+ =1600
x1 + 2x2+ d3- -d3+ =40
x1,x2,di-,di+ ≥0,i=1,2,3
OR2 8
5.1目标规划的概念及数学模型 7
说明,1）有时系统约束转化为目标约束，
则不再表示为系统约束。 2）有时同级别的目标中，其重要程度又有差别，则设置不同的权重。
设问题有 K个目标,L个优先等级，数学模型为,minZ= ∑PL (∑WL-i?di-+WL+i?di+ )
∑aijxj+ di- - di+ =bi,i=1,2,…,k
∑aijxj ≤(= ≥) bi i=k+1,…,k+m
xj,di-,di+ ≥0,j=1,…n;i=1,2,…,k
OR2 9
5.2目标规划的图解法
图解例 2
x1
x2
10
20
30
40
10 20 30 40
d1-
d1+d2-d2
+
d3+
d3-
O A
B
C
OR2 10
5.3 目标规划的单纯形解法
目标规划使用单纯形法求解,di-,di+ 视为普通变量,P1>>P2 >> … >> PL
例题 4
加工方式 单产耗时工时费用优质率资源量正常生产 2.0 100 0.99 100
加班生产 2.0 150 0.98 ——
转承包 2.5 80 0.95 ——
临时工 3.0 80 0.90 ——
OR2 11
例题 4建模
要求,P1,尽量满足市场需求（ 100件）
P2,优质率不低于 98%
P3,生产费用不超过 22000元解：设四种生产方式依次为 x1,x2,x3,x4
则,minZ=P1 d1
- +P
2 d2
- +P
3 d3+
2x1 ≤ 100
x1+x2+x3+ x4+d1
- -d
1+ =100
x1- 5x3-8x4+ d2
- - d
2+ =0
200x1+300x2+200x3+240x4+ d3
-- d
3+ =22000
xj,di
-,d
i+ ≥0 j=1,2,3,4 i=1,2,3
OR2 12
例题 4 求解
,Cj 0 0 0 0 0 P1 0 P2 0 0 P3
CB XB b x1 x2 x3 x4 x5 d1- d1+ d2- d2+ d3- d3+ θj
0
P1
P2
0
X5
d1-
d2-
d3-
100
100
0
22000
2
1
(1)
200
0
1
0
300
0
1
3
200
0
1
-8
204
1
0
0
0
0
1
0
0
0
-1
0
0
0
0
1
0
0
0
-1
0
0
0
0
1
0
0
0
-1
50
100
0
110
σj
P1
P2
P3
-1
-1
0
-1
0
0
-1
-3
0
-1
8
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
OR2 13
5.5 目标规划应用举例之一例 5,A B C 工时限制工时 /件 5 8 12 120
利润 /件 100 140 252
要求,P1:充分利用工时
P2,A,B,C分别达到 5,5,8件，并按工时利润确定权重
P3,加班时间不要超过 16小时
P4,A,B,C月销售量 10,12,10件
P5,尽量减少加班时间
OR2 14
5.5 目标规划应用举例之一
8X1+5X2+12X3 +d1- - d1+ =170
X1+ d2- -d2+= 5
X2+ d3- -d3+= 5
X3+ d4- -d4+= 8
8X1+5X2+12X3 +d5- - d5+ =170+16
X1 + d6- -d6+= 10 ……
Xj,di
-,d
i+ ≥0,j=1,2,3 i=1,2,…,5
minZ=P1d1-+P2(20 d2- +18 d3- +21d4-)+P3 d5+
+P4(d6-+d7-+d8-)+P5 d1+
OR2 15
5.5 目标规划应用举例之二
例 7：多目标运输问题如下表。目标要求：
P1,产地不存货，且销量至少满足一半
P2,满足 B1需求，且 A4— B2尽量少运
P3,总运费最小销地产地 B1 B2 B3 产量
A1
A2
A3
A4
5 8 3
7 4 5
2 6 9
4 6 6
100
40
40
120
销量 120 140 140 400/300
OR2 16
5.5 目标规划应用举例之二
解：设 Ai到 Bj的运输量为 xij
X11+ X12 + X13 +d1--d1+=100
X21+ X22 + X23 +d2--d2+=40
X31+ X32 + X33 +d3--d3+=40
X41+ X42 + X43 +d4--d4+=120
X11+ X21 + X31 + X41+d5--d5+=120/2
X12+ X22 + X32+ X42+d6--d6+=140/2
X13+ X23+ X33 + X43 +d7--d7+=140/2
X11+ X21 + X31 + X41 +d8--d8+=120
X42 +d9--d9+=0
∑ ∑Cij Xij +d10--d10+=0
Xij,dL--dL+ ≥0 i=1,2,3,4 j=1,2,3 L=1,2,…,10
minZ=P1(d1-+d1++ …+ d 7+)+P2(d8-+d8+ +d9+)+P3 d10+
OR2 17
习题课
P178—— 5.11
设 A台广告 X1分钟,B台广告 X2分钟,C台广告 X3分钟
系统约束,40X1+60X2+80X3 ≤ 2400
P1级目标：
2000X1+4000X2+1000X3+ d1- -d1+= 80000
P2级目标,X1+X2+X3 +d2- -d2+= 30
P3级目标,X3 +d3- -d3+= 0
目标函数,minZ=P1 d1
- +P
2（ 2 d2
-+ d
2+ ） +P3 d3+
第五章 目标规划
要求
1、理解概念
2、学会建模
3、学会图解法和单纯形解法
4、计算机求解
5、举一反三，学会应用
OR2 2
5.1目标规划的概念及数学模型 1
多目标问题
多目标线性规划
例 1 产品资源 A B 限量
1车间
2车间
2 1.5
1 2
50
40
单位利润 80 100
求利润最大的生产方案
OR2 3
5.1目标规划的概念及数学模型 2
例 2：例 1的要求多元化：
1,B产品不超过 10单位
2、利润不低于 1600元
3、充分利用 2车间的生产能力，尽量不加班。
解：问题分析：找差别、定概念
1）系统约束：原有约束条件是一种刚性约束，
称之为 系统约束,2x1+1.5x2≤50 (1)
x1+ 2x2 ≤40 (2)
OR2 4
5.1目标规划的概念及数学模型 3
2）目标约束：新提出的目标要求实际上也是约束条件，称之为 目标约束
3） 目标期望值：目标约束的目标一定要明确，
给出确切的量值，即 目标期望值
4）偏差变量：目标约束不是刚性的，而是弹性的，允许在一定范围内有偏差，这更接近于实际。为表达这种灵活性，便引入了 偏差变量的概念，偏差变量有正负之分，表示为,d+和
d-,d+表示超过目标值的部分； d-表示不足目标值的部分,显然有 d-·d+=0
OR2 5
本题三个目标约束依次表示为：
x2+ d1- -d1+=10
80x1+100x2+ d2- -d2+ =1600
x1 + 2x2+ d3- -d3+ =40
5） 目标的重要程度不同，因此目标的满足有先有后，即有优先级别。设最重要的为 P1级，次之者为 P2级 ……
P看成实数 P1>>P2
5.1目标规划的概念及数学模型 4
OR2 6
5.1目标规划的概念及数学模型 5
6） 目标规划的目标函数：
目标规划有多个目标，我们已经把它转化为目标约束，整个问题的目标就是使得实施结果与目标期望值的偏差最小于是本题目标函数表示为：
minZ=P1 d1+ +P2 d2- +P3(d3- +d3+)
OR2 7
5.1目标规划的概念及数学模型 6
综上所述，本题的数学模型为：
minZ=P1 d1+ +P2 d2- +P3(d3- +d3+)
2x1+1.5x2 ≤50
x2+ d1- -d1+=10
80x1+100x2+ d2- -d2+ =1600
x1 + 2x2+ d3- -d3+ =40
x1,x2,di-,di+ ≥0,i=1,2,3
OR2 8
5.1目标规划的概念及数学模型 7
说明,1）有时系统约束转化为目标约束，
则不再表示为系统约束。 2）有时同级别的目标中，其重要程度又有差别，则设置不同的权重。
设问题有 K个目标,L个优先等级，数学模型为,minZ= ∑PL (∑WL-i?di-+WL+i?di+ )
∑aijxj+ di- - di+ =bi,i=1,2,…,k
∑aijxj ≤(= ≥) bi i=k+1,…,k+m
xj,di-,di+ ≥0,j=1,…n;i=1,2,…,k
OR2 9
5.2目标规划的图解法
图解例 2
x1
x2
10
20
30
40
10 20 30 40
d1-
d1+d2-d2
+
d3+
d3-
O A
B
C
OR2 10
5.3 目标规划的单纯形解法
目标规划使用单纯形法求解,di-,di+ 视为普通变量,P1>>P2 >> … >> PL
例题 4
加工方式 单产耗时工时费用优质率资源量正常生产 2.0 100 0.99 100
加班生产 2.0 150 0.98 ——
转承包 2.5 80 0.95 ——
临时工 3.0 80 0.90 ——
OR2 11
例题 4建模
要求,P1,尽量满足市场需求（ 100件）
P2,优质率不低于 98%
P3,生产费用不超过 22000元解：设四种生产方式依次为 x1,x2,x3,x4
则,minZ=P1 d1
- +P
2 d2
- +P
3 d3+
2x1 ≤ 100
x1+x2+x3+ x4+d1
- -d
1+ =100
x1- 5x3-8x4+ d2
- - d
2+ =0
200x1+300x2+200x3+240x4+ d3
-- d
3+ =22000
xj,di
-,d
i+ ≥0 j=1,2,3,4 i=1,2,3
OR2 12
例题 4 求解
,Cj 0 0 0 0 0 P1 0 P2 0 0 P3
CB XB b x1 x2 x3 x4 x5 d1- d1+ d2- d2+ d3- d3+ θj
0
P1
P2
0
X5
d1-
d2-
d3-
100
100
0
22000
2
1
(1)
200
0
1
0
300
0
1
3
200
0
1
-8
204
1
0
0
0
0
1
0
0
0
-1
0
0
0
0
1
0
0
0
-1
0
0
0
0
1
0
0
0
-1
50
100
0
110
σj
P1
P2
P3
-1
-1
0
-1
0
0
-1
-3
0
-1
8
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
OR2 13
5.5 目标规划应用举例之一例 5,A B C 工时限制工时 /件 5 8 12 120
利润 /件 100 140 252
要求,P1:充分利用工时
P2,A,B,C分别达到 5,5,8件，并按工时利润确定权重
P3,加班时间不要超过 16小时
P4,A,B,C月销售量 10,12,10件
P5,尽量减少加班时间
OR2 14
5.5 目标规划应用举例之一
8X1+5X2+12X3 +d1- - d1+ =170
X1+ d2- -d2+= 5
X2+ d3- -d3+= 5
X3+ d4- -d4+= 8
8X1+5X2+12X3 +d5- - d5+ =170+16
X1 + d6- -d6+= 10 ……
Xj,di
-,d
i+ ≥0,j=1,2,3 i=1,2,…,5
minZ=P1d1-+P2(20 d2- +18 d3- +21d4-)+P3 d5+
+P4(d6-+d7-+d8-)+P5 d1+
OR2 15
5.5 目标规划应用举例之二
例 7：多目标运输问题如下表。目标要求：
P1,产地不存货，且销量至少满足一半
P2,满足 B1需求，且 A4— B2尽量少运
P3,总运费最小销地产地 B1 B2 B3 产量
A1
A2
A3
A4
5 8 3
7 4 5
2 6 9
4 6 6
100
40
40
120
销量 120 140 140 400/300
OR2 16
5.5 目标规划应用举例之二
解：设 Ai到 Bj的运输量为 xij
X11+ X12 + X13 +d1--d1+=100
X21+ X22 + X23 +d2--d2+=40
X31+ X32 + X33 +d3--d3+=40
X41+ X42 + X43 +d4--d4+=120
X11+ X21 + X31 + X41+d5--d5+=120/2
X12+ X22 + X32+ X42+d6--d6+=140/2
X13+ X23+ X33 + X43 +d7--d7+=140/2
X11+ X21 + X31 + X41 +d8--d8+=120
X42 +d9--d9+=0
∑ ∑Cij Xij +d10--d10+=0
Xij,dL--dL+ ≥0 i=1,2,3,4 j=1,2,3 L=1,2,…,10
minZ=P1(d1-+d1++ …+ d 7+)+P2(d8-+d8+ +d9+)+P3 d10+
OR2 17
习题课
P178—— 5.11
设 A台广告 X1分钟,B台广告 X2分钟,C台广告 X3分钟
系统约束,40X1+60X2+80X3 ≤ 2400
P1级目标：
2000X1+4000X2+1000X3+ d1- -d1+= 80000
P2级目标,X1+X2+X3 +d2- -d2+= 30
P3级目标,X3 +d3- -d3+= 0
目标函数,minZ=P1 d1
- +P
2（ 2 d2
-+ d
2+ ） +P3 d3+
