大学数学 （二）
脚本编写：曾金平 刘楚中课件制作：曾金平 刘楚中
§ 1 矩阵的概念一、实际例子例 1 设某物质有 m 个产地,n 个销地,如果以 aij 表示由第 i 个产地销往第 j 个销地的数量,则这类物质的调运方案,可用一个数表表示如下：
销量产地
nj aaaa 111211
1 2 … j … … n
m
i
2
1
nj aaaa 222221
inijii aaaa21
mnmjmm aaaa21
记为
mnmjmm
inijii
nj
nj
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
21
21
222221
111211
例 2 解线性方程组
1321 xxx
232 xx
12 321 xxx
11x
232 xx
03?x
1行 — 2行
3行 — 1行
2行 — 3行 11x
22?x
03?x
代替：
1211
2110
1111
r1－ r2
r3－ r1?
0100
2110
1001
r2－ r3
0100
2010
1001
由 m× n 个数 aij ( i = 1,2,…,m ; j = 1,2,…,n)
有次序地排成 m 行 (横排 ) n 列 (竖排 )的数表
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
称为一个 m 行 n 列的 矩阵,简记 (aij)m× n,通常用大写字母 A,B,C,… 表示,m 行 n 列的矩阵 A 也记为 Am× n,构成矩阵 A 的每个数称为矩阵 A 的 元素,而 aij表示矩阵第 i 行,第 j 列的元素 。
定义
1.1
注意：
只有一行的矩阵 A1× n = (a1 a2 … an)
只有一列的矩阵
m
m
a
a
a
2
1
1
称为 列矩阵；
两个矩阵 A,B,若行数,列数都相等,则称 A,B 是 同型 的；
称为 行矩阵；
若 A = (aij)m× n,B = (bij)m× n 是同型的,且
aij = bij (i = 1,2,…,m ; j = 1,2,…,n),
则称 A 与 B 相等,记作 A ＝ B；
元素全为 0 的矩阵称为 零矩阵,记作 O；
不同型的零矩阵是不相等的 。
§ 2 矩阵的运算一、矩阵的加法
1,定义 2.1 设 A = ( aij )m× n,B = ( bij )m× n
则矩阵 C = ( cij ) m× n= ( aij + bij ) m× n
mnmnmmmm
nn
nn
bababa
bababa
bababa
2211
2222222121
1112121111
称为矩阵 A 与 B 的和，记作 C = A+B。
2,性质设 A,B,C,O 都是 m× n 矩阵，则
(1) A + B = B + A
(2) ( A + B ) + C = A + ( B + C )
(3) A + O = O + A = A
二,矩阵的减法
(1) 负矩阵 设 A = ( aij ) m× n,则称
( － aij ) m× n 为 A的负矩阵，简记 － A
显然 A+ (－ A)= O,－ (－ A) = A
(2) 减法,设 A = ( aij ) m× n,B = ( bij ) m× n
A－ B = A + (－ B ) = ( aij－ bij ) m× n
三、数与矩阵的乘法
1,定义 2.2
mnmm
n
n
nmij
aaa
aaa
aaa
aA
21
22221
11211
)(记为? A,即设?是常数,A = ( aij ) m× n,则矩阵
(? aij ) m× n 称为 数? 与矩阵 A 的乘积,
2,性质设 A,B 为 m × n 矩阵,?,μ 为常数
(1) (? μ ) A =? (μ A) = μ (? A );
(2)? ( A + B ) =? A +? B
(3) (? + μ ) A =? A + μ A
(4) 1·A = A
(－ 1)·A = － A
例 2.1 设,
502
134?
A?
301
021B 求 A－ 2B
解,?
602
0422 B
602
042
502
1342 BA
104
172
四、矩阵乘法
1,定义 2.3 设 A = ( aij ) m× s,B = ( bij ) s× n,
是 m× n 矩阵,其中 cij 等于 A 的第 i 行与
B 的第 j 列对应元素的乘积之和,
ijC?
s
k
kjik ba
1
( i = 1,2,…,m ; j = 1,2,…,n)
sjisjiji bababa2211
C＝ AB = ( cij ) m× n则 A 与 B 的乘积例 2.2 设矩阵
,012 301?
A,
02
11
14
B
求乘积 AB 和 BA.
解,
02
11
14
012
301
2332 BA
37
110
012
301
02
11
14
3223 AB
602
311
1216
注,AB? BA 即矩阵乘法不满足交换律例 2.3 设,
11
11?
A,12
12?
B
,31 32?
C
52
51D
试证,(1) AB = 0 ； (2) AC = AD
证：
12
12
11
11AB
O?
00
00
21)2(1 )1(111
2)1()2()1( )1()1(1)1(
31
32
11
11AC?
03
03
52
51
11
11AD
故 AC ＝ AD
1121
)3(131
1)1(2)1( )3()1(3)1(
03
03
2111 51)5(1
2)1(1)1( 5)1()5()1(
3
3?
0
0
3
3?
0
0
比较：
在数的乘法中，若 ab = 0? a = 0 或 b = 0
两个非零矩阵乘积可能为 O。
在矩阵乘法中,若 AB = O? A = O 或 B = O
在矩阵乘法中,若 AC = AD,且 A? O? C = D
在数的乘法中，若 ac = ad,且 a? 0? c = d
(消去律成立 )
(消去律不成立 )
2,性质
(1) ( A B ) C = A ( B C )
(2) A (B + C ) = A B + A C
(3) ( B + C ) A = B A + C A
(4)? ( A B ) = (? A ) B = A (? B ) (其中? 为常数 )
3,线性方程组的矩阵表示设方程组为
11212111 bxaxaxa nn
22222121 bxaxaxa nn
mnmnmm bxaxaxa2211
可表示为简记为 AX＝ B
mnmnmm
n
n
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
2
1
2
1
21
22221
11211
nm? 1?n 1?m
其中
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
称为由线性方程组所确定的 系数矩阵，
m
b
b
b
B
2
1
称为线性方程组的 右端向量。
四、矩阵的转置将矩阵 A m× n的 行换成同序数的列,列换成同序数的行 所得的 n× m 矩阵称为
A的 转置矩阵,记作 AT或 A'。
例如,?
034
201A
02
30
41
TA
则
1,定义 2.4
2,性质
(1) ( AT ) T = A
(2) ( A + B ) T = A T + B T
(3) (? A ) T ＝? A T
(4) ( A B ) T = BT A T
TTTnTn AAAAAA 1221 )(
例 2.4 设,102 211?
A
124
311
012
B 求 ( A B ) T。
解一：
124
311
012
102
211
AB
108
129
11
02
89
)( TBA
解二
( A B ) T = B T A T
12
01
21
130
211
412
11
02
89
,102 211?
A
124
311
012
B
§ 3 方阵与分块矩阵一、方阵定义 3.1
则,lklk AAA
kllk AA?)( (其中,k,l均为正整数 )
记 A·A … A = Ak
k个
kkk BAABABABAB )())(()(
k个行数与列数相同的 n × n 矩阵 A 称为 方阵,n 称为它的 阶数,简记 An 。
二、几类特殊方阵称为 n阶单位矩阵,简记 E
显然 nmnnm AEA
mnmnn BBE
1,单位矩阵
nn?
0
0 1
1
1
nE
2,对角矩阵其中 aij = 0,i? j
nn?
0
0 nna
a
a
22
11
特别：
称为 数量矩阵
n
kEK?
0
0 k
k
k
结论：
(1)
0
0
0
0?
nn
a
a
a
22
11
nn
b
b
b
22
11
0
0 nnnn ba
ba
ba
2222
1111
(2) k为正整数时
0
0?
nn
a
a
a
22
11
k 0
0?
k
nn
k
k
a
a
a
22
11
3,上三角矩阵
,
222
11211
nn
n
n
a
aa
aaa
0
其中 aij = 0,i > j
下三角矩阵其中 aij = 0,i < j
,
21
2221
11
nnnn
aaa
aa
a
0
4,对称矩阵
(1) 若方阵 A满足 AT = A,即 aji = aij,则称 A为对称矩阵 。
(2) 若方阵 A满足 AT = － A,即 aji = － aij,则称
A为 反对称矩阵 。 这时 aii = 0 ( i = 1,2,… n)
例 3.1 设 A为任一方阵,证明,A+AT为对称阵,
A－ AT为反对称阵证,由于
TTTTT AAAA )()( AA T TA
TTTTT AAAA )()( AA T
)( TAA
故 A+AT为对称阵,A－ AT 为反对称阵三、方阵及其行列式
1,方阵 A 对应的行列式记为 |A |或 det (A)
若 |A|? 0,则称方阵 A 是 非奇异 (非退化 )的,
否则,称 A 是 奇异 (退化 )的 。
2,性质：
(1) |? A | =? n | A |
(2) | A B | = | A | | B |
例如, 21 11,43 21 BA
,57 51AB 有 3057 51||AB
而 321 11||,1043 21|| BA
所以 | A B | = | A | | B |
(3) | A m | = | A | m
| A 1 A 2 … A m | = | A 1| | A 2 | … | A m |
推广：
四、分块矩阵如果用若干条贯穿矩阵的横线和纵线将矩阵 A分成若干小块,这样的小块称为矩阵 A的 子块 或 子矩阵,而 A可以看成是以子块为元素的矩阵,称 A
为 分块矩阵 。
1,定义 3.2
例如：
0341
2053
6211
A
，
0341
2053
6211
11A
A11 A12
A21 A22
0341
2053
6211
21A
12A
22A
13A
23A
例 3.2 设
，
0101
1100
0010
0001
A
1000
2100
1000
0101
B
利用分块矩阵求 A+B,AB。
0101
1100
0010
0001
A
1000
2100
1000
0101
B
解：将 A,B分块成
21
0
AA
E
2
1
0 B
EB
11
12
22 －－BA
221
1
BAA
EBE
BA则
,
10
02
1
BE而
1101
1200
1010
0102
BA
故
10 21,00 01,01 11,01 00 2121 BBAA
2
1
21 0
0
B
EB
AA
E
AB
11BA 221 BAA?
21
31
01
00
20
31
22111
1
BAABA
EB
01
00
而
10 21,00 01,01 11,01 00 2121 BBAA
00
01
01
00
10
21
01
11
01
00
2001
3100
1000
0101
5413
2041
3162
A
考察,AT
对于?
1211 AA
2221 AA
5
4
1
3
2
0
4
1
3
1
6
2
T
A
有
12
T
11
T
A
A
22
T
21
T
A
A
2,分块矩阵的转置
A
注,设矩阵 A = ( aij ) m?n 分块为
T
A则
tAAA 11211?
tAAA 22221?
stss AAA?21
T
t
T
T
A
A
A
1
12
11
T
t
T
T
A
A
A
2
22
21
T
st
T
s
T
s
A
A
A
2
1
3,准对角矩阵若方阵 A除主对角线上的子块外,其余子块都为 O,且主对角线的子块均为方阵,
则称 A为 准对角矩阵 。
定义 3.3
0
0 ( Ai 为方阵,i = 1,2,…,m)
即：
A
m
A
A
A
2
1
例如：
3
2
1
A
A
A
0
0
为准对角矩阵。
210000
112000
015000
000600
000041
000023
§ 4 矩阵的初等变换与矩阵的秩一、矩阵的初等变换定义 4.1 对矩阵施行下列三种变换称为矩阵的初等行变换
(1) 互换两行 ( 记作 ri? rj );
(2) 以数 0 乘以某一行 ( 记作?× ri );
(3) 将第 j 行各元素乘以数?后加到第 i 行 的对应元素上去 (记作 ri +? rj )
相应地,矩阵的三种 初等列变换 的记号只需将
r 换成 c。
二、初等矩阵定义 4.2 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为 初等矩阵 。
(1) ri? rj
ci? cj 也得到 P (i,j)
1
1
01
1
10
1
1
第 i 行第 j行
),( jiP
(2)? × ri
× ci 也得到 P ( i (?))
1
1
1
1
0
0
第 i 行))((?iP
(3) ri +? rj
cj +? ci 也得到 P ( i,j (? ) )
1
1
1
1
第 i 行第 j 行
))(,(?jiP
定理 4.1
对 A施行一次 初等行变换,相当于在 A的 左侧乘以一个相应的初等矩阵 ；
对 A施行一次 初等列变换,相当于在 A的 右侧乘以一个相应的初等矩阵 ；
例如：
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
A
设 A是一个 m × n 矩阵
(1) A r1? r2
34333231
14131211
24232221
aaaa
aaaa
aaaa
P(1,2) A
34333231
14131211
24232221
aaaa
aaaa
aaaa
100
001
010
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
(2) A c3? c4
33343231
23242221
13141211
aaaa
aaaa
aaaa
A P(3,4)
0100
1000
0010
0001
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
33343231
23242221
13141211
aaaa
aaaa
aaaa
二、矩阵的秩
1,k 阶子式定义 4.3 设 A 为 m× n 矩阵,在 A 中任取 k 行 k 列
(1? k? min (m,n)),由这 k 行,k 列的交叉处的 k2 个元素 (按原来的前后顺序 )所构成的
k 阶行列式,称为矩阵 A的一个 k 阶子式 。
例如：
5000
4320
0101
A
一个 2阶子式 550 01
例如：
5000
4320
0101
A
一个 2阶子式 550 01
一个 3阶子式 10
500
420
001
(1) A 的每个元素 aij 都是 A 的一个一阶子式
(2) 当 A 为 n 阶方阵时,n阶子式即为 | A |
注：
2,矩阵的秩例如：
中有一个三阶子式
5000
4320
0101
A
010
500
420
001
r(A) = 3
定义 4.4 矩阵 A的不为 0的子式的最高阶数称为矩阵
A的 秩,记为 r (A)。
( 显然 r (A)? min (m,n) )
规定：
注：
(1) 非奇异矩阵 A,有 | A |? 0,A的秩就等于它的阶数,A又称为 满秩矩阵 。
(2) 奇异矩阵 A,也称为 降秩矩阵 。
定理 4.2 若矩阵 A 中至少有一个 k 阶子式不为 0，
而所有 k+1 阶子式全为 0,则 r ( A ) = k。
零矩阵的秩为 0，即 r (O) = 0
3,初等变换求矩阵的秩定理 4.3 对矩阵施行初等变换,矩阵的秩不变例,.
34333
23012
66242
02121
的秩求矩阵
A
解：
34333
23012
66242
02121
A
12 2rr?
02121
62000?
21230?
13 2rr?
32690?
14 3rr?
阶梯形r ( A ) = 3
32690
21230
62000
02121
A 32 rr?
02121
62000?
21230?
32690?
34 rr?
62000?
369
23 3rr?
21230
02121
31000?
62000?
34 2rr?
31000
21230
02121
00000
100
130
221
3? 0?
进一步
A
00000
00100
00010
00001
A的 标准形注：若 A为 n 阶满秩方阵,则 其 标准形为 n 阶单位阵 E。
00000
30100
22130
01221
00000
30100
**030
**021
00000
30100
**030
**001
00000
00100
00030
00001
00000
31000
21230
02121
43 cc?
100
010
001
rE
0
0
0
0
0
0
0
0
00
00
00
§ 5 可 逆 矩 阵一、逆矩阵的概念与性质
1,定义 5.1
AB = BA = E
则称 B 为 A 的 逆矩阵,并称 A 可逆，记为
A－ 1=B。
设 A是一个 n阶方阵，若存在 n阶方阵 B
使例如：,
52
21?
A?
12
25B
有?
12
25
52
21
10
01
52
21
12
25
所以 B 是 A 的逆阵，同时 A 也是 B 的逆阵。
例 5.1 设 a11 a22 … ann? 0,
nn
a
a
a
22
11 0
0 n
nn
E
a
a
a
1
1
22
1
11
0
0
由于：
1
22
11
nn
a
a
0
0?
1
1
22
1
11
nn
a
a
a
0
0
所以例 5.2 若方阵 A1 A2 … Am 均可逆,可证
1
2
1
m
A
A
A
0
0?
1
1
2
1
1
m
A
A
A
0
0
定理 5.1 (唯一性 )
若方阵 A 的逆矩阵 A－ 1 存在，则唯一,
证：设 B,C均是 A的逆矩阵，则
B
所以 A的逆矩阵唯一。
= BE = B(AC) = (BA)C = EC = C
2,逆矩阵的求法之一：
矩阵
nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
A
21
22212
12111
*
称为 A 的 伴随矩阵定义 5.2,设 A = (aij)n× n,Aij是 |A | 中元素 aij 的代数余子式 ( i,j = 1,2,…,n );
可得：
A A* = A* A
||00
0||0
00||
A
A
A
= |A | E
定理 5.2
*1
||
1 A
AA?
且方阵 A 是满秩矩阵 A 存在逆矩阵例 5.3 求矩阵?
52
21A 的逆矩阵解,01
52
21||A
故 A 可逆，又 A11＝ 5,A12＝－ 2,A21＝－ 2,A22＝ 1
则?
12
25*A
所以 *1
||
1 A
AA?
12
25
例 5.4 设 A 是可逆阵，证明：
(1) 若 A X = A Y? X = Y
(2) 若 A B =O? B = O
证：
A－ 1 ( A X ) = A－ 1 ( A Y )
( A－ 1 A ) X = ( A－ 1 A ) Y
EX = EY X = Y
(1) A X = A Y由所以
(2) 由 AB =O,有 A－ 1 (AB) = A－ 1 O
所以 B =O( A－ 1 A ) B = O
3,逆矩阵的性质
(1) 若 A,B均为 n阶方阵,且 A B = E (或 B A =E )，
则 B＝ A－ 1
证：
|A| |B| = |E| = 1? |A|? 0
A－ 1存在，且 A－ 1 = A－ 1E = A－ 1(AB)
= (A－ 1A) B = EB = B
设 A B = E
同理可证 B A =E 的情形
(2) ( A－ 1 )－ 1 = A
(3) 若 A可逆, 0 为常数,则
11 1)( AA
(4) 若 A,B 均为 n阶可逆矩阵,则 (AB)－ 1 = B－ 1A－ 1。
特别,当 |A|? 0,有 (A m )－ 1 = (A－ 1 ) m (m为正整数 )
若 A1,A2,…,Am均为 n阶可逆矩阵,则
( A1 A2 … Am)－ 1 = Am－ 1… A2－ 1 A1－ 1
推广：
证明,因为 (AB)(B－ 1A－ 1)
= A E A－ 1 = E
所以 (AB)－ 1 = B－ 1A－ 1
= A ( B B－ 1 ) A－ 1
(5)
||
1|||| 11
A
AA
这是因为 | A－ 1 | | A | = | E | = 1
二、初等行变换求逆矩阵 (方法二 )
1,初等矩阵都是可逆矩阵，
2,初等矩阵的逆矩阵仍然是初等矩阵
),()],([ 1 jiPjiP
))1(() ) ](([ 1
iPiP
))(,())](,([ 1 jiPjiP
定理 5.3 若方阵 A可逆,则存在有限个初等矩阵
P1,P2,… Pm,使 A = P1 P2 … Pm
证：因为 A可逆,则 r(A) = n,标准形为 En，
Q1 Q2 … Q sAQs+1… Q m = En
即得证存在有限次初等变换使 A化为 En，
Q1,Q2,…,Qm,使故存在有限个初等矩阵
nsms EQQQQAQ 111211 11121 QQQ s
1 1111121 sms QQQQQA
mPPP?21?
11121 PPP m?
表示为：
A = P1 P2 … Pm
EA
E 11121 PPP m?A－ 1
( A E ) ( E A－ 1 )初等行变换例 5.4 设,
343
122
321
A 求 A－ 1.
解,
100343
010122
001321
)( EA
r2－ 2r1
r3－ 3r1?
103620
012520
001321
103620
012520
001321
111100
012520
011201
111100
563020
231001
r1 － 2r3
r2 － 5r3
111100
2/532/3010
231001
)21(2r
)1(3r
r1 + r2
r3 － r2
故
111
2/532/3
231
1A
对 A 也可通过初等列变换求 A－ 1
E
A
初等列变换
1A
E
A = P1 P2 … Pm
注：
表示为：
11121 PPP m? EA
E A－ 1 1
1121 PPP m?
对于 n元线性方程组
AX = B
则 X＝ A－ 1B
|A|? 0,A－ 1存在若三、逆矩阵的应用
1,解线性方程组例 5.5 解方程组
x1 + 2 x2 + 3 x3 = 1
2 x1 + 2 x2 + x3 =?1
3 x1 + 4 x2 + 3 x3 = 3
解,方程组简记为
,
343
122
321
A,
3
1
1
B,
3
2
1
x
x
x
X
X = A?1 B
由于 | A | = 2? 0,A可逆，故
A X = B
其中而
,
111
25323
231
1
A
3
2
1
x
x
x
X BA
1
111
25323
231
3
1
1
3
9
8
即 x1=? 8,x2= 9,x3=? 3.
2 解矩阵方程
31
52
41
213
124
021
X例 5.6 解矩阵方程解,矩阵方程简记为 A X = B
31
52
41
213
124
021
1
1 BAX
17
213
124
021
A?
0? A－ 1存在
31
52
41
652
1211
245
17
1
356
3716
615
17
1
例 5.7 解矩阵方程 AX + E = A2 + X
其中
,
101
020
101
A
E 为三阶单位矩阵,
解,由 AX + E = A2 + X,
即 ( A?E ) X = ( A? E )( A + E ).
得 AX? X = A2? E,
,
001
010
100
EA而 所以 A?E 可逆,
故 X = A + E
100
010
001
101
020
101
201
030
102
( A?E ) X = ( A? E )( A + E )
所以 (A－ E)－ 1( A?E ) X = (A－ E)－ 1( A? E )( A + E ).
脚本编写：曾金平 刘楚中课件制作：曾金平 刘楚中
§ 1 矩阵的概念一、实际例子例 1 设某物质有 m 个产地,n 个销地,如果以 aij 表示由第 i 个产地销往第 j 个销地的数量,则这类物质的调运方案,可用一个数表表示如下：
销量产地
nj aaaa 111211
1 2 … j … … n
m
i
2
1
nj aaaa 222221
inijii aaaa21
mnmjmm aaaa21
记为
mnmjmm
inijii
nj
nj
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
21
21
222221
111211
例 2 解线性方程组
1321 xxx
232 xx
12 321 xxx
11x
232 xx
03?x
1行 — 2行
3行 — 1行
2行 — 3行 11x
22?x
03?x
代替：
1211
2110
1111
r1－ r2
r3－ r1?
0100
2110
1001
r2－ r3
0100
2010
1001
由 m× n 个数 aij ( i = 1,2,…,m ; j = 1,2,…,n)
有次序地排成 m 行 (横排 ) n 列 (竖排 )的数表
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
称为一个 m 行 n 列的 矩阵,简记 (aij)m× n,通常用大写字母 A,B,C,… 表示,m 行 n 列的矩阵 A 也记为 Am× n,构成矩阵 A 的每个数称为矩阵 A 的 元素,而 aij表示矩阵第 i 行,第 j 列的元素 。
定义
1.1
注意：
只有一行的矩阵 A1× n = (a1 a2 … an)
只有一列的矩阵
m
m
a
a
a
2
1
1
称为 列矩阵；
两个矩阵 A,B,若行数,列数都相等,则称 A,B 是 同型 的；
称为 行矩阵；
若 A = (aij)m× n,B = (bij)m× n 是同型的,且
aij = bij (i = 1,2,…,m ; j = 1,2,…,n),
则称 A 与 B 相等,记作 A ＝ B；
元素全为 0 的矩阵称为 零矩阵,记作 O；
不同型的零矩阵是不相等的 。
§ 2 矩阵的运算一、矩阵的加法
1,定义 2.1 设 A = ( aij )m× n,B = ( bij )m× n
则矩阵 C = ( cij ) m× n= ( aij + bij ) m× n
mnmnmmmm
nn
nn
bababa
bababa
bababa
2211
2222222121
1112121111
称为矩阵 A 与 B 的和，记作 C = A+B。
2,性质设 A,B,C,O 都是 m× n 矩阵，则
(1) A + B = B + A
(2) ( A + B ) + C = A + ( B + C )
(3) A + O = O + A = A
二,矩阵的减法
(1) 负矩阵 设 A = ( aij ) m× n,则称
( － aij ) m× n 为 A的负矩阵，简记 － A
显然 A+ (－ A)= O,－ (－ A) = A
(2) 减法,设 A = ( aij ) m× n,B = ( bij ) m× n
A－ B = A + (－ B ) = ( aij－ bij ) m× n
三、数与矩阵的乘法
1,定义 2.2
mnmm
n
n
nmij
aaa
aaa
aaa
aA
21
22221
11211
)(记为? A,即设?是常数,A = ( aij ) m× n,则矩阵
(? aij ) m× n 称为 数? 与矩阵 A 的乘积,
2,性质设 A,B 为 m × n 矩阵,?,μ 为常数
(1) (? μ ) A =? (μ A) = μ (? A );
(2)? ( A + B ) =? A +? B
(3) (? + μ ) A =? A + μ A
(4) 1·A = A
(－ 1)·A = － A
例 2.1 设,
502
134?
A?
301
021B 求 A－ 2B
解,?
602
0422 B
602
042
502
1342 BA
104
172
四、矩阵乘法
1,定义 2.3 设 A = ( aij ) m× s,B = ( bij ) s× n,
是 m× n 矩阵,其中 cij 等于 A 的第 i 行与
B 的第 j 列对应元素的乘积之和,
ijC?
s
k
kjik ba
1
( i = 1,2,…,m ; j = 1,2,…,n)
sjisjiji bababa2211
C＝ AB = ( cij ) m× n则 A 与 B 的乘积例 2.2 设矩阵
,012 301?
A,
02
11
14
B
求乘积 AB 和 BA.
解,
02
11
14
012
301
2332 BA
37
110
012
301
02
11
14
3223 AB
602
311
1216
注,AB? BA 即矩阵乘法不满足交换律例 2.3 设,
11
11?
A,12
12?
B
,31 32?
C
52
51D
试证,(1) AB = 0 ； (2) AC = AD
证：
12
12
11
11AB
O?
00
00
21)2(1 )1(111
2)1()2()1( )1()1(1)1(
31
32
11
11AC?
03
03
52
51
11
11AD
故 AC ＝ AD
1121
)3(131
1)1(2)1( )3()1(3)1(
03
03
2111 51)5(1
2)1(1)1( 5)1()5()1(
3
3?
0
0
3
3?
0
0
比较：
在数的乘法中，若 ab = 0? a = 0 或 b = 0
两个非零矩阵乘积可能为 O。
在矩阵乘法中,若 AB = O? A = O 或 B = O
在矩阵乘法中,若 AC = AD,且 A? O? C = D
在数的乘法中，若 ac = ad,且 a? 0? c = d
(消去律成立 )
(消去律不成立 )
2,性质
(1) ( A B ) C = A ( B C )
(2) A (B + C ) = A B + A C
(3) ( B + C ) A = B A + C A
(4)? ( A B ) = (? A ) B = A (? B ) (其中? 为常数 )
3,线性方程组的矩阵表示设方程组为
11212111 bxaxaxa nn
22222121 bxaxaxa nn
mnmnmm bxaxaxa2211
可表示为简记为 AX＝ B
mnmnmm
n
n
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
2
1
2
1
21
22221
11211
nm? 1?n 1?m
其中
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
称为由线性方程组所确定的 系数矩阵，
m
b
b
b
B
2
1
称为线性方程组的 右端向量。
四、矩阵的转置将矩阵 A m× n的 行换成同序数的列,列换成同序数的行 所得的 n× m 矩阵称为
A的 转置矩阵,记作 AT或 A'。
例如,?
034
201A
02
30
41
TA
则
1,定义 2.4
2,性质
(1) ( AT ) T = A
(2) ( A + B ) T = A T + B T
(3) (? A ) T ＝? A T
(4) ( A B ) T = BT A T
TTTnTn AAAAAA 1221 )(
例 2.4 设,102 211?
A
124
311
012
B 求 ( A B ) T。
解一：
124
311
012
102
211
AB
108
129
11
02
89
)( TBA
解二
( A B ) T = B T A T
12
01
21
130
211
412
11
02
89
,102 211?
A
124
311
012
B
§ 3 方阵与分块矩阵一、方阵定义 3.1
则,lklk AAA
kllk AA?)( (其中,k,l均为正整数 )
记 A·A … A = Ak
k个
kkk BAABABABAB )())(()(
k个行数与列数相同的 n × n 矩阵 A 称为 方阵,n 称为它的 阶数,简记 An 。
二、几类特殊方阵称为 n阶单位矩阵,简记 E
显然 nmnnm AEA
mnmnn BBE
1,单位矩阵
nn?
0
0 1
1
1
nE
2,对角矩阵其中 aij = 0,i? j
nn?
0
0 nna
a
a
22
11
特别：
称为 数量矩阵
n
kEK?
0
0 k
k
k
结论：
(1)
0
0
0
0?
nn
a
a
a
22
11
nn
b
b
b
22
11
0
0 nnnn ba
ba
ba
2222
1111
(2) k为正整数时
0
0?
nn
a
a
a
22
11
k 0
0?
k
nn
k
k
a
a
a
22
11
3,上三角矩阵
,
222
11211
nn
n
n
a
aa
aaa
0
其中 aij = 0,i > j
下三角矩阵其中 aij = 0,i < j
,
21
2221
11
nnnn
aaa
aa
a
0
4,对称矩阵
(1) 若方阵 A满足 AT = A,即 aji = aij,则称 A为对称矩阵 。
(2) 若方阵 A满足 AT = － A,即 aji = － aij,则称
A为 反对称矩阵 。 这时 aii = 0 ( i = 1,2,… n)
例 3.1 设 A为任一方阵,证明,A+AT为对称阵,
A－ AT为反对称阵证,由于
TTTTT AAAA )()( AA T TA
TTTTT AAAA )()( AA T
)( TAA
故 A+AT为对称阵,A－ AT 为反对称阵三、方阵及其行列式
1,方阵 A 对应的行列式记为 |A |或 det (A)
若 |A|? 0,则称方阵 A 是 非奇异 (非退化 )的,
否则,称 A 是 奇异 (退化 )的 。
2,性质：
(1) |? A | =? n | A |
(2) | A B | = | A | | B |
例如, 21 11,43 21 BA
,57 51AB 有 3057 51||AB
而 321 11||,1043 21|| BA
所以 | A B | = | A | | B |
(3) | A m | = | A | m
| A 1 A 2 … A m | = | A 1| | A 2 | … | A m |
推广：
四、分块矩阵如果用若干条贯穿矩阵的横线和纵线将矩阵 A分成若干小块,这样的小块称为矩阵 A的 子块 或 子矩阵,而 A可以看成是以子块为元素的矩阵,称 A
为 分块矩阵 。
1,定义 3.2
例如：
0341
2053
6211
A
，
0341
2053
6211
11A
A11 A12
A21 A22
0341
2053
6211
21A
12A
22A
13A
23A
例 3.2 设
，
0101
1100
0010
0001
A
1000
2100
1000
0101
B
利用分块矩阵求 A+B,AB。
0101
1100
0010
0001
A
1000
2100
1000
0101
B
解：将 A,B分块成
21
0
AA
E
2
1
0 B
EB
11
12
22 －－BA
221
1
BAA
EBE
BA则
,
10
02
1
BE而
1101
1200
1010
0102
BA
故
10 21,00 01,01 11,01 00 2121 BBAA
2
1
21 0
0
B
EB
AA
E
AB
11BA 221 BAA?
21
31
01
00
20
31
22111
1
BAABA
EB
01
00
而
10 21,00 01,01 11,01 00 2121 BBAA
00
01
01
00
10
21
01
11
01
00
2001
3100
1000
0101
5413
2041
3162
A
考察,AT
对于?
1211 AA
2221 AA
5
4
1
3
2
0
4
1
3
1
6
2
T
A
有
12
T
11
T
A
A
22
T
21
T
A
A
2,分块矩阵的转置
A
注,设矩阵 A = ( aij ) m?n 分块为
T
A则
tAAA 11211?
tAAA 22221?
stss AAA?21
T
t
T
T
A
A
A
1
12
11
T
t
T
T
A
A
A
2
22
21
T
st
T
s
T
s
A
A
A
2
1
3,准对角矩阵若方阵 A除主对角线上的子块外,其余子块都为 O,且主对角线的子块均为方阵,
则称 A为 准对角矩阵 。
定义 3.3
0
0 ( Ai 为方阵,i = 1,2,…,m)
即：
A
m
A
A
A
2
1
例如：
3
2
1
A
A
A
0
0
为准对角矩阵。
210000
112000
015000
000600
000041
000023
§ 4 矩阵的初等变换与矩阵的秩一、矩阵的初等变换定义 4.1 对矩阵施行下列三种变换称为矩阵的初等行变换
(1) 互换两行 ( 记作 ri? rj );
(2) 以数 0 乘以某一行 ( 记作?× ri );
(3) 将第 j 行各元素乘以数?后加到第 i 行 的对应元素上去 (记作 ri +? rj )
相应地,矩阵的三种 初等列变换 的记号只需将
r 换成 c。
二、初等矩阵定义 4.2 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为 初等矩阵 。
(1) ri? rj
ci? cj 也得到 P (i,j)
1
1
01
1
10
1
1
第 i 行第 j行
),( jiP
(2)? × ri
× ci 也得到 P ( i (?))
1
1
1
1
0
0
第 i 行))((?iP
(3) ri +? rj
cj +? ci 也得到 P ( i,j (? ) )
1
1
1
1
第 i 行第 j 行
))(,(?jiP
定理 4.1
对 A施行一次 初等行变换,相当于在 A的 左侧乘以一个相应的初等矩阵 ；
对 A施行一次 初等列变换,相当于在 A的 右侧乘以一个相应的初等矩阵 ；
例如：
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
A
设 A是一个 m × n 矩阵
(1) A r1? r2
34333231
14131211
24232221
aaaa
aaaa
aaaa
P(1,2) A
34333231
14131211
24232221
aaaa
aaaa
aaaa
100
001
010
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
(2) A c3? c4
33343231
23242221
13141211
aaaa
aaaa
aaaa
A P(3,4)
0100
1000
0010
0001
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
33343231
23242221
13141211
aaaa
aaaa
aaaa
二、矩阵的秩
1,k 阶子式定义 4.3 设 A 为 m× n 矩阵,在 A 中任取 k 行 k 列
(1? k? min (m,n)),由这 k 行,k 列的交叉处的 k2 个元素 (按原来的前后顺序 )所构成的
k 阶行列式,称为矩阵 A的一个 k 阶子式 。
例如：
5000
4320
0101
A
一个 2阶子式 550 01
例如：
5000
4320
0101
A
一个 2阶子式 550 01
一个 3阶子式 10
500
420
001
(1) A 的每个元素 aij 都是 A 的一个一阶子式
(2) 当 A 为 n 阶方阵时,n阶子式即为 | A |
注：
2,矩阵的秩例如：
中有一个三阶子式
5000
4320
0101
A
010
500
420
001
r(A) = 3
定义 4.4 矩阵 A的不为 0的子式的最高阶数称为矩阵
A的 秩,记为 r (A)。
( 显然 r (A)? min (m,n) )
规定：
注：
(1) 非奇异矩阵 A,有 | A |? 0,A的秩就等于它的阶数,A又称为 满秩矩阵 。
(2) 奇异矩阵 A,也称为 降秩矩阵 。
定理 4.2 若矩阵 A 中至少有一个 k 阶子式不为 0，
而所有 k+1 阶子式全为 0,则 r ( A ) = k。
零矩阵的秩为 0，即 r (O) = 0
3,初等变换求矩阵的秩定理 4.3 对矩阵施行初等变换,矩阵的秩不变例,.
34333
23012
66242
02121
的秩求矩阵
A
解：
34333
23012
66242
02121
A
12 2rr?
02121
62000?
21230?
13 2rr?
32690?
14 3rr?
阶梯形r ( A ) = 3
32690
21230
62000
02121
A 32 rr?
02121
62000?
21230?
32690?
34 rr?
62000?
369
23 3rr?
21230
02121
31000?
62000?
34 2rr?
31000
21230
02121
00000
100
130
221
3? 0?
进一步
A
00000
00100
00010
00001
A的 标准形注：若 A为 n 阶满秩方阵,则 其 标准形为 n 阶单位阵 E。
00000
30100
22130
01221
00000
30100
**030
**021
00000
30100
**030
**001
00000
00100
00030
00001
00000
31000
21230
02121
43 cc?
100
010
001
rE
0
0
0
0
0
0
0
0
00
00
00
§ 5 可 逆 矩 阵一、逆矩阵的概念与性质
1,定义 5.1
AB = BA = E
则称 B 为 A 的 逆矩阵,并称 A 可逆，记为
A－ 1=B。
设 A是一个 n阶方阵，若存在 n阶方阵 B
使例如：,
52
21?
A?
12
25B
有?
12
25
52
21
10
01
52
21
12
25
所以 B 是 A 的逆阵，同时 A 也是 B 的逆阵。
例 5.1 设 a11 a22 … ann? 0,
nn
a
a
a
22
11 0
0 n
nn
E
a
a
a
1
1
22
1
11
0
0
由于：
1
22
11
nn
a
a
0
0?
1
1
22
1
11
nn
a
a
a
0
0
所以例 5.2 若方阵 A1 A2 … Am 均可逆,可证
1
2
1
m
A
A
A
0
0?
1
1
2
1
1
m
A
A
A
0
0
定理 5.1 (唯一性 )
若方阵 A 的逆矩阵 A－ 1 存在，则唯一,
证：设 B,C均是 A的逆矩阵，则
B
所以 A的逆矩阵唯一。
= BE = B(AC) = (BA)C = EC = C
2,逆矩阵的求法之一：
矩阵
nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
A
21
22212
12111
*
称为 A 的 伴随矩阵定义 5.2,设 A = (aij)n× n,Aij是 |A | 中元素 aij 的代数余子式 ( i,j = 1,2,…,n );
可得：
A A* = A* A
||00
0||0
00||
A
A
A
= |A | E
定理 5.2
*1
||
1 A
AA?
且方阵 A 是满秩矩阵 A 存在逆矩阵例 5.3 求矩阵?
52
21A 的逆矩阵解,01
52
21||A
故 A 可逆，又 A11＝ 5,A12＝－ 2,A21＝－ 2,A22＝ 1
则?
12
25*A
所以 *1
||
1 A
AA?
12
25
例 5.4 设 A 是可逆阵，证明：
(1) 若 A X = A Y? X = Y
(2) 若 A B =O? B = O
证：
A－ 1 ( A X ) = A－ 1 ( A Y )
( A－ 1 A ) X = ( A－ 1 A ) Y
EX = EY X = Y
(1) A X = A Y由所以
(2) 由 AB =O,有 A－ 1 (AB) = A－ 1 O
所以 B =O( A－ 1 A ) B = O
3,逆矩阵的性质
(1) 若 A,B均为 n阶方阵,且 A B = E (或 B A =E )，
则 B＝ A－ 1
证：
|A| |B| = |E| = 1? |A|? 0
A－ 1存在，且 A－ 1 = A－ 1E = A－ 1(AB)
= (A－ 1A) B = EB = B
设 A B = E
同理可证 B A =E 的情形
(2) ( A－ 1 )－ 1 = A
(3) 若 A可逆, 0 为常数,则
11 1)( AA
(4) 若 A,B 均为 n阶可逆矩阵,则 (AB)－ 1 = B－ 1A－ 1。
特别,当 |A|? 0,有 (A m )－ 1 = (A－ 1 ) m (m为正整数 )
若 A1,A2,…,Am均为 n阶可逆矩阵,则
( A1 A2 … Am)－ 1 = Am－ 1… A2－ 1 A1－ 1
推广：
证明,因为 (AB)(B－ 1A－ 1)
= A E A－ 1 = E
所以 (AB)－ 1 = B－ 1A－ 1
= A ( B B－ 1 ) A－ 1
(5)
||
1|||| 11
A
AA
这是因为 | A－ 1 | | A | = | E | = 1
二、初等行变换求逆矩阵 (方法二 )
1,初等矩阵都是可逆矩阵，
2,初等矩阵的逆矩阵仍然是初等矩阵
),()],([ 1 jiPjiP
))1(() ) ](([ 1
iPiP
))(,())](,([ 1 jiPjiP
定理 5.3 若方阵 A可逆,则存在有限个初等矩阵
P1,P2,… Pm,使 A = P1 P2 … Pm
证：因为 A可逆,则 r(A) = n,标准形为 En，
Q1 Q2 … Q sAQs+1… Q m = En
即得证存在有限次初等变换使 A化为 En，
Q1,Q2,…,Qm,使故存在有限个初等矩阵
nsms EQQQQAQ 111211 11121 QQQ s
1 1111121 sms QQQQQA
mPPP?21?
11121 PPP m?
表示为：
A = P1 P2 … Pm
EA
E 11121 PPP m?A－ 1
( A E ) ( E A－ 1 )初等行变换例 5.4 设,
343
122
321
A 求 A－ 1.
解,
100343
010122
001321
)( EA
r2－ 2r1
r3－ 3r1?
103620
012520
001321
103620
012520
001321
111100
012520
011201
111100
563020
231001
r1 － 2r3
r2 － 5r3
111100
2/532/3010
231001
)21(2r
)1(3r
r1 + r2
r3 － r2
故
111
2/532/3
231
1A
对 A 也可通过初等列变换求 A－ 1
E
A
初等列变换
1A
E
A = P1 P2 … Pm
注：
表示为：
11121 PPP m? EA
E A－ 1 1
1121 PPP m?
对于 n元线性方程组
AX = B
则 X＝ A－ 1B
|A|? 0,A－ 1存在若三、逆矩阵的应用
1,解线性方程组例 5.5 解方程组
x1 + 2 x2 + 3 x3 = 1
2 x1 + 2 x2 + x3 =?1
3 x1 + 4 x2 + 3 x3 = 3
解,方程组简记为
,
343
122
321
A,
3
1
1
B,
3
2
1
x
x
x
X
X = A?1 B
由于 | A | = 2? 0,A可逆，故
A X = B
其中而
,
111
25323
231
1
A
3
2
1
x
x
x
X BA
1
111
25323
231
3
1
1
3
9
8
即 x1=? 8,x2= 9,x3=? 3.
2 解矩阵方程
31
52
41
213
124
021
X例 5.6 解矩阵方程解,矩阵方程简记为 A X = B
31
52
41
213
124
021
1
1 BAX
17
213
124
021
A?
0? A－ 1存在
31
52
41
652
1211
245
17
1
356
3716
615
17
1
例 5.7 解矩阵方程 AX + E = A2 + X
其中
,
101
020
101
A
E 为三阶单位矩阵,
解,由 AX + E = A2 + X,
即 ( A?E ) X = ( A? E )( A + E ).
得 AX? X = A2? E,
,
001
010
100
EA而 所以 A?E 可逆,
故 X = A + E
100
010
001
101
020
101
201
030
102
( A?E ) X = ( A? E )( A + E )
所以 (A－ E)－ 1( A?E ) X = (A－ E)－ 1( A? E )( A + E ).
