OR2 1
第四章 运输问题本章要求：
掌握运输问题的数学模型掌握运输问题的求解方法化产销不平衡问题为平衡问题学会用计算机求解
OR2 2
4.1运输问题的数学模型
运输问题一般表述为：
某企业有 m个产地（生产厂） Ai,其产量分别为 ai,i=1,2,…m,n 个销地 （ 销售商）
Bj,其销售量分别为 bj,j=1,2,…n,从 Ai到 Bj
的每单位物资的运费为 Cij.要求拟定总运费最小的调运方案 。
OR2 3
运输表
.
销地产地 B1 B2 … Bn 产量
A1 C11 C12 … C1n a1
A2 C21 C22 … C2n a2
… … … … … …
Am Cm1 Cm2 … Cmn am
销量 b1 b2 … bn
OR2 4
运输问题的数学模型设从 Ai 到 Bj的运输量为 xij,（ 假定产销平衡）
则总运费,minZ= ∑∑ Cij xij
产量约束,∑xij = ai i=1,2,…m,
销量约束,∑xij = bj j=1,2,…n,
非负性约束,xij ≥0
n m
j=1 i=1n
j=1m
i=1
OR2 5
4.2表上作业法
计算步骤：
1、给出初始方案
2、检验是否最优
3、调整调运方案,Go to 2
OR2 6
例题 1
某建材公司有三个水泥厂 A1,A2,A3，
四个经销商 B1,B2,B3,B4,其产量、
销量、运费如下表：
销地产地 B1 B2 B3 B4 产量
A1
A2
A3
8
4
2
7
7
4
3
5
9
2
1
6
1
9
4
销量 3 2 4 5 14
OR2 7
4.2.1求初始调运方案
用最小元素法（也可用西北角法或 vogel
法）给出初始基可行解：
在运费表中找出最小元素，尽最大可能用完一个厂的产量，或满足一个商家的销量。得到满足者用线划去。
逐次寻找最小元素，直至分配完毕注意：如填写一个数字同时满足了一厂一商，则需在同行或同列中填写一个数字 0，以保证恰好有 m+n-1个数字。
OR2 8
例 1 之初始方案（ P119）
最小元素法：圈定 C24
B1 B2 B3 B4 产量
A1 8 7 3 2 1
A2 4 7 5?/5 9 4
A3 2 4 9 6 4
销量 3 2 4 5
OR2 9
例 1初始方案（续 1）
圈定 C31
B1 B2 B3 B4 产量
A1 8 7 3 2 1
A2 4 7 5?/5 9 4
A3?/3 4 9 6 4 1
销量 3 2 4 5
OR2 10
例 1初始方案（续 2）
圈定 C13
B1 B2 B3 B4 产量
A1 8 7?/1 2 1
A2 4 7 5?/5 9 4
A3?/3 4 9 6 4 1
销量 3 2 4 3 5
OR2 11
例 1 初始方案（续 3）
圈定 C32
B1 B2 B3 B4 产量
A1 8 7?/1 2 1
A2 4 7 5?/5 9 4
A3?/3?/ 1 9 6 4 1
销量 3 2 1 4 3 5
OR2 12
例 1 初始方案（续 4）
圈定 C23
B1 B2 B3 B4 产量
A1 8 7?/1 2 1
A2 4 7?/3?/5 9 4 1
A3?/3?/1 9 6 4 1
销量 3 2 1 4 3 5
OR2 13
例 1 初始方案（续 5）
圈定 C22
B1 B2 B3 B4 产量
A1 8 7?/1 2 1
A2 4?/1?/3?/5 9 4 1
A3?/3?/1 9 6 4 1
销量 3 2 1 43 5
OR2 14
例 1初始方案 —— 初始基可行解
中心数字为分配的运输量
B1 B2 B3 B4 产量
A1 1 1
A2 1 3 5 9
A3 3 1 4
销量 3 2 4 5
此方案费用为 40
OR2 15
4.2.2 最优性检验
最优性检验与单纯形法原理一致，计算方法有位势法和闭回路法，这里讲位势法。
位势法是任意给出一组数 ui和 vj,称之为位势，有数字的格满足,ui+vj=cij
没数字的格计算,σij=cij-(ui+vj)
OR2 16
位势计算,ui+vj
先填写初始方案相应的运费，任意给出一个 ui或 vj值，推出其它位势值。
计算 ui+vj,填于空格处
B1 B2 B3 B4 ui
A1 （ 3） （ 5） 3 （ -1） 2
A2 （ 5） 7 5 1 4
A3 2 4 （ 2） （ -2） 1
vj 1 3 1 -3
OR2 17
检验数计算,σij=cij-(ui+vj)
B1 B2 B3 B4 ui
A1 8-（ 3） =5 7-（ 5） =2 3-3=0 2-（ -1） =3 2
A2 4-（ 5） =-1 7-7=0 5-5=0 1-1=0 4
A3 2-2=0 4-4=0 9-（ 2） =7 6-（ -2） =8 1
vj 1 3 1 3
σ 21=-1
OR2 18
方案调整：
σij < 0 处，增加运输量，可节约运费。故做如下调整：
B1 B2 B3 B4 产量
A1 1 1
A2 +1 1-1 3 5 9
A3 3-1 1+1 4
销量 3 2 4 5
OR2 19
新方案：
B1 B2 B3 B4 产量
A1 1 1
A2 1 3 5 9
A3 2 2 4
销量 3 2 4 5
此方案费用为,1?3+1?4+3?5+5?1+2?2+4? 2=39
OR2 20
新方案检验
新方案相应的运费填于表上,给定位势初值，计算各位势值。
B1 B2 B3 B4 ui
A1 （ 2） （ 4） 3 （ -1） 0
A2 4 （ 6） 5 1 2
A3 2 4 （ 3） （ -1） 0
vj 2 4 3 -1
OR2 21
新方案检验
计算空格处（即非基变量）的检验数，
σij=cij-(ui+vj),所有 σij ≥0,已得最优解。
B1 B2 B3 B4 ui
A1 6 3 0 3
A2 0 1 0 0
A3 0 0 6 7
vj
OR2 22
4.3产销不平衡问题
产销不平衡是最常见的现象，此类问题可以转化为产销平衡的模型，而后求解。
运输问题产销平衡模型，实质上就是一个求解运输问题的标准型。
解决的办法是：增加一个虚拟的产地或销地，从而变成标准型 —— 产销平衡问题。
OR2 23
例题 2.供大于求的运输问题
运费及产销量表
B1 B2 B3 产量
A1
A2
A3
A4
6 4 5
8 3 2
7 5 6
5 1 2
70
40
50
20
销量 30 40 30 180
100
OR2 24
例 2 解：
引入虚拟销地 B4，（ 或理解为仓库），
就地“销售”，运费为零
B1 B2 B3 B4 产量
A1
A2
A3
A4
6 4 5 0
8 3 2 0
7 5 6 0
5 1 2 0
70
40
50
20
销量 30 40 30 80 180
180
OR2 25
例 2 求初始方案：（ P128）
用最小元素法，但零视为最大元素。（？）
B1 B2 B3 B4 产量
A1
A2
A3
A4
6 /30 4 /10 5 0/30
8 3 /10 2 / 30 0
7 5 6 0/50
5 1 /20 2 0
70 60 30
40 10
50
20
销量 30 40 30 80 50
20 10
180
180
OR2 26
例 2 初始方案：
.
B1 B2 B3 B4 产量
A1
A2
A3
A4
30 10 30
10 30
50
20
70
40
50
20
销量 30 40 30 80 180
180
OR2 27
例 2检验初始方案
计算位势 ui+vj
B1 B2 B3 B4 ui
A1
A2
A3
A4
6 4 (3) 0
(5) 3 2 (-1)
(6) (4) (3) 0
（ 3) 1 (0) (-3)
3
2
3
0
vj 3 1 0 -3
OR2 28
例 2计算检验数
σij=cij-(ui+vj),所有 σij ≥0,已得最优解。
B1 B2 B3 B4 ui
A1
A2
A3
A4
0 0 (2) 0
(3) 0 0 （ 1）
(1) (1) (3) 0
（ 2) 0 (2) (3)
vj
OR2 29
例题 3：弹性需求问题
设有三煤矿供应四地区，资料如下：
运价 地区煤矿 甲 乙 丙 丁产量
A
B
C
16
14
19
13
13
20
22
19
23
17
15
25
50
60
50
最低需求最高需求
30
50
70
70
0
30
10
不限
OR2 30
例题 3：解题思路：
设法转化为标准型
本题产量 160万吨，最低需求 110万吨，最高需求无限。实质上比较现实的最高需求 210万吨
产量大于最小需求；小于最大需求。而标准型是：产量 =销量。
处理办法：设想一个虚拟煤矿 D,生产 50万吨，
但这个产量只能供应可有可无的最高需求部分，
于是各地的需求也应分为两个部分：基本需求、
机动需求
虚拟产量的运输费用为零，但它对于基本需求来讲，运费为无穷大。
OR2 31
例题 3：建模：
1
运价 地区煤矿 甲 1 甲 2 乙 丙 丁 1 丁 2
产量
A
B
C
D
16
14
19
M
16
14
19
0
13
13
20
M
22
19
23
0
17
12
25
M
17
12
25
0
50
60
50
50
需求量 30 20 70 30 10 50 210
210
OR2 32
例题 3：最优解：
1
运价 地区煤矿 甲 1 甲 2 乙 丙 丁 1 丁 2
产量
A
B
C
D
30 20
50
20
0
30
10 30
20
50
60
50
50
需求量 30 20 70 30 10 50 210
210
OR2 33
4.4运输问题的计算机求解
AB,QM软件包，在 module中选择
transportation,在 file中点击 new,输入数据，
点击 solve,出现结果。
OR2 34
4.5 运输模型的应用
例题 4：某机床厂定下一年合同分别于各季度末交货。已知各季度生产成本不同，
允许存货，存储费 0.12万元 /台季，三、
四季度可以加班生产，加班生产能力 8台 /
季，加班费用 3万元 /台季度 正常生产能力 单位成本（万元） 交货台数
1
2
3
4
30
32
20
28
10.55
10.8
11
11.1
25
30
15
45
OR2 35
例四,分析：
可用线性规划，但用运输问题更简单
要决策的问题是各季度生产量和交货量设 xij表示第 i季度生产第 j季度交货的台数
因加班时间生产成本不同，故要区别开来，三四季度可加班，视同增加两个季度
需求量合计 115台，生产能力合计 126台，
供需不平衡，因此，增加一项闲置能力。
OR2 36
例四,建模：
,成本 交货生产 闲置1 2 3 4 能力 产量
1季度正常生产
2季度正常生产
3季度正常生产
3季度加班生产
4季度正常生产
4季度加班生产
10.55 10.67 10.79 10.91 0
M 10.8 10.92 11.04 0
M M 11 11.12 0
M M 14 14.12 0
M M M 11.1 0
M M M 14.1 0
30
32
20
8
28
8
需求量 25 30 15 45 11 126
126
OR2 37
例四 结果：
,生产 交货生产 闲置1 2 3 4 能力 产量
1季度正常生产
2季度正常生产
3季度正常生产
3季度加班生产
4季度正常生产
4季度加班生产
25 5
30 2
10 10
8
28
5 3
30
32
20
8
28
8
需求量 25 30 15 45 11 126
126
OR2 38
例题 5 航运调度问题
某航运公司承担六个城市 A,B,C,D,E,F
之间的四条航线，已知各航线的起点、终点及每天所需的航班数如下表。又知各城市之间的航行天数，假定船只型号相同，装卸货时间各一天，问该公司至少要配备多少条船才能满足需要？ 航线 起点 终点 每天航班数
1
2
3
4
E
B
A
D
D
C
F
B
3
2
1
1
OR2 39
例 5 城市之间航行天数表
,Cij A B C D E F
A
B
C
D
E
F
0 1 2 14 7 7
1 0 3 13 8 8
2 3 0 15 5 5
14 13 15 0 17 20
7 8 5 17 0 3
7 8 5 20 3 0
OR2 40
例 5 问题分析问题要求的是在保证需要的前提下，
至少需要多少船只。
所需船只包括两个部分：载货船、空驶船 。
航线 航行天数装卸天数合计 航班数载货船数
1
2
3
4
17
3
7
13
2
2
2
2
19
5
9
15
3
2
1
1
57
10
9
15
OR2 41
例 5 问题分析（续 1）
上表显示：载货船共需 91条，此船何来？
港口 到达 开出 余缺
A
B
C
D
E
F
0
1
2
3
0
1
1
2
0
1
3
0
-1
-1
2
2
-3
1
A B
C
DE
F
1 21
3
调度中心若无空驶，则 91条船刚好够用，
但虚线箭头都是空驶
OR2 42
例五 问题分析（续 2）
所需 91条货船要经调度而来，有的可在一个港口卸货后装运（如一条船从 E到 D
后再起程赴 B）。 若港口没有空船，则要从其它港口调度而来。（规模效益）
由上表可知,C,D,F港口有多余船只可供调出，而 A,B,E港口则需要调入空船。
问题的核心是：如何使空驶船的数量为最少？亦即如何按照最近原则调度船只
OR2 43
例五 问题分析（续 3）
为此建立运输问题数学模型。设 xij表示每天从 i港口调往 j港口的空船数，则 cijxij
就表示 i j航线上周转的船只数,∑cijxij
表示各条线上周转的船只总数
A B E 每天多余船只
C
D
F
2
14
7
3
13
8
5
17
3
2
2
1
每天缺少船只 1 1 3
OR2 44
例五 解题结果
上机求解：
A B E 每天多余船只
C
D
F
1
1
1
1
1
2
2
1
每天缺少船只
1 1 3
空船总需求量 2+5+13+17+3=40条空驶船 40条 +载重船 91条 =131条
OR2 45
例题 6 增产调度问题
工厂 市场
A,B,C 1,2,3,4
1000 1500 1750 900 1000 1900 1500
产量 4250 < 需求 5300
增产方案：
1、加班生产，能力增长 50%，费用增长 50%
2、新建 D厂，产能 2000，投资 200万元
3、新建 E厂，产能 2000，投资 300万元
4、新建 F厂，产能 2000，投资 400万元如何增加生产能力？
OR2 46
例题 6 问题分析
各工厂位于不同城市，原材料、劳动力、
以及运输费各不相同（为什么只考虑可变费用？），计算不同方案对应不同市场的费用，将生产费用和运费统一考虑，
从而决定产销方案。
将四个方案，在可变成本的意义上，分别求其最优产销分配计划，比较优劣。
再加入固定投资因素，进行综合比较。
第四章 运输问题本章要求：
掌握运输问题的数学模型掌握运输问题的求解方法化产销不平衡问题为平衡问题学会用计算机求解
OR2 2
4.1运输问题的数学模型
运输问题一般表述为：
某企业有 m个产地（生产厂） Ai,其产量分别为 ai,i=1,2,…m,n 个销地 （ 销售商）
Bj,其销售量分别为 bj,j=1,2,…n,从 Ai到 Bj
的每单位物资的运费为 Cij.要求拟定总运费最小的调运方案 。
OR2 3
运输表
.
销地产地 B1 B2 … Bn 产量
A1 C11 C12 … C1n a1
A2 C21 C22 … C2n a2
… … … … … …
Am Cm1 Cm2 … Cmn am
销量 b1 b2 … bn
OR2 4
运输问题的数学模型设从 Ai 到 Bj的运输量为 xij,（ 假定产销平衡）
则总运费,minZ= ∑∑ Cij xij
产量约束,∑xij = ai i=1,2,…m,
销量约束,∑xij = bj j=1,2,…n,
非负性约束,xij ≥0
n m
j=1 i=1n
j=1m
i=1
OR2 5
4.2表上作业法
计算步骤：
1、给出初始方案
2、检验是否最优
3、调整调运方案,Go to 2
OR2 6
例题 1
某建材公司有三个水泥厂 A1,A2,A3，
四个经销商 B1,B2,B3,B4,其产量、
销量、运费如下表：
销地产地 B1 B2 B3 B4 产量
A1
A2
A3
8
4
2
7
7
4
3
5
9
2
1
6
1
9
4
销量 3 2 4 5 14
OR2 7
4.2.1求初始调运方案
用最小元素法（也可用西北角法或 vogel
法）给出初始基可行解：
在运费表中找出最小元素，尽最大可能用完一个厂的产量，或满足一个商家的销量。得到满足者用线划去。
逐次寻找最小元素，直至分配完毕注意：如填写一个数字同时满足了一厂一商，则需在同行或同列中填写一个数字 0，以保证恰好有 m+n-1个数字。
OR2 8
例 1 之初始方案（ P119）
最小元素法：圈定 C24
B1 B2 B3 B4 产量
A1 8 7 3 2 1
A2 4 7 5?/5 9 4
A3 2 4 9 6 4
销量 3 2 4 5
OR2 9
例 1初始方案（续 1）
圈定 C31
B1 B2 B3 B4 产量
A1 8 7 3 2 1
A2 4 7 5?/5 9 4
A3?/3 4 9 6 4 1
销量 3 2 4 5
OR2 10
例 1初始方案（续 2）
圈定 C13
B1 B2 B3 B4 产量
A1 8 7?/1 2 1
A2 4 7 5?/5 9 4
A3?/3 4 9 6 4 1
销量 3 2 4 3 5
OR2 11
例 1 初始方案（续 3）
圈定 C32
B1 B2 B3 B4 产量
A1 8 7?/1 2 1
A2 4 7 5?/5 9 4
A3?/3?/ 1 9 6 4 1
销量 3 2 1 4 3 5
OR2 12
例 1 初始方案（续 4）
圈定 C23
B1 B2 B3 B4 产量
A1 8 7?/1 2 1
A2 4 7?/3?/5 9 4 1
A3?/3?/1 9 6 4 1
销量 3 2 1 4 3 5
OR2 13
例 1 初始方案（续 5）
圈定 C22
B1 B2 B3 B4 产量
A1 8 7?/1 2 1
A2 4?/1?/3?/5 9 4 1
A3?/3?/1 9 6 4 1
销量 3 2 1 43 5
OR2 14
例 1初始方案 —— 初始基可行解
中心数字为分配的运输量
B1 B2 B3 B4 产量
A1 1 1
A2 1 3 5 9
A3 3 1 4
销量 3 2 4 5
此方案费用为 40
OR2 15
4.2.2 最优性检验
最优性检验与单纯形法原理一致，计算方法有位势法和闭回路法，这里讲位势法。
位势法是任意给出一组数 ui和 vj,称之为位势，有数字的格满足,ui+vj=cij
没数字的格计算,σij=cij-(ui+vj)
OR2 16
位势计算,ui+vj
先填写初始方案相应的运费，任意给出一个 ui或 vj值，推出其它位势值。
计算 ui+vj,填于空格处
B1 B2 B3 B4 ui
A1 （ 3） （ 5） 3 （ -1） 2
A2 （ 5） 7 5 1 4
A3 2 4 （ 2） （ -2） 1
vj 1 3 1 -3
OR2 17
检验数计算,σij=cij-(ui+vj)
B1 B2 B3 B4 ui
A1 8-（ 3） =5 7-（ 5） =2 3-3=0 2-（ -1） =3 2
A2 4-（ 5） =-1 7-7=0 5-5=0 1-1=0 4
A3 2-2=0 4-4=0 9-（ 2） =7 6-（ -2） =8 1
vj 1 3 1 3
σ 21=-1
OR2 18
方案调整：
σij < 0 处，增加运输量，可节约运费。故做如下调整：
B1 B2 B3 B4 产量
A1 1 1
A2 +1 1-1 3 5 9
A3 3-1 1+1 4
销量 3 2 4 5
OR2 19
新方案：
B1 B2 B3 B4 产量
A1 1 1
A2 1 3 5 9
A3 2 2 4
销量 3 2 4 5
此方案费用为,1?3+1?4+3?5+5?1+2?2+4? 2=39
OR2 20
新方案检验
新方案相应的运费填于表上,给定位势初值，计算各位势值。
B1 B2 B3 B4 ui
A1 （ 2） （ 4） 3 （ -1） 0
A2 4 （ 6） 5 1 2
A3 2 4 （ 3） （ -1） 0
vj 2 4 3 -1
OR2 21
新方案检验
计算空格处（即非基变量）的检验数，
σij=cij-(ui+vj),所有 σij ≥0,已得最优解。
B1 B2 B3 B4 ui
A1 6 3 0 3
A2 0 1 0 0
A3 0 0 6 7
vj
OR2 22
4.3产销不平衡问题
产销不平衡是最常见的现象，此类问题可以转化为产销平衡的模型，而后求解。
运输问题产销平衡模型，实质上就是一个求解运输问题的标准型。
解决的办法是：增加一个虚拟的产地或销地，从而变成标准型 —— 产销平衡问题。
OR2 23
例题 2.供大于求的运输问题
运费及产销量表
B1 B2 B3 产量
A1
A2
A3
A4
6 4 5
8 3 2
7 5 6
5 1 2
70
40
50
20
销量 30 40 30 180
100
OR2 24
例 2 解：
引入虚拟销地 B4，（ 或理解为仓库），
就地“销售”，运费为零
B1 B2 B3 B4 产量
A1
A2
A3
A4
6 4 5 0
8 3 2 0
7 5 6 0
5 1 2 0
70
40
50
20
销量 30 40 30 80 180
180
OR2 25
例 2 求初始方案：（ P128）
用最小元素法，但零视为最大元素。（？）
B1 B2 B3 B4 产量
A1
A2
A3
A4
6 /30 4 /10 5 0/30
8 3 /10 2 / 30 0
7 5 6 0/50
5 1 /20 2 0
70 60 30
40 10
50
20
销量 30 40 30 80 50
20 10
180
180
OR2 26
例 2 初始方案：
.
B1 B2 B3 B4 产量
A1
A2
A3
A4
30 10 30
10 30
50
20
70
40
50
20
销量 30 40 30 80 180
180
OR2 27
例 2检验初始方案
计算位势 ui+vj
B1 B2 B3 B4 ui
A1
A2
A3
A4
6 4 (3) 0
(5) 3 2 (-1)
(6) (4) (3) 0
（ 3) 1 (0) (-3)
3
2
3
0
vj 3 1 0 -3
OR2 28
例 2计算检验数
σij=cij-(ui+vj),所有 σij ≥0,已得最优解。
B1 B2 B3 B4 ui
A1
A2
A3
A4
0 0 (2) 0
(3) 0 0 （ 1）
(1) (1) (3) 0
（ 2) 0 (2) (3)
vj
OR2 29
例题 3：弹性需求问题
设有三煤矿供应四地区，资料如下：
运价 地区煤矿 甲 乙 丙 丁产量
A
B
C
16
14
19
13
13
20
22
19
23
17
15
25
50
60
50
最低需求最高需求
30
50
70
70
0
30
10
不限
OR2 30
例题 3：解题思路：
设法转化为标准型
本题产量 160万吨，最低需求 110万吨，最高需求无限。实质上比较现实的最高需求 210万吨
产量大于最小需求；小于最大需求。而标准型是：产量 =销量。
处理办法：设想一个虚拟煤矿 D,生产 50万吨，
但这个产量只能供应可有可无的最高需求部分，
于是各地的需求也应分为两个部分：基本需求、
机动需求
虚拟产量的运输费用为零，但它对于基本需求来讲，运费为无穷大。
OR2 31
例题 3：建模：
1
运价 地区煤矿 甲 1 甲 2 乙 丙 丁 1 丁 2
产量
A
B
C
D
16
14
19
M
16
14
19
0
13
13
20
M
22
19
23
0
17
12
25
M
17
12
25
0
50
60
50
50
需求量 30 20 70 30 10 50 210
210
OR2 32
例题 3：最优解：
1
运价 地区煤矿 甲 1 甲 2 乙 丙 丁 1 丁 2
产量
A
B
C
D
30 20
50
20
0
30
10 30
20
50
60
50
50
需求量 30 20 70 30 10 50 210
210
OR2 33
4.4运输问题的计算机求解
AB,QM软件包，在 module中选择
transportation,在 file中点击 new,输入数据，
点击 solve,出现结果。
OR2 34
4.5 运输模型的应用
例题 4：某机床厂定下一年合同分别于各季度末交货。已知各季度生产成本不同，
允许存货，存储费 0.12万元 /台季，三、
四季度可以加班生产，加班生产能力 8台 /
季，加班费用 3万元 /台季度 正常生产能力 单位成本（万元） 交货台数
1
2
3
4
30
32
20
28
10.55
10.8
11
11.1
25
30
15
45
OR2 35
例四,分析：
可用线性规划，但用运输问题更简单
要决策的问题是各季度生产量和交货量设 xij表示第 i季度生产第 j季度交货的台数
因加班时间生产成本不同，故要区别开来，三四季度可加班，视同增加两个季度
需求量合计 115台，生产能力合计 126台，
供需不平衡，因此，增加一项闲置能力。
OR2 36
例四,建模：
,成本 交货生产 闲置1 2 3 4 能力 产量
1季度正常生产
2季度正常生产
3季度正常生产
3季度加班生产
4季度正常生产
4季度加班生产
10.55 10.67 10.79 10.91 0
M 10.8 10.92 11.04 0
M M 11 11.12 0
M M 14 14.12 0
M M M 11.1 0
M M M 14.1 0
30
32
20
8
28
8
需求量 25 30 15 45 11 126
126
OR2 37
例四 结果：
,生产 交货生产 闲置1 2 3 4 能力 产量
1季度正常生产
2季度正常生产
3季度正常生产
3季度加班生产
4季度正常生产
4季度加班生产
25 5
30 2
10 10
8
28
5 3
30
32
20
8
28
8
需求量 25 30 15 45 11 126
126
OR2 38
例题 5 航运调度问题
某航运公司承担六个城市 A,B,C,D,E,F
之间的四条航线，已知各航线的起点、终点及每天所需的航班数如下表。又知各城市之间的航行天数，假定船只型号相同，装卸货时间各一天，问该公司至少要配备多少条船才能满足需要？ 航线 起点 终点 每天航班数
1
2
3
4
E
B
A
D
D
C
F
B
3
2
1
1
OR2 39
例 5 城市之间航行天数表
,Cij A B C D E F
A
B
C
D
E
F
0 1 2 14 7 7
1 0 3 13 8 8
2 3 0 15 5 5
14 13 15 0 17 20
7 8 5 17 0 3
7 8 5 20 3 0
OR2 40
例 5 问题分析问题要求的是在保证需要的前提下，
至少需要多少船只。
所需船只包括两个部分：载货船、空驶船 。
航线 航行天数装卸天数合计 航班数载货船数
1
2
3
4
17
3
7
13
2
2
2
2
19
5
9
15
3
2
1
1
57
10
9
15
OR2 41
例 5 问题分析（续 1）
上表显示：载货船共需 91条，此船何来？
港口 到达 开出 余缺
A
B
C
D
E
F
0
1
2
3
0
1
1
2
0
1
3
0
-1
-1
2
2
-3
1
A B
C
DE
F
1 21
3
调度中心若无空驶，则 91条船刚好够用，
但虚线箭头都是空驶
OR2 42
例五 问题分析（续 2）
所需 91条货船要经调度而来，有的可在一个港口卸货后装运（如一条船从 E到 D
后再起程赴 B）。 若港口没有空船，则要从其它港口调度而来。（规模效益）
由上表可知,C,D,F港口有多余船只可供调出，而 A,B,E港口则需要调入空船。
问题的核心是：如何使空驶船的数量为最少？亦即如何按照最近原则调度船只
OR2 43
例五 问题分析（续 3）
为此建立运输问题数学模型。设 xij表示每天从 i港口调往 j港口的空船数，则 cijxij
就表示 i j航线上周转的船只数,∑cijxij
表示各条线上周转的船只总数
A B E 每天多余船只
C
D
F
2
14
7
3
13
8
5
17
3
2
2
1
每天缺少船只 1 1 3
OR2 44
例五 解题结果
上机求解：
A B E 每天多余船只
C
D
F
1
1
1
1
1
2
2
1
每天缺少船只
1 1 3
空船总需求量 2+5+13+17+3=40条空驶船 40条 +载重船 91条 =131条
OR2 45
例题 6 增产调度问题
工厂 市场
A,B,C 1,2,3,4
1000 1500 1750 900 1000 1900 1500
产量 4250 < 需求 5300
增产方案：
1、加班生产，能力增长 50%，费用增长 50%
2、新建 D厂，产能 2000，投资 200万元
3、新建 E厂，产能 2000，投资 300万元
4、新建 F厂，产能 2000，投资 400万元如何增加生产能力？
OR2 46
例题 6 问题分析
各工厂位于不同城市，原材料、劳动力、
以及运输费各不相同（为什么只考虑可变费用？），计算不同方案对应不同市场的费用，将生产费用和运费统一考虑，
从而决定产销方案。
将四个方案，在可变成本的意义上，分别求其最优产销分配计划，比较优劣。
再加入固定投资因素，进行综合比较。
