大学数学 （二）
脚本编写：曾金平 刘楚中课件制作：曾金平 刘楚中
§ 1 线性方程组的 Gauss消元法本节讨论线性方程
a11x1 + a12x2 + …+ a1nxn =b1,
a21x1 + a22x2 + …+ a2nxn =b2,
as1x1 + as2x2 + …+ asnxn =bs
的消元法,
(1.1)
………………
先看例子例 1.1解方程组：
2x1?x2+3x3=1,
4x1+2x2+5x3=4,
2x1 +2x3=6.
解,第二个方程减去第一个方程的 2倍，第三个方程减去第一个方程，得
2x1? x2 + 3x3=1,
4x2? x3=2，
x2? x3=5;
同解方程组交换第二、三个方程
2x1?x2+3x3=1,
x2?x3=5,
4x2?x3=2;
第三个方程减去第二个方程的 4倍
2x1?x2+3x3= 1,
x2?x3= 5,
=?18;3x3
第三个方程乘以
3
1
2x1?x2+3x3= 1,
x2?x3= 5,
x3=?6;
第二个方程加第三个方程
2x1?x2+3x3= 1,
x2 =? 1,
x3=?6;
第一个方程加第二个方程再减第三个方程的 3倍
2x1 = 18,
x2 =? 1,
x3=?6;
第一个方程乘以
2
1
x1 = 9,
x2 =? 1,
x3 =?6.
2x1?x2+3x3= 1,
x2 =? 1,
x3=?6;
在上述求解过程中，不难看出，我们实际上反复对方程组进行如下三个基本变换：
1,用一非零数乘某一方程，
2,把一个方程的倍数加到另一个方程，
3,互换两个方程的位置,
定义 1.1上述三种变换称为线性方程组的初等变换,
定理 1.1方程组经初等变换变成同解方程组,
下面考虑一般线性方程组 (1.1):
先检查 x1 的系数,如果全为零,则 (1.1) 对 x1 没有限制,x1 可任意取值,即 (1.1) 可看作 x2,x3,…,xn
的 n?1 元线性方程组,否则,x1的系数不全为零，
则可用初等变换 3,使 (1.1) 变成第一个方程中 x1 系数不为零的同解方程组,故可不妨令 a11?0.
利用变换 2,将第 i 个方程加上第一个方程的
,)(
11
1 倍
a
a i? 于是 (1.1)变为
a11x1+a12x2+…+ a1nxn=b1,
a’22 x2+…+ a’2nxn=b’2,
a’s2 x2+…+ a’snxn=b’s.
(1.2)
其中 a’ij=aij +a1j
)(
11
1
a
ai?
= aij?ai1 a1j /a11,
b’i=bi +b1
)(
11
1
a
ai?
= bi?ai1 b1/a11.
因此解方程组 (1.1) 就归结于解 n?1元方程组
a'22x2+…+ a'2nxn=b'2
a's2x2+…+ a'snxn=b's
(1.3)
也即 (1.1) 有解再对 (1.3) 作类似变换，易知，最后方程组变成同解的阶梯形方程组，为方便起见，不妨设所得方程组为
(1.2) 有解 (1.3) 有解,
c11x1+c12x2+…+ c1rxr+…+ c1nxn=d1
c22x2+…+ c2rxr+…+ c2nxn=d2
c
rrxr+…+ crnxn=dr
0=dr+1
0=0
0=0
(1.4)
其中 cii?0,i=1,2,…,r.
显然,(1.4)有解(1.1)有解,
dr+1 = 0
若 dr+1 = 0,分两种情形
1) r=n,此时，阶梯方程组为
c11x1+…+ c1nxn=d1,
c
nnxn=dn,
此时，上述方程组，称为上三角方程组，且其解可由最后一个方程依次回代，逐步求得 xn,
xn?1,…,x1.
2) r < n,此时方程组可改写成为
c11x1+c12x2+…+ c1rxr =d1?c1r+1xr+1?…?c1nxn
c22x2+…+ c2rxr =d2?c2r+1xr+1?…?c2nxn
c
rrxr =dr?crr+1xr+1?…?crnxn
由此可见，任给 xr+1,…,xn 一组值，都可唯一确定出 x1,x2,…,xr,也即方程组有无穷解,此时，
x1,x2,…,xr 可用 xr+1,…,xn 表示出来,xr+1,…,xn
称为自由变量,
例 1.2 解方程组：
2x1?x2+3x3=1,
4x1?2x2+5x3=4,
2x1?x2+4x3=0.
解,经初等变换，得
2x1?x2+3x3=1,
x3
x3
= 2,
=?1.
2x1?x2+3x3=1,
x3=2,
0
2x1 +3x3?x2=1,
x3 =2,
0=1.
r=2 < 3=n.
dr+1=1?0,故无解,
=1.
例 1.3 再解例 1.1,方程组对应的同解阶梯方程组为
2x1?x2+3x3=1,
x2?x3=5,
3x3=?18.
r=3=n,有唯一解,
经回代，知 x3=?6,x2=?1,x1=9.
2x1?x2+3x3=1,
4x1?2x2+5x3=4,
2x1?x2+4x3=?1.
例 1.4 解方程组：
解,经初等变换，得
2x1?x2+3x3=1,
x3
x3
=2,
=?2.
2x1?x2+3x3=1,
x3=2,
0
2x1 +3x3?x2=1,
x3 =2,
0=0.
r=2 < 3=n,dr+1=0,有 无穷解,
x3=?2,
x1=(7+x2)/2,其中 x2为自由变量,
(1.5)
=0.
还可以看出,(1.5)也可变为
x2 +3x3 +2x1=1,
x3 =2,
0=0.
x3=?2,
x2=?7+2x1,其中 x1 为自由变量,
即自由变量不唯一,
2x1?x2+3x3=1,
x3=2,
0
(1.5)
=0.
定理 1.1 线性方程组 (1.1),可经初等变换化为阶梯形方程组 (变量次序可能不同）,
c11x1+c12x2+…+ c1rxr+…+ c1nxn=d1,
c22x2+…+ c2rxr+…+ c2nxn=d2,
crrxr+…+ crnxn=dr,
0=dr+1,
0=0.
(1.4)
其中 cii?0,i=1,2,…,r,
且 (I) (1.1)有解 dr+1 = 0
(II) (1.1)有唯一解 dr+1 = 0,r=n.
(III) (1.1)有无穷解dr+1 = 0,r<n.
在齐次线性方程组中,方程组经初等变换后仍然是齐次方程组,故 dr+1 = 0 总成立,也即齐次方程组总是有解的,
定理 1.2 在齐次线性方程组：
a11x1+a12x2+…+ a1nxn=0,
a21x1+a22x2+…+ a2nxn=0,
as1x1+as2x2+…+ asnxn=0
中，若 s<n,则必有非零解,
§ 2,线性方程组解的结构一,线性方程组解存在性定理考虑线性方程组
a11x1+…+ a1nxn=b1,
a21x1+…+ a2nxn=b2,
as1x1+…+ asnxn=bs,?
(2.1)
的矩阵形式：
Ax=b (2.2)
A 称为方程组 (2.1) 的系数矩阵，
b 称为方程组 (2.1) 的右端向量,
在前面讨论中我们已知，方程组可经一系列方程组初等变换化为阶梯方程组,
C11?+………………= d1
C22?+…………= d2
Crr?+…= dr
0= dr+1
0=0
0=0
其中 C11,C22,…,Crr不等于零,
由此，我们将 (2.1) 的解分成三种情况：
1,dr+1? 0,
2,dr+1= 0且 r < n,
3,dr+1= 0且 r = n,
方程组 (2.1) 无解；
方程组 (2.1) 有无穷解；
方程组 (2.1) 有唯一解,
由 (2.1) 的等价形式 (2.2) 知,
方程组 Ax=b 一一对应于增广矩阵：
,
1
1111
ssns
n
baa
baa
A
(2.3)
在前面介绍消元法时我们知道,消元法实质上是利用方程组的一系列方程组的初等变换将 (2.1)变成同解的阶梯形方程组,
下面将出指出,对方程组实行初等变换相应于对其增广矩阵实行矩阵的初等行变换,因此消元法也可看作是对其增广矩阵实行一系列初等行变换化为阶梯矩阵的过程,
命题 2.1 方程组的三类初等变换对应于对增广矩 阵实行相应初等行变换,
证,只证变换 2.
方程组 (2.1) 第 i个方程?k加到第 j个方程 方程组 (2.4)
a11x1+…+ a1nxn=b1,
ai1x1+…+ ainxn=bi,
(aj1+kai1)x1+…+( ajn+kain)xn=bj+kbi,?
as1x1+…+ asnxn=bs.?
(2.4)
增广矩阵 A i?k+ j
ssns
ijinjnij
iini
in
baa
kbbkaakaa
baa
baa
1
11
1
111
.
例 2.1 解线性方程组
x1?2x2+x3+3x4=5,
2x1 + x2?x3+x4=2,
3x1 + 4x2?3 x3?x4=?1,
x1 + 3x2?2x4=?1.
解,对增广矩阵实行初等行变换：
12031
11343
21112
53121
]:[ bA
1行?(?2)+2行
1行?(?3)+3行
1行?(?1)+4行
1?2 1 3 5
0
0
0
5?3?5?8
10?6?10?16
5?1?5?6
2行?(?2)+3行
2行?(?1)+4行
1?2 1 3 5
0
0
0 5?3?5?8
0 0 0 0
0 2 0 2
12031
11343
21112
53121
3行 4行交换
1?2 1 3 5
0 5?3?5?8
0 0 0 0 0
0 0 2 0 2
最后的阶梯阵对应于方程组
x1?2x2+ x3 + 3x4 =5，
5x2?3x3?5x4 =?8，
2x3 = 2.
将 x4 移至方程右端并令其为自由变量，得
x1=2?x4,
x2=? 1+ x4,
x3= 1,
x4 为自由变量,
x1?2x2+ x3 + 3x4 =5，
5x2?3x3?5x4 =?8，
2x3 = 2.
例 2.2 解线代数方程组
x1+x2+x3=1
x1+2x2?5x3=2
2x1+3x2?4x3=5
解,对增广矩阵实行初等行变换：
5432
2521
1111
]:[ bA
1 1 1 1
0 1?6 1
0 1?6 3
1 1 1 1
0 1?6 1
0 0 0 2
r =2 且 d3 = 2? 0,方程组无解,
由于矩阵的初等变换不改变矩阵的秩故有下面定理,
5432
2521
1111
定理 2.1 线性方程组 (1.1)有解
r( A )= r( A ).
且当 r(A) = r( A ) = r 时，方程组 (2.1)有
n?r 个自由变量 (自由未知数 ),故有
(I) r=n时,
(II) r<n 时,方程组有无穷个解,
自由变量个数为零，方程组有唯一解,
例 2.3?,? 取何值时，方程组
x1+2x3=?1
x1+x2?3x3=2
2x1?x2+? x3=?
无解？有唯一解？有无穷解？
解：
12
2311
1201
A
1 0 2?1
0 1?1 1
0?14?+2
1 0 2?1
0 1?1 1
0 05?+3
(I)?=5,3 时，无解,
(II)?=5,? =?3 时,有无穷解,
(III)5 时,有唯一解,
12
2311
1201
推论 2.1 对于齐次方程组 Ax=0,设 r(A) = r,则
(I) r = n,有唯一解 (即零解 )；
(II) r < n,有无穷解，即有非零解,
二、线性方程组解的结构
1,齐次线性方程组解的结构,
设 S ={x?Rn | Ax=0},则证,设 x(1),x(2)? S,?1,?2? R,则
A(?1 x(1)+?2 x(2))
=?1 A x(1)+?2 A x(2)
=?1?0+?2?0
= 0
1 x(1)+?2 x(2)? S.
定理 2.2 S 是 Rn 中的 线性 子空间,
证毕由向量空间性质知，只要 S? {0},即 Ax=0 有非零解,S 都存在基,此基有性质,
(I) 基中向量线性无关
(II) S 中任一元素都可由基线性表出定义 2.1 设?1,…,? t 为 Ax=0 的解，且
(I)?1,…,? t 线性无关
(II) Ax=0 的任何解都可用?1,…,? t 线性表出,
则称?1,…,? t 为齐次方程组 Ax=0 的基础解系,
定理 2.3 设 r(A) = r < n,则基础解系中解的个数为
t = n?r.
例 2.4 求齐次阶梯方程组
c11x1+?+c1rxr+…+ c1nxn=0，
c
rrxr+…+ crnxn=0
(2.5)
的一个基础解系,其中 c11,…,crr?0.
解,令 xr+1,…,xn为自由变量，分别令其为：
,
0
0
1
1
n
r
x
x
,
0
1
0
依次代入 (2.5)
,
1
0
0
,
求解得 n?r 个解
,
0
0
1
*
*
1
,
0
1
0
*
*
2
…,
,
1
0
0
*
*
rn
易证?1,?2,…,?n?r 线性无关,
即?1,?2,…,?n?r 为 Ax=0 的基础解,
例 2.5 求解齐次线性方程组
x1? x2+2x4+x5=0,
3x1?3x2+7x4=0,
x1? x2+2x3 +3x4 +2x5=0,
2x1?2 x2+2x3 +7x4?3x5=0.
解,
37222
23211
07033
12011
A
1?1 0 2 1
0 0 0 1?3
0 0 2 1 1
0 0 2 3?5
1?1 0 2 1
0 0 2 1 1
0 0 0 1?3
0 0 0 2?6
37222
23211
07033
12011
1?1 0 2 1
0 0 2 1 1
0 0 0 1?3
0 0 0 0 0
令 x2,x5 为自由变量令
0
1
5
2
x
x
得 x1=1,
x3=0,
x4=0;
1?1 0 2 1
0 0 2 1 1
0 0 0 1?3
0 0 0 2?6
令
1
0
5
2
x
x
得 x1=?7,
x3=?2,
x4=3.
则得基础解系为
,
0
0
0
1
1
1
,
1
3
2
0
7
2
方程组通解为 k1?1+k2?2.
1?1 0 2 1
0 0 2 1 1
0 0 0 1?3
0 0 0 0 0
定理 2.4 Ax = b 的通解等于齐次方程组 Ax = 0 的通解与 Ax = b 的一个特解之和,即设?1,?2,…,?n?r
为 Ax = 0 之基础解系,?0 为 Ax = b 之特解,则 Ax = b
的通解可表为
k1?1+…+ kn?r? n?r+?0,
2,非齐次线性方程组解的结构,
例 2.5 求解
x1+3 x2?x3+2x4?x5=?4，
3x1+x2 +2x3?5x4?4x5 =?1，
2x1?3x2?x3?x4 +x5=4，
4x1+16 x2+x3 +3x4?9x5=?21.
解：
21931164
411132
145213
412131
A
13711100
1235190
144010
412131
33341100
000000
144010
412131
21931164
411132
145213
412131
000000
33341100
144010
412131
齐次方程组中令 x4,x5 为自由变量,
取
,01
5
4
x
x
x1=27,
x2=4,
x3=41;
33341100
000000
144010
412131
取
1
0
5
4
x
x
x1 = 22,
x2 = 4,
x3 = 33.
得基础解系
,
0
1
41
4
27
1
,
1
0
33
4
22
2
000000
33341100
144010
412131
对于非齐次阶梯方程组中令 x4 = x5 = 0,得一特解,
故原方程组通解为
x=k1?1+ k2?2+?0,
0
0
3
1
2
0?
.
000000
33341100
144010
412131
注,为便于求解一般是将增广矩阵化为每一行第一个非零元为单位且其上方元素全为零的阶梯矩阵,例如上例中继续对 A 实行初等行变换,
000000
33341100
144010
412131
A
1?393 0?34?1
0?41 0?4?1
0?410 1?33 3
0 00 0 0 0
000000
33341100
144010
412131
A
1?393 0?34?1
0?41 0?4?1
0?410 1?33 3
0 00 0 0 0
1?270 0?22 2
0?41 0?4?1
0?410 1?33 3
0 00 0 0 0
此时，解非常容易求,
§ 3 解线性方程组的一个应用本节讨论矩阵的特征值与特征向量定义 3.1
使得：，维非零向量及如果存在数设, nRA nn
)1.3(.A
的一个特征向量。于特征值相应称为矩阵而的一个特征值为矩阵则称
,
AA
由于
A?,) ( 0 EA
件是齐次方程组的一个特征值的充要条为矩阵 A?
)2.3() ( 0 xEA?
.有非零解
.)2.3( 的特征方程组称为相应于特征值?
.)2.3( 子空间的解空间称为特征向量齐次方程组有非零解矩阵理论，由前面学过的方程组及 ( 3,2 )
nEA ）秩? (
,0 d e t ( ）EA?
件是的一个特征值的充要条为矩阵 A?
)3.3(.0 d e t ( ）EA?
,)3.3(
.A ( 3,3 )
阶多项式的为关于显然特征多项式阶行列式）的特征多项式（是一个称为
n
n
,( 3,3 ) ）个解（重根按重数计算存在由多项式理论,n
.,,,
A
21 n
n
：个特征值（可能相等）在复数域上有故都成立对于每个 ),,,2,1( nii
.0 d e t ( ）EA i?
.
A,
(
量的特征向相应与特征值即为则记为有非零解，）齐次方程组因此，
iii
i xEA
0
定理 3.1
,
A,
实的特征向量且对每个特征值都存在实数，
的特征值全是为实对称阵，则设 nnRA
根计算行列式并求（ )3.3.A 的特征值?
的一个基础解系求特征方程组对每个特征值 )2.3(?
.A 的特征向量子空间的相应于
例 3.1 求 A 的特征值和特征向量：
.
003
007
210
A
解：
003
007
210
)d e t ( EA 367?
)13( 2
,01,133,2 i
.01 求相应特征向量为例，下面以特征值
.
003
007
210
)( 1 0?
xxEA?
003
007
210
.
000
007
210
,1 3?x令,2 2?x得,0 1?x
故得特征向量,)1,2,0( T
例 3.2 求 A 的特征值和特征向量：
.
21
12
A
解：
21
12
)d e t ( EA 2)2( 1?
).1)(3(
,31,12
，对于 31,321
132
)( 1 0
xxEA?
11
11
.
00
11
,1 2?x令,1 1x得 故得特征向量,)1,1(1 T
同理,.
121
112
)( 2 0
xxEA?
11
11
.
00
11
,1 2?x令,1 1?x得 故得特征向量,)1,1(2 T
,
1
1
1
,
1
1
2
.0),( 21
定理 3.2
.
A,
交相应的特征向量相互正的不同特征值为实对称阵，则设 nnRA
脚本编写：曾金平 刘楚中课件制作：曾金平 刘楚中
§ 1 线性方程组的 Gauss消元法本节讨论线性方程
a11x1 + a12x2 + …+ a1nxn =b1,
a21x1 + a22x2 + …+ a2nxn =b2,
as1x1 + as2x2 + …+ asnxn =bs
的消元法,
(1.1)
………………
先看例子例 1.1解方程组：
2x1?x2+3x3=1,
4x1+2x2+5x3=4,
2x1 +2x3=6.
解,第二个方程减去第一个方程的 2倍，第三个方程减去第一个方程，得
2x1? x2 + 3x3=1,
4x2? x3=2，
x2? x3=5;
同解方程组交换第二、三个方程
2x1?x2+3x3=1,
x2?x3=5,
4x2?x3=2;
第三个方程减去第二个方程的 4倍
2x1?x2+3x3= 1,
x2?x3= 5,
=?18;3x3
第三个方程乘以
3
1
2x1?x2+3x3= 1,
x2?x3= 5,
x3=?6;
第二个方程加第三个方程
2x1?x2+3x3= 1,
x2 =? 1,
x3=?6;
第一个方程加第二个方程再减第三个方程的 3倍
2x1 = 18,
x2 =? 1,
x3=?6;
第一个方程乘以
2
1
x1 = 9,
x2 =? 1,
x3 =?6.
2x1?x2+3x3= 1,
x2 =? 1,
x3=?6;
在上述求解过程中，不难看出，我们实际上反复对方程组进行如下三个基本变换：
1,用一非零数乘某一方程，
2,把一个方程的倍数加到另一个方程，
3,互换两个方程的位置,
定义 1.1上述三种变换称为线性方程组的初等变换,
定理 1.1方程组经初等变换变成同解方程组,
下面考虑一般线性方程组 (1.1):
先检查 x1 的系数,如果全为零,则 (1.1) 对 x1 没有限制,x1 可任意取值,即 (1.1) 可看作 x2,x3,…,xn
的 n?1 元线性方程组,否则,x1的系数不全为零，
则可用初等变换 3,使 (1.1) 变成第一个方程中 x1 系数不为零的同解方程组,故可不妨令 a11?0.
利用变换 2,将第 i 个方程加上第一个方程的
,)(
11
1 倍
a
a i? 于是 (1.1)变为
a11x1+a12x2+…+ a1nxn=b1,
a’22 x2+…+ a’2nxn=b’2,
a’s2 x2+…+ a’snxn=b’s.
(1.2)
其中 a’ij=aij +a1j
)(
11
1
a
ai?
= aij?ai1 a1j /a11,
b’i=bi +b1
)(
11
1
a
ai?
= bi?ai1 b1/a11.
因此解方程组 (1.1) 就归结于解 n?1元方程组
a'22x2+…+ a'2nxn=b'2
a's2x2+…+ a'snxn=b's
(1.3)
也即 (1.1) 有解再对 (1.3) 作类似变换，易知，最后方程组变成同解的阶梯形方程组，为方便起见，不妨设所得方程组为
(1.2) 有解 (1.3) 有解,
c11x1+c12x2+…+ c1rxr+…+ c1nxn=d1
c22x2+…+ c2rxr+…+ c2nxn=d2
c
rrxr+…+ crnxn=dr
0=dr+1
0=0
0=0
(1.4)
其中 cii?0,i=1,2,…,r.
显然,(1.4)有解(1.1)有解,
dr+1 = 0
若 dr+1 = 0,分两种情形
1) r=n,此时，阶梯方程组为
c11x1+…+ c1nxn=d1,
c
nnxn=dn,
此时，上述方程组，称为上三角方程组，且其解可由最后一个方程依次回代，逐步求得 xn,
xn?1,…,x1.
2) r < n,此时方程组可改写成为
c11x1+c12x2+…+ c1rxr =d1?c1r+1xr+1?…?c1nxn
c22x2+…+ c2rxr =d2?c2r+1xr+1?…?c2nxn
c
rrxr =dr?crr+1xr+1?…?crnxn
由此可见，任给 xr+1,…,xn 一组值，都可唯一确定出 x1,x2,…,xr,也即方程组有无穷解,此时，
x1,x2,…,xr 可用 xr+1,…,xn 表示出来,xr+1,…,xn
称为自由变量,
例 1.2 解方程组：
2x1?x2+3x3=1,
4x1?2x2+5x3=4,
2x1?x2+4x3=0.
解,经初等变换，得
2x1?x2+3x3=1,
x3
x3
= 2,
=?1.
2x1?x2+3x3=1,
x3=2,
0
2x1 +3x3?x2=1,
x3 =2,
0=1.
r=2 < 3=n.
dr+1=1?0,故无解,
=1.
例 1.3 再解例 1.1,方程组对应的同解阶梯方程组为
2x1?x2+3x3=1,
x2?x3=5,
3x3=?18.
r=3=n,有唯一解,
经回代，知 x3=?6,x2=?1,x1=9.
2x1?x2+3x3=1,
4x1?2x2+5x3=4,
2x1?x2+4x3=?1.
例 1.4 解方程组：
解,经初等变换，得
2x1?x2+3x3=1,
x3
x3
=2,
=?2.
2x1?x2+3x3=1,
x3=2,
0
2x1 +3x3?x2=1,
x3 =2,
0=0.
r=2 < 3=n,dr+1=0,有 无穷解,
x3=?2,
x1=(7+x2)/2,其中 x2为自由变量,
(1.5)
=0.
还可以看出,(1.5)也可变为
x2 +3x3 +2x1=1,
x3 =2,
0=0.
x3=?2,
x2=?7+2x1,其中 x1 为自由变量,
即自由变量不唯一,
2x1?x2+3x3=1,
x3=2,
0
(1.5)
=0.
定理 1.1 线性方程组 (1.1),可经初等变换化为阶梯形方程组 (变量次序可能不同）,
c11x1+c12x2+…+ c1rxr+…+ c1nxn=d1,
c22x2+…+ c2rxr+…+ c2nxn=d2,
crrxr+…+ crnxn=dr,
0=dr+1,
0=0.
(1.4)
其中 cii?0,i=1,2,…,r,
且 (I) (1.1)有解 dr+1 = 0
(II) (1.1)有唯一解 dr+1 = 0,r=n.
(III) (1.1)有无穷解dr+1 = 0,r<n.
在齐次线性方程组中,方程组经初等变换后仍然是齐次方程组,故 dr+1 = 0 总成立,也即齐次方程组总是有解的,
定理 1.2 在齐次线性方程组：
a11x1+a12x2+…+ a1nxn=0,
a21x1+a22x2+…+ a2nxn=0,
as1x1+as2x2+…+ asnxn=0
中，若 s<n,则必有非零解,
§ 2,线性方程组解的结构一,线性方程组解存在性定理考虑线性方程组
a11x1+…+ a1nxn=b1,
a21x1+…+ a2nxn=b2,
as1x1+…+ asnxn=bs,?
(2.1)
的矩阵形式：
Ax=b (2.2)
A 称为方程组 (2.1) 的系数矩阵，
b 称为方程组 (2.1) 的右端向量,
在前面讨论中我们已知，方程组可经一系列方程组初等变换化为阶梯方程组,
C11?+………………= d1
C22?+…………= d2
Crr?+…= dr
0= dr+1
0=0
0=0
其中 C11,C22,…,Crr不等于零,
由此，我们将 (2.1) 的解分成三种情况：
1,dr+1? 0,
2,dr+1= 0且 r < n,
3,dr+1= 0且 r = n,
方程组 (2.1) 无解；
方程组 (2.1) 有无穷解；
方程组 (2.1) 有唯一解,
由 (2.1) 的等价形式 (2.2) 知,
方程组 Ax=b 一一对应于增广矩阵：
,
1
1111
ssns
n
baa
baa
A
(2.3)
在前面介绍消元法时我们知道,消元法实质上是利用方程组的一系列方程组的初等变换将 (2.1)变成同解的阶梯形方程组,
下面将出指出,对方程组实行初等变换相应于对其增广矩阵实行矩阵的初等行变换,因此消元法也可看作是对其增广矩阵实行一系列初等行变换化为阶梯矩阵的过程,
命题 2.1 方程组的三类初等变换对应于对增广矩 阵实行相应初等行变换,
证,只证变换 2.
方程组 (2.1) 第 i个方程?k加到第 j个方程 方程组 (2.4)
a11x1+…+ a1nxn=b1,
ai1x1+…+ ainxn=bi,
(aj1+kai1)x1+…+( ajn+kain)xn=bj+kbi,?
as1x1+…+ asnxn=bs.?
(2.4)
增广矩阵 A i?k+ j
ssns
ijinjnij
iini
in
baa
kbbkaakaa
baa
baa
1
11
1
111
.
例 2.1 解线性方程组
x1?2x2+x3+3x4=5,
2x1 + x2?x3+x4=2,
3x1 + 4x2?3 x3?x4=?1,
x1 + 3x2?2x4=?1.
解,对增广矩阵实行初等行变换：
12031
11343
21112
53121
]:[ bA
1行?(?2)+2行
1行?(?3)+3行
1行?(?1)+4行
1?2 1 3 5
0
0
0
5?3?5?8
10?6?10?16
5?1?5?6
2行?(?2)+3行
2行?(?1)+4行
1?2 1 3 5
0
0
0 5?3?5?8
0 0 0 0
0 2 0 2
12031
11343
21112
53121
3行 4行交换
1?2 1 3 5
0 5?3?5?8
0 0 0 0 0
0 0 2 0 2
最后的阶梯阵对应于方程组
x1?2x2+ x3 + 3x4 =5，
5x2?3x3?5x4 =?8，
2x3 = 2.
将 x4 移至方程右端并令其为自由变量，得
x1=2?x4,
x2=? 1+ x4,
x3= 1,
x4 为自由变量,
x1?2x2+ x3 + 3x4 =5，
5x2?3x3?5x4 =?8，
2x3 = 2.
例 2.2 解线代数方程组
x1+x2+x3=1
x1+2x2?5x3=2
2x1+3x2?4x3=5
解,对增广矩阵实行初等行变换：
5432
2521
1111
]:[ bA
1 1 1 1
0 1?6 1
0 1?6 3
1 1 1 1
0 1?6 1
0 0 0 2
r =2 且 d3 = 2? 0,方程组无解,
由于矩阵的初等变换不改变矩阵的秩故有下面定理,
5432
2521
1111
定理 2.1 线性方程组 (1.1)有解
r( A )= r( A ).
且当 r(A) = r( A ) = r 时，方程组 (2.1)有
n?r 个自由变量 (自由未知数 ),故有
(I) r=n时,
(II) r<n 时,方程组有无穷个解,
自由变量个数为零，方程组有唯一解,
例 2.3?,? 取何值时，方程组
x1+2x3=?1
x1+x2?3x3=2
2x1?x2+? x3=?
无解？有唯一解？有无穷解？
解：
12
2311
1201
A
1 0 2?1
0 1?1 1
0?14?+2
1 0 2?1
0 1?1 1
0 05?+3
(I)?=5,3 时，无解,
(II)?=5,? =?3 时,有无穷解,
(III)5 时,有唯一解,
12
2311
1201
推论 2.1 对于齐次方程组 Ax=0,设 r(A) = r,则
(I) r = n,有唯一解 (即零解 )；
(II) r < n,有无穷解，即有非零解,
二、线性方程组解的结构
1,齐次线性方程组解的结构,
设 S ={x?Rn | Ax=0},则证,设 x(1),x(2)? S,?1,?2? R,则
A(?1 x(1)+?2 x(2))
=?1 A x(1)+?2 A x(2)
=?1?0+?2?0
= 0
1 x(1)+?2 x(2)? S.
定理 2.2 S 是 Rn 中的 线性 子空间,
证毕由向量空间性质知，只要 S? {0},即 Ax=0 有非零解,S 都存在基,此基有性质,
(I) 基中向量线性无关
(II) S 中任一元素都可由基线性表出定义 2.1 设?1,…,? t 为 Ax=0 的解，且
(I)?1,…,? t 线性无关
(II) Ax=0 的任何解都可用?1,…,? t 线性表出,
则称?1,…,? t 为齐次方程组 Ax=0 的基础解系,
定理 2.3 设 r(A) = r < n,则基础解系中解的个数为
t = n?r.
例 2.4 求齐次阶梯方程组
c11x1+?+c1rxr+…+ c1nxn=0，
c
rrxr+…+ crnxn=0
(2.5)
的一个基础解系,其中 c11,…,crr?0.
解,令 xr+1,…,xn为自由变量，分别令其为：
,
0
0
1
1
n
r
x
x
,
0
1
0
依次代入 (2.5)
,
1
0
0
,
求解得 n?r 个解
,
0
0
1
*
*
1
,
0
1
0
*
*
2
…,
,
1
0
0
*
*
rn
易证?1,?2,…,?n?r 线性无关,
即?1,?2,…,?n?r 为 Ax=0 的基础解,
例 2.5 求解齐次线性方程组
x1? x2+2x4+x5=0,
3x1?3x2+7x4=0,
x1? x2+2x3 +3x4 +2x5=0,
2x1?2 x2+2x3 +7x4?3x5=0.
解,
37222
23211
07033
12011
A
1?1 0 2 1
0 0 0 1?3
0 0 2 1 1
0 0 2 3?5
1?1 0 2 1
0 0 2 1 1
0 0 0 1?3
0 0 0 2?6
37222
23211
07033
12011
1?1 0 2 1
0 0 2 1 1
0 0 0 1?3
0 0 0 0 0
令 x2,x5 为自由变量令
0
1
5
2
x
x
得 x1=1,
x3=0,
x4=0;
1?1 0 2 1
0 0 2 1 1
0 0 0 1?3
0 0 0 2?6
令
1
0
5
2
x
x
得 x1=?7,
x3=?2,
x4=3.
则得基础解系为
,
0
0
0
1
1
1
,
1
3
2
0
7
2
方程组通解为 k1?1+k2?2.
1?1 0 2 1
0 0 2 1 1
0 0 0 1?3
0 0 0 0 0
定理 2.4 Ax = b 的通解等于齐次方程组 Ax = 0 的通解与 Ax = b 的一个特解之和,即设?1,?2,…,?n?r
为 Ax = 0 之基础解系,?0 为 Ax = b 之特解,则 Ax = b
的通解可表为
k1?1+…+ kn?r? n?r+?0,
2,非齐次线性方程组解的结构,
例 2.5 求解
x1+3 x2?x3+2x4?x5=?4，
3x1+x2 +2x3?5x4?4x5 =?1，
2x1?3x2?x3?x4 +x5=4，
4x1+16 x2+x3 +3x4?9x5=?21.
解：
21931164
411132
145213
412131
A
13711100
1235190
144010
412131
33341100
000000
144010
412131
21931164
411132
145213
412131
000000
33341100
144010
412131
齐次方程组中令 x4,x5 为自由变量,
取
,01
5
4
x
x
x1=27,
x2=4,
x3=41;
33341100
000000
144010
412131
取
1
0
5
4
x
x
x1 = 22,
x2 = 4,
x3 = 33.
得基础解系
,
0
1
41
4
27
1
,
1
0
33
4
22
2
000000
33341100
144010
412131
对于非齐次阶梯方程组中令 x4 = x5 = 0,得一特解,
故原方程组通解为
x=k1?1+ k2?2+?0,
0
0
3
1
2
0?
.
000000
33341100
144010
412131
注,为便于求解一般是将增广矩阵化为每一行第一个非零元为单位且其上方元素全为零的阶梯矩阵,例如上例中继续对 A 实行初等行变换,
000000
33341100
144010
412131
A
1?393 0?34?1
0?41 0?4?1
0?410 1?33 3
0 00 0 0 0
000000
33341100
144010
412131
A
1?393 0?34?1
0?41 0?4?1
0?410 1?33 3
0 00 0 0 0
1?270 0?22 2
0?41 0?4?1
0?410 1?33 3
0 00 0 0 0
此时，解非常容易求,
§ 3 解线性方程组的一个应用本节讨论矩阵的特征值与特征向量定义 3.1
使得：，维非零向量及如果存在数设, nRA nn
)1.3(.A
的一个特征向量。于特征值相应称为矩阵而的一个特征值为矩阵则称
,
AA
由于
A?,) ( 0 EA
件是齐次方程组的一个特征值的充要条为矩阵 A?
)2.3() ( 0 xEA?
.有非零解
.)2.3( 的特征方程组称为相应于特征值?
.)2.3( 子空间的解空间称为特征向量齐次方程组有非零解矩阵理论，由前面学过的方程组及 ( 3,2 )
nEA ）秩? (
,0 d e t ( ）EA?
件是的一个特征值的充要条为矩阵 A?
)3.3(.0 d e t ( ）EA?
,)3.3(
.A ( 3,3 )
阶多项式的为关于显然特征多项式阶行列式）的特征多项式（是一个称为
n
n
,( 3,3 ) ）个解（重根按重数计算存在由多项式理论,n
.,,,
A
21 n
n
：个特征值（可能相等）在复数域上有故都成立对于每个 ),,,2,1( nii
.0 d e t ( ）EA i?
.
A,
(
量的特征向相应与特征值即为则记为有非零解，）齐次方程组因此，
iii
i xEA
0
定理 3.1
,
A,
实的特征向量且对每个特征值都存在实数，
的特征值全是为实对称阵，则设 nnRA
根计算行列式并求（ )3.3.A 的特征值?
的一个基础解系求特征方程组对每个特征值 )2.3(?
.A 的特征向量子空间的相应于
例 3.1 求 A 的特征值和特征向量：
.
003
007
210
A
解：
003
007
210
)d e t ( EA 367?
)13( 2
,01,133,2 i
.01 求相应特征向量为例，下面以特征值
.
003
007
210
)( 1 0?
xxEA?
003
007
210
.
000
007
210
,1 3?x令,2 2?x得,0 1?x
故得特征向量,)1,2,0( T
例 3.2 求 A 的特征值和特征向量：
.
21
12
A
解：
21
12
)d e t ( EA 2)2( 1?
).1)(3(
,31,12
，对于 31,321
132
)( 1 0
xxEA?
11
11
.
00
11
,1 2?x令,1 1x得 故得特征向量,)1,1(1 T
同理,.
121
112
)( 2 0
xxEA?
11
11
.
00
11
,1 2?x令,1 1?x得 故得特征向量,)1,1(2 T
,
1
1
1
,
1
1
2
.0),( 21
定理 3.2
.
A,
交相应的特征向量相互正的不同特征值为实对称阵，则设 nnRA
